12.12.2017 Lyudmula Abramochkina

Задачи по теории вероятностей (11-13)

Задача 11. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:

Р(А1) = 0,45 · 0,03 = 0, 0135

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:

Р(А2) = 0,55 · 0,01= 0,0055

По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна

0,0135 + 0,0055 = 0,019

Ответ: 0,019

Задача 12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Рассмотрим события:

A = кофе закончится в первом автомате,
B = кофе закончится во втором автомате.

A · B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(AB)= 0,12

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A·B) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48

Тогда, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 – 0,48 = 0,52

Ответ: 0,52

Задача 13 . Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда “Белые” по очереди играет с командами “Красные”, “Синие”, “Зеленые”. Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трёх право первой владеть мячом получит команда “Белые”.

Составляем список всех возможных исходов в этих трёх играх с “Красными” (К), “Синими” (С) и “Зелеными” (З).
П – первая владеет мячом, Н – нет.

ППП
ППН
ПНП
НПП
ПНН
НПН
ННП
ННН

и смотрим, в сколько из них содержится ровно 2 раза П, т.е. ровно в двух матчах команда “Белые” будет первой вдладеть мячом.
Таких вариантов 3, а всего вариантов – 8. Тогда искомая вероятность равна

Задача 1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – . Значит, вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: 0,35+0,2=0,55.

Ответ: 0,55.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Ситуация 1:

Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает каждого из событий:

Ситуация 2:

Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3) и оно бракованное (вероятность события 0,03):

Посколько при покупке стекла мы оказываемся в ситуации 1 или (сумма) в ситуации 2, то по получаем:

Ответ: 0,016.

Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Вероятность события А: «кофе закончится в первом автомате» P(A) равна 0,3.

Вероятность события В: «кофе закончится во втором автомате» P(B) равна 0,3.

Вероятность события АB: «кофе закончится в обоих автоматах» P(АB) равна 0,16.

Вероятность суммы двух совместных событий А+В, есть сумма их вероятностей без вероятности события АB:

Нас же интересует вероятность события, противоположного событию А+В. Действительно, всего возможны 4 события, три из них, помеченные желтым цветом, отвечают событию А+В:

Ответ: 0,56.

Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Оба автомата неисправны с вероятностью

Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть

Ответ: 0,9856.

Задача 5. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Биатлонист попадает в мишень первый раз и (умножение) второй, и третий:

Так как вероятность попадания в цель – , то вероятность противоположного события, промаха, –

Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом:

Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а (и! ) последние два промахнулся такова:

Ответ: 0,01.

Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,92. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Рассмотрим следующие события:

А – «пылесос прослужит больше года, но меньше 2» ,

В – «пылесос прослужит больше 2-х лет»,

С – «пылесос прослужит больше года».

Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть

Но , так как не может одновременно произойти и А, и В.

Ответ: 0,08.

Задача 7. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года

Тогда вероятность противоположного события – хотя бы одна лампа не перегорит – есть

Ответ: 0,999657.

Задача 8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

I способ

Пусть вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, – из I хозяйства – . Тогда вероятность того, что яйцo, купленное у агрофирмы, – из II хозяйства – .

1) из I хозяйства и I категории

2) из II хозяйства и I категории,

II способ

Пусть –количество яиц первого хозяйства, тогда количество яиц высшей категории в этом хозяйстве – .

Пусть –количество яиц второго хозяйства, тогда количество яиц высшей категории в этом хозяйстве – .

Так как по условию высшую категорию получает 60% яиц, а всего яиц, закупаемых агрофирмой , из которых высшей категории, то

То есть у первого хозяйства закупается в раза больше яиц.

Тогда вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства есть

Ответ: 0,6.

Задача 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого ) и промахивается (вероятность ). Вероятность этого события

Джон хватает непристрелянный револьвер (вероятность этого ) и промахивается (вероятность ). Вероятость этого события

Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить непристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:

Ответ: 0,46.

Задача 10. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше 12 задач, равна 0,78. Вероятность того, что У. верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 12 задач.

Решение:

Пусть событие А: «учащийся верно решит 12 задач»,

событие В: «учащийся решит больше 12 задач»,

событие С: «учащийся решит больше 11 задач».

При этом вероятность события С есть сумма вероятностей событий А и В:

– это и есть искомая вероятность.

Ответ: 0,1.

Задача 11. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

(Мы отметили за «X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Событие D: XХXO произойдет с вероятностью

Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью

Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью

Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью

Ответ: 0,392.

Задача 12. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение:

На своем пути паук встречает четыре развилки. И на каждой развилке паук может выбрать путь, ведущий к выходу D, с вероятностью 0,5 (ведь на каждой развилке возможны два независимых равновозможных события: «выбор верного пути» и «выбор неверного пути»). Паук дойдет до выхода D, если выберет «верный путь» на первой развилке и на второй, и на третьей, и на четвертой, то есть к выходу D паук придет с вероятностью, равной
Ответ: 0,0625.

Задача 13. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение:

Пусть – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.

Тогда – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Анализ дает положительный результат в случаях

пациент болен и (умножение) анализ положителен

или (сложение)

пациент не болен и анализ ложно положителен

Так как по условию задачи у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат, то

Округляем до тысячных: .

Ответ: 0,056.

Задача 14. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем - 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение:

Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 0,02?

При одном выстреле вероятность промаха – 0,6.

При двух выстрелах вероятность промаха – (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха –

При четырех выстрелах вероятность промаха –

При пяти выстрелах вероятность промаха –

Замечаем, что .

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98.

Устройство игровых автоматов - даже суперсовременных - настолько простое, что рассчитать теоретическую вероятность выигрыша не представляется сложной задачей. Но есть один существенное «но»: для таких расчетов нужно точно знать количество игровых символов на каждом барабане, а в современных слотах оно может быть огромным. Да и разработчики эмуляторов вовсе не горят желанием раскрыть главный секрет, позволяющий рассчитать свои шансы на победу в слотах.

Вероятность выигрыша

Чисто теоретически вероятность выигрыша можно рассчитать математически, но на практике невозможно определить, какая комбинация символов вам выпадет в следующем же раунде на игровом автомате. Дело в том, что результат каждого спина определяется генератором случайных чисел - а взломать его алгоритм и посмотреть, по какому принципу генератор «выдает» результат в виде совпавших игровых символов, попросту невозможно.

Как рассчитать шанс

Современные эмуляторы, с которыми можно познакомиться в каждом онлайн-казино, работают почти так же, как легендарные «однорукие бандиты» прошлого. У них точно так же есть определенное количество барабанов, и на каждый нанесено некое количество разных игровых символов. Шанс победы рассчитывается в зависимости от этих двух чисел простым возведением в степень.

К примеру, если игровой автомат предусматривает 3 барабана, по 20 символов, то количество комбинаций равняется 20 в 3 степени - то есть 20 х 20 х 20 = 8000 комбинаций. Для 3 барабанов и 32 символов количество комбинаций будет равным уже 32 768 (32 х 32 х 32). А если у аппарата 4 барабана и всего 22 символа на каждом, то количество комбинаций будет равняться 234 256 (22 х 22 х 22 х 22).

Теперь, когда количество комбинаций подсчитано, осталось лишь определить шансы на выпадение определенной последовательности игровых символов. К примеру, шансы выбить джекпот (три семерки) на классическом автомате с 3 барабанами и 20 символами на каждом из них (при условии, что на каждом из барабанов только по одной семерке) составляют 1 к 8000 (1/20 x 1/20 x 1/20). Если на одном барабане - две семерки, а на двух других - по одной, вероятность считается как 2/20 x 1/20 x 1/20 - получится шанс 1 к 4000.

Секреты крупных выигрышей

Поскольку узнать точное количество игровых символов в современных игровых автоматах - задача сложная и явно не для обычного игрока, секрет крупных выигрышей в слотах заключается не в математических подсчетах. Чтобы выиграть, надо в первую очередь увеличивать свои шансы на победу за счет выбора слотов. Из приведенных выше подсчетов вполне очевидно, что чем меньше количество барабанов, тем меньше возможных комбинаций - и больше шанс получить совпадение игровых символов.

Таким образом, главный секрет выигрыша в игровые автоматы - это выбирать самые простые слоты с минимальным количеством барабанов и линий выплат. Может быть, выглядят они совсем уж простыми и не интересными, зато прибыль в конечном итоге принесут наибольшую.

Условие

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение

Рассмотрим события

\[\text{ : """"}\],

\[\text{ : """"}\].

\[\text{A}\cdot \text{B = """"}\],

\[\text{A + B = """"}\].

По условию

& \text{P}\left(\text{A} \right)\text{ = P}\left(\text{B} \right)\text{ = 0}\text{,25; } \\

& \text{P}\left(\text{A}\cdot \text{B} \right)\text{ = 0}\text{,15} \\

События A и B совместные, так как могут происходить одновременно, следовательно, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

\[\text{P}\left(\text{A + B} \right)\text{ = P}\left(\text{A} \right)\text{ + P}\left(\text{B} \right)\text{ - P}\left(\text{A}\cdot \text{B} \right)\text{ = 0}\text{,25 + 0}\text{,25 - 0}\text{,15 = 0}\text{,35}\].

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Приведем другое решение

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,15 = 0,85. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х , откуда искомая вероятность х = 0,65.

Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: \[\text{P}\left(\text{A}\cdot \text{B} \right)=0,25\cdot 0,25=0,0625\], однако, по условию, эта вероятность равна 0,15.