Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции \(f(x) \) в заданной пользователем
точке \(a \).
Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.
Если вы не знакомы с правилами ввода функций, рекомендуем с ними ознакомиться.
Введите выражение функции \(f(x)\) и число \(a\) Найти уравнение касательной Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Угловой коэффициент прямой
Напомним, что графиком линейной функции \(y=kx+b\) является прямая. Число \(k=tg \alpha \) называют угловым коэффициентом прямой , а угол \(\alpha \) - углом между этой прямой и осью Ox
Если \(k>0\), то \(0 Если \(kУравнение касательной к графику функции
Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f"(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.
Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f"(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.
С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f"(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: \(f(a)=ka+b \), т.е. \(b = f(a) - ka \).
Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) \) в точке \(x=a \).
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции \(y=f(x) \)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \(a \)
2. Вычислить \(f(a) \)
3. Найти \(f"(x) \) и вычислить \(f"(a) \)
4. Подставить найденные числа \(a, f(a), f"(a) \) в формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
Пример 1. Дана функция f (x ) = 3x 2 + 4x – 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ) в точке графика с абсциссой x 0 = 1.
Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:
= (3x 2 + 4x – 5)′ = 6x + 4.
Тогда f (x 0) = f (1) = 2; (x 0) = = 10. Уравнение касательной имеет вид:
y = (x 0) (x – x 0) + f (x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Ответ. y = 10x – 8.
Пример 2. Дана функция f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2x + 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), параллельной прямой y = 2x – 11.
Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:
= (x 3 – 3x 2 + 2x + 5)′ = 3x 2 – 6x + 2.
Так как касательная к графику функции f (x ) в точке с абсциссой x 0 параллельна прямой y = 2x – 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x 0) = 2. Найдем эту абсциссу из условия, что 3x – 6x 0 + 2 = 2. Это равенство справедливо лишь при x 0 = 0 и при x 0 = 2. Так как в том и в другом случае f (x 0) = 5, то прямая y = 2x + b касается графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5).
В первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b , откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b , откуда b = 1.
Итак, существует две касательные y = 2x + 5 и y = 2x + 1 к графику функции f (x ), параллельные прямой y = 2x – 11.
Ответ. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Пример 3. Дана функция f (x ) = x 2 – 6x + 7. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), проходящей через точку A (2; –5).
Решение. Так как f (2) –5, то точка A не принадлежит графику функции f (x ). Пусть x 0 - абсцисса точки касания.
Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:
= (x 2 – 6x + 1)′ = 2x – 6.
Тогда f (x 0) = x – 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Уравнение касательной имеет вид:
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x – 6x + 7,
y = (2x 0 – 6)x – x + 7.
Так как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство
–5 = (2x 0 – 6)×2– x + 7,
откуда x 0 = 0 или x 0 = 4. Это означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x ).
Если x 0 = 0, то уравнение касательной имеет вид y = –6x + 7. Если x 0 = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2x – 9.
Ответ. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Пример 4. Даны функции f (x ) = x 2 – 2x + 2 и g (x ) = –x 2 – 3. Напишем уравнение общей касательной к графикам этих функции.
Решение. Пусть x 1 - абсцисса точки касания искомой прямой с графиком функции f (x ), а x 2 - абсцисса точки касания той же прямой с графиком функции g (x ).
Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:
= (x 2 – 2x + 2)′ = 2x – 2.
Тогда f (x 1) = x – 2x 1 + 2; (x 1) = 2 x 1 – 2. Уравнение касательной имеет вид:
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x – 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x + 2. (1)
Найдем производную функции g (x ):
= (–x 2 – 3)′ = –2x .
У = f(х) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f"(а). Мы этим уже несколько раз пользовались. Например, в § 33 было установлено, что график функции у = sin х(синусоида) в начале координат образует с осью абсцисс угол 45° (точнее, касательная к графику в начале координат составляет с положительным направлением оси х угол 45°), а в примере 5 § 33 были найдены точки на графике заданной функции , в которых касательная параллельна оси абсцисс. В примере 2 § 33 было составлено уравнение касательной к графику функции у = х 2 в точке х = 1 (точнее, в точке (1; 1), но чаще указывают только значение абсциссы, полагая, что если значение абсциссы известно, то значение ординаты можно найти из уравнения у = f(х)). В этом параграфе мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной.к графику любой функции.
Пусть даны функция у = f(х) и точка М (а; f(а)), а также известно, что существует f"(а). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид у = кх+m, поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов к и m.
С угловым коэффициентом к проблем нет: мы знаем, что к = f"(а). Для вычисления значения т воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(а) = ка+m, откуда находим, что m = f(а) - ка.
Осталось подставить найденные значения коэффициентов кит в уравнение
прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке х=а.
Если, скажем,
Подставив в уравнение (1) найденные значения а = 1, f(а) = 1 f"(а) = 2, получим: у = 1+2(х-f), т.е. у = 2х-1.
Сравните этот результат с тем, что был получен в примере 2 из § 33. Естественно, получилось то же самое.
Составим уравнение касательной к графику функции у = tg х в начале координат. Имеем: значит, соs х f"(0) = 1. Подставив в уравнение (1) найденные значения а= 0, f(а)= 0, f"(а) = 1, получим: у=х.
Именно поэтому мы и провели тангенсоиду в § 15 (см. рис. 62) через начало координат под углом 45° к оси абсцисс.
Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически пользовались определенным алгоритмом, который заложен в формуле (1). Сделаем этот алгоритм явным.
АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x)
1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2) Вычислить 1 (а).
3) Найти f"(х) и вычислить f"(а).
4) Подставить найденные числа а, f(а), (а) в формулу (1).
Пример 1.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке х = 1.
Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере
На рис. 126 изображена гипербола , построена прямая у= 2-х.
Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).
Ответ:
у =2- х.
Пример 2.
К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х - 5.
Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.
Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f"(а)= 4.
Имеем:
Из уравнения Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Теперь можно действовать по алгоритму.
Пример 3.
Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.
По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим:
Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:
На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции
В § 32 мы отметили, что для функции у = f(х), имеющей производную в фиксированной точке х, справедливо приближенное равенство:
Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо будем писать х и соответственно вместо будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:
А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(х) проведена касательная в точке М (а; f (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что f(х) - ордината графика функции в указанной точке х. А что такое f(а) + f"(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х - см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.
Пример 4.
Найти приближенное значение числового выражения 1,02 7 .
Речь идет об отыскании значения функции у = х 7 в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере
В итоге получаем:
Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,02 7 = 1,148685667...
Как видите, точность приближения вполне приемлема.
Ответ:
1,02 7 =1,14.
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиВ этой статье мы разберем все типы задач на нахождение
Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .
Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :
И рассмотрим прямоугольный треугольник :
В этом треугольнике
Отсюда
Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .
Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .
Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.
1. Дана точка касания
2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .
3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.
Рассмотрим каждый тип задач.
1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке .
.
б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:
Ответ: .
2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.
Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.
а) Найдем производную функции .
б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
Ответ: 0;3;5
3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .
Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания .
Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.
Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.
а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.
Сначала найдем уравнение производной.
Приравняем производную к числу -1.
Найдем значение функции в точке .
(по условию)
.
б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .
Найдем значение функции в точке .
(по условию).
Подставим эти значения в уравнение касательной:
.
Ответ:
4 . Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку
Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.
Title="1sqrt{8-3^2}">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.
Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания .
Найдем значение .
Пусть - точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:
.
Значение функции в точке равно .
Найдем значение производной функции в точке .
Сначала найдем производную функции . Это .
Производная в точке равна .
Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :
Решим это уравнение.
Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:
Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:
Упростим числитель дроби и умножим обе части на - это выражение строго больше нуля.
Получим уравнение
Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }">
Решим первое уравнение.
Решим квадратное уравнение, получим
Второй корень не удовлетворяет условию title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .
Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение - мы его уже записывали.
Ответ:
.