• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.

Виды логарифмов

• log a b – логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10);
• ln b – натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e ).

Как решать логарифмы?

Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:

Для любых a ; a > 0; a ≠ 1 и для любых x ; y > 0.

• a log a b = b – основное логарифмическое тождество
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x · y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – формула перехода к новому основанию
• log a x = 1/log x a

Как решать логарифмы – пошаговая инструкция решения

• Для начала запишите необходимое уравнение.

Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.

Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.

Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).

Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.

Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является .

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Определение 1

Логарифмом называют показатель степени $n$, при возведении в которую числа $а$ получают число $b$.

Замечание 1

Показательное уравнение $a^n=b$ при $a > 0$, $a \ne 1$ не имеет решений при неположительном $b$ и имеет единственный корень при положительном $b$. Этот корень называется логарифмом числа $b$ по основанию $а$ и записывают:

$a^{\log_{a} b}=b$.

Определение 2

Выражение

$a^{\log_{a} b}=b$

называют основным логарифмическим тождеством при условии, что $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 1

$17^{\log_{17} 6}=6$;

$e^{\ln⁡13} =13$;

$10^{\lg23}=23$.

Основное логарифмическое тождество

Основным логарифмическое тождество называется, т.к. оно используется практически всегда при работе с логарифмами. К тому же с его помощью обосновываются основные свойства логарифмов.

Пример 2

$7^5=16 807$, следовательно $\log_{7}16 807=5$.

$3^{-5}=\frac{1}{243}$, следовательно $\log_{3}\frac{1}{243}=-5$.

$11^0=1$, следовательно $\log_{11}⁡1=0$.

Рассмотрим следствие основного логарифмического тождества :

Определение 3

Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, значит равны и логарифмируемые выражения:

если $\log_{a}⁡b=\log_{a}⁡c$, то $b=c$.

Рассмотрим ограничения , которые применяются для логарифмического тождества:

Т.к. при возведении в любую степень единицы всегда получим единицу, а равенство $x=\log_{a}⁡b$ существует только при $b=1$, то при этом $\log_{1}⁡1$ будет любое действительное число . Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 1$.

Логарифм для $a=0$ согласно определению может существовать лишь при $b=0$. Т.к. при возведении в любую степень нуля всегда получим нуль, то $\log_{0}⁡0$ может быть любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 0$. При $a рациональных и иррациональных значений логарифма, т.к. степень с рациональным и иррациональным показателем может вычисляться только для положительных оснований. Чтобы не допустить такую ситуацию принимают $a > 0$.

$b > 0$ следует из условия $a > 0$, т.к. $x=\log_{a}⁡b$, а значение степени положительного числа a всегда будет положительным.

Основным логарифмическим тождеством зачастую пользуются для упрощения логарифмических выражений.

Пример 3

Вычислить $81^{\log_{9} 7}$.

Решение .

Для того, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество необходимо, чтобы основание логарифма и степени были одинаковыми. Запишем основание степени в виде:

Теперь можем записать:

$81^{\log_{9}7}=(9^2)^{\log_{9}7}=$

воспользуемся свойством степени:

$=9^{2 \cdot \log_{9}7}=9^{\log_{9}7} \cdot 9^{\log_{9}7}=$

к каждому множителю теперь можно применить основное логарифмическое тождество:

$=7 \cdot 7=49$.

Замечание 2

Для применения основного логарифмического тождества также можно прибегнуть к замене основания логарифма на выражение, которое стоит под знаком логарифма, и наоборот.

Пример 4

Вычислить $7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}$.

Решение .

$7^{\frac{1}{\log_{11} 7}}=7^{\log_{7} 11}=11$.

Ответ : $11$.

Пример 5

Вычислить $7^{\frac{3}{\log_{11} 7}}$.

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами