Правило Лопиталя: теория и примеры решений. Определение предела функции на бесконечности

Предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε при |x| > N

Определение предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > Число a называется пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0 , существует такое число N ε > K , зависящее от ε , что для всех x, |x| > N ε , значения функции принадлежат ε - окрестности точки a :
|f(x) - a| < ε .
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .

Также часто используется следующее обозначение:
.

Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.

Односторонние пределы

Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε при x < -N

Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к минус бесконечности () определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к плюс бесконечности () :
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
; .

Бесконечный предел функции на бесконечности

Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M при |x| > N

Определение бесконечного предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K , где K - положительное число. Предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности , если для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число N M > K , зависящее от M , что для всех x, |x| > N M , значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x) | > M .
Бесконечный предел при x стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция f(x) определена на некоторой окрестности бесконечно удаленной точки x 0 , где или или .
Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если для любой последовательности { x n } , сходящейся к x 0 : ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность { f(x n )} сходится к a :
.

Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x 0 : или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны .

Примеры

Пример 1

Используя определение Коши показать, что
.

Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции . Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение . ;
.
Корни уравнения:
; .
Поскольку , то и .
Поэтому функция определена при . Это мы будем использовать в дальнейшем.

Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на -1 :
.

Пусть .
Тогда
;
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
.
Отсюда следует, что
при , и .

Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем . Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .

Пример 2

Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1) ;
2) .

1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности

Поскольку , то функция определена для всех x .
Выпишем определение предела функции при , равного минус бесконечности:
.

Пусть . Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M , имеется число , так что при ,
.

Это означает, что .

2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности

Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:

.
Выпишем определение правого предела функции при :
.

Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Пусть
.
Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .

Поскольку это выполняется для любого положительного числа , то
.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

помогите решить: Из куска ситца можно сшить 32 детских платья или 16 платьев для взрослых. На каждое детское платье идёт 2 метра ситца. Сколько метров

ситца идёт на каждое платье для взрослых?

За 80 пудов цветного бисера, привезённого из Италии, купцу следовало заплатить 720 рублей. На сколько меньше денег требовалось для покупки такого же

количество бисера, сделанного на фабрике в Усть-Рудицах если его цена за пуд была на 6 рублей меньше?

Задача№1 В первый магазин привезли 27 одинаковых коробок с печеньем,а во второй -30 таких же коробок.Во второй магазин привезли на 51 кг печенья

больше,чем в первый.Сколько килограммов печенья привезли в каждый магазин? Задача№2 Два спорцмена одновременно начали бежать навстречу друг другу.Первый спорцмен бежал со средней скоростью 305м/мин,второй-312м/мин.Спорцмены встретились через 4 мин. Какое расстояние быломежду ними сначала? Решить задачу по действиям с пояснениями. Задача№3 Поезд отправляется в 19ч 35мин.Дорога пассажироа от дома до вокзала занимает 45мин. В котором часу пассажиру надо выехать из дома,чтобы быть на вокзале за 15 мин до отправления поезда? Задача№4 Из 60м ткани сшили 15 одинаковых плащей.Сколько таких плащей можно сшить из 100м такой же ткани? Задача№5 Периметр квадрата равен 8 см. Из двух таких квадратов составили прямоугольник.Найти площадь этого прямоугольника. Задача№6 Площадь сада 192а.Одна десятая часть площади сада занята яблонями,а одна пятая часть оставшейся площади- сливами.Какая площадь сада занята сливами? Задача№7 Масса четырёх одинаковых ящиков с мандаринами 34 кг.Масса пустого ящика 1 кг 500г.Найти массу мандаринов в каждом ящике.

За последние годы мобильный гейминг прошел, как мне кажется, решающий отрезок своей истории, в котором отпало все ненужное. Разработчики поняли, что мобильным игрокам нужно нечто сессионное, реиграбельное и в исключительных случаях захватывающее на продолжительное время.

Так мобильная эволюция расчистила путь раннерам. Многие из них предлагают задонатить в пару бустеров для достижения зашкаливающих рекордов. Сейчас мы поговорим о правильном представителе жанра, в котором решает только умение.

Игровая механика

BARRIER X дружелюбна к новичкам, и на первых порах ее игровой механикой намного проще овладеть, чем, к примеру, Flappy Bird. Если вкратце, то суть игры сводится к уклонению от надвигающихся геометрических фигур. Но не все так просто.

Делать это следует путем анализа цветных полос под вашим космическим кораблем. К примеру, красная полоса означает, что впереди препятствие. По мере игры появится синяя полоса, указывающая путь (ее стоит слушать, иначе капут) или зеленая, позволяющая пробивать преграды.

Игровая механика пополняется новыми элементами с каждым уровнем, которых всего семь, как и букв в слове BARRIER. Такой подход позволяет постепенно увеличивать сложность игры и не выбрасывать на игрока все элементы геймплея сразу.

При этом набивать время (его таймер на горизонте) на уровне попроще не выйдет, так как через определенные промежутки времени корабль неимоверно ускоряется, что в мгновение ока повышает сложность игры. К тому же новый уровень не всегда делает игру сложнее, как в случае с зеленой полосой. Чуть не забыл: управление реализовано касанием правой и левой сторон экрана.

Графика

Визуально игра выглядит потрясающе. Одновременно в глаза бросаются геометрический минимализм и многообразие цветов. Все это дополняется эффектами в виде раскачивающейся камеры и размытых звезд, которые реагируют на ваши движения.

Особенно приятно передано ощущение скорости в 60 FPS. Насчет ваших устройств ручаться не могу, но на Meizu MX5 или Asus ZenFone Zoom игра летает.

Звук

В качестве звукового сопровождения выступают шесть олдскульных “пиксельных” треков, которые можно менять в игровом меню. Что касается прочих звуковых эффектов, они, как и саундтрек, выполнены на высоте.

О подводных камнях

В чем подвох? Игра, между прочим, Free-2-Play. Доната и бустеров здесь нет, раздражает лишь реклама сторонних приложений, которая загружается в онлайне и затем начинает бесить в офлайне. За ее отключение попросят 141 рубль, что уже не смешно.

Итог

Проблема и достоинство BARRIER X в том, что это раннер, ломающий шаблоны. Будучи бесплатным, он не начнет клянчить монету за бустеры, дабы я не был лохом перед друзьями, но неожиданно попросит завышенную цену за отключение назойливой рекламы.

Ее “нейтрализация” для пользователей Android не является проблемой, но, к примеру, не каждый неравнодушный к команде разработчиков человек готов дать за BARRIER X подобную сумму денег. Тем не менее, попробовать игру

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g "(x a равны между собой и равны нулю

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g "(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания .

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1.

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел , подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"

Пример 12. Вычислить

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13.

Решение. Получаем

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

1. Для того, чтобы число А было пределомf(x) приx->a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в видеf(x)=A+альфа(х), где альфа(х) – бесконечно малая.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.LimC,x->a=C.

3. Еслиf(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то пределlimf(x),x->a>=0 (limf(x)x->a, <=0)

4. Если функцииf1(x),f2(x) имеют пределы в точке а, то и их сумма, произведение и частное имеет пределы, причемlim(f1(x)+f2(x)),x->a=limf1(x),x->a+limf2(x),x->a, так же с произведением и частным

5. Еслиf(x) имеет предел в точке а, тоlim(f(x))^n,x->a= (limf(x),x->a)^n, гдеn– натуральное число

6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.Lim cf(x), x->a = cLim f(x), x->a.

7. Если для функцийf(x),f1(x),f2(x) в некоторой окрестности в точке а выполняется неравенствоf1(x)<=f(x)<=f2(x) и пределlimf1(x),x->a=limf2(x),x->a=A, тоlimf(x),x->a=A.

8. Limc^x,x->б = бесконечности, еслиc>1 и 0, если 0

Неопределенность вида бесконечность на бесконечность

Разделить все на х в наивысшей степени, учитывая уменьшение степени в корне.

Lim(x->0) sin 5x/sin3x = =lim(x->0) x sin5x/x sin3x = lim(x->0) sin5x/x*lim(x->0) x/sin3x=lim(x->0) 5sin5x/5x*lim 3sin3x/3x)=5/3

Lim(x-unl) (1+1/x) x =e;

1/x=a=>x=1/a, a->0

Lim(a-0) (1+a) 1/2 =e

Lim(x-0) (log a (1+x))/x = lim(x-0) 1/x*log a (1+x)=lim(x-0) log a (1+x) 1/x =log a lim(x-0)(1+x) 1/x =log a e

Lim(x-0) ln(1+x)/x=ln e=1

Lim(x-0) a x -1/x=|a x -1=t;a x =t+1;ln a x =ln(t+1)

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(x,b(x) – бесконечно малые ф-ции при х->a

1. Lim(x->a)a(x)/b(x)=0 =>a(x) – бесконечно малая более высокого порядка, чемb(x)

2. Lim(x->a)a(x)/b(x) =c<>0=>aиb– бесконечно малые функции одного порядка

3. Lim(x->a)a(x)/b(x) = 1 =>aub– эквивалентные бесконечно малые функции

4. Lim(x->a)d(x)/b n (x) =c<>0 =>a– бесконечно малая функция н-ного порядка относительноb(x)

Cos2x=1-2sin 2 x

Теорема: если б.м. а(х) эквивалентна а 1 (х) иb(x) ~b 1 (x) иlim(x->a)a(x)/b(x) =>lim(x->a)a 1 (x)/b 1 (x)

6. A kx ~kx ln a

8. 1-cos kx ~kx 2 /2

23. Предел функции, теоремы о пределах. Неопределённость вида 0/0.  Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f (x ) стремится к бесконечности при x стремящимся к a , если для любого M > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству x a  <  имеет место неравенство f (x ) > M .

lim x  a =

 Функция ограниченная при x  a .

 Функция ограниченная при x  .

 Теорема. Если lim x  a f (x )=b , то функция f (x ) ограниченная при x  a .

 Бесконечно малые и их свойства. lim x  a (x )=0

Теорема. 1. Если f (x )=b +, где  - б.м. при x  a , то lim x  a f (x )=b и обратно, если lim x  a f (x )=b , то можно записать f (x )=b +(x ).

Теорема. 2. Если lim x  a (x )=0 и (x )  0, то 1/ .

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

 Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u (x )  z (x )  v (x ), и lim x  a u (x )=lim x  a v (x )=b , то lim x  a z (x )=b . ("Теорема о двух милиционерах").

 Первый замечательный предел.

при n имеет предел, заключенный между 2 и 3. В данной работе мы рассмотрим неопределенность видадля функции. Для нахождения предела функции мы применяем метод преобразования, метод замены и определение бесконечно малых величин.

Пусть требуется найти предел дроби

где P(x) и Q(x) функции определенные в окрестности предельного аргумента a, но в самом предельном значении обращаются в ноль.

Теорема 1 . Пусть число a для многочлена n-й степени P(x) = P n (x) является k кратным решением, а для многочлена m-й степени Q(x) = Q n (x) является r кратным решением, тогда

(2)