Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում.
Անորոշ գործակցի մեթոդ

Մենք շարունակում ենք աշխատել կոտորակների ինտեգրման վրա: Դասում արդեն դիտարկել ենք կոտորակների որոշ տեսակների ինտեգրալներ, և այս դասը, ինչ-որ իմաստով, կարելի է համարել շարունակություն։ Նյութը հաջողությամբ հասկանալու համար պահանջվում են հիմնական ինտեգրման հմտություններ, այնպես որ, եթե դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել ինտեգրալները, այսինքն՝ սկսնակ եք, ապա պետք է սկսել հոդվածից։ Անորոշ ինտեգրալ։ Լուծումների օրինակներ.

Տարօրինակ է, բայց հիմա մենք կզբաղվենք ոչ այնքան ինտեգրալների որոնմամբ, որքան... գծային հավասարումների համակարգերի լուծմամբ։ Այս առումով շտապԽորհուրդ եմ տալիս հաճախել դասին, մասնավորապես՝ պետք է լավ տիրապետել փոխարինման մեթոդներին («դպրոցական» մեթոդը և համակարգի հավասարումների ժամկետային գումարման (հանման) եղանակը):

Ի՞նչ է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան: Պարզ բառերով ասած՝ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան այն կոտորակն է, որի համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ կամ բազմանդամների արտադրյալներ։ Ավելին, ֆրակցիաները ավելի բարդ են, քան հոդվածում քննարկվածները Որոշ կոտորակների ինտեգրում.

Ճիշտ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում

Անմիջապես օրինակ և տիպիկ ալգորիթմ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալի լուծման համար։

Օրինակ 1

Քայլ 1.Առաջին բանը, որ մենք ՄԻՇՏ անում ենք կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալ լուծելիս հետևյալ հարցի պարզաբանումն է. կոտորակը ճիշտ է?Այս քայլը կատարվում է բանավոր, և այժմ ես կբացատրեմ, թե ինչպես.

Նախ նայում ենք համարիչին և պարզում ավագ աստիճանբազմանդամ:

Համարիչի առաջատար ուժը երկուսն է։

Այժմ մենք նայում ենք հայտարարին և պարզում ավագ աստիճանհայտարար. Ակնհայտ ճանապարհը փակագծերը բացելն ու նմանատիպ տերմիններ բերելն է, բայց դուք կարող եք դա անել ավելի պարզ՝ ներսում յուրաքանչյուրըփակագծերում գտնել ամենաբարձր աստիճանը

և մտավոր բազմապատկել՝ - այսպիսով, հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը հավասար է երեքի: Միանգամայն ակնհայտ է, որ եթե իրականում բացենք փակագծերը, ապա երեքից մեծ աստիճան չենք ստանա։

ԵզրակացությունՀամարիչի հիմնական աստիճան ԽԻՍՏփոքր է հայտարարի ամենաբարձր հզորությունից, ինչը նշանակում է, որ կոտորակը պատշաճ է:

Եթե այս օրինակում համարիչը պարունակում էր 3, 4, 5 և այլն բազմանդամը։ աստիճաններ, ապա կոտորակը կլիներ սխալ.

Այժմ մենք կդիտարկենք միայն ճիշտ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաները. Դասի վերջում կքննարկվի այն դեպքը, երբ համարիչի աստիճանը մեծ է կամ հավասար է հայտարարի աստիճանին։

Քայլ 2.Եկեք գործոնացնենք հայտարարը. Եկեք նայենք մեր հայտարարին.

Ընդհանուր առմամբ, սա արդեն գործոնների արդյունք է, բայց, այնուամենայնիվ, մենք ինքներս մեզ հարց ենք տալիս՝ հնարավո՞ր է այլ բան ընդլայնել։ Խոշտանգումների առարկան, անկասկած, կլինի քառակուսի եռանկյունը։ Քառակուսային հավասարման լուծում.

Խտրականությունը զրոյից մեծ է, ինչը նշանակում է, որ եռանդամը իսկապես կարող է ֆակտորիզացվել.

Ընդհանուր կանոն՝ հայտարարի մեջ ԱՄԵՆ ԻՆՉ ԿԱՐՈՂ Է գործակցվել - գործոնավորվել

Եկեք սկսենք ձևակերպել լուծում.

Քայլ 3.Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը՝ ինտեգրանդը ընդլայնում ենք պարզ (տարրական) կոտորակների գումարի մեջ։ Հիմա ավելի պարզ կլինի։

Եկեք նայենք մեր ինտեգրման գործառույթին.

Եվ, գիտեք, ինչ-որ կերպ ինտուիտիվ միտք է ծագում, որ լավ կլիներ մեր մեծ կոտորակը վերածել մի քանի փոքրի: Օրինակ, այսպես.

Հարց է առաջանում՝ հնարավո՞ր է դա անել։ Եկեք հանգիստ շունչ քաշենք, մաթեմատիկական վերլուծության համապատասխան թեորեմն ասում է՝ ՀՆԱՐԱՎՈՐ Է։ Նման տարրալուծում կա և եզակի է.

Կա միայն մեկ բռնում, հավանականությունը ՑտեսությունՄենք չգիտենք, այստեղից էլ անվանումը՝ անորոշ գործակիցների մեթոդ:

Ինչպես կռահեցիք, մարմնի հետագա շարժումներն այդպիսին են, մի քրքջացեք: նպատակաուղղված կլինի հենց նրանց ՃԱՆԱՉԵԼՈՒ – պարզել, թե ինչին են նրանք հավասար։

Զգույշ եղեք, ես միայն մեկ անգամ մանրամասն կբացատրեմ!

Այսպիսով, եկեք սկսենք պարել հետևյալից.

Ձախ կողմում արտահայտությունը կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Այժմ մենք կարող ենք ապահով կերպով ազատվել հայտարարներից (քանի որ դրանք նույնն են).

Ձախ կողմում բացում ենք փակագծերը, բայց անհայտ գործակիցներին առայժմ մի շոշափում.

Միաժամանակ կրկնում ենք բազմանդամների բազմապատկման դպրոցական կանոնը. Երբ ես ուսուցիչ էի, ես սովորեցի ուղիղ դեմքով արտասանել այս կանոնը. Բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է մեկ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով։.

Հստակ բացատրության տեսանկյունից ավելի լավ է գործակիցները դնել փակագծերում (չնայած ես անձամբ երբեք դա չեմ անում՝ ժամանակ խնայելու համար).

Մենք կազմում ենք գծային հավասարումների համակարգ:
Սկզբում մենք փնտրում ենք ավագ աստիճաններ.

Եվ մենք գրում ենք համապատասխան գործակիցները համակարգի առաջին հավասարման մեջ.

Լավ հիշեք հետևյալ կետը. Ի՞նչ կլիներ, եթե աջ կողմում ընդհանրապես s չլինեին: Ասենք՝ առանց որևէ քառակուսու ուղղակի ցույց կտա՞ր։ Այս դեպքում համակարգի հավասարման մեջ անհրաժեշտ կլինի աջ կողմում զրո դնել. Ինչու՞ զրո: Բայց քանի որ աջ կողմում դուք միշտ կարող եք վերագրել այս նույն քառակուսին զրոյով. Եթե աջ կողմում չկան փոփոխականներ և/կամ ազատ անդամ, ապա մենք զրո ենք դնում համակարգի համապատասխան հավասարումների աջ կողմերում:

Համապատասխան գործակիցները գրում ենք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ.

Եվ վերջապես, հանքային ջուր, մենք ընտրում ենք անվճար անդամներ։

Էհ...մի տեսակ կատակեցի։ Կատակները մի կողմ՝ մաթեմատիկան լուրջ գիտություն է։ Մեր ինստիտուտի խմբում ոչ ոք չծիծաղեց, երբ ասիստենտն ասաց, որ տերմինները կցրի թվային գծի երկայնքով և կընտրի ամենամեծերը։ Եկեք լրջանանք. Չնայած... ով ապրի այս դասի ավարտը տեսնելու համար, միեւնույն է, հանգիստ կժպտա։

Համակարգը պատրաստ է.

Մենք լուծում ենք համակարգը.

(1) Առաջին հավասարումից մենք արտահայտում և փոխարինում ենք համակարգի 2-րդ և 3-րդ հավասարումներով: Իրականում հնարավոր էր արտահայտել (կամ մեկ այլ տառ) մեկ այլ հավասարումից, բայց այս դեպքում ձեռնտու է այն արտահայտել 1-ին հավասարումից, քանի որ կա. ամենափոքր հավանականությունը.

(2) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ 2-րդ և 3-րդ հավասարումներում:

(3) 2-րդ և 3-րդ հավասարումները գումարում ենք անդամ առ անդամ՝ ստանալով հավասարություն, որից հետևում է.

(4) Մենք փոխարինում ենք երկրորդ (կամ երրորդ) հավասարմանը, որտեղից մենք գտնում ենք, որ

(5) Փոխարինեք և մտեք առաջին հավասարման մեջ՝ ստանալով .

Եթե համակարգի լուծման մեթոդների հետ կապված որևէ դժվարություն ունեք, կիրառեք դրանք դասարանում: Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:

Համակարգը լուծելուց հետո միշտ օգտակար է ստուգել՝ փոխարինել գտնված արժեքները ամենհամակարգի հավասարումը, արդյունքում ամեն ինչ պետք է «համընկնի»։

Համարյա այնտեղ. Գտնվել են գործակիցները և.

Ավարտված աշխատանքը պետք է նման լինի հետևյալին.

Ինչպես տեսնում եք, առաջադրանքի հիմնական դժվարությունը գծային հավասարումների համակարգ կազմելն էր (ճիշտ!) և լուծելը (ճիշտ): Իսկ վերջնական փուլում ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ՝ մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծայինության հատկությունները և ինտեգրվում։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երեք ինտեգրալներից յուրաքանչյուրի տակ մենք ունենք «անվճար» բարդ գործառույթ, ես դասում խոսեցի դրա ինտեգրման առանձնահատկությունների մասին: Փոփոխական փոփոխության մեթոդ անորոշ ինտեգրալում.

Ստուգեք. Տարբերեք պատասխանը.

Ստացված է սկզբնական ինտեգրալ ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։
Ստուգման ժամանակ մենք ստիպված էինք արտահայտությունը հասցնել ընդհանուր հայտարարի, և դա պատահական չէ։ Անորոշ գործակիցների մեթոդը և արտահայտությունը ընդհանուր հայտարարի հասցնելը փոխադարձ հակադարձ գործողություններ են:

Օրինակ 2

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Վերադառնանք կոտորակին առաջին օրինակից. . Հեշտ է նկատել, որ հայտարարում բոլոր գործոնները ՏԱՐԲԵՐ են։ Հարց է առաջանում՝ ինչ անել, եթե, օրինակ, տրվի հետևյալ կոտորակը. ? Այստեղ մենք ունենք աստիճաններ հայտարարի մեջ, կամ, մաթեմատիկորեն, բազմապատիկ. Բացի այդ, կա քառակուսի եռանկյուն, որը չի կարող գործոնացվել (հեշտ է ստուգել, որ հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի եռանդամը չի կարող ֆակտորիզացվել): Ինչ անել? Տարրական կոտորակների գումարի ընդլայնումը նման կլինի վերևում անհայտ գործակիցներով, թե՞ այլ բան:

Օրինակ 3

Ներկայացրե՛ք ֆունկցիա

Քայլ 1.Ստուգում, թե արդյոք մենք ունենք համապատասխան կոտորակ
Հիմնական համարիչ՝ 2
Հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը` 8
, ինչը նշանակում է, որ կոտորակը ճիշտ է։

Քայլ 2.Հնարավո՞ր է ինչ-որ բան գործոն անել հայտարարի մեջ: Ակնհայտորեն ոչ, ամեն ինչ արդեն շարադրված է։ Քառակուսի եռանկյունը չի կարող ընդլայնվել և վերածվել արտադրանքի՝ վերը նշված պատճառներով: Գլխարկ. Ավելի քիչ աշխատանք.

Քայլ 3.Պատկերացնենք կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան որպես տարրական կոտորակների գումար։
Այս դեպքում ընդլայնումն ունի հետևյալ ձևը.

Եկեք նայենք մեր հայտարարին.
Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան տարրական կոտորակների գումարի բաժանելիս կարելի է առանձնացնել երեք հիմնարար կետ.

1) Եթե հայտարարը պարունակում է «միայնակ» գործոն առաջին աստիճանի նկատմամբ (մեր դեպքում), ապա վերևում դնում ենք անորոշ գործակից (մեր դեպքում): Թիվ 1, 2 օրինակները բաղկացած էին միայն այդպիսի «միայնակ» գործոններից։

2) Եթե հայտարարն ունի բազմակիբազմապատկիչ, ապա դուք պետք է այն քայքայեք այսպես.
- այսինքն՝ հաջորդաբար անցեք «X»-ի բոլոր աստիճանները՝ առաջինից մինչև n-րդ աստիճան: Մեր օրինակում կան երկու բազմաթիվ գործոններ. և, ևս մեկ նայեք իմ տված ընդլայնմանը և համոզվեք, որ դրանք ընդլայնված են հենց այս կանոնի համաձայն:

3) Եթե հայտարարը պարունակում է երկրորդ աստիճանի անբաժանելի բազմանդամ (մեր դեպքում), ապա համարիչում քայքայվելիս անհրաժեշտ է գրել գծային ֆունկցիա՝ չորոշված գործակիցներով (մեր դեպքում՝ չորոշված գործակիցներով և )։

Փաստորեն, կա ևս 4-րդ դեպքը, բայց ես կլռեմ, քանի որ գործնականում դա չափազանց հազվադեպ է։

Օրինակ 4

Ներկայացրե՛ք ֆունկցիա որպես անհայտ գործակիցներով տարրական կոտորակների գումար:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։
Խստորեն հետևեք ալգորիթմին:

Եթե հասկանում եք այն սկզբունքները, որոնցով պետք է կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան ընդլայնել գումարի մեջ, կարող եք ծամել դիտարկվող տեսակի գրեթե ցանկացած ինտեգրալ:

Օրինակ 5

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Քայլ 1.Ակնհայտ է, որ կոտորակը ճիշտ է.

Քայլ 2.Հնարավո՞ր է ինչ-որ բան գործոն անել հայտարարի մեջ: Կարող է. Ահա խորանարդների գումարը . Գործոնավորեք հայտարարը` օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը

Քայլ 3.Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը, մենք ինտեգրանդը ընդլայնում ենք տարրական կոտորակների գումարի մեջ.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բազմանդամը չի կարող ֆակտորիզացվել (ստուգեք, որ դիսկրիմինանտը բացասական է), ուստի վերևում մենք դնում ենք գծային ֆունկցիա՝ անհայտ գործակիցներով, և ոչ միայն մեկ տառով:

Կոտորակը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Եկեք կազմենք և լուծենք համակարգը.

(1) Մենք արտահայտում ենք առաջին հավասարումից և այն փոխարինում համակարգի երկրորդ հավասարմամբ (սա ամենառացիոնալ ձևն է):

(2) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ երկրորդ հավասարման մեջ:

(3) Մենք տերմին առ անդամ ավելացնում ենք համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումները:

Հետագա բոլոր հաշվարկները, սկզբունքորեն, բանավոր են, քանի որ համակարգը պարզ է:

(1) Կոտորակների գումարը գրում ենք գտնված գործակիցներին համապատասխան:

(2) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծայինության հատկությունները: Ի՞նչ է տեղի ունեցել երկրորդ ինտեգրալում։ Այս մեթոդին կարող եք ծանոթանալ դասի վերջին պարբերությունում: Որոշ կոտորակների ինտեգրում.

(3) Կրկին օգտագործում ենք գծայինության հատկությունները: Երրորդ ինտեգրալում մենք սկսում ենք մեկուսացնել ամբողջական քառակուսին (դասի նախավերջին պարբերություն Որոշ կոտորակների ինտեգրում).

(4) Վերցնում ենք երկրորդ ինտեգրալը, երրորդում՝ ընտրում ենք ամբողջական քառակուսին։

(5) Վերցրեք երրորդ ինտեգրալը: Պատրաստ.

Տրված է ամենապարզ, տարրական, չորս տիպի կոտորակների ինտեգրալների հաշվարկման բանաձևերի ստացումը։ Ավելի բարդ ինտեգրալներ՝ չորրորդ տիպի կոտորակներից, հաշվարկվում են կրճատման բանաձևով։ Դիտարկվում է չորրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրման օրինակ:

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ
Անորոշ ինտեգրալների հաշվարկման մեթոդներ

Ինչպես հայտնի է, x որոշ փոփոխականի ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարելի է բաժանել բազմանդամի և ամենապարզ, տարրական կոտորակների։ Պարզ կոտորակների չորս տեսակ կա.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Այստեղ a, A, B, b, c իրական թվեր են: Հավասարում x 2 + bx + c = 0իրական արմատներ չունի:

Առաջին երկու տեսակների կոտորակների ինտեգրում

Առաջին երկու կոտորակների ինտեգրումը կատարվում է ինտեգրալների աղյուսակի հետևյալ բանաձևերի միջոցով.
,
, n ≠ - 1 .

1. Առաջին տիպի կոտորակների ինտեգրում

Առաջին տիպի մասնաբաժինը վերածվում է աղյուսակի ինտեգրալի՝ t = x - a փոխարինմամբ.
.

2. Երկրորդ տիպի կոտորակների ինտեգրում

Երկրորդ տիպի կոտորակը վերածվում է աղյուսակի ինտեգրալի նույն փոխարինման t = x - a:

.

3. Երրորդ տիպի կոտորակների ինտեգրում

Դիտարկենք երրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրալը.
.
Մենք հաշվարկելու ենք երկու քայլով.

3.1. Քայլ 1. Ընտրեք հայտարարի ածանցյալը համարիչում

Կոտորակի համարիչում առանձնացնենք հայտարարի ածանցյալը։ Նշենք՝ u = x 2 + bx + c. Տարբերակենք՝ u′ = 2 x + բ. Հետո
;
.
Բայց
.
Մենք բաց թողեցինք մոդուլի նշանը, քանի որ .

Ապա.
,
Որտեղ
.

3.2. Քայլ 2. Հաշվե՛ք ինտեգրալը A = 0, B = 1-ով

Այժմ մենք հաշվարկում ենք մնացած ինտեգրալը.
.

Կոտորակի հայտարարը բերում ենք քառակուսիների գումարին.
,
Որտեղ.
Մենք հավատում ենք, որ x հավասարումը 2 + bx + c = 0արմատներ չունի. Ահա թե ինչու .

Եկեք փոխարինում կատարենք
,
.
.

Այսպիսով,
.

Այսպիսով, մենք գտանք երրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրալը.

,
Որտեղ.

4. Չորրորդ տիպի կոտորակների ինտեգրում

Եվ վերջապես, հաշվի առեք չորրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրալը.
.
Մենք հաշվարկում ենք այն երեք քայլով.

4.1) Ընտրեք հայտարարի ածանցյալը համարիչում.
.

4.2) Հաշվիր ինտեգրալը
.

4.3) Հաշվել ինտեգրալները
,
օգտագործելով նվազեցման բանաձևը.
.

4.1. Քայլ 1. Հայտարարի ածանցյալի մեկուսացում համարիչում

Եկեք մեկուսացնենք հայտարարի ածանցյալը համարիչում, ինչպես արեցինք . Նշանակենք u = x 2 + bx + c. Տարբերակենք՝ u′ = 2 x + բ. Հետո
.

.
Բայց
.

Վերջապես մենք ունենք.
.

4.2. Քայլ 2. Հաշվե՛ք ինտեգրալը n = 1-ով

Հաշվիր ինտեգրալը
.
Դրա հաշվարկը ներկայացված է .

4.3. Քայլ 3. Կրճատման բանաձևի ստացում

Հիմա հաշվի առեք ինտեգրալը
.

Մենք կրճատում ենք քառակուսի եռանկյունը քառակուսիների գումարի.
.
Այստեղ .
Եկեք փոխարինում կատարենք.
.
.

Կատարում ենք փոխակերպումներ և ինտեգրվում մասերի։

.

Բազմապատկել 2 (n - 1):
.
Վերադառնանք x և I n-ին:
,
;
;
.

Այսպիսով, I n-ի համար մենք ստացանք կրճատման բանաձևը.
.
Հետևողականորեն կիրառելով այս բանաձևը՝ մենք կրճատում ենք I n ինտեգրալը մինչև I 1 .

Օրինակ

Հաշվել ինտեգրալը

1. Եկեք առանձնացնենք հայտարարի ածանցյալը համարիչում:
;
;

.
Այստեղ
.

2. Մենք հաշվարկում ենք ամենապարզ կոտորակի ինտեգրալը։

.

3. Մենք կիրառում ենք նվազեցման բանաձևը.

ինտեգրալի համար։
Մեր դեպքում b = 1 , գ = 1 , 4 c - b 2 = 3. Մենք գրում ենք այս բանաձևը n =-ի համար 2 և n = 3 :
;
.
Այստեղից

.

Վերջապես մենք ունենք.

.
Գտե՛ք գործակիցը .
.

Տես նաեւ:

Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը գտնելու խնդիրը հանգում է պարզ կոտորակների ինտեգրմանը։ Հետևաբար, խորհուրդ ենք տալիս նախ ծանոթանալ կոտորակների տարրալուծման տեսության բաժնին ամենապարզին:

Օրինակ.

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Լուծում.

Քանի որ ինտեգրանդի համարիչի աստիճանը հավասար է հայտարարի աստիճանին, մենք նախ ընտրում ենք ամբողջ մասը՝ բազմանդամը բազմանդամի վրա բաժանելով սյունակով.

Ահա թե ինչու, .

Ստացված ճիշտ ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումն ավելի պարզ կոտորակների ունի ձև . Հետևաբար,

Ստացված ինտեգրալը երրորդ տիպի ամենապարզ կոտորակի ինտեգրալն է։ Մի փոքր առաջ նայելով, մենք նշում ենք, որ այն կարող եք վերցնել՝ այն ներառելով դիֆերենցիալ նշանի տակ։

Որովհետեւ , Դա . Ահա թե ինչու

Հետևաբար,

Այժմ եկեք անցնենք չորս տեսակներից յուրաքանչյուրի պարզ կոտորակների ինտեգրման մեթոդների նկարագրությանը:

Առաջին տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Ուղղակի ինտեգրման մեթոդը իդեալական է այս խնդրի լուծման համար.

Օրինակ.

Գտե՛ք ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը

Լուծում.

Գտնենք անորոշ ինտեգրալը՝ օգտագործելով հակաածանցյալի հատկությունները, հակաածանցյալների աղյուսակը և ինտեգրման կանոնը։

Էջի վերևում

Երկրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Ուղղակի ինտեգրման մեթոդը նույնպես հարմար է այս խնդրի լուծման համար.

Օրինակ.

Լուծում.

Էջի վերևում

Երրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Նախ ներկայացնում ենք անորոշ ինտեգրալը որպես գումար:

Մենք վերցնում ենք առաջին ինտեգրալը՝ այն ներառելով դիֆերենցիալ նշանի տակ.

Ահա թե ինչու,

Փոխակերպենք ստացված ինտեգրալի հայտարարը.

Հետևաբար,

Երրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրման բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Օրինակ.

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը .

Լուծում.

Մենք օգտագործում ենք ստացված բանաձևը.

Եթե այս բանաձևը չունենայինք, ի՞նչ կանեինք.

Էջի վերևում

Չորրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Առաջին քայլը այն դիֆերենցիալ նշանի տակ դնելն է.

Երկրորդ քայլը ձևի ինտեգրալ գտնելն է . Այս տեսակի ինտեգրալները հայտնաբերվում են կրկնության բանաձևերի միջոցով: (Տե՛ս կրկնության բանաձևերի օգտագործմամբ ինտեգրման մասին բաժինը): Հետևյալ կրկնվող բանաձևը հարմար է մեր դեպքում.

Օրինակ.

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Լուծում.

Այս տեսակի ինտեգրման համար մենք օգտագործում ենք փոխարինման մեթոդը: Ներկայացնենք նոր փոփոխական (տե՛ս իռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրման բաժինը).

Փոխարինումից հետո մենք ունենք.

Հասանք չորրորդ տիպի կոտորակի ինտեգրալը գտնելուն։ Մեր դեպքում մենք ունենք գործակիցներ M = 0, p = 0, q = 1, N = 1Եվ n=3. Մենք կիրառում ենք կրկնվող բանաձևը.

Հակադարձ փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք արդյունքը.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրում

1.Ձևի ինտեգրալներ

հաշվարկվում են՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը վերածելով գումարի՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Օրինակ՝ 2.Ձևի ինտեգրալներ

, Որտեղ մկամ n– կենտ դրական թիվ, որը հաշվարկվում է դիֆերենցիալ նշանի տակ հավաքելով: Օրինակ,

3.Ձևի ինտեգրալներ

, Որտեղ մԵվ n- նույնիսկ դրական թվերը հաշվարկվում են աստիճանի նվազեցման բանաձևերով. Օրինակ.

4. Ինտեգրալներ

որտեղ հաշվարկվում են փոփոխականը փոխելով. կամ օրինակ.

5. Ձևի ինտեգրալները վերածվում են ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրալների՝ օգտագործելով համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինում, ապա (քանի որ

=[համարը և հայտարարը բաժանելուց հետո ]= ;

Օրինակ,

Պետք է նշել, որ ունիվերսալ փոխարինման օգտագործումը հաճախ հանգեցնում է ծանր հաշվարկների:

§5. Ամենապարզ իռացիոնալությունների ինտեգրում

Դիտարկենք իռացիոնալության ամենապարզ տեսակների ինտեգրման մեթոդները: 1.

Այս տիպի ֆունկցիաները ինտեգրվում են այնպես, ինչպես 3-րդ տիպի ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները. հայտարարում քառակուսի եռանկյունից մեկուսացված է ամբողջական քառակուսին և ներմուծվում է նոր փոփոխական։ Օրինակ.

(ինտեգրալ նշանի տակ – փաստարկների ռացիոնալ ֆունկցիա): Այս տեսակի ինտեգրալները հաշվարկվում են փոխարինման միջոցով: Մասնավորապես, ձևի ինտեգրալներում մենք նշում ենք. Եթե ինտեգրանդը պարունակում է տարբեր աստիճանի արմատներ.

, ապա նշեք որտեղ n- թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը մ,կ. Օրինակ 1.

Օրինակ 2.

- ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ, ընտրել ամբողջ մասը.

–

3.Ձևի ինտեգրալներ հաշվարկվում են եռանկյունաչափական փոխարինումների միջոցով.

45 Որոշակի ինտեգրալ

Որոշակի ինտեգրալ- հավելումային միատոն նորմալացված ֆունկցիոնալ, որը սահմանվում է զույգերի մի շարքի վրա, որոնց առաջին բաղադրիչը ինտեգրելի ֆունկցիա է կամ ֆունկցիոնալ, իսկ երկրորդը՝ տիրույթ այս ֆունկցիան (ֆունկցիոնալ) նշելու բազմության մեջ։

Սահմանում

Թող այն սահմանվի: Բաժանենք այն մի քանի կամայական կետերով մասերի։ Հետո ասում են, որ հատվածը բաժանվել է, հետո ընտրեք կամայական կետ , ,

Ինտերվալի վրա ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը ինտեգրալ գումարների սահմանն է, քանի որ բաժանման աստիճանը ձգտում է զրոյի, եթե այն գոյություն ունի բաժանումից և կետերի ընտրությունից անկախ, այսինքն.

Եթե նշված սահմանը գոյություն ունի, ապա ֆունկցիան համարվում է Ռիմանի ինտեգրելի:

Նշանակումներ

· - ստորին սահման.

· - վերին սահմանը.

· - ինտեգրացիոն ֆունկցիա:

· - մասնակի հատվածի երկարությունը.

· - ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը համապատասխան բաժանման վրա:

· - մասնակի հատվածի առավելագույն երկարությունը.

Հատկություններ

Եթե ֆունկցիան Riemann-ի վրա ինտեգրելի է, ապա այն սահմանափակված է դրա վրա:

Երկրաչափական իմաստ

Որոշակի ինտեգրալ՝ որպես գործչի մակերես

Որոշակի ինտեգրալը թվայինորեն հավասար է աբսցիսայի առանցքով, ուղիղ գծերով և ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված գործչի տարածքին:

Նյուտոն-Լայբնիցի թեորեմ

[խմբագրել]

(վերահղված է «Newton-Leibniz Formula»-ից)

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևկամ վերլուծության հիմնական թեորեմտալիս է հարաբերություն երկու գործողությունների միջև՝ որոշակի ինտեգրալ վերցնելը և հակաածանցյալի հաշվարկը:

Ապացույց

Թող ինտեգրելի ֆունկցիա տրվի ինտերվալի վրա: Սկսենք նշելով, որ

այսինքն՝ նշանակություն չունի, թե որ տառը (կամ) է որոշակի ինտեգրալի նշանի տակ հատվածի վրա։

Եկեք կամայական արժեք դնենք և նոր ֆունկցիա սահմանենք . Այն սահմանվում է-ի բոլոր արժեքների համար, քանի որ մենք գիտենք, որ եթե կա on-ի ինտեգրալ, ապա կա նաև on-ի ինտեգրալ, որտեղ: Հիշեցնենք, որ մենք դիտարկում ենք ըստ սահմանման

(1)

նկատել, որ

Եկեք ցույց տանք, որ այն շարունակական է միջակայքում: Փաստորեն, թող ; Հետո

իսկ եթե, ապա

Այսպիսով, այն շարունակական է՝ անկախ նրանից՝ ունի՞, թե՞ չունի ընդհատումներ. Կարևոր է, որ այն ինտեգրելի լինի:

Նկարը ցույց է տալիս գրաֆիկ: Փոփոխական գործչի մակերեսը կազմում է. Դրա աճը հավասար է գործչի մակերեսին , որն իր սահմանափակության պատճառով ակնհայտորեն հակված է զրոյի՝ անկախ նրանից՝ դա շարունակականության կամ ընդհատման կետ է, օրինակ՝ կետ։

Թող հիմա ֆունկցիան լինի ոչ միայն ինտեգրելի, այլև կետում շարունակական: Ապացուցենք, որ ապա այս պահին ածանցյալը հավասար է

(2)

Փաստորեն, նշված կետի համար

(1) , (3)

Մենք դնում ենք , և քանի որ այն հաստատուն է TO-ի նկատմամբ . Ավելին, որոշակի կետում շարունակականության պատճառով, ցանկացածի համար կարող է նշել այնպիսին, որ .

որն ապացուցում է, որ այս անհավասարության ձախ կողմը o(1)-ի համար է:

(3)-ի սահմանին անցնելը ցույց է տալիս կետում ածանցյալի առկայությունը և (2) հավասարության վավերականությունը: Երբ մենք այստեղ խոսում ենք համապատասխանաբար աջ և ձախ ածանցյալների մասին։

Եթե ֆունկցիան շարունակական է , ապա վերևում ապացուցվածի հիման վրա՝ համապատասխան ֆունկցիան

(4)

ունի ածանցյալ, որը հավասար է . Հետևաբար, ֆունկցիան հակաածանցյալ է .

Այս եզրակացությունը երբեմն կոչվում է փոփոխական վերին սահմանի ինտեգրալ թեորեմ կամ Բարրոուի թեորեմ։

Մենք ապացուցել ենք, որ կամայական ֆունկցիան, որը շարունակվում է ինտերվալի վրա, ունի հակաածանցյալ այս միջակայքում, որը սահմանված է հավասարությամբ (4): Սա ապացուցում է հակաածանցյալի գոյությունը ցանկացած շարունակական ֆունկցիայի համար ընդմիջումով:

Թող հիմա լինի ֆունկցիայի կամայական հակաածանցյալ: Մենք դա գիտենք, որտեղ կա որոշակի հաստատուն: Ենթադրելով այս հավասարության մեջ և հաշվի առնելով, որ մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, . Բայց

Անպատշաճ ինտեգրալ

[խմբագրել]

Նյութը՝ Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Որոշակի ինտեգրալկանչեց ոչ քոնը, եթե բավարարված է հետևյալ պայմաններից առնվազն մեկը.

· Սահմանը a կամ b (կամ երկու սահմանները) անսահման են.

· f(x) ֆունկցիան հատվածի ներսում ունի մեկ կամ մի քանի ընդհատման կետ:

[խմբագրել]Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ

. Ապա.

1. Եթե իսկ ինտեգրալը կոչվում է . Այս դեպքում կոչվում է կոնվերգենտ:

, կամ պարզապես տարբերվող:

Թող լինի սահմանված և շարունակական հավաքածուի վրա և . Ապա.

1. Եթե , ապա օգտագործվում է նշումը իսկ ինտեգրալը կոչվում է առաջին տեսակի Ռիմանի ոչ պատշաճ ինտեգրալ. Այս դեպքում կոչվում է կոնվերգենտ:

2. Եթե չկա վերջավոր (կամ), ապա ասում են, որ ինտեգրալը շեղվում է , կամ պարզապես տարբերվող:

Եթե ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական ամբողջ թվային տողի վրա, ապա կարող է լինել այս ֆունկցիայի ոչ պատշաճ ինտեգրալ՝ ինտեգրման երկու անսահման սահմաններով, որոնք սահմանված են բանաձևով.

, որտեղ c-ն կամայական թիվ է։

[խմբագրել] Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը

Անպատշաճ ինտեգրալն արտահայտում է անսահման երկար կոր trapezoid-ի տարածքը:

[խմբագրել] Օրինակներ

[խմբագրել]Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ

Թող այն սահմանվի , անսահման ընդհատում ունենա x=a և կետում . Ապա.

1. Եթե , ապա օգտագործվում է նշումը իսկ ինտեգրալը կոչվում է

կոչվում է դիվերգենտ դեպի , կամ պարզապես տարբերվող:

Թող այն սահմանվի , կրում է անվերջ ընդհատում x=b և . Ապա.

1. Եթե , ապա օգտագործվում է նշումը իսկ ինտեգրալը կոչվում է երկրորդ տեսակի Ռիմանի ոչ պատշաճ ինտեգրալ. Այս դեպքում ինտեգրալը կոչվում է կոնվերգենտ:

2. Եթե կամ , ապա նշանակումը մնում է նույնը, և կոչվում է դիվերգենտ դեպի , կամ պարզապես տարբերվող:

Եթե ֆունկցիան դադարում է հատվածի ներքին կետում, ապա երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալը որոշվում է բանաձևով.

[խմբագրել] Երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալների երկրաչափական նշանակությունը

Անպատշաճ ինտեգրալն արտահայտում է անսահման բարձր կոր trapezoid-ի տարածքը

[խմբագրել] Օրինակ

[խմբագրել]Մեկուսացված դեպք

Թող ֆունկցիան սահմանվի ամբողջ թվային տողի վրա և ունենա դադար կետերում:

Այնուհետև մենք կարող ենք գտնել ոչ պատշաճ ինտեգրալը

[խմբագրել] Կոշի չափանիշ

1. Թող այն սահմանվի մի շարքի վրա և .

Հետո համընկնում է

2. Թող սահմանվի և .

Հետո համընկնում է

[խմբագրել]Բացարձակ կոնվերգենցիա

Անբաժանելի կանչեց բացարձակապես կոնվերգենտ, Եթե համընկնում է.
Եթե ինտեգրալը բացարձակապես համընկնում է, ապա այն զուգակցվում է:

[խմբագրել]Պայմանական կոնվերգենցիա

Ինտեգրալը կոչվում է պայմանականորեն կոնվերգենտ, եթե այն համընկնում է, բայց շեղվում է:

48 12. Անպատշաճ ինտեգրալներ.

Որոշակի ինտեգրալներ դիտարկելիս մենք ենթադրեցինք, որ ինտեգրման շրջանը սահմանափակ է (ավելի կոնկրետ՝ այն հատված է [ ա ,բ ]); Որոշակի ինտեգրալի գոյության համար ինտեգրանդը պետք է սահմանափակված լինի [. ա ,բ ]։ Մենք կանվանենք որոշակի ինտեգրալներ, որոնց համար այս երկու պայմաններն էլ բավարարված են (ինչպես ինտեգրման տիրույթի, այնպես էլ ինտեգրանդի սահմանը) սեփական; ինտեգրալներ, որոնց համար այս պահանջները խախտված են (այսինքն՝ կա՛մ ինտեգրանդը, կա՛մ ինտեգրման տիրույթը անսահմանափակ են, կա՛մ երկուսն էլ) ոչ քոնը. Այս բաժնում մենք կուսումնասիրենք ոչ պատշաճ ինտեգրալները:

12.1. Անպատշաճ ինտեգրալներ անսահմանափակ միջակայքում (առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ):

12.1.1. Անպատշաճ ինտեգրալի սահմանում անսահման միջակայքում: Օրինակներ.
12.1.2. Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևը ոչ պատշաճ ինտեգրալի համար.
12.1.3. Ոչ բացասական գործառույթների համեմատության չափանիշները:

12.1.3.1. Համեմատության նշան.
12.1.3.2. Համեմատության նշան իր ծայրահեղ ձևով:

12.1.4. Անպատշաճ ինտեգրալների բացարձակ կոնվերգենցիա անսահման միջակայքում:
12.1.5. Թեստեր Աբելի և Դիրիխլեի կոնվերգենցիայի համար:

12.2. Անսահմանափակ ֆունկցիաների ոչ պատշաճ ինտեգրալներ (երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ):

12.2.1. Անսահմանափակ ֆունկցիայի ոչ պատշաճ ինտեգրալի սահմանում:

12.2.1.1. Եզակիությունը գտնվում է ինտեգրման միջակայքի ձախ վերջում:
12.2.1.2. Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառում.
12.2.1.3. Եզակիություն ինտեգրման միջակայքի աջ վերջում:
12.2.1.4. Եզակիություն ինտեգրման միջակայքի ներքին կետում:
12.2.1.5. Մի քանի առանձնահատկություններ ինտեգրման միջակայքի վրա:

12.2.2. Ոչ բացասական գործառույթների համեմատության չափանիշները:

12.2.2.1. Համեմատության նշան.
12.2.2.2. Համեմատության նշան իր ծայրահեղ ձևով:

12.2.3. Անընդհատ ֆունկցիաների ոչ պատշաճ ինտեգրալների բացարձակ և պայմանական կոնվերգենցիան:
12.2.4. Թեստեր Աբելի և Դիրիխլեի կոնվերգենցիայի համար:

12.1. Անպատշաճ ինտեգրալներ անսահմանափակ միջակայքում

(առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ):

12.1.1. Անպատշաճ ինտեգրալի սահմանում անսահման միջակայքում. Թող գործառույթը զ (x ) սահմանված է կիսաառանցքի վրա և ինտեգրելի է ցանկացած միջակայքում [ ից՝ այս դեպքերից յուրաքանչյուրում ենթադրելով համապատասխան սահմանների գոյությունն ու վերջավորությունը։ Այժմ օրինակների լուծումներն ավելի պարզ են թվում. .

12.1.3. Ոչ բացասական գործառույթների համեմատության չափանիշները. Այս բաժնում մենք կենթադրենք, որ բոլոր ինտեգրանդները ոչ բացասական են սահմանման ողջ տիրույթում: Մինչ այժմ ինտեգրալի կոնվերգենցիան որոշել ենք այն հաշվելով. եթե կա հակաածանցյալի վերջավոր սահման՝ համապատասխան միտումով ( կամ ), ապա ինտեգրալը կոնվերգենցիա է, հակառակ դեպքում՝ շեղվում է։ Գործնական խնդիրներ լուծելիս, սակայն, կարևոր է նախ հաստատել ինքնին կոնվերգենցիայի փաստը և միայն այնուհետև հաշվարկել ինտեգրալը (բացի այդ, հակաածանցյալը հաճախ չի արտահայտվում տարրական գործառույթներով): Եկեք ձևակերպենք և ապացուցենք մի շարք թեորեմներ, որոնք թույլ են տալիս հաստատել ոչ բացասական ֆունկցիաների ոչ պատշաճ ինտեգրալների կոնվերգենցիան և տարաձայնությունը՝ առանց դրանք հաշվարկելու:
12.1.3.1. Համեմատության նշան. Թողեք գործառույթները զ (x ) Եվ է (x ) անբաժանելի

Օրինակ.

Լուծում.

Ահա թե ինչու, .

Ստացված ճիշտ ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումն ավելի պարզ կոտորակների ունի ձև . Հետևաբար,

Որովհետեւ , Դա . Ահա թե ինչու

Հետևաբար,

Այժմ եկեք անցնենք չորս տեսակներից յուրաքանչյուրի պարզ կոտորակների ինտեգրման մեթոդների նկարագրությանը:

Առաջին տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Ուղղակի ինտեգրման մեթոդը իդեալական է այս խնդրի լուծման համար.

Օրինակ.

Լուծում.

Էջի վերևում

Երկրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Ուղղակի ինտեգրման մեթոդը նույնպես հարմար է այս խնդրի լուծման համար.

Օրինակ.

Լուծում.

Էջի վերևում

Երրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Նախ ներկայացնում ենք անորոշ ինտեգրալը որպես գումար:

Մենք վերցնում ենք առաջին ինտեգրալը՝ այն ներառելով դիֆերենցիալ նշանի տակ.

Ահա թե ինչու,

Փոխակերպենք ստացված ինտեգրալի հայտարարը.

Հետևաբար,

Երրորդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրման բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Օրինակ.

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը .

Լուծում.

Մենք օգտագործում ենք ստացված բանաձևը.

Եթե այս բանաձևը չունենայինք, ի՞նչ կանեինք.

9. Չորրորդ տեսակի պարզ կոտորակների ինտեգրում

Առաջին քայլը այն դիֆերենցիալ նշանի տակ դնելն է.

Երկրորդ քայլը ձևի ինտեգրալ գտնելն է . Այս տեսակի ինտեգրալները հայտնաբերվում են կրկնության բանաձևերի միջոցով: (Տե՛ս բաժանումը կրկնության բանաձևերի միջոցով): Հետևյալ կրկնվող բանաձևը հարմար է մեր դեպքում.

Օրինակ.

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Լուծում.

Փոխարինումից հետո մենք ունենք.

Հակադարձ փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք արդյունքը.

10. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրում.

Շատ խնդիրներ հանգում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող տրանսցենդենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալներ գտնելուն։ Այս հոդվածում մենք կխմբավորենք ինտեգրալների ամենատարածված տեսակները և կօգտագործենք օրինակներ՝ դրանց ինտեգրման մեթոդները դիտարկելու համար:

Սկսենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի ինտեգրումից:

Հակածանցյալների աղյուսակից մենք անմիջապես նշում ենք, որ Եվ .

Դիֆերենցիալ նշանի հաշվարկման մեթոդը թույլ է տալիս հաշվարկել շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաների անորոշ ինտեգրալները.

Էջի վերևում

Դիտարկենք առաջին դեպքը, երկրորդը բացարձակապես նման է։

Եկեք օգտագործենք փոխարինման մեթոդը.

Մենք եկանք իռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրման խնդրին։ Այստեղ մեզ կօգնի նաև փոխարինման մեթոդը.

Մնում է միայն կատարել հակադարձ փոխարինում և t = sinx:

Էջի վերևում

Դուք կարող եք ավելին իմանալ դրանք գտնելու սկզբունքների մասին բաժնի ինտեգրման մեջ՝ օգտագործելով կրկնվող բանաձևերը: Եթե դուք ուսումնասիրում եք այս բանաձևերի ածանցումը, ապա հեշտությամբ կարող եք վերցնել ձևի ինտեգրալները , Որտեղ մԵվ n- ամբողջ թվեր.

Էջի վերևում

Ամենաստեղծարարությունը գալիս է, երբ ինտեգրանդը պարունակում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ տարբեր արգումենտներով։

Հենց այստեղ են օգնության հասնում եռանկյունաչափության հիմնական բանաձեւերը։ Այսպիսով, գրեք դրանք առանձին թղթի վրա և պահեք դրանք ձեր աչքի առաջ:

Օրինակ.

Գտե՛ք ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը .

Լուծում.

Կրճատման բանաձևերը տալիս են Եվ .

Ահա թե ինչու

Հայտարարը գումարի սինուսի բանաձևն է, հետևաբար.

Մենք հասնում ենք երեք ինտեգրալների գումարին.

Էջի վերևում

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող ինտեգրանդները երբեմն կարող են կրճատվել մինչև կոտորակային ռացիոնալ արտահայտություններ՝ օգտագործելով ստանդարտ եռանկյունաչափական փոխարինում:

Եկեք գրենք եռանկյունաչափական բանաձևեր, որոնք արտահայտում են սինուս, կոսինուս, շոշափող կես փաստարկի շոշափողով.

Ինտեգրվելիս մեզ անհրաժեշտ կլինի նաև դիֆերենցիալ արտահայտությունը dxկես անկյան շոշափողի միջով:

Որովհետեւ , Դա

Այսինքն, որտեղ.

Օրինակ.

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը .

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք ստանդարտ եռանկյունաչափական փոխարինում.

Այսպիսով, .

Ինտեգրանդը պարզ կոտորակների բաժանելը մեզ տանում է երկու ինտեգրալների գումարի.

Մնում է միայն կատարել հակադարձ փոխարինում.

11. Կրկնության բանաձեւերը բանաձեւեր են, որոնք արտահայտում են nՀերթականության երրորդ անդամը նախորդ անդամների միջով: Դրանք հաճախ օգտագործվում են ինտեգրալներ գտնելիս։

Մենք նպատակ չունենք թվարկել կրկնության բոլոր բանաձևերը, այլ ուզում ենք տալ դրանց ածանցման սկզբունքը: Այս բանաձևերի ածանցումը հիմնված է ինտեգրանդի փոխակերպման և ըստ մասերի ինտեգրման մեթոդի կիրառման վրա։

Օրինակ՝ անորոշ ինտեգրալը կարելի է ընդունել՝ օգտագործելով կրկնության բանաձեւը .