Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Материалы к лекционному курсу
Лектор – ст. преп. Щербаков И.Н.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Постановка задачи

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка называется следующее уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x):

Здесь y (n) обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x – это независимая переменная.

В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):

Именно такая форма записи принята в качестве стандартной при рассмотрении численных методов решения ОДУ.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно функции y(x) и всех ее производных.

Например, ниже приведены линейные ОДУ первого и второго порядков

Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения .

Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных констант C 1 , C 2 , …, C n

Это очевидно следует из того, что неопределенный интеграл равен первообразной подынтегрального выражения плюс константа интегрирования

Так как для решения ДУ n -го порядка необходимо провести n интегрирований, то в общем решении появляется n констант интегрирования.

Частное решение ОДУ получается из общего, если константам интегрирования придать некоторые значения, определив некоторые дополнительные условия, количество которых позволяет вычислить все неопределенные константы интегрирования.

Точное (аналитическое) решение (общее или частное) дифференциального уравнения подразумевает получение искомого решения (функции y(x)) в виде выражения от элементарных функций. Это возможно далеко не всегда даже для уравнений первого порядка.

Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функции y(x) и ее производных в некоторых заданных точках , лежащих на определенном отрезке. То есть, фактически, решение ДУ n -го порядка вида получается в виде следующей таблицы чисел (столбец значений старшей производной вычисляется подстановкой значений в уравнение):

Например, для дифференциального уравнения первого порядка таблица решения будет представлять собой два столбца – x и y .

Множество значений абсцисс в которых определяется значение функции, называют сеткой , на которой определена функция y(x) . Сами координаты при этом называют узлами сетки . Чаще всего, для удобства, используются равномерные сетки , в которых разница между соседними узлами постоянна и называется шагом сетки или шагом интегрирования дифференциального уравнения

Или , i = 1, …, N

Для определения частного решения необходимо задать дополнительные условия, которые позволят вычислить константы интегрирования. Причем таких условий должно быть ровно n . Для уравнений первого порядка – одно, для второго - 2 и т.д. В зависимости от способа их задания при решении дифференциальных уравнений существуют три типа задач:

· Задача Коши (начальная задача): Необходимо найти такое частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке :

то есть, задано определенное значение независимой переменной (х 0) , и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка (х 0) называется начальной . Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x 0 , y 0)

Такого рода задача встречается при решении ОДУ , которые описывают, например, кинетику химических реакций. В этом случае известны концентрации веществ в начальный момент времени (t = 0 ) , и необходимо найти концентрации веществ через некоторый промежуток времени (t ) . В качестве примера можно так же привести задачу о теплопереносе или массопереносе (диффузии), уравнение движения материальной точки под действием сил и т.д.

· Краевая задача . В этом случае известны значения функции и (или) ее производных в более чем одной точке, например, в начальный и конечный момент времени, и необходимо найти частное решение дифференциального уравнения между этими точками. Сами дополнительные условия в этом случае называются краевыми (граничными ) условиями. Естественно, что краевая задача может решаться для ОДУ не ниже 2-го порядка. Ниже приведен пример ОДУ второго порядка с граничными условиями (заданы значения функции в двух различных точках):

· Задача Штурма-Лиувиля (задача на собственные значения). Задачи этого типа похожи на краевую задачу. При их решении необходимо найти, при каких значениях какого-либо параметра решение ДУ удовлетворяет краевым условиям (собственные значения) и функции, которые являются решением ДУ при каждом значении параметра (собственные функции). Например, многие задачи квантовой механики являются задачами на собственные значения.

Численные методы решения задачи Коши ОДУ первого порядка

Рассмотрим некоторые численные методы решения задачи Коши (начальной задачи) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Запишем данное уравнение в общем виде, разрешенном относительно производной (правая часть уравнения не зависит от первой производной):

(6.2)

Необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где есть значение функции y(x) в начальной точке x 0 .

Преобразуем уравнение умножением на d x

И проинтегрируем левую и правую части между i -ым и i+ 1-ым узлами сетки.

(6.3)

Мы получили выражение для построения решения в i+1 узле интегрирования через значения x и y в i -ом узле сетки. Сложность, однако, заключается в том, что интеграл в правой части есть интеграл от неявно заданной функции, нахождение которого в аналитическом виде в общем случае невозможно. Численные методы решения ОДУ различным способом аппроксимируют (приближают) значение этого интеграла для построения формул численного интегрирования ОДУ.

Из множества разработанных для решения ОДУ первого порядка методов рассмотрим методы , и . Они достаточно просты и дают начальное представление о подходах к решению данной задачи в рамках численного решения .

Метод Эйлера

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y ) и независимой (x ) переменных между узлами равномерной сетки:

где y i+1 это искомое значение функции в точке x i+1 .

Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить y i+1 , если известно y i в точке х i :

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка.

Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения () следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=x i - , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=x i .

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти

откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=x i . Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования:

Ошибка ~ h

Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x 0 и y 0 можно вычислить

Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h ) по x на отрезке . Ошибка в определении значения y(x i) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).

При больших h метод Эйлера весьма неточен. Он дает все более точное приближение при уменьшении шага интегрирования. Если отрезок слишком велик, то каждый участок разбивается на N отрезков интегрирования и к каждому их них применяется формула Эйлера с шагом , то есть шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.

Пример:

Используя метод Эйлера, построить приближенное решение для следующей задачи Коши:

На сетке с шагом 0,1 в интервале (6.5)

Решение:

Данное уравнение уже записано в стандартном виде, резрешенном относительно производной искомой функции.

Поэтому, для решаемого уравнения имеем

Примем шаг интегрирования равным шагу сетки h = 0,1. При этом для каждого узла сетки будет вычислено только одно значение (N=1 ). Для первых четырех узлов сетки вычисления будут следующими:

Полные результаты (с точностью до пятого знака после запятой) приведены в в третьей колонке - h =0,1 (N =1). Во второй колонке таблицы для сравнения приведены значения, вычисленные по аналитическому решению данного уравнения .

Во второй части таблицы приведена относительная погрешность полученных решений. Видно, что при h =0,1 погрешность весьма велика, достигая 100% для первого узла x =0,1.

Таблица 1 Решение уравнения методом Эйлера (для колонок указан шаг интегрирования и число отрезков интегрирования N между узлами сетки)

x	Точное решение	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
		1	2	4	16	64	128	512
0	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000
0,1	0,004837	0,000000	0,002500	0,003688	0,004554	0,004767	0,004802	0,004829
0,2	0,018731	0,010000	0,014506	0,016652	0,018217	0,018603	0,018667	0,018715
0,3	0,040818	0,029000	0,035092	0,037998	0,040121	0,040644	0,040731	0,040797
0,4	0,070320	0,056100	0,063420	0,066920	0,069479	0,070110	0,070215	0,070294
0,5	0,106531	0,090490	0,098737	0,102688	0,105580	0,106294	0,106412	0,106501
0,6	0,148812	0,131441	0,140360	0,144642	0,147779	0,148554	0,148683	0,148779
0,7	0,196585	0,178297	0,187675	0,192186	0,195496	0,196314	0,196449	0,196551
0,8	0,249329	0,230467	0,240127	0,244783	0,248202	0,249048	0,249188	0,249294
0,9	0,306570	0,287420	0,297214	0,301945	0,305423	0,306284	0,306427	0,306534
1	0,367879	0,348678	0,358486	0,363232	0,366727	0,367592	0,367736	0,367844
Относительные погрешности вычисленных значений функции при различных h
x	h	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
	N	1	2	4	16	64	128	512
0,1		100,00%	48,32%	23,76%	5,87%	1,46%	0,73%	0,18%
0,2		46,61%	22,55%	11,10%	2,74%	0,68%	0,34%	0,09%
0,3		28,95%	14,03%	6,91%	1,71%	0,43%	0,21%	0,05%
0,4		20,22%	9,81%	4,83%	1,20%	0,30%	0,15%	0,04%
0,5		15,06%	7,32%	3,61%	0,89%	0,22%	0,11%	0,03%
0,6		11,67%	5,68%	2,80%	0,69%	0,17%	0,09%	0,02%
0,7		9,30%	4,53%	2,24%	0,55%	0,14%	0,07%	0,02%
0,8		7,57%	3,69%	1,82%	0,45%	0,11%	0,06%	0,01%
0,9		6,25%	3,05%	1,51%	0,37%	0,09%	0,05%	0,01%
1		5,22%	2,55%	1,26%	0,31%	0,08%	0,04%	0,01%

Уменьшим шаг интегрирования вдвое, h = 0.05, в этом случае для каждого узла сетки вычисление будет проводиться за два шага (N =2). Так, для первого узла x =0,1 получим:

(6.6)

Данная формула оказывается неявной относительно y i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравением относительно y i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначи и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы :

,

которое затем использовать при вычислении по (6.6).

Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений

(6.7)

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

Ошибка ~ h 2

Подход, использованный в методе Гюна, используется для построения так называемых методов прогноза и коррекции , которые будут рассмотрены позже.

Пример:

Проведем вычисления для уравения () с помощью метода Гюна.

При шаге интегрирования h =0,1 в первом узле сетки x 1 получим:

Что намного точнее значения, полученного методом Эйлера при том же шаге интегрирования. В таблице 2 ниже приведены сравнительные результаты вычислений при h = 0,1 методов Эйлера и Гюна.

Таблица 2 Решение уравнения методами Эйлера и Гюна

x	Точное	Метод Гюна		Метод Эйлера
		y	отн. погрешность	y	отн. погрешность
0	0,000000	0,00000		0,00000
0,1	0,004837	0,00500	3,36%	0,00000	100,00%
0,2	0,018731	0,01903	1,57%	0,01000	46,61%
0,3	0,040818	0,04122	0,98%	0,02900	28,95%
0,4	0,070320	0,07080	0,69%	0,05610	20,22%
0,5	0,106531	0,10708	0,51%	0,09049	15,06%
0,6	0,148812	0,14940	0,40%	0,13144	11,67%
0,7	0,196585	0,19721	0,32%	0,17830	9,30%
0,8	0,249329	0,24998	0,26%	0,23047	7,57%
0,9	0,306570	0,30723	0,21%	0,28742	6,25%
1	0,367879	0,36854	0,18%	0,34868	5,22%

Отметим существенное увеличение точности вычислений метода Гюна по сравнению с методом Эйлера. Так, для узла x =0,1 относительное отклонение значения функции, определенного методом Гюна, оказывается в 30 (!) раз меньше. Такая же точность вычислений по формуле Эйлера достигается при числе отрезков интегрирования N примерно 30. Следовательно, при использовании метода Гюна при одинаковой точности вычислений понадобится примерно в 15 раз меньше времени ЭВМ, чем при использовании метода Эйлера.

Проверка устойчивости решения

Решение ОДУ в некоторой точке x i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y i ) – с шагом интегрирования h и при уменьшенной (например, двое) величине шага

В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования (ε – наперед заданная малая величина)

Такая проверка может осуществляться и для всех решений на всем интервале значений x . Если условие не выполняется, то шаг снова делится пополам и находится новое решение и т.д. до получения устойчивого решения.

Методы Рунге-Кутты

Дальнейшее улучшение точности решения ОДУ первого порядка возможно за счет увеличения точности приближенного вычисления интеграла в выражении .

Мы уже видели, какое преимущество дает переход от интегрирования по формуле прямоугольников () к использованию формулы трапеций () при аппроксимации этого интеграла.

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона , можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

Достоинством многошаговых методов Адамса при решении ОДУ заключается в том, что в каждом узле рассчитывается только одно значение правой части ОДУ - функции F(x,y ). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k -шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x 1 , x 2 , …, x k-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений -- изучение функций, являющихся решениями таких уравнений.

Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных более сложная и рассматривается в более полных или специальных курсах математики.

Изучение дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения--уравнения первого порядка.

Уравнение вида

F(x,y,y") = 0,(1)

где х -- независимая переменная; у -- искомая функция; у" -- ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у", то оно принимает вид

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде f (х, у) dх - dy = 0, являющемся частным случаем более общего уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O,(3)

где Р(х,у) и Q(х,у) -- известные функции. Уравнение в симметричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Дадим два основных определения общего и частного решения уравнения.

Общим решением уравнения (2) в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=ц(х,С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях y x=x0 =y 0 таких, что (x 0 ;y 0)=G, существует единственное значение постоянной С = С 0 такое, что функция у=ц(х,С 0) удовлетворяет данным начальным условиям у=ц(х 0 ,С).

Частным решением уравнения (2) в области G называется функция у=ц(х,С 0), которая получается из общего решения у=ц(х,С) при определенном значении постоянной С=С 0 .

Геометрически общее решение у=ц(х,С) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение у=ц(х,С 0) -- одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х 0 ; у 0).

Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Суть этого метода состоит в том, что искомая интегральная кривая, являющаяся графиком частного решения, приближенно заменяется ломаной. Пусть даны дифференциальное уравнение

и начальные условия y |x=x0 =y 0 .

Найдем приближенно решение уравнения на отрезке [х 0 ,b], удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Разобьем отрезок [х 0 ,b] точками х 0 <х 1 ,<х 2 <...<х n =b на n равных частей. Пусть х 1 --х 0 =х 2 -- x 1 = ... =x n -- x n-1 = ?x. Обозначим через y i приближенные значения искомого решения в точках х i (i=1, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения х i - прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Подставим значения х 0 и у 0 в правую часть уравнения y"=f(x,y) и вычислим угловой коэффициент y"=f(x 0 ,y 0) касательной к интегральной кривой в точке (х 0 ;у 0). Для нахождения приближенного значения у 1 искомого решения заменяем на отрезке [х 0 ,x 1 ,] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х 0 ;у 0). При этом получаем

y 1 - y 0 =f(x 0 ;y 0)(x 1 - x 0),

откуда, так как х 0 , х 1 , у 0 известны, находим

y1 = y0+f(x0;y0)(x1 - x0).

Подставляя значения х 1 и y 1 , в правую часть уравнения y"=f(x,y), вычисляем угловой коэффициент y"=f(x 1 ,y 1) касательной к интегральной кривой в точке (х 1 ;y 1). Далее, заменяя на отрезке интегральную кривую отрезком касательной, находим приближенное значение решения у 2 в точке х 2:

y 2 = y 1 +f(x 1 ;y 1)(x 2 - x 1)

В этом равенстве известными являются х 1 , у 1 , х 2 , а у 2 выражается через них.

Аналогично находим

y 3 = y 2 +f(x 2 ;y 2) ?x, …, y n = y n-1 +f(x n-1 ;y n-1) ?x

Таким образом, приближенно построена искомая интегральная кривая в виде ломаной и получены приближенные значения y i искомого решения в точках х i . При этом значения у i вычисляются по формуле

y i = y i-1 +f(x i-1 ;y i-1) ?x (i=1,2, …, n).

Формула и является основной расчетной формулой метода Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность?x.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Степень точности метода Эйлера, вообще говоря, невелика. Существуют гораздо более точные методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Определение дифференциального уравнения Эйлера. Рассмотрены методы его решения.

Содержание

Дифференциальное уравнение Эйлера - это уравнение вида
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ... + a n-1 xy′ + a n y = f(x) .

В более общем виде уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
..........................

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
........................
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть k i - кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть k i - кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень k i через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
..............................
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Решить уравнения:


Решение примеров > > >

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n - 1 раз. Получаем выражения для n - 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n - 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Решить уравнение:

Решение > > >

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Если неоднородная часть имеет определенный вид, то получить общее решение проще, найдя частное решение неоднородного уравнения. К такому классу относятся уравнения вида:
(4)
,
где - многочлены от степеней и , соответственно.

В этом случае проще сделать подстановку
,
и решать

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y (x). Их можно записать в виде

Где х - независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.

Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение в окрестностях узлов (i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную правой разностью. При этом значения функции узлах заменим значениями сеточной функции:

Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене на допускается погрешность.

Заметим, что из уравнения следует

Поэтому представляет собой приближенное нахождение значение функции в точке при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.

Полагая i=0, с помощью соотношения находим з значение сеточной функции при:

Требуемое здесь значение задано начальным условием, т.е.

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

Построенный алгоритм называется методом Эйлера

Рисунок - 19 Метод Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке. Изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках. Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения. При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А (x 0 ,y 0). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной. Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х 0 к х 1 заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.

Численное решение дифференциальных уравнений

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:

Где x – независимая переменная, - i-ая производная от искомой функции. n - порядок уравнения. Общее решение ОДУ n–го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение имеет вид .

Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши :

Примеры краевых задач :

Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи . Найти решение ОДУ первого порядка

На отрезке при условии

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки промежутка [x 0 , x n ].

Целью является построение таблицы

x i				x n
y i				y n

т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке , получим

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

,

то получим явную формулу Эйлера :

Порядок расчетов:

Зная , находим , затем т.д.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера :

Пользуясь тем, что в точке x 0 известно решение y (x 0) = y 0 и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке :. При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y (x 1) решенияy (x ) задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой x = x 1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой x = x 2), получим приближенное значение y (x ) в точке x 2: и т.д. В итоге для i –й точки получим формулу Эйлера.

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Если использовать формулу правых прямоугольников: , то придем к методу

Этот метод называют неявным методом Эйлера , поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

В данном методе вычисление состоит из двух этапов:

Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p –го порядка заключается в получении приближений к значениям y (x i +1) по формуле вида

…………………………………………….

Здесь a n , b nj , p n , – некоторые фиксированные числа (параметры).

При построения методов Рунге–Кутты параметры функции (a n , b nj , p n ) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности :

Пример . Решить задачу Коши:

Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.

Точное решение:

Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера:

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

Расчетные формулы метода Рунге – Кутта:

y1 – метод Эйлера, y2 – модифицированный метод Эйлера, y3 – метод Рунге Кутта.

Видно, что самым точным является метод Рунге – Кутта.

Численные методы решения систем ОДУ первого порядка

Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Покажем это для случая системы двух уравнений первого порядка:

Явный метод Эйлера:

Модифицированный метод Эйлера:

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

К решению систем уравнений ОДУ сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка

Введем вторую неизвестную функцию . Тогда задача Коши заменяется следующей:

Т.е. в терминах предыдущей задачи: .

Пример. Найти решение задачи Коши :

На отрезке .

Точное решение:

Действительно:

Решим задачу явным методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и Рунге – Кутта с шагом h=0.2.

Введем функцию .

Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

Явный метод Эйлера:

Модифицированный метод Эйлера:

Метод Рунге – Кутта:

Схема Эйлера:

Модифицированный метод Эйлера:

Схема Рунге - Кутта:

Max(y-y теор)=4*10 -5

Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ

Постановка задачи : найти решение линейного дифференциального уравнения

удовлетворяющего краевым условиям:. (2)

Теорема. Пусть . Тогда существует единственное решение поставленной задачи.

К данной задаче сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.

Основные этапы метода конечных разностей:

1) область непрерывного изменения аргумента () заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами: .

2) Искомая функция непрерывного аргумента x, приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, т.е. . Функция называется сеточной.

3) Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена называется разностной аппроксимацией.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений.

Аппроксимация производных.

Для аппроксимации (замены) первой производной можно воспользоваться формулами:

- правая разностная производная,

- левая разностная производная,

Центральная разностная производная.

т.е., возможно множество способов аппроксимации производной.

Все эти определения следуют из понятия производной как предела: .

Опираясь на разностную аппроксимацию первой производной можно построить разностную аппроксимацию второй производной:

Аналогично можно получить аппроксимации производных более высокого порядка.

Определение. Погрешностью аппроксимации n- ой производной называется разность: .

Для определения порядка аппроксимации используется разложение в ряд Тейлора.

Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой производной:

Т.е. правая разностная производная имеет первый по h порядок аппроксимации.

Аналогично и для левой разностной производной.

Центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации .

Аппроксимация второй производной по формуле (3) также имеет второй порядок аппроксимации.

Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями. Рассмотрим задачу (1), (2) и заменим в(1) производные:

В результате получим:

(4)

Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т.к. вторая и первая производные заменены с порядком 2, а остальные – точно.

Итак, вместо дифференциальных уравнений (1), (2) получена система линейных уравнений для определения в узлах сетки.

Схему можно представить в виде:

т.е., получили систему линейных уравнений с матрицей:

Данная матрица является трехдиагональной, т.е. все элементы, которые расположены не на главной диагонали и двух прилегающих к ней диагоналях равны нулю.

Решая полученную систему уравнений, мы получим решение исходной задачи.