При расчете электрических цепей нам часто приходится встречаться с цепями, которые образуют замкнутые контуры. В состав таких контуров, помимо сопротивлений, могут входить еще электродвижущие силы, то есть источники напряжений. На рисунке 1 представлен участок сложной электрической цепи. Задана полярность всех (э. д. с.). Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении, например по часовой стрелке. Рассмотрим участок АБ . На этом участке происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

На участке АБ :

φ А + E 1 – I 1 × r 1 = φ Б .

На участке БВ :

φ Б – E 2 – I 2 × r 2 = φ В .

На участке ВГ :

φ В – I 3 × r 3 + E 3 = φ Г .

На участке ГА :

φ Г – I 4 × r 4 = φ А .

Складывая почленно четыре приведенных уравнения, получим:

φ А + E 1 – I 1 × r 1 + φ Б – E 2 – I 2 × r 2 + φ В – I 3 × r 3 + E 3 + φ Г – I 4 × r 4 = φ Б + φ В + φ Г + φ А

E 1 – I 1 × r 1 – E 2 – I 2 × r 2 – I 3 × r 3 + E 3 – I 4 × r 4 = 0.

Перенеся произведения I × r в правую часть, получим:

E 1 – E 2 + E 3 = I 1 × r 1 + I 2 × r 2 + I 3 × r 3 + I 4 × r 4 .

В общем виде

Это выражение представляет собой второй закон Кирхгофа. Формула второго закона Кирхгофа показывает, что во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжений. Бывают случаи, когда в замкнутом контуре отсутствуют источники э. д. с., тогда применимо другое определение второго закона Кирхгофа – алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

Видео 1. Второй закон Кирхгофа

Рассмотрим простой замкнутый контур (рисунок 2).

Рисунок 2. Простой замкнутый контур

По второму закону Кирхгофа

E = I × r 0 + I × r = I × (r 0 + r ),

I 3 = I 1 + I 2 .

(3)

Имеем три уравнения с тремя неизвестными. Решая их, находим величину и направление токов. Подставляя значение тока I 3 из уравнения (3) в уравнение (1), получим:

6 = 2 × I 1 + 5 × I 1 + 5 × I 2 ;

Сложим уравнения для двух контуров почленно:

(6 = 7 × I 1 + 5 × I 2) + (2 = I 1 – 2 × I 2)

(12 = 14 × I 1 + 10 × I 2) + (10 = 5 × I 1 – 10 × I 2).

Сложив два последних уравнения, имеем:

22 = 19 × I 1 , откуда I 1 = 1,156 А,

подставляем значение I 1 в уравнение (1):

6 = 2 × 1,156 + 5 × I 3 ,

Подставляем значение I 1 в уравнение (2):

2 = 1,156 – 2 × I 2 ,

Знак минус показывает, что действительное направление тока I 2 обратно принятому нами направлению.

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

• Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
• Узел – точка соединения трех или более ветвей.
• Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются . Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма - это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

• I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 - токи, вытекающие из узла А.
• Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
• Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
• Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
• Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
• Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
• А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
• Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

• На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
• БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
• ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
• ГА: φГ – I4r4 = φА.
• Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
• или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
• Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений - Уравнение для переменных напряжени -

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

Определить знак можно по алгоритму:

• 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
• 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
• 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Является частным случаем второго правила для цепи.

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

Дано:	Решение:
Дано: I1 – ? I2 – ? I3 – ?

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

Решение задач на расчет сложных цепей основывается на применении первого и второго законов Кирхгофа, которые наряду с законом Ома являются основными законами электрической цепи.

Законы Кирхгофа определяют распределение токов и напряжений в электрических цепях любой конфигурации.

Первый закон Кирхгофа

Рассматривая разветвленные электрические цепи, состоящие из нескольких контуров, нам необходимо установить соотношения между токами, приходящими к любому узлу, и токами, уходящими от него. Из физической сущности электрического тока следует, что общее количество носителей тока, притекающее к узлу в течении некоторого промежутка времени, равно количеству носителей, утекающему от узла за тоже время. Если предположить, что это положение не выполняется, то в узловой точке должно происходить накопление зарядов или убыль - утечка зарядов.

На практике эти явления не наблюдаются, следовательно, мы можем утверждать, что сумма величин токов, притекающих к точке разветвления, равна сумме величин токов, утекающих от нее.

Это положение и является формулировкой первого закона Кирхгофа.

Математическое выражение первого закона Кирхгофа применительно к узлу А:

Условимся токи, притекающие к точке разветвления, считать положительными, а токи, утекающие от нее, - отрицательными и сформулируем окончательно первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма величин токов в точке разветвления равна нулю.

Пример

На рисунке изображена узловая точка и указаны направления и величины в пяти ветвях.

Требуется определить величину и направление тока в шестой ветви.

Решение.

Предположим, что ток в шестой ветви притекает к точке А. Используя первый закон Кирхгофа, составим уравнение ∑I=0

Знак минус означает, что принятое нами направление тока в шестой ветви неправильное, В действительности ток в этой ветви вытекает из точки А.

Второй закон Кирхгофа связывает между собой э. д. с., действующие в любом замкнутом контуре, и падения напряжения на сопротивлениях, входящих в данный контур.

Исходя из принципа электрического равновесия, можно сделать логический вывод, что в установившемся режиме, когда токи в контуре не изменяются, все э. д. с. уравновешиваются падениями напряжения.

В самом деле, если предположить, что сумма э. д. с. превышает сумму падений напряжения, то ток в цепи должен возрасти. Наоборот, если сумма падений напряжения превышает сумму э. д. с., то ток должен уменьшиться.

Таким образом, алгебраическая сумма э. д. с., действующих в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех участках этого контура.

это и есть формулировка второго закона Кирхгофа.

Математически второй закон Кирхгофа выражается формулой:

При составлении уравнения второго закона Кирхгофа необходимо учитывать направления токов и э.д.с. для этого выбирают какое либо направление обхода контура (обычно направление движения часовой стрелки) и считают положительными э. д. с, которые создают токи в направлении, совпадающем с направлением обхода и падения напряжения, создаваемые токами, направление которых совпадает с направлением обхода.Так например, на рисунке, обходя контур ABCDA в направлении часовой стрелки, будем считать E 1 ,U 1 ,U 3 положительными, а E 2 и U 2 отрицательными.

Следовательно, уравнение второго закона Кирхгофа для этого контура запишется так

Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей

Для каждой сложной цепи, пользуясь законами Кирхгофа, можно составить строго определенное число независимых друг от друга уравнений. Как будет показано ниже, это число всегда равно числу неизвестных токов в цепи.
Число уравнений находится в зависимости от числа ветвей (n ) и числа узлов (k ). Любая ветвь цепи характеризуется величиной э. д. с. (Е ) действующей в ней, сопротивлением (R ) и величиной тока (I ).
Если в данной ветви действуют несколько э. д. с. и имеется несколько сопротивлений, то она характеризуется алгебраической суммой всех э. д. с. и суммой всех сопротивлений, т.е. опять-таки определенной (одной) э. д. с. и определенным (одним) сопротивлением.
Следовательно, сложная цепь, имеющая n ветвей, будет характеризоваться n-э. д. с ., n-сопротивлениями и n-токами .

Используя первый закон Кирхгофа, можно составить (k-1 ) уравнений, связывающих между собой величины токов в ветвях. Таким образом, число уравнений на одно меньше, чем число всех узлов цепи. Это объясняется тем, что все токи, входящие в уравнение для узла k , уже вошли в предыдущие уравнения. На схеме в узле А сходятся токи I 1 , I 2 , I 3 ; в узле В —I 2 , I 3 , I 4 , I 5 ; в узле С — I 4 , I 5 , I 1 .

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов А и В являются независимыми. В то же время уравнение для узла С. Дает нам зависимость, которая может быть получена на основании уравнений, составленных для первых двух узлов.
В самом деле, на основании первого закона Кирхгофа получим:

— для узла А
I 1 -I 2 -I 3 =0 ; (1)
— для узла В
I 2 +I 3 +I 5 -I 4 =0 ; (2)
— для узла С
I 4 -I 1 -I 5 =0 . (3)

Но последнее уравнение не является независимым, так как может быть получено на основании двух первых.
Действительно, складывая (1) и (2), получим

I 1 -I 4 +I 5 =0 ,

А умножив обе части равенства на -1 , будем иметь

I 4 -I 1 -I 5 =0

Определим теперь число уравнений, которое можно составить, используя второй закон Кирхгофа. Для того чтобы эти уравнения были независимы друг от друга, достаточно чтобы контуры, для которых они пишутся, отличались хотя бы одной ветвью, входящей в их состав.
Математически доказано, что число независимых уравнений m , которое можно составить для любой сложной цепи по второму закону Кирхгофа будет равно

m = n-k + 1 ,

Где m —число независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа;
n — число ветвей;
к — число узлов.
При выборе контуров стараются по возможности подобрать такие, которые содержат меньшее число ветвей и э. д. с.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа для сложной цепи, состоящей из ветвей и узлов, будет равно числу ветвей.
Складывая число уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа (k—1 ), с числом уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа (m ), получим

k — 1 + m = k— 1 + n — k + 1 = n .

Итак, если задана цепь из n ветвей и известны все э. д. с. и сопротивления, всегда можно составить n уравнений по числу неизвестных токов в ветвях.
Для решения задачи на расчет сложной цепи необходимо:

1. По схеме цепи установить числа n и k , для чего пронумеровать все ветви и узлы данной сложной цепи
2. Показать на схеме направления (предположительные) токов в каждой из ветвей.

3. Определить, для каких (k—1 ) узлов нужно составить уравнение первого закона Кирхгофа и для каких контуров нужно составить уравнение второго закона Кирхгофа.

4. Для выбранных узловых точек схемы составить (k — 1 ) уравнений по первому закону Кирхгофа:

Суммирование токов производится обязательно с учетом знака.
5. Для выбранных замкнутых контуров составить m уравнений по второму закону Кирхгофа:

При составлении этих уравнений э. д. с. суммируются с учетом знака, а падения напряжения берутся со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода контура, и наоборот.
6. Решить систему полученных уравнений, в результате чего определяются величины токов во всех ветвях цепи. Если при решении та или иная величина тока получается со знаком минус, то это значит, что фактическое направление тока в данной ветви обратно тому, которое было принято предварительно.
Для закрепления рассматриваемого порядка расчета сложной цепи с использованием законов Кирхгофа решим пример.

I

Пример. Дана сложная цепь, изображенная на рисунке. Зная Е 1 , Е 2 , Е 3 , r 1 r 2 и r 3 , необходимо определить токи в ветвях I 1 , I 2 и I 3 .

Решение.
1. Анализируя данную схему, устанавливаем, что в ней число ветвей n равно трем, а число узлов k равно двум.
2. Обозначим направление токов в ветвях. Это не значит, что они будут именно такими, как мы предположили. Истинное направление токов определится в ходе решения задачи.
3. Уравнения первого закона Кирхгофа необходимо составить для
(k-1 ) узлов, или 2-1= 1.
Количество уравнений второго закона Кирхгофа, которое надо составить для решения задачи будет равно

m = n-(k- 1) = 3 - (2 - 1) = 3 - 1=2 .

4. Составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа для узла А:

5. Приняв направление обхода контуров против часовой стрелки, составим m-2 уравнений для замкнутых контуров по второму закону Кирхгофа:
— для контура № 1:

Е 1 - Е 2 = I 1 r 1 + I 2 r 2 (5)

— для контура № 2:

Е 2 -E 3 = - I 2 r 2 - I З г 3 . (6)

6. Решаем систему из трех уравнений.
Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа (4),
имеем
I 1 =I 2 -I 3

Подставим полученное значение тока в уравнение (5)

E 1 -E 2 =(I 2 -I 3) r 1 +I 2 r 2

Подставим числовые значения и уравнения (5) и (6).

40 -20 = (I 2 -I 3)*2 +I 2 *3 ; (7)
20-15=-I 2 *3-I 3 *4 . (8)

Упростим эти уравнения и решим их методом подстановки:

20=5*I 2 -2I 3 ;
5=-3*I 2 -4I 3

Умножим уравнение (7) на 2 и вычтем из полученного результата уравнение (8)

5= -3*2,7-4I 3 ; 4I 3 = -13,1 ;
I 3 = -13,1/4=-3,3A .

Теперь из уравнения (6) находим ток I 1 :

I 1 =I 2 -I 3 =2,7-(-3,3)=6A .

В результате решения токи I 2 и I 1 имеют положительное, а ток I 3 —
отрицательное значение, следовательно, фактическое направление токов I 2
и I 1 совпадает с принятым, а тока I 3 — обратно принятому в начале решения задачи.

Немецкий ученый Густав Кирхгоф – один из величайших физиков всех времен, написавший целую кучу работ по электричеству.

Эти работы получили признание среди передовых ученых девятнадцатого века и стали основой для работ множества других ученых, а также дальнейшего развития науки и техники. Он был человеком который посвятил всю свою жизнь науке и несомненно сделал наш мир чуточку лучше.

В теории, законы Ома устанавливают взаимосвязь между силой, напряжением и сопротивлению тока для простых замкнутых одноконтурных цепей.

Но на практике чаще всего используются гораздо более сложные, разветвленные цепи, в систему которых может входить несколько контуров и узлов, в которые сходятся проходящие по другим ответвлениям электротоки и их невозможно описать по стандартным правилам для расчета комбинаций параллельных и последовательных цепей. Правило Кирхгофа делает возможным определение силы и напряжения тока в таких цепях.

Общие понятия и описание первого закона Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа показывает связь токов и узлов электрической цепи. Формула связи очень проста. Это правило гласит, что сумма токов всех ветвей, которые сходятся в один узел электроцепи, равняется нулю (речь идёт об алгебраических значениях).

При этом накопление электрических зарядов в одной точке замкнутой электроцепи невозможно.
При суммировании токов принято брать положительный знак, если электроток идёт по направлению к узлу, и отрицательный знак, если ток идёт в противоположную от узла сторону. Для описания понятной аналогии для этого случая, уместны сравнения с течениями воды в соединенных между собой трубопроводах.

Пример вышеописанной формулы первого закона:

Общие понятия и описание второго закона Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа описывает алгебраическую зависимость между электродинамической силой и напряжением в замкнутой электроцепи. В любом замкнутом контуре сумма электродинамической силы равна сумме падания напряжения на сопротивлениях, относящихся к данному контуру.

Для написания формул, определяющих второй закон Кирхгофа, берут положительное значение электродинамической силы и падение напряжений, если направление на относящихся к ним отрезках контура совпадает с произвольным направлением обхода контура. А если же направление электродинамической силы и токов противоположны выбранному направлению, то эти электродинамические силы и падение напряжений берут отрицательными:

Алгоритм определения знака величины электродинамической силы и падения напряжений:

1. Выбираем направление обхода контурных цепей. Тут возможны несколько вариантов: либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
2. Произвольным образом выбираем направление движения токов протекающих через элементы контурных цепей.
3. И наконец, расставляем знаки для электродинамической силы и падения напряжений (не забывая о совпадении или несовпадении направления электродинамической силы с направлением движения обхода контура)

Пример вышеописанной формулы второго закона:

Области применения

Закономерности Кирхгофа применяются на практике для сложных контурных цепей, для выяснения распределений и значений токов в этих электроцепях.

С помощью уравнений, положенных в основу этих закономерностей моделируется система контурных напряжений и токов, после решения которой можно сказать какое направление электротока необходимо выбрать. Первое и Второе правило Кирхгофа получили огромное применение при построении параллельных и последовательных контурных цепей.

При последовательном строении электроцепи (в качестве примера отлично подойдёт новогодняя ёлочная гирлянда) сопротивление на каждом последующем элементе падает согласно закону Ома.

При параллельном строении напряжение равно подаётся на все элементы электроцепи, и для определения значений токов в любом месте электроцепи используется второй закон Кирхгофа. Также часто эти правила сочетаются с другими приёмами, такими как принцип суперпозиции и метод эквивалентного электрогенератора и составления потенциальной диаграммы.

Интересные факты:

• Существует множество заблуждений о третьем, четвертом и т.д. правилах Кирхгофа. Густав Кирхгофф был всесторонне развитым человеком, который изучал множество наук;
• Он сделал несколько открытий в области теоретической механики для абсолютно упругих тел, в области химии, физики, термодинамике. Именно к этим открытиям относятся эти законы, а с электродинамикой и контурными электрическими цепями не имеют ничего общего;
• В его честь назван один из кратеров на Луне;
• Еще один величайший изобретатель Джеймс Максвелл основывал свои идеи именно на этих двух главных закономерностях электродинамики.

Пример решения задачи

Первый закон Кирхгофа

- второй закон Кирхгофа

Составляем уравнения по законам Кирхгофа для данной схемы

Пример решения задачи:

E 1 = 24 B

E 2 = 18 B

R i 1 = 0, Ом

R i 2 = 0, Ом

R 1 = 1,5Ом

R 2 = 1,8Ом

R 3 = 2 Ом

Найти: I 1-3 - ?

Подставляя исходные данные

Сокращаем коэффициенты в уравнениях

Выражаем I 1 из первого уравнения и подставляем во второе

I 1 =I 3 -I 2

3=I 3 -I 2 -I 2 =I 3 -2I 2

Совместно записываем второе и третье уравнение и вычитаем почленно

3=I 3 -2I 2

9=I 3 +I 2

_-----------------------

-6=-3I 2

Подставляем найденные I 2 =2A в третье уравнение

9= I 2 +I 3 =2+I 3

I 3 =9-2=7A

Подставляем I 2 и I 3 в первое уравнение

I 1 = I 3 -I 2 =7-2=5A

Оба источника работают в режиме генератора, так как ток и ЭДС совпадают по направлению

Тестовые задания:

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Этот метод позволяет уменьшать количество уравнений в системе.

Порядок расчёта:

1. Выбираем производное направление контурного тока;

2. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контурных токов. При записи учитываем падение напряжения от собственного контурного тока и контурных токов соседних контуров;

3. Решаем полученную систему уравнений и определяем контурные токи;

4. Рассчитываем действительные токи ветвей по правилу:

если в ветви течёт один контурный ток, то действительный ток равен этому контурному; если течет несколько, то действительный равен алгебраической сумме.

- второй закон Кирхгофа

-E 1 - E 2 = I 1 к ∙(R 4 + R i1 + R 1 + R i2 + R 2) - I 2 к ∙(R 2 + R i2)

E 2 - E 3 = I 2 к ∙(R 2 + R i2 + R 3 + R i3) - I 1 к ∙(R 2 + R i2)

Пусть при решении получилось

I 1к =3A I 2к =2A

Пример решения задачи

E 1 = 24 B

E 2 = 18 B

R i 1 = 0,5 Ом

R i 2 = 0,2 Ом

R 1 = 1,5 Ом

R 2 = 1,8 Ом

R 3 = 2 Ом

Найти: I 1-3 -?

30=6I 1 к 6=4∙5-2I 2 к

I 1 к =5A I 2 к =7A

_______________

I 3= I 2 к =7A

I 1 = I 1 к =5A

I 2 = I 2 к - I 1 к =7-5=2A

Тестовые задания:

МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ

1.Обозначим узлы (А;В)

Под узлом А обозначим узел, к которому направлено больше ЭДС

2.Все токи направляем к узлу А

3. Рассчитываем проводимость каждой ветви по формуле единица разделить на сумму всех сопротивлений ветви.

G 1 = См

G 2 = См

G 3 = См

G 4 = См

4) Определяем напряжение между двумя узлами, в эту формулу Е входит со знаком "плюс" если она направлена к узлу А и со знаком "минус" , если от узла

∙

5) Записываем токи ветвей

I 1 =(E 1 -U AB)∙G 1

I 2 =(E 1 -U AB)∙G 2

I 3 =(-E 3 -U AB)∙G 3

I 4 =(-U AB)∙G 4

6) Меняем направлен отрицательных токов (I 3 , I 4)

Пример решения задачи

E 1 =120 В

E 8 =128 В

R i 1 =1 Ом

R 1 =10 Ом

R 2 =19 Ом

R 3 =40 Ом

R 4 =3 Ом

R 5 =20 Ом

Найти: I 1-5 =?

G 1

G 2

G 3

U AB =

I 1 =(E 1 -U АВ)∙G 1 =(120-108)∙ = = =0,8A

I 2 =(E 2 -U АВ)∙G 2 =(128-108)∙ =1A

I 3 =- U АВ ∙G 3 =(-108)∙

I 3 " =1,8A

Ответ:I 1 = I i1 =0,8A

I 2 =1A

I 3 =I 5 =1,8A

Тестовые задания:

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Этим методом удобно рассчитывать ток в одной ветви, особенно, если сопротивление этой ветви меняется.

Цель называется активной, если она содержит внутри себя источники или усилительные элементы и пассивной, если нет (R, L, C).

Согласно теории об эквивалентном генераторе любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным ЭДС с эквивалентным внутренним сопротивлением.

Схема с активным двухполюсником из нее следует

Чтобы найти Е э надо разомкнуть ветвь АВ и найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви.

Пример решения задачи методом эквивалентного генератора.

U АВ = U хх = Е э

E 1 = 15 B

E 2 = 5 B

R 1 = 3 Ом

R 2 = 5 Ом

R 3 = 19,6 Ом

R i = 1 Ом

Обходим контур, который замыкается через U AB по второму закону Кирхгофа.

E 2 = - I xx ∙(R 2 + R i2) + U AB

5 = - 6 + U AB

U AB = 11 B

U AB =Eэ = 11 В

Чтобы найти R э надо разомкнуть ветвь АВ, исключить все ЭДС, оставив их внутренне сопротивление и рассчитать входное сопротивление цепи по отношению к зажимам разомкнутой ветви.

R i 1 , 1 =R i 1 +R 1 =1+3=4 ОМ

R i 2,2 =R i 2 +R 2 =1+5=6 Ом

I 3 = A

E 1 =150B

E 2 =10 B

E 3 = 80B

R i1 =R i2 = R i3 =1Ом

R 1 =10 Ом

R 2 =118 Ом

R 3 =29 Ом

R 4 =80 Ом

R 5 =20 Ом

Пример решения задачи.

E 3 -E 2 =-I xx (R i3 +R 2 +R i2)+U AB

80-10=-0,5∙120+U AB

U AB =130B

E э =U AB =130B

R i1,1-3 =R 1 +R i1 +R 3 =10+1+29=40Ом

R i 2,2-3 =1+118+1=120Ом

I 5 =

ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИТЕЛЬ

Активные элементы - это источники и усилительные элементы.

Пассивные - резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы.

Операционный усилитель - активный резистивный элемент, который выполняет в технике связи основной усилительный эффект. Представляет собой то или иное число транзисторов (до 20) и резисторов. Выполняется в виде интегральных микросхем.

Схемное изображение операционного усилителя:

Операционный усилитель имеет 8 выводов: 2 входных, 1 выходной, 1 заземлённый и 2 для регулировки, 2 источника питания. Напряжение питания 12-15 В .

Достоинства:

1) очень высокий коэффициент усиления μ = 10 4 - 10 5 ;

2) очень высокое входное сопротивление R вх = 10 5 и выше;

3) маленькое выходное сопротивление R вых = единицы Ом.

Неинвертируемый (положительный) вход операционного усилителя - это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение той же полярности.

Инвертируемый (отрицательный) вход операционного усилителя - это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение другой полярности.

Работа операционного усилителя сводится к тому, что напряжение источника питания преобразуется по закону входного напряжения, но напряжение на выходе не может быть больше, чем напряжение источника питания. Поэтому, если операционный усилитель работает без обратной связи, то на его выходе всегда будет сигнал прямоугольной формы, равный напряжению источника питания.

Схема включения операционного усилителя без обратной связи:

Понятие об обратной связи

Обратная связь - это цепи, через которые часть напряжения с выхода четырёхполюсника снова подаётся на вход того же четырехполюсника.

ООС - отрицательная обратная связь - это когда выходное напряжение подаётся на вход со знаком противоположным знаку входного.

ПОС - когда выходное напряжение подаётся на вход с тем же знаком, что и знак входного напряжения.

Операционный усилитель всегда работает с глубокой отрицательной обратной связью. Поэтому его коэффициент передачи уменьшается, но зато улучшаются его другие свойства (стабильность, полоса пропускания).

Схема операционного усилителя с обратной связью:

R вх = R 1

R обр.св. = R 2

Тестовые задания:

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ