Игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистической , если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить a - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = - a , поэтому достаточно рассматривать, например, a .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре).

Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В своей работе я буду рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.

Для того, чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности , т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такиестратегии называются оптимальными . Оптимальные стратегии должны так же удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Цель теории игр : определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми . Это название объясняется следующей возможностью описания игр такого рода. Составляем прямоугольную таблицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы – стратегиям второго, а клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют ситуациям игры. Если поставить в каждую клетку выигрыш первого игрока в соответствующей ситуации, то получим описание игры в виде некоторой матрицы. Эта матрица называется матрицей игры или матрицей выигрышей .

Одна и та же конечная антагонистическая игра может быть описана различными матрицами, отличающимися друг от друга лишь порядком строк и столбцов.

Рассмотрим игру m x n с матрицей Р = (a ij), i = 1,2, ... , m;j = 1,2, ... , n и определим наилучшую среди стратегий A 1 , А 2 , …, А m . Выбирая стратегию А i игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий B j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ). Обозначим через a i , наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.

a i = a ij , j = 1,..., n .

Среди всех чисел a i (i = 1,2, ... , m ) выберем наибольшее. Назовем a нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно, , i = 1,... , m ; j = 1,..., n

Стратегия, соответствующая максимину, называется максимальной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрокаА ; выбирая стратегию B j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А .

Обозначим: β i = a ij , i = 1,... , m

Среди всех чисел B j выберем наименьшее и назовем β верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В .

Следовательно, i = 1,... , m ; j = 1,..., n.

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Лекция 4

Тема: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР»

Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в ко­торых необходимо принимать решения в условиях неопределен­ности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) сторо­ны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуа­ции, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих при­мерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптималь­ные решения, которые реализуют поставленные цели в наиболь­шей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неиз­вестные заранее решения, которые эти партнеры будут прини­мать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разра­ботаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр .

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математи­ческая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, - игрокам и, а исход конфликта - выигрышем . Для каждой формализованной игры вводятся правил а, т.е. система условий, определяющая:

1) варианты действий игро­ков;

2) объем информации каждого игрока о поведении партне­ров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность дей­ствий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, вы­игрыш - единицей, а ничью - 1/2.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рас­сматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем пони­мать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистиче­ско й, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одно­го из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а , поэтому достаточно рассматривать, например а .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правила­ми действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной иг­ре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (напри­мер, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, опреде­ляющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимо­сти от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каж­дом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкрет­ной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуа­цию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечно й, если у каждого игрока имеется конечное число страте­гий, ибесконечной - в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовле­творяет условию оптимальност и, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратеги и называются оптимальным. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной пар­тии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естест­венно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономи­ке, как правило, возникают задачи, в которых интересы партне­ров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими не­противоречивые интересы, выходит за рамки лекции.

Платежная матрица.

Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим . Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их . Говорят, что игра имеет размерность т х п . В результате выбора игроками любой пары стратегий и однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш игрока В . Предположим, что значения известны для любой пары страте­гий . Матрица Р=(), i = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ..., п , эле­ментами которой являются выигрыши, соответствующие страте­гиям и , называется платежной матрицей или матрицей игры . Общий вид такой матрицы представлен в таблице:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Строки этой таблицы соот­ветствуют стратегиям игрока А , а столбцы - стратегиям игрока В .

Пример .Составить платежную мат­рицу для следующей игры. Игра "поиск".

Игрок А может прятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А , и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А , в противном слу­чае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение . Для составления платежной матрицы следует про­анализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через или в убежище II - стратегия .

Игрок В может искать первого игрока в убежище I - стратегия , либо в убежище II - стратегия . Если игрок А находится в убе­жище I и там его обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий то игрок А платит штраф, т.е. . Аналогич­но получаем . Очевидно, что стратегии и дают игроку А выигрыш 1, поэтому . Таким образом, для игры "поиск " размера 2х2 получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру т п с матрицей , i =1, 2, ..., т ; j =1, 2, ..., п и определим наилучшую среди стратегий . Выбирая стратегию игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий , для которой выигрыш для иг­рока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ).

Обозначим через , наименьший выигрыш игрока А при вы­боре им стратегии , для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -и строке платежной матрицы), т.е.

, j =1,…n . (1)

Среди всех чисел выберем наибольшее: . Назовем нижней ценой игры, илимаксимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно,

. (2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А ; выбирая стратегию , он учитывает макси­мально возможный при этом выигрыш для А . Обозначим

Среди всех чисел выберем наименьшее , и назовемверхней ценой игры илиминимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В . Следова­тельно,

(4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимакс­ной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Пример. Определить нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в игре «Поиск ». Рассмотрим платежную матрицу:

При выборе стратегии (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен и соответству­ет стратегии игрока В . При выборе стратегии (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен , он достигается при стратегии .

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии иг­рока В, т.е. нижнюю цену игры , игрок А может выбирать любую стратегию: или , т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию (столбец 1), игрок В понимает, что иг­рок А ответит стратегией , чтобы максимизировать свой выиг­рыш (проигрыш В ). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выбореим стратегии равен max (-l; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А ) при выборе им стратегии (столбец 2) равен .

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантирован­ный минимальный проигрыш игрока В равен - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу строкой и столбцом ,получим новую таблицу:

	-1		-1
		-1	-1
		1

На пе­ресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А 1 , А 2 , …,А m . Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их В 1 ,В 2 , …, В n . Говорят, что игра имен размерность mn . В результате выбора игроками любой пары стратегий

A i и B i (I = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n )

однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш a ij игрока A (положительный или отрицательный) и проигрыш (- a ij ) игрока В . Предположим, что значения a ij известны для любой пары стратегий (Ai, Bj ). Матрица Р = (а ij ), i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A i и B j , называется платёжной матрицей или матрицей игры . Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А , а столбцы - стратегиям игрока В .

Составим платёжную матрицу для следующей игры.

Таблица 1

А j B i
				a 1n
				a 2n
	a m 1			a mn

1. Игра «поиск».

Игрок А может спрятаться в одном из убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А , и если найдёт, то получает штраф 1 ден. ед. от А , в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платёжную матрицу игры.

Решение. Для составления платёжной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через А 1 или в убежище II - стратегия А 2 .

Игрок В может искать первого игрока в убежище I - стратегия В 1 , либо в убежище II - стратегия В 2 . Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий (А 1 , В 1), то игрок А платит штраф, т.е. а 11 = -1. аналогично получаем а 22 = -1 (А 2 , В 2). Очевидно, что стратегии (А 1 , В 1) и (А 2 , В 2) дают игроку А выигрыш 1, поэтому а 12 = а 21 = 1.

Начало условия задачи; - окончание решения задачи.

Таким образом, для игры «поиск» размера 2 2 получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру m n с матрицей Р = (а ij ), i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n и определим наилучшую среди стратегий А 1 , А 2 , …, А m . Выбирая стратегию A i , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той из стратегий B j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А ).

Обозначим через а i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии A i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -ой строке платёжной матрицы), т.е.

а ij = i . (1.1)

среди всех чисел? i (i = 1, 2, …, m ) выберем наибольшее: ? = ? i . Назовем? нижней ценой игры , или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

? = a ij . (1.2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А ; выбирая стратегию B j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А . Обозначим

? j = a ij (1.3)

Среди всех чисел? j выберем наименьшее? = ? j и назовем? верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В . Следовательно,

? = a ij . (1.4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в задаче 1. Рассмотрим платёжную матрицу

из задачи 1. При выборе стратегии А 1 (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен? 1 = min(-1;1) = -1 и соответствует стратегии? 1 игрока В . При выборе стратегии А 2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен? 2 = min(1;-1) = -1, он достигается при стратегии В 2 .

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока В , т.е. нижнюю цену игры? = max(? 1 , ? 2) = max(-1;-1) = -1, игрок А может выбирать любую стратегию: А 1 или А 2 , т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию В 1 (столбец 1), игрок В понимает, что игрок А ответит стратегией А 2 , чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В ). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В 1 равен? 1 = max(-1;1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А ) при выборе им стратегии В 2 (столбец 2) равен? 2 = max(1;-1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока В равен? = min (? 1 ; ? 2) = min(1;1) = 1 - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 1 строкой? j и столбцом? i , получим табл. 2. На пресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 2.

А j B i			? i
? j

В задаче 1 , рассмотренной выше, верхняя и нижняя цены игры различны? ? ?.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры? = ? = v называется чистой ценой игры , или ценой игры . Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями , а их совокупность - оптимальным решением , или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В ) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А ) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклонятся от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий А j и B i даёт оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий элемент a ij является одновременно наибольшим в своём столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если оан существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).

Обозначим А * и B * - пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введём функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: Р (А i , B j ) = a ij . Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: Р (А i , B *) ? Р (А * , B * ) ? Р (А * , B j ), которое справедливо для всех i = 1, …, m ; j = 1, …, n . действительно, выбор стратегии А * первым игроком при оптимальной стратегии B * второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: Р (А * , B * ) ? Р (А * , B ).

2. определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платёжной матрицей

Р = 0,9 0,7 0,8

Таблица 3.

А i B j

Имеет ли игра седловую точку?

Решение. Все расчёты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец? i и строка? j (табл. 3). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А ), заполняем столбец? i : ? 1 = 0,5, ? 2 = 0,7, ? 3 = 0,6 - минимальные числа в строках 1, 2, 3. Аналогично? 1 = 0,9, ? 2 = 0,7, ? 3 = 0,8 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно.

Нижняя цена игры? = ? i = max (0,5; 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольшее число в столбце ? i ) и верхняя цена игры? = ? j = min(0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьшее число в строке? j ). Эти значения равны, т.е. ? = ?, и достигаются на одной и той же паре стратегий (А 2 , В 2). Следовательно, игра имеет седловую точку (А 2 , В 2) и цена игры = 0,7.

Рассмотрим игру с матрицей

Буквой i будем обозначать номер нашей стратегии, буквой - номер стратегии противника.

Отбросим вопрос о смешанных стратегиях и будем рассматривать пока только чистые. Поставим задачу: определить наилучшую среди наших стратегий Проанализируем последовательно каждую из них, начиная с и кончая Выбирая мы должны рассчитывать, что противник ответит на нее той из стратегий для которой наш выигрыш минимален. Найдем минимальное из чисел строке и обозначим его

(знак обозначает минимальное значение данного параметра при всех возможных

Выпишем числа (минимумы строк) рядом с матрицей справа в виде добавочного столбца:

Выбирая какую-то стратегию , мы должны рассчитывать на то, что в результате разумных действий противника мы выиграем только Естественно, действуя наиболее осторожно (т. е. избегая всякого риска), мы должны предпочесть другим ту стратегию, для которой число максимально. Обозначим это максимальное значение

или. принимая во внимание формулу (4.1),

Величина а называется нижней ценой игры, иначе - максиминным выигрышем или максимином. Та стратегия игрока А, которая соответствует максимину а, называется максиминной стратегией.

Очевидно, если мы будем придерживаться максиминной стратегии, то нам при любом поведении противника гарантирован выигрыш, во всяком случае, не меньший а. Поэтому величина а и называется «нижней ценой игры». Это - тот гарантированный минимум, который мы можем себе обспечить, придерживаясь своей наиболее осторожной («перестраховочной») стратегии.

Очевидно, аналогичное рассуждение можно провести и за противника В. Он (аинтересован в том, чтобы обратить наш выигрыш в минимум; значит, он должен просмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальное значение выигрыша. Выпишем внизу матрицы (4,2) максимальные значения по столбцам:

и найдем их них минимальное:

(4.4)

Величина называется верхней ценой игры, иначе минимаксным выигрышем или минимаксом. Соответствующая выигрышу стратегия противника называется его минимаксной стратегией. Придерживаясь своей наиболее осторожной минимаксной стратегии, противник гарантирован, что в любом случае он проиграет не больше р.

Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор соответствующих стратегий (максиминной и минимаксной), является в теории игр основным и называется принципом минимакса. Он вытекает из предположения о разумности каждого игрока, стремящегося достигнуть цели, противоположной цели противника. Наиболее «осторожные» максиминную и минимаксную стратегии часто обозначают общим термином «минимаксные стратегии».

Определим нижнюю и верхнюю цены игры, а также минимаксные стратегии, для трех примеров, рассмотренных в предыдущем параграфе.

Пример 1. (Игра «поиск»). Определяя минимумы строк и максимумы столбцов получим

Так как величины , постоянны и равны соответственно -1 и нижняя и верхняя цены игры также равны -1 и

Любая стратегия игрока А является его максиминной, а игрока В - его минимаксной стратегией. Вывод тривиален: придерживаясь любой из своих стратегий, игрок А может гарантировать, что он проиграет не более 1 руб.; то же может гарантировать и игрок В при любой своей стратегии.

Пример 2. (Игра три пальца»). Выписывая минимумы строк и максимумы столбцов, найдем нижнюю цену игры и верхнюю (выделены в таблице жирным шрифтом). Наша максиминная стратегия (применяя ее систематически, мы гарантируем, что выиграем не меньше -3, т. е. проиграем не больше 3).

Минимаксная стратегия противника - любая из стратегий применяя их систематически, он может гарантировать, что не отдаст более 4. Если мы отступим от своей максиминной стратегии (например, выберем А 2), то противник может нас «наказать» за это, применив и сведя наш выигрыш равным образом и отступление противника от его минимаксной стратегии может быть «наказано» увеличением его проигрыша до 6.

Обратим внимание на то, что минимаксные стратегии в данном случае не устойчивы. Действительно, пусть, например, противник выбрал одну из своих минимаксных стратегий и придерживается ее. Узнав об этом, мы перейдем к стратегии и будем выигрывать 4. На это противник ответит стратегией и будет выигрывать 5; на это мы, в свою очередь, ответим стратегией и будем выигрывать 4, и т. д. Таким образом, положение, при котором оба игрока пользуются своими минимаксными стратегиями, является неустойчивым и может быть нарушено поступившими сведениями о стратегии, которую применяет противная сторона. Однако такая неустойчивость наблюдается не всегда; в этом мы убедимся на следующем примере.

Пример 3. (Игра «вооружение и самолет»). Определяем минимумы строк и максимумы столбцов:

В данном случае нижняя цена игры равна верхней:

Минимаксные стратегии являются устойчивыми: если один из игроков придерживается своей минимаксной (максиминной) стратегии, то другой игрок никак не может улучшить свое положение, отступая от своей.

Таким образом, мы видим, что существуют игры, для которых нижняя цена равна верхней:

Эти игры занимают особое место в теории игр и называются играми с седловой точкой. В матрице такой игры существует элемент, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце; такой элемент называется седловой точкой» (по аналогии с седловой точкой на поверхности, где достигается минимум по одной координате и максимум по другой).

Общее значение нижней и верхней цены игры

называется чистой ценой игры.

Седловой точке соответствует пара минимаксных стратегий, эти стратегии называются оптимальными, а их совокупность - решением игры. Решение игры обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной (такое отклонение либо оставит положение неизменным, либо ухудшит его).

Действительно, пусть в игре с седловой точкой игрок А придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок В - своей. До тех пор, пока это так - выигрыш остается постоянным и равным цене игры v. Теперь допустим, что В допустил отклонение от своей оптимальной стратегии. Так как элемент v является минимальным в своей строке, такое отклонение не может быть выгодным для В; равным образом и для А, если В придерживается своей оптимальной стратегии, не может быть выгодно отклонение от своей.

Мы видим, что для игры с седловой точкой минимаксные стратегии обладают устойчивостью. Пара оптимальных стратегий в игре с седловой точкой является как бы положением равновесия: отклонение от оптимальной стратегии вызывает такое изменение выигрыша, которое невыгодно для отклоняющегося игрока и вынуждает его вернуться к своей оптимальной стратегии.

Чистая цена игры v в игре с седловой точкой является тем значением выигрыша, которое в игре против разумного противника игрок А не может увеличить, а игрок В - уменьшить.

Заметим, что в платежной матрице может быть не одна седловая точка, а несколько.

Например, в матрице имеется шесть седловых точек, с общим значением выигрыша и соответствующими парами оптимальных стратегий: Нетрудно доказать (мы этого делать не будем), что если в матрице игры несколько седловых точек, то все они дают одно и то же значение выигрыша.

Пример. Сторона А - средства ПВО - обороняет от воздушного налета участок территории, располагая двумя орудиями № 1 и № 2, зоны действия которых не перекрываются (рис. 9.1). Каждое орудие может обстрелять только самолет, проходящий через его зону действия, но для этого оно должно заранее (до входа цели в зону) следить за ней и вырабатывать прицельные данные Если цель обстреляна, она поражается с вероятностью Сторона В располагает двумя самолетами, каждый из которых может быть направлен в любую зону В момент, когда сторона А осуществляет целераспределение (назначает, какому орудию по какой цели стрелять), движение самолета-цели № 1 направлено в зону действия орудия № 1, а цели № 2 - в зону действия орудия № 2. Однако после принятия решения по целераспределению каждая цель может сманеврировать, применив «обманный маневр» (см. пунктирные стрелки на рис 9.1).

Задача стороны А - обратить в максимум, а стороны В - обратить в минимум число пораженных целей Найти решение игры (оптимальные стратегии сторон)

Решение. У стороны А (средства ПВО) четыре возможные стратегии - каждое орудие следит за направляющейся в его зону целью,

Орудия следят за целями «крест-накрест» (каждое - за целью направляющейся к соседу),

Оба орудия следят за целью № 1,

Оба орудия следят за целью № 2 У стороны В (самолеты-цели) тоже четыре стратегии:

Обе целн не меняют направления,

Обе цели применяют обманный маневр.

Первая цель применяет обманный маневр, а вторая нет,

Вторая цель применяет обманный маневр, а первая нет.

Получается игра 4X4, матрица которой дана в таблице:

Находя минимумы строк и максимумы столбцов, убеждаемся, что нижняя цена игры равна верхней цене игры: значит, игра имеет седловую точку и решение в чистых стратегиях, приводящее к чистой цене игры . В данном случае седловых точек не одна, а целых четыре Каждой из них со ответствует пара оптимальных стратегий, дающая решение игры Цена игры означает, что при оптимальном поведении сторон самолеты будут неизбежно терять один самолет, и никакие ухищрения не помогут им терять меньше, а средствам ПВО - сбить больше одного самолета Достигается это состояние равновесия, когда обе стороны пользуются своими оптимальными стратегиями: орудия следят оба за одним и тем же самолетом (любым), а самолеты направляются после целераспределения в одну и ту же зону (любую)

Класс игр, имеющих седловую точку, весьма интересен как с теоретической, так и с практической точки зрения. К нему принадлежат, в частности, все так называемые «игры с полной информацией».

Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов - как личных, так и случайных. Примерами игр с полной информацией могут служить: шашки, шахматы, известная игра в «крестики и нолики» и др.

В теории игр доказывается, что каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и следовательно, решение в чистых стратегиях. Другими словами, в каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий той и другой стороны, дающая устойчивый выигрыш, равный чистой цене игры. Если игра с полной информацией состоит только из личных ходов, то при применении каждой стороной своей оптимальной стратегии игра должна кончаться всегда вполне определенным исходом, равным цене игры

В качестве примера приведем следующую игру с полной информацией. Два игрока поочередно кладут одинаковые монеты на круглый стол, выбирая произвольно положение монеты (взаимное перекрытие монет не допускается). Выигрывает тот, кто положит последнюю монету (когда места для других уже не останется). Нетрудно убедиться, что исход этой игры предрешен, и существует определенная стратегия, обеспечивающая достоверный выигрыш тому из игроков, кто кладет монету первым. А именно, он должен первый раз положить монету в центр стола, а далее на каждый ход противника отвечать симметричным ходом. Очевидно, как бы ни вел себя противник, ему не избежать проигрыша. Поэтому игра имеет смысл только для лиц, не знающих ее решения. Точно так же дело обстоит с шахматами и другими играми с полной информацией; любая из этих игр обладает седловой точкой и, значит, решением, указывающим каждому игроку его оптимальную стратегию, так что игра имеет смысл только до тех пор, пока неизвестно решение. Решение шахматной игры не найдено (и в обозримом будущем вряд ли будет найдено) только потому, что число стратегий (комбинаций ходов) в шахматах слишком велико, чтобы можно было построить платежную матрицу и найти в ней седловую точку.

Найдем наилучшую стратегию игрока A , для чего проанализируем последовательно все его стратегии. Выбирая стратегию A i , мы должны рассчитывать, что игрок B ответит на нее такой стратегией B j , для которой выигрыш A будет минимальным. Поэтому среди чисел первой строки выбираем минимальное, обозначим его , запишем его в добавочный столбец. Аналогично для каждой стратегии A i выбираем , т.е. α i – минимальный выигрыш при применении стратегии A i .
В примере 1:
α 1 = min {0, –1, –2} = –2;
α 2 = min {1, 0, –1} = –1;
α 3 = min {0, –1, –2} = 0.
Эти числа запишем в добавочном столбце. Какую же стратегию должен выбрать игрок A ? Конечно же, ту стратегию, для которой α i максимально. Обозначим . Это гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок A , т.е. ; этот выигрыш называется нижней ценой игры или максимином . Стратегия A i , обеспечивающая получение нижней цены игры, называется максиминной (перестраховочной). Если игрок A будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш ≥α при любом поведении игрока B .
В примере 1 . Это означает, что если A будет писать «3», то он хотя бы не проиграет. Игрок B заинтересован уменьшить выигрыш A . Выбирая стратегию B 1 , он из соображений осторожности учитывает максимально возможный при этом выигрыш A . Обозначим . Аналогично при выборе стратегии B j максимально возможный выигрыш A– ; запишем эти числа в добавочной строке. Чтобы уменьшить выигрыш A , надо из чисел β j выбрать наименьшее . Число называется верхней ценой игры или минимаксом . Это гарантированный проигрыш игрока B (т. е. он проиграет не больше, чем β). Стратегия игрока B , обеспечивающая выигрыш ≥ - β, называется его минимаксной стратегией.
В примере 1:
;
;
;
.
Это означает, что оптимальная стратегия B – писать «3», тогда он хотя бы не проиграет.

B A	B 1	B 2	B 3
A 1	0	– 1	–2	–2
A 2	1	0	–1	–1
A 3	2	1	0	0
	2	1	0	0 0

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.
Можно доказать, что , т. е. .
В примере 1 α = β. Если , т.е. минимакс совпадает с максимином, то такая игра называется игрой с седловой точкой . Седловая точка – это пара оптимальных стратегий ( A i , B j ). В примере 1 игра имеет седловую точку (А 3 , B 3 ). В этом случае число α = β называется (чистой) ценой игры (нижняя и верхняя цена игры совпадают). Это означает, что матрица содержит такой элемент, который является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце. В примере 1 это элемент 0. Цена игры равна 0.
Оптимальные стратегии в любой игре обладают важным свойством, а именно – устойчивостью . Это означает, что каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной стратегии, т. к. это ему невыгодно. Отклонение от оптимальной стратегии игрока А приводит к уменьшению его выигрыша, а одностороннее отклонение игрока В – к увеличению проигрыша. Говорят, что седловая точка дает положение равновесия .
Пример 2. Первая сторона (игрок А ) выбирает один из трех типов вооружения – А 1 , А 2 , А 3 , а противник (игрок В ) – один из трех видов самолетов: В 1 , В 2 , В 3 . Цель В – прорыв фронта обороны, цель А – поражение самолета. Вероятность поражения самолета В 1 вооружением А 1 равна 0,5, самолета В 2 вооружением А 1 равна 0,6, самолета В 3 вооружением А 1 равна 0,8 и т.д., т.е. элемент a ij платежной матрицы – вероятность поражения самолета В j вооружением А i . Платежная матрица имеет вид: Решить игру, т.е. найти нижнюю и верхнюю цену игры и оптимальные стратегии.
Решение. В каждой строке находим минимальный элемент и записываем его в добавочном столбце. В каждом столбце находим максимальный элемент и записываем его в добавочной строке.

В А	В 1	В 2	В 3	α i
А 1	0,5	0,6	0,8	0,5
А 2	0,9	0,7	0,8	0,7
А 3	0,7	0,5	0,6	0,5
β j	0,9	0,7	0,8	0,7 0,7

В добавочном столбце находим максимальный элемент = 0,7, в добавочной строке находим минимальный элемент = 0,7.
Ответ: = 0,7. Оптимальные стратегии – А 2 и В 2 .

Пример 3 . Игра в орлянку. Каждый игрок при своем ходе может выбирать одну из двух стратегий: орел или решка. При совпадении выбранных стратегий А получает выигрыш +1, при несовпадении B получает выигрыш 1 (т. е. А получает выигрыш –1). Платежная матрица:
Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли игра седловую точку?

Решение.

В А	В 1	В 2
А 1	1	-1	-1
А 2	-1	1	1
	1	1	-1 1

α = -1, β = 1, т. е. А проиграет не больше 1, и B проиграет не больше 1. Так как α ≠ β, игра не имеет седловой точки. Положения равновесия в этой игре не существует, и оптимального решения в чистых стратегиях найти нельзя.

Пример . Найдите нижнюю цену игру, верхнюю цену игры, определите седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют).