Kako nacrtati kubičnu parabolu. Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Parabola. Graf kvadratne funkcije () je parabola. Razmotrimo kanonski slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Domen definicije je bilo koji realan broj (bilo koja vrijednost “x”). šta to znači? Koju god tačku na osi da izaberemo, za svako "x" postoji parabola tačka. Matematički se piše ovako: . Domen definicije bilo koje funkcije standardno se označava sa ili . Slovo označava skup realnih brojeva ili, jednostavnije, "bilo koji X" (kada se rad piše u bilježnici, ne pišu kovrčavo, već podebljano slovo R).

Raspon je skup svih vrijednosti koje varijabla "y" može uzeti. IN u ovom slučaju: – skup svih pozitivnih vrijednosti, uključujući nulu. Raspon vrijednosti standardno se označava sa ili .

Funkcija je čak Ako je funkcija parna, tada je njen graf simetričan u odnosu na os. Ovo je vrlo korisno svojstvo koje značajno pojednostavljuje konstrukciju grafa, kao što ćemo uskoro vidjeti. Analitički, parnost funkcije se izražava uslovom. Kako provjeriti paritet bilo koje funkcije? Umjesto toga trebate zamijeniti . U slučaju parabole, provjera izgleda ovako: to znači da je funkcija parna.

Funkcija nije ograničeno odozgo. Analitički svojstvo se zapisuje na sljedeći način: . Ovdje je, inače, primjer geometrijskog značenja granice funkcije: ako idemo duž osi (lijevo ili desno) do beskonačnosti, onda će grane parabole (što znači "Y") ići će naviše na neodređeno vrijeme do "plus beskonačnosti".

At proučavanje granica funkcija Preporučljivo je razumjeti geometrijsko značenje granice.

Nije slučajno što sam tako detaljno opisao svojstva funkcije sve gore navedene stvari je korisno znati i zapamtiti prilikom konstruiranja grafova funkcija, kao i prilikom proučavanja grafova funkcija.

Primjer 2

Grafikujte funkciju .

U ovom primjeru ćemo pogledati važno tehničko pitanje: Kako brzo izgraditi parabolu? U praktičnim zadacima, potreba za crtanjem parabole javlja se vrlo često, posebno kada se izračunava površina figure pomoću određenog integrala. Stoga je preporučljivo naučiti kako brzo završiti crtež, uz minimalan gubitak vremena. Predlažem sljedeći algoritam konstrukcije.

Prvo nalazimo vrh parabole. Da biste to učinili, uzmite prvi izvod i izjednačite ga sa nulom:

Ako ste loši s izvedenicama, trebali biste pročitati lekciju Kako pronaći derivat?

Dakle, rješenje naše jednačine: – u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Izračunavamo odgovarajuću vrijednost "Y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Ovaj konstruktivni algoritam se figurativno može nazvati "šatlom". Možda svi ne razumiju suštinu šatla, a za poređenje vas podsjećam na poznatu TV emisiju "naprijed i naprijed s Anfisom Čehovom".

Napravimo crtež:

Iz pregledanih grafikona, još jedna korisna karakteristika pada na pamet:

Za kvadratnu funkciju () vrijedi sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Kubna parabola

Kubna parabola je data funkcijom. Evo crteža poznatog iz škole:

Hajde da navedemo glavna svojstva funkcije

Domen definicije je bilo koji realan broj: .

Raspon vrijednosti – bilo koji realni broj: .

Funkcija je odd. Ako je funkcija neparna, tada je njen graf simetričan u odnosu na ishodište. Analitički, neparnost funkcije se izražava uslovom . Izvršimo provjeru kubične funkcije da bismo to učinili, umjesto “X” zamjenjujemo “minus X”:
, što znači da je funkcija neparna.

Funkcija nije ograničeno. U jeziku ograničenja funkcije, ovo se može napisati na sljedeći način:

Takođe je efikasnije konstruisati kubičnu parabolu koristeći algoritam šatla Anfise Čehove:

Sigurno ste primijetili gdje se još manifestira neobičnost funkcije. Ako smo to našli , onda kod računanja nema potrebe ništa računati, to automatski zapisujemo. Ova karakteristika vrijedi za bilo koju neparnu funkciju.

Hajdemo sada malo o grafovima polinoma.

Graf bilo kojeg polinoma trećeg stepena () u osnovi ima sljedeći oblik:

U ovom primjeru, koeficijent za najviši stepen je , tako da je graf okrenut “obrnuto”. Grafovi polinoma 5., 7., 9. i drugih neparnih stupnjeva imaju u suštini isti izgled. Što je veći stepen, to je više srednjih „zagibulina“.

Polinomi 4., 6. i drugih parnih stupnjeva imaju graf u osnovi sljedećeg oblika:

Ovo znanje je korisno kada se proučavaju grafovi funkcija.

Grafikon funkcije

Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

Obim: .

Raspon vrijednosti: .

To jest, graf funkcije je u potpunosti lociran u prvom koordinatnom kvadrantu.

Funkcija nije ograničeno odozgo. Ili koristeći ograničenje:

Prilikom konstruiranja najjednostavnijih grafova s korijenima, također je prikladna metoda konstrukcije po tačkama, a povoljno je odabrati takve vrijednosti "x" tako da se izvuče cijeli korijen:

$f: \mathbb(R) \to \mathbb(R)$ vrsta

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad x \in \mathbb(R),$

Gdje $a\neq 0.$ Drugim riječima, kubična funkcija je definirana polinomom trećeg stepena.

Analitička svojstva

Aplikacija

Kubična parabola se ponekad koristi za izračunavanje prelazne krive u transportu, jer je njeno izračunavanje mnogo jednostavnije od konstruisanja klotoide.

Vidi također

Napišite recenziju o članku "Kubična funkcija"

Bilješke

Književnost

L. S. Pontryagin, // "Kvant", 1984, br. 3.
I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, “Matematički priručnik”, izdavačka kuća “Nauka”, M. 1967, str. 84

Izvod koji karakterizira kubičnu funkciju

- Pa, za šta god da je...
U to vreme Petja, na koga niko nije obraćao pažnju, priđe ocu i sav crven, lomljivim glasom, nekad grubim, nekad mršavim, reče:
„E, sad ću, tata, odlučno reći - a i mama, šta god hoćeš - odlučno ću reći da ćeš me pustiti u vojnu službu, jer ja ne mogu... to je sve...
Grofica je užasnuto podigla oči prema nebu, sklopila ruke i ljutito se okrenula mužu.
- Pa sam pristao! - rekla je.
Ali grof se odmah oporavio od svog uzbuđenja.
„Pa, dobro“, rekao je. - Evo još jednog ratnika! Prestanite sa glupostima: morate učiti.
- Ovo nije glupost, tata. Fedya Obolensky je mlađi od mene i takođe dolazi, i što je najvažnije, još uvijek ne mogu naučiti ništa sada... - Petja je zastao, pocrvenio dok se nije oznojio i rekao: - kada je otadžbina u opasnosti.
- Potpuna, potpuna, glupost...
- Ali sami ste rekli da ćemo sve žrtvovati.
„Petija, kažem ti, umukni“, viknuo je grof, osvrćući se na svoju ženu, koja je, prebledeći, uprtim očima gledala svog najmlađeg sina.
- I ja ti kažem. Tako će Pyotr Kirillovich reći...
„Kažem ti, gluposti su, mlijeko se još nije osušilo, ali hoće u vojsku!“ Pa, dobro, kažem ti”, i grof, ponevši papire sa sobom, verovatno da ih ponovo pročita u kancelariji pre odmora, izađe iz sobe.
- Pjotre Kiriloviču, hajde da popušimo...
Pjer je bio zbunjen i neodlučan. Natašine neobično blistave i živahne oči, koje su mu se neprestano više nego ljubazno okretale, dovele su ga u ovo stanje.
- Ne, mislim da idem kući...
- To je kao da idete kući, ali ste hteli da provedete veče sa nama... A onda ste retko dolazili. A ova moja...” rekao je grof dobrodušno, pokazujući na Natašu, “vesela je samo kad je s tobom...”
„Da, zaboravio sam... Definitivno moram da idem kući... Stvari koje treba uraditi...” žurno je rekao Pjer.
"Pa, zbogom", rekao je grof, potpuno napuštajući sobu.
- Zašto odlaziš? Zašto si uznemiren? Zašto?..” upitala je Nataša Pjera gledajući ga prkosno u oči.
„Zato što te volim! - hteo je da kaže, ali nije rekao, pocrveneo je dok nije zaplakao i spustio oči.
- Zato što je bolje da te rjeđe posjećujem... Jer... ne, samo imam posla.
- Zašto? ne, reci mi”, počela je Nataša odlučno i odjednom ućutala. Oboje su se pogledali u strahu i zbunjenosti. Pokušao je da se naceri, ali nije mogao: njegov osmeh je izražavao patnju, on joj je nečujno poljubio ruku i otišao.
Pjer je odlučio da više ne posećuje Rostovove sa sobom.

Petja je, nakon što je dobio odlučno odbijanje, otišao u svoju sobu i tamo, zaključavši se od svih, gorko zaplakao. Sve su radili kao da ništa nisu primetili, kada je došao na čaj, ćutljiv i sumoran, suzama uprljanih očiju.
Sutradan je stigao suveren. Nekoliko rostovskih dvorišta tražilo je da odu i vide cara. Tog jutra Petja je dugo trebalo da se obuče, počešlja i sredi kragne poput velikih. Namrštio se ispred ogledala, gestikulirao, slegnuo ramenima i na kraju, ne govoreći nikome, stavio je kapu i izašao iz kuće sa zadnjeg trijema, trudeći se da ga ne primijeti. Petja je odlučio da ode pravo na mesto gde se nalazio suveren i direktno objasni nekom komorniku (Peti se činilo da je suveren uvek okružen komornicima) da on, grof Rostov, uprkos svojoj mladosti, želi da služi otadžbini, da mladost nije mogla biti prepreka za odanost i da je spreman... Petja je, dok se spremao, pripremio mnogo divnih riječi koje bi rekao komorniku.

Ovaj nastavni materijal je samo za referencu i odnosi se na širok spektar tema. Članak daje pregled grafova osnovnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje - kako pravilno i BRZO napraviti grafikon. U toku izučavanja više matematike bez poznavanja grafova osnovnih elementarnih funkcija biće teško, pa je veoma važno zapamtiti kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., a zapamtiti i neke značenja funkcija. Također ćemo govoriti o nekim svojstvima glavnih funkcija.

Ne pretendujem na kompletnost i naučnu temeljitost materijala, akcenat će biti stavljen, pre svega, na praksu – one stvari sa kojima susreće se bukvalno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike. Tabele za lutke? Moglo bi se reći i to.

Zbog brojnih zahtjeva čitalaca sadržaj koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji ultra-kratak sinopsis na temu
– savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam i ja bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je za nominalnu naknadu. Pogodno je ispisati datoteku tako da su grafikoni uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I krenimo odmah:

Kako pravilno konstruisati koordinatne ose?

U praksi, testove učenici gotovo uvijek popune u posebnim sveskama, poredanim u kvadrat. Zašto su vam potrebne karirane oznake? Uostalom, posao se u principu može obaviti na listovima A4. A kavez je neophodan samo za kvalitetan i precizan dizajn crteža.

Svaki crtež funkcionalnog grafa počinje koordinatnim osama.

Crteži mogu biti dvodimenzionalni ili trodimenzionalni.

Razmotrimo prvo dvodimenzionalni slučaj Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem:

1) Nacrtajte koordinatne ose. Osa se zove x-osa , a osa je y-osa . Uvek pokušavamo da ih nacrtamo uredan i ne iskrivljen. Strelice takođe ne bi trebalo da liče na bradu Pape Karla.

2) Osovine potpisujemo velikim slovima “X” i “Y”. Ne zaboravite označiti sjekire.

3) Postavite skalu duž osi: nacrtaj nulu i dva jedinica. Prilikom izrade crteža najpogodnija i najčešće korištena skala je: 1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo) - ako je moguće, držite se toga. Međutim, s vremena na vrijeme se dogodi da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo razmjer: 1 jedinica = 1 ćelija (crtež desno). Rijetko je, ali se dešava da se skala crteža mora još više smanjiti (ili povećati)

NEMA POTREBE za “mitraljezom”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Jer koordinatna ravan nije Descartesu spomenik, a učenik nije golub. Stavili smo nula I dvije jedinice duž osi. Ponekad umjesto jedinicama, zgodno je "označiti" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i ovaj sistem (0, 2 i 3) će također jedinstveno definirati koordinatnu mrežu.

Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE izrade crteža. Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva crtanje trokuta s vrhovima , , , onda je potpuno jasno da popularna skala od 1 jedinica = 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo stvar - ovdje ćete morati izmjeriti petnaest centimetara dolje, i, očigledno, crtež neće stati (ili jedva stati) na list bilježnice. Stoga odmah biramo manju skalu: 1 jedinica = 1 ćelija.

Usput, o centimetrima i ćelijama bilježnice. Da li je tačno da 30 ćelija sveske sadrži 15 centimetara? Za zabavu, izmjerite 15 centimetara u svoju bilježnicu pomoću ravnala. U SSSR-u je to možda i bilo tačno... Zanimljivo je napomenuti da ako ove iste centimetre mjerite horizontalno i vertikalno, rezultati (u ćelijama) će biti drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu karirane, već pravokutne. Ovo se može činiti besmislicom, ali crtanje, na primjer, kruga s kompasom u takvim situacijama je vrlo nezgodno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslat u logore za hakerski rad u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, padajuće avione ili eksplodirajuće elektrane.

Kad smo već kod kvaliteta, ili kratka preporuka za kancelarijski materijal. Danas je većina notebook računara u prodaji, u najmanju ruku, potpuno sranje. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od hemijskih olovaka! Oni štede novac na papiru. Da biste završili testove, preporučujem korištenje bilježnica iz Arkhangelske fabrike celuloze i papira (18 listova, kvadrat) ili "Pyaterochka", iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku čak i najjeftiniji kineski gel za punjenje mnogo je bolji od hemijske olovke koja ili razmazuje ili cepa papir. Jedina "konkurentska" hemijska olovka koju mogu da se setim je Erich Krause. Piše jasno, lepo i dosledno – bilo sa punim jezgrom ili sa skoro praznim.

Dodatno: U članku je obrađena vizija pravokutnog koordinatnog sistema očima analitičke geometrije Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora, detaljne informacije o koordinatnim četvrtima možete pronaći u drugom paragrafu lekcije Linearne nejednakosti.

3D kućište

Ovdje je skoro isto.

1) Nacrtajte koordinatne ose. standardno: axis applicate – usmjereno prema gore, os – usmjereno udesno, os – usmjereno prema dolje ulijevo strogo pod uglom od 45 stepeni.

2) Označite osi.

3) Postavite skalu duž osi. Razmjer duž ose je dva puta manji od razmjera duž ostalih osa. Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "zarez" duž ose (ova mogućnost je već spomenuta gore). S moje tačke gledišta, ovo je preciznije, brže i estetski ugodnije - nema potrebe tražiti sredinu ćelije pod mikroskopom i "klesati" jedinicu blizu ishodišta koordinata.

Kada pravite 3D crtež, opet dajte prednost mjerilu
1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo).

Čemu služe sva ova pravila? Pravila su stvorena da se krše. To ću sada uraditi. Činjenica je da ću naknadne crteže članka napraviti u Excelu, a koordinatne osi će izgledati netočne sa stajališta ispravnog dizajna. Mogao bih sve grafikone nacrtati rukom, ali je zapravo zastrašujuće crtati ih jer Excel nerado ih crta mnogo preciznije.

Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija je data jednadžbom. Graf linearnih funkcija je direktno. Da bi se konstruisala prava, dovoljno je poznavati dve tačke.

Primjer 1

Konstruirajte graf funkcije. Hajde da nađemo dve tačke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od tačaka.

Ako , onda

Uzmimo još jednu tačku, na primjer, 1.

Ako , onda

Prilikom izvršavanja zadataka koordinate tačaka se obično sumiraju u tabeli:

I same vrijednosti se izračunavaju usmeno ili na nacrtu, kalkulatoru.

Pronađene su dvije tačke, napravimo crtež:

Prilikom izrade crteža uvijek potpisujemo grafiku.

Bilo bi korisno prisjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:

Obratite pažnju kako sam stavio potpise, potpisi ne bi trebalo da dopuštaju odstupanja prilikom proučavanja crteža. U ovom slučaju, bilo je krajnje nepoželjno stavljati potpis pored tačke preseka linija, ili u donjem desnom uglu između grafikona.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se direktna proporcionalnost. Na primjer, . Graf direktne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstrukcija prave linije je pojednostavljena - dovoljno je pronaći samo jednu tačku.

2) Jednačina oblika određuje pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Grafikon funkcije se iscrtava odmah, bez pronalaženja ikakvih tačaka. To jest, unos treba shvatiti na sljedeći način: "y je uvijek jednako -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednačina oblika određuje pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama os je data jednačinom. Grafikon funkcije se također odmah iscrtava. Unos treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednako 1."

Neki će se pitati, zašto pamtiti 6. razred?! Tako je, možda je i tako, ali tokom godina prakse upoznao sam desetak učenika koji su bili zbunjeni zadatkom da konstruišu graf poput ili.

Konstruisanje prave linije je najčešća radnja prilikom izrade crteža.

Prava linija je detaljno obrađena u okviru analitičke geometrije, a zainteresovani mogu pogledati članak Jednačina prave linije na ravni.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Grafikon kvadratne funkcije () predstavlja parabolu. Razmotrite poznati slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Dakle, rješenje naše jednačine: – u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Zašto je to tako može se naučiti iz teorijskog članka o derivaciji i lekcije o ekstremima funkcije. U međuvremenu, izračunajmo odgovarajuću vrijednost "Y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Ovaj konstruktivni algoritam se figurativno može nazvati „šatlom“ ili principom „nazad i nazad“ kod Anfise Čehove.

Napravimo crtež:

Iz pregledanih grafikona, još jedna korisna karakteristika pada na pamet:

Za kvadratnu funkciju () istina je sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Detaljno znanje o krivulji može se dobiti u lekciji Hiperbola i parabola.

Kubna parabola je data funkcijom. Evo crteža poznatog iz škole:

Hajde da navedemo glavna svojstva funkcije

Grafikon funkcije

Predstavlja jednu od grana parabole. Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Bila bi GRUPA greška ako, prilikom sastavljanja crteža, nemarno dozvolite da se graf preseče sa asimptotom.

Također jednostrane granice nam govore da je hiperbola nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Hajde da ispitamo funkciju u beskonačnosti: , to jest, ako se počnemo kretati duž ose lijevo (ili desno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti uredan korak beskonačno blizu približavaju se nuli i, shodno tome, grane hiperbole beskonačno blizu približiti osi.

Dakle, os je horizontalna asimptota za graf funkcije, ako “x” teži plus ili minus beskonačnost.

Funkcija je odd, i stoga je hiperbola simetrična u odnosu na ishodište. Ova činjenica je očigledna iz crteža, osim toga, lako se provjerava analitički: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je , tada se hiperbola nalazi u prvoj i trećoj koordinatnoj četvrtini(vidi sliku iznad).

Ako je , tada se hiperbola nalazi u drugoj i četvrtoj koordinatnoj četvrtini.

Navedeni obrazac boravka hiperbole lako je analizirati sa stanovišta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Konstruirajte desnu granu hiperbole

Koristimo metodu konstrukcije po točkama, a povoljno je odabrati vrijednosti tako da budu djeljive cjelinom:

Napravimo crtež:

Ovdje neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole; Grubo govoreći, u tabeli konstrukcije tačku po tačku, mi mentalno dodajemo minus svakom broju, stavljamo odgovarajuće tačke i crtamo drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o razmatranoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Graf eksponencijalne funkcije

U ovom dijelu ću odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer se u problemima više matematike u 95% slučajeva pojavljuje eksponencijalna funkcija.

Da vas podsjetim da je ovo iracionalan broj: , to će biti potrebno prilikom konstruisanja grafa, koji ću, zapravo, izgraditi bez ceremonije. Tri boda su vjerovatno dovoljna:

Ostavimo graf funkcije za sada na miru, više o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

Funkcionalni grafovi, itd., izgledaju u osnovi isto.

Moram reći da se drugi slučaj rjeđe javlja u praksi, ali se dešava, pa sam smatrao potrebnim da ga uvrstim u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrimo funkciju s prirodnim logaritmom.
Napravimo crtež tačku po tačku:

Ako ste zaboravili šta je logaritam, pogledajte školske udžbenike.

Glavna svojstva funkcije:

Domen definicije:

Raspon vrijednosti: .

Funkcija nije ograničena odozgo: , doduše polako, ali grana logaritma ide do beskonačnosti.
Hajde da ispitamo ponašanje funkcije blizu nule desno: . Dakle, os je vertikalna asimptota za graf funkcije kako “x” teži nuli s desne strane.

Imperativ je znati i zapamtiti tipičnu vrijednost logaritma: .

U principu, grafik logaritma prema osnovici izgleda isto: , , (decimalni logaritam na osnovu 10) itd. Štaviše, što je veća baza, to će graf biti ravniji.

Nećemo razmatrati slučaj. Ne sjećam se kada sam zadnji put napravio graf s takvom osnovom. A čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.

Na kraju ovog pasusa reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcija– to su dvije međusobno inverzne funkcije. Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo se nalazi malo drugačije.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Gdje počinje trigonometrijska muka u školi? U redu. Od sinusa

Nacrtajmo funkciju

Ova linija se zove sinusoida.

Dozvolite mi da vas podsjetim da je "pi" iracionalan broj: , a u trigonometriji vam zasljepljuje oči.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je periodično sa tačkom. šta to znači? Pogledajmo segment. Lijevo i desno od njega, potpuno isti dio grafa se ponavlja u nedogled.

Domen definicije: , to jest, za bilo koju vrijednost “x” postoji vrijednost sinusa.

Raspon vrijednosti: . Funkcija je ograničeno: , odnosno sve "igre" sjede striktno u segmentu .
To se ne dešava: ili, tačnije, dešava se, ali ove jednačine nemaju rješenje.

Parabola. Graf kvadratne funkcije () je parabola. Razmotrimo kanonski slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Raspon je skup svih vrijednosti koje varijabla "y" može uzeti. U ovom slučaju: – skup svih pozitivnih vrijednosti, uključujući nulu. Raspon vrijednosti standardno se označava sa ili .

At proučavanje granica funkcija Preporučljivo je razumjeti geometrijsko značenje granice.

Primjer 2

Konstruirajte graf funkcije.

U ovom primjeru ćemo pogledati važno tehničko pitanje: Kako brzo izgraditi parabolu? U praktičnim zadacima, potreba za crtanjem parabole javlja se vrlo često, posebno kada se računa površina figure pomoću određenog integrala. Stoga je preporučljivo naučiti kako brzo završiti crtež, uz minimalan gubitak vremena. Predlažem sljedeći algoritam konstrukcije.

Prvo nalazimo vrh parabole. Da biste to učinili, uzmite prvi izvod i izjednačite ga sa nulom:

Ako ste loši s izvedenicama, trebali biste pročitati lekciju Kako pronaći derivat?

Dakle, rješenje naše jednačine: – u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Izračunavamo odgovarajuću vrijednost "Y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Napravimo crtež:

Iz pregledanih grafikona, još jedna korisna karakteristika pada na pamet:

Za kvadratnu funkciju () vrijedi sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Kubna parabola

Kubna parabola je data funkcijom. Evo crteža poznatog iz škole:

Hajde da navedemo glavna svojstva funkcije

Domen definicije je bilo koji realan broj: .

Raspon vrijednosti – bilo koji realni broj: .

Funkcija nije ograničeno. U jeziku ograničenja funkcije, ovo se može napisati na sljedeći način:

Takođe je efikasnije konstruisati kubičnu parabolu koristeći algoritam šatla Anfise Čehove:

Hajdemo sada malo o grafovima polinoma.

Graf bilo kojeg polinoma trećeg stepena () u osnovi ima sljedeći oblik:

Polinomi 4., 6. i drugih parnih stupnjeva imaju graf u osnovi sljedećeg oblika:

Ovo znanje je korisno kada se proučavaju grafovi funkcija.

Grafikon funkcije

Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

Obim: .

Raspon vrijednosti: .

To jest, graf funkcije je u potpunosti lociran u prvom koordinatnom kvadrantu.

Funkcija nije ograničeno odozgo. Ili koristeći ograničenje:

Prilikom konstruiranja najjednostavnijih grafova s korijenima, također je prikladna metoda konstrukcije po tačkama, a povoljno je odabrati takve vrijednosti "x" tako da se izvuče cijeli korijen:

Zapravo, želio bih pogledati više primjera s korijenima, na primjer, ali oni su mnogo rjeđi. Fokusiram se na češće slučajeve, a, kako praksa pokazuje, ovako nešto se mora mnogo češće graditi. Ako se pojavi potreba da saznate kako izgledaju grafovi s drugim korijenima, onda preporučujem da pogledate školski udžbenik ili matematički priručnik.

Hiperbola graf

Opet se prisjećamo trivijalne „školske” hiperbole.

Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

Obim: .

Raspon vrijednosti: .

Zapis znači: "bilo koji realan broj osim nule"

U jednom trenutku funkcija trpi beskonačan diskontinuitet. Ili koristeći jednostrano granice: , . Hajde da pričamo malo o jednostranim ograničenjima. Unos znači da mi beskonačno blizu približavanje osi nuli lijevo. Kako se ponaša raspored? Spušta se na minus beskonačnost, beskonačno blizu približavanje osi. Upravo je ta činjenica zapisana kao granica. Isto tako, notacija znači da mi beskonačno blizu približavanje osi nuli u pravu. U ovom slučaju, grana hiperbole ide do plus beskonačnosti, beskonačno blizu približavanje osi. Ili ukratko: .

Funkcija y=x^2 naziva se kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije je parabola. Opšti izgled parabole prikazan je na donjoj slici.

Kvadratna funkcija

Slika 1. Opšti izgled parabole

Kao što se može vidjeti iz grafikona, ona je simetrična u odnosu na Oy os. Osa Oy naziva se osa simetrije parabole. To znači da ako nacrtate pravu liniju na grafu paralelnu sa Ox osom iznad ove ose. Tada će preseći parabolu u dve tačke. Udaljenost od ovih tačaka do ose Oy bit će ista.

Osa simetrije dijeli graf parabole na dva dijela. Ovi dijelovi se nazivaju granama parabole. A tačka parabole koja leži na osi simetrije naziva se vrh parabole. To jest, os simetrije prolazi kroz vrh parabole. Koordinate ove tačke su (0;0).