Значение слова тождество. Тождества, определение, обозначение, примеры

Эта статья дает начальное представление о тождествах . Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.

Навигация по странице.

Что такое тождество?

Логично начать изложение материала с определения тождества . В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:

Определение.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.

При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ . Определение становится таким:

Определение.

Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.

Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.

Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.

Знак тождества

Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства .

Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.

Примеры тождеств

Пришло время привести примеры тождеств . В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.

Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .

Тождествами являются и числовые равенства вида 2+3=5 и 7−1=2·3 , так как эти равенства являются верными. То есть, 2+3≡5 и 7−1≡2·3 .

Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.

Рассмотрим равенство 3·(x+1)=3·x+3 . При любом значении переменной x записанное равенство является верным в силу распределительного свойства умножения относительно сложения, поэтому, исходное равенство является примером тождества. Вот еще один пример тождества: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y , здесь область допустимых значений переменных x и y составляют все пары (x, y) , где x и y - любые числа, кроме нуля.

А вот равенства x+1=x−1 и a+2·b=b+2·a не являются тождествами, так как существуют значения переменных, при которых эти равенства будут неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1 . Более того, равенство x+1=x−1 вообще не достигается ни при каких значениях переменной x . А равенство a+2·b=b+2·a обратится в неверное равенство, если взять любые различные значения переменных a и b . К примеру, при a=0 и b=1 мы придем к неверному равенству 0+2·1=1+2·0 . Равенство |x|=x , где |x| - переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .

Примерами наиболее известных тождеств являются вида sin 2 α+cos 2 α=1 и a log a b =b .

В заключение этой статьи хочется отметить, что при изучении математики мы постоянно сталкиваемся с тождествами. Записи свойств действий с числами являются тождествами, например, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 и a+(−a)=0 . Также тождествами являются

то, посредством чего одна вещь абсолютно подобна другой. Понимание обычно предполагает подведение («идентификацию») нового знания под то, что мы уже знаем. Именно в этом смысле тождество - форма всякого понимания. Мейерсон видел в синтезе всех знаний об универсуме, в их редукции к тождеству идеал науки: как раз, наука должна прийти в результате к единой формуле (представленной сегодня формулой относительности), из которой мы сможем вывести все частные законы науки. Этот идеал предстает скорее как философский, чем как научный, потому что научный прогресс ведет скорее к бесконечной диверсификации методов науки (специализация), и ее непосредственная цель состоит скорее в вечной возможности познания новых объектов, чем в унификации методов (эта работа по унификации составляет цель размышления о науке, эпистемологии).

Отличное определение

Неполное определение ↓

ТОЖДЕСТВО

Понятие Т. является осн. понятием философии, логики и математики, поэтому к нему относятся все трудности, связанные с выяснением и определением исходных (основных, фундаментальных) понятий науки. В комплексе вопросов, относящихся к понятию Т., особого внимания заслуживают два: вопрос о Т. "... самом по себе. Признаем мы, что оно существует, или не признаем?" (Plato, Phaed. 74 b; рус. пер. Соч., т. 2, 1970) и вопрос о Т. вещей. (Т. вещей выражают обычно символом "=", к-рый встречается впервые у Р. Рекорда в его "The whetstone of witte", L., 1557.) Первый из этих вопросов является частью вопроса об онтологич. статусе абстрактных объектов (см., напр., Отношение, Универсалии), второй имеет самостоят. значение. Как бы эти вопросы ни решались в философии, для логики и математики их решение всегда эквивалентно решению вопроса об определении понятия Т. Однако нетрудно убедиться, проанализировав любое из известных логических (математических) определений Т. (вместо со способом его обоснования), что "идея Т." и так или иначе определенное "понятие Т." – это не одно и то же. Идея Т. п р е д в а р я е т любое определение понятия (предиката) Т., равно как и вводимое определением понятие "тождественные вещи". Это обусловлено тем, что суждение о Т. к.-л. объектов всегда предполагает, что уже выполнены (или должны быть выполнены) какие-то другие, вспомогательные, но необходимые – отнюдь не посторонние для данного суждения – отождествления. Именно в связи с проблемой "допустимых отождествлений" филос. анализ может послужить полезной предпосылкой для логического и матем. анализа понятия Т. Принцип индивидуации. В соответствии с филос. т. зр. следует различать онтологич., гносеологич. и семантич. проблемы Т. вещей. Онтологическая проблема Т. – это проблема Т. вещей "самих по себе" или in se – по их "внутреннему обстоянию" (Г. Кантор). Она ставится и решается на основе п р и н ц и п а и н д и в и д у а ц и и (principium individuationis): всякая вещь универсума есть единств. вещь; двух различных вещей, из к-рых каждая была бы тою же вещью, что и другая, не существует. Именно "...в соответствии с началами индивидуации, которые проистекают от материи" мы принимаем, что "... всякая самосущая вещь, составленная из материи и формы, составлена из индивидуальной формы и индивидуальной материи" (Фома Аквинский, цит. по кн.: "Антология мировой философии", т. 1, ч. 2, М., 1969, с. 847, 862). Принцип индивидуации не содержит в себе никакого указания на то, как индивидуализировать предметы универсума или как они индивидуализированы "сами по себе", поскольку это уже имеет место; он лишь постулирует абстрактную возможность такой индивидуализации. И это естественно, коль скоро мы понимаем его как принцип чисто онтологический. Вопрос о том, как индивидуализировать предметы универсума, есть уже гносеологич. вопрос. Но в этом случае никакая возможная индивидуализация не выводит нас за пределы того и н т е р в а л а абстракции, к-рым определяется универсум рассуждения (см. Универсум). Хотя принцип индивидуации является древним филос. утверждением о мире, его аналоги можно найти и в (современных) собственно научных (математических, физических и др.) теориях. В этой связи можно сослаться на идею "субстанциональных", или мировых, точек (пространственных точек в определенный момент времени) в четырехмерном (абстрактном) "мире Минковского" и связанную с ней идею пространственно-временн?й модели физич. реальности, позволяющую индивидуа-лизировать каждый ее объект, или на принцип Паули, или, наконец, на гипотезу Г. Кантора о том, что любые два элемента произвольного множества различимы между собой. Можно даже считать, что принцип индивидуации лежит в основе всей классич. математики с ее – в известном смысле онтологическим – "само собой разумеющимся" постулатом упорядоченного (по величине) числового континуума. Принцип Т. неразличимых. Принимая принцип индивидуации, мы, тем не менее, как в повседневной практике, так и в теории, постоянно отождествляем различные предметы, т.е. говорим о разных предметах так, как если бы они были одной и той же вещью. Возникающая при этом абстракция отождествления различного была впервые явно отмечена Лейбницем в его знаменитом принципе Т. неразличимых (Principium identitatis indiscernibilium). Кажущееся противоречие между принципом индивидуации и принципом Т. неразличимых легко разъяснить. Противоречие возникает лишь тогда, когда, полагая, что, напр., x и у – разные вещи, в формулировке принципа Т. неразличимых имеют в виду их абсолютную, или онтологическую, неразличимость, а именно, когда думают, что неразличимость x и у предполагает, что x и у "сами по себе" не отличимы по любому признаку. Однако, если иметь в виду относительную, или гносеологическую, неразличимость x и у, напр. их неразличимость "для нас", хотя бы ту, с к-рой мы можем встретиться в результате практически осуществимого сравнения х и у (см. об этом в ст. Сравнение), то никакого противоречия не возникает. Если различать понятия "вещь", или предмет универсума "сам по себе", и "объект", или предмет универсума в познании, в практике, в отношении к др. предметам, то совместимость принципа Т. неразличимых и принципа индивидуации должна означать, что нет тождественных вещей, но есть тождественные объекты. Очевидно, что с онтологич. т. зр., выраженной в принципе индивидуации, Т. представляется абстракцией и, следовательно, идеализацией. Тем не менее оно имеет объективное основание в условиях существования вещей: практика убеждает нас в том, что существуют ситуации, в к-рых "разные" вещи ведут себя как "одна и та же" вещь. В этом смысле принцип Т. неразличимых выражает эмпирически подтверждаемый, основанный на опыте, факт нашей абстрагирующей деятельности. Поэтому "отождествление различного" по принципу Лейбница не следует понимать как упрощение или огрубление действительности, не соответствующее, вообще говоря, и с т и н н о м у п о р я д к у п р и р о д ы. Интервал абстракции отождест- вления. Неразличимость объектов, отождествляемых согласно принципу Т. неразличимых, может выражаться операционально – в их "поведении", истолковываться в терминах свойств, вообще определяться совокупностью нек-рых фиксиров. условий неразличимости. Эта совокупность условий (функций или предикатов), относительно к-рых к.-л. предметы универсума неразличимы, определяет интервал абстракции о т о ж д е с т в л е н и я этих предметов. Так, если на множестве предметов определено свойство А и предмет x им обладает, то для отождествления х и у в интервале абстракции, определяемом свойством А, необходимо и достаточно, чтобы предмет у также обладал свойством А, что символически можно выразить следующей аксиомой: A(x)?((x=y)?A(y)). Заметим, что при наличии "избыточной" информации о заведомом (естественно – "вне" данного интервала абстракции) различии предметов их отождествление "внутри" данного интервала абстракции может даже казаться парадоксальным. Типичный пример из теории множеств – "парадокс Сколема". Если смотреть "изнутри" интервала абстракции, определяемого свойством А, то х и у – абсолютно один и тот же объект, а не два предмета, как предполагается в приведенном выше рассуждении. Дело в том, что рассуждение о Т. двуx и, следовательно, различны х предметов возможно только в нек-ром метаинтервале, указывающем также на возможность индивидуализации x и у. Очевидно, что неразличимость x и у эквивалентна здесь их взаимозаменимости относительно свойства А, но, разумеется, не относительно любого свойства. В этой связи укажу на абстракцию актуальной различимости, вытека-ющую из принципа индивидуации и связанную с таким истолкованием этого принципа, при к-ром он сводится к утверждению о существовании условий, в к-рых индивидуализация всегда осуществима (напр., условий, в к-рых x и у уже не будут взаимозаменимы, что и позволит, естественно, говорить об их индивидуальности). В этом смысле принцип индивидуации отличается тем же характером, что и т.н. "чистые" постулаты существования в математике, и может рассматриваться как абстракция индивидуализации. Не говоря уже об "абстрактных" матем. объектах, очевидно, что и для "конкретных" физич. предметов природы условия индивидуализации любого из них отнюдь не всегда могут быть найдены или явно указаны в к.-л. конструктивном смысле. Более того, задача их разыскания иногда принципиально неосуществима, как об этом свидетельствует, напр., принцип "неделимости квантовых состояний" и обусловленная им, предписанная самой природой, неопределенность в нашем описании "индивидуального поведения" элементарных частиц. Д о п о л н е н и я. Интервал абстракции отождествления может быть столь (но не сколь угодно) широк, что в него войдут все (исходные) понятия (функции или предикаты) рассматриваемой в том или ином случае теории. Тогда говорят, что х=у для любого понятия А. В этом случае и квантор "для любого", и Т. имеют относительный характер – они p е л я т и в и з и р о в а н ы множеством понятий теории, к-рое ограничено, в свою очередь, осмысленностью этих понятий (и н т е р в а л о м значения) по отношению к предметам универсума данной теории. Напр., предикат "красный" не определен на множестве натуральных чисел и поэтому к нему не могут относиться слова "для любого предиката", когда говорят о Т. в арифметике. Такие с м ы с л о в ы е о г р а н и ч е н и я по сути дела всегда имеют место в приложениях теории, чем и исключаются противоречия, связанные с нарушением интервала абстракции отождествления. Поскольку в отождествлениях имеют в виду только предикаты данной теории – интервал абстракции отождествления фиксирован. Предметы универсума, неразличимые относительно каждого предиката теории, неразличимы абсолютно в данном интервале-абстракции и могут рассматриваться как "один и тот же" объект, что как раз и соответствует обычному истолкованию Т. Если относительно каждого такого предиката неразличимы все предметы универсума, то последний в этом случае будет представляться нам одночленной совокупностью, хотя в др. интервале абстракции он может и не быть таковым. Так, если условие А - тавтология, то в подразумеваемой предметной области все предметы тождественны в интервале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить критерием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абстракцию отождествления элементов множества любой мощности, "превращая" разные элементы в "один и тот же" абстрактный объект. Неудивительно поэтому, что к аксиомам "чистого" предикатов исчисления первой ступени можно без противоречия присоединять формулу?хА(х)^/xA(x), выражающую тождественность (или абсолютную неразличимость) всех предметов универсума. По-видимому, эта неполнота чистого исчисления предикатов (элементарной логики) обусловлена именно его неонтологическим характере м. В прикладных логических исчислениях, в частности в теории множеств, выходя из сферы "чистой логики", мы вынуждены - во избежание парадоксов- фиксировать интервал абстракции отождествления. В этих случаях Т., поскольку речь идет об отождествлениях только в данной системе понятий, может быть введено конечным списком аксиом Т. для конкретных функций и предикатов рассматриваемой теории. Но постулируя т.о. те или иные отождествления, мы как бы ф о р м и р у е м универсум в соответствии с принципом Т. неразличимых. Значит универсум в этом смысле является эпистемологич. понятием, зависящим от наших абстракций. Вопрос, что считать "одним и тем же" объектом, каково число "различных" индивидуумов в предметной области (какова мощность области индивидуумов), – это в известном смысле вопрос о том, как мы применяем наши абстракции и какие именно, а также какова объективная область их применимости. В частности, это всегда вопрос об интервале абстракции. Вот почему с нашей т. зр. указание на интервал абстракции отождествления в определении Т. следует считать необходимым условием осмысленного применения " п о н я т и я Т.". Понятие "интервал абстракции отождествления" является гносеологич. дополнением к понятию абстракции отождествления и, в известном смысле (содержательным), его уточнением. Кроме того, вводя понятие Т. в интервале абстракции, мы легко достигаем необходимой общности в построении теории Т., избегая обычного "умножения понятий", связанного с различением терминов "тождественный", "подобный", "равный", "эквивалентный" и пр. В связи с вышесказанным определение предиката Т. в формулировке Гильберта – Бернайса, задаваемое, как известно, условиями: 1) х=х 2) х=y? (A(x)? А(у)), можно интерпретировать так, что условие 2) будет выражать Т. предметов универсума в интервале абстракции, определяемом множеством аксиом, задаваемых схемой аксиом 2). Что же касается условия 1), то, выражая свойство рефлексивности Т., оно в известном смысле соответствует принципу индивидуации. По крайней мере, очевидно, что из принципа индивидуации не следует отрицания условия х=х, поскольку между принципом индивидуации и традиц. принципом Т. (абстрактным Т. – lex identitatis), выражаемым формулой х=х, имеется следующая определенная "связь по смыслу": если бы индивидуальный предмет универсума не был тождествен с самим собой, то он не был бы самим собой, а был бы другим предметом, что, конечно, ведет к отрицанию принципа индивидуации (ср. Энгельс Ф.: "... тождество с собой уже с самого начала имеет своим необходимым дополнением отличие о т в с е г о д р у г о г о" – Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 530). Т.о., принцип индивидуации предполагает утверждение х=х, к-рое является его необходимым условием – логической о с н о в о й понятия индивидуального. Достаточно констатировать совместимость х=х с принципом индивидуации, чтобы, основываясь на совместимости 1) и 2), утверждать совместимость принципа индивидуации с принципом Т. неразличимых, а принимая во внимание независимость 1) и 2), прийти к заключению о независимости этих же принципов, по крайней мере, в рассматриваемом случае. То обстоятельство, что принцип индивидуации в отмеченном выше смысле соответствует традиц. закону Т. (см. Тождества закон), представляет особый интерес с т. зр. проблемы "реализуемости" абстрактного Т. в природе, а значит. и онтологич. статуса абстракций вообще. Принцип Т. неразличимых в том его истолковании, к-рое дано выше - как принцип Т. в интервале абстракции, - выражает по существу философскую гносеологическую идею Т., основанного на понятии практики. Что же касается математики, где так или иначе оперируют с предикатом Т., с условием, что тождественное можно заменять тождественным (см. Правило замены равного равным), то здесь, принимая принцип индивидуации, т.е. полагая, что каждый матем. объект в универсуме рассуждения индивидуален, по видимости, легко можно уйти от решения гносеологич. проблемы Т., потому что в предложениях матем. теорий матем. объекты фигурируют не "сами по себе", а через своих представителей – обозначающие их символы. Отсюда возможность построений, существенно игнорирующих условие индивидуальности этих объектов; Так, известное построение взаимно-однозначного соответствия между совокупностью натуральных чисел и ее частью – совокупностью всех четных чисел (парадокс Галилея) игнорирует единственность каждого натурального числа, довольствуясь Т. его представителей: иначе как возможно указанное построение? Аналогичных построений в математике множество. Утверждению "предмет x тождествен предмету y" математик обычно приписывает следующий смысл: "символы x и у обозначают один и тот же предмет" или "символ x обозначает тот же предмет, к-рый обозначен символом у". Очевидно, что так понимаемое Т. относится скорее к языку соответствующих исчислений (вообще к формализованному языку) и выражает, по существу, случай языковой синонимии, а вовсе не философский гносеологич. смысл Т. Однако характерно, что даже и в этом случае не удается избежать относит. отождествления, основанного на применении принципа абстракции, поскольку синонимы возникают как результат абстракции отождествления по обозначению (см. Синонимы в логике). К тому же при интерпретации исчислений любое такое с е м а н т и ч е с к о е определение Т. как "отношения между выражениями языка" необходимо дополнять разъяснением того, чт? в этой семантич. формулировке Т. означают слова "один и тот же предмет". В связи с этим формулировка принципа Т., известная как лейбницевско-расселовская (см. Равенство в логике и математике), вряд ли соответствует филос. т. зр. самого Лейбница. Известно, что Лейбниц принимал принцип индивидуации: "Если бы два индивида были совершенно... не различимы сами по себе, то...в этом случае не было бы индивидуального различия или различных индивидов" ("Новые опыты о человеческом разуме", М.–Л., 1936, с. 202). Известно также, что любое нетривиальное употребление Т., соответствующее принципу Т. неразличимых, предполагает, что x и у – разные предметы, к-рые лишь относительно неразличимы, неразличимы в нек-ром интервале абстракции, определяемом либо разрешающей способностью наших средств различения, либо принимаемой нами абстракцией отождествления, либо, наконец, задаваемом самой природой. Но в формулировке Рассела наличие неогранич. квантора общности по предикатной переменной, придавая определению а б с о л ю т н ы й характер ("абсолютность" здесь следует понимать как антипод "относительности" в указ. выше смысле), навязывает идею абс. неразличимости x и у, противоречащую принципу индивидуации, хотя из определения Рассела выводима формула х=х, к-рая, как было отмечено выше, совместима и с принципом Т. неразличимых и с принципом индивидуации. В свете идеи Т. в интервале абстракции выясняется еще одна гносеологич. роль принципа абстракции: если в определении Т. предикат (хотя бы и произвольный) характеризует класс абстракции предмета х, и у – элемент этого класса, то тождественность x и у в силу принципа абстракции не предполагает, что x и у должны быть одним и тем же предметом в онтологич. смысле. С этой т. зр., два предмета универсума, принадлежащие к одному классу абстракции, рассматриваются как "один и тот же" предмет не в онтологическом, а в гносеологич. смысле: они тождественны только как абстрактные представители одного класса абстракции и только в этом смысле они неразличимы. В этом, собственно, и состоит диалектика понятия Т., а также ответ на вопрос: "Как могут быть тождественны разные предметы?". Лит.: Жегалкин И. И., Арифметизация символической логики, "Матем. сб.", 1929, т. 36, вып. 3–4; Яновская С. ?., О так называемых "определениях через абстракцию", в кн.: Сб. статей по философии математики, М., 1936; Лазарев Ф. В., Восхождение от абстрактного к конкретному, в кн.: Сб. работ аспирантов и студентов философского факультета МГУ, М., 1962; Вейль Г., Дополнения, в сб.: Прикладная комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1968. М. Новоселов. Москва.

Этимологический Словарь Русского Языка

Тождество

Греческое – «тот же, такой же».

Старославянское – тъжде (такой, так).

Слово образовано от церковнославянского местоимения по принципу русского словообразования и имеет значение «одинаковый, идентичный».

Производное: тождественный.

Начала Современного Естествознания. Тезаурус

Тождество

равенство (числовое, алгебраическое, аналитическое), справедливое во всех точках области или при всех допустимых значениях переменных (ср. Идентичность).

Риторика: Словарь-справочник

Тождество

Тождество в риторике : один из топов определения, отношение термов которого указывает на их полную или частичную равнозначность: «Деньги есть деньги»; установленная топом идентичность позволяет разводить его различные значения: «Деньги есть деньги, но здесь рубли, а там валюта

Словарь лингвистических терминов

Тождество

Соответствие звуков, морфем, слов и словосочетаний, имеющих общее происхождение. Генетическое тождество часто не представляет собой материального и семантического совпадения. Так, генетическое тождество звуков не означает их акустического и артикуляционного совпадения. В современных языках генетически тождественные звуки могут отличаться по своей акустической и артикуляционной природе. Например, [г] и [ж] генетически родственные звуки, хотя [г] – заднеязычный смычной, [ж] – переднеязычный щелевой. Названные звуки регулярно соответствуют друг другу в одних и тех же морфемах, различающихся тем, что после [г] шел гласный непереднего ряда, а после [ж] – гласный переднего ряда: железо (рус.), gelezis (лит), gelsu (прусск.);

желтый (рус.), geltas (лит.), gelb (нем). Тождество в риторике : один из топов определения, отношение термов которого указывает на их полную или частичную равнозначность: "Деньги есть деньги";

установленная топом идентичность позволяет разводить его различные значения: "Деньги есть деньги, но здесь рубли, а там валюта".

Криминалистическая энциклопедия

Тождество

(идентичность)

предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. В теории криминалистической идентификации термин Т. обозначает наличие у объекта неповторимой совокупности устойчивых признаков, отличающей его от всех иных, в т. ч. ему подобных, объектов, индивидуализирующей объект и дающей возможность распознать его в разные моменты времени и в различных состояниях.

Философский словарь (Конт-Спонвиль)

Тождество

Тождество

♦ Identité

Совпадение, свойство быть таким же. Таким же, как что? Таким же, как такое же, иначе это будет уже не тождество. Таким образом, тождество есть в первую очередь отношение себя к себе (мое тождество это и есть я сам) либо, если речь идет не о субъектах, отношение между двумя объектами, являющими собой один и тот же объект. «В строгом смысле слова этот термин чрезвычайно точен, – отмечает Кин, – вещь тождественна самой себе и ничему другому, даже дубликату-близнецу» («Сущности», статья «Тождество»). Два монозиготных близнеца, даже если предположить, что они совершенно схожи, являются близнецами только потому, что они суть два разных индивидуума; если бы они были абсолютно тождественны (в том смысле, в каком автор «Пармской обители» тождественен автору «Люсьена Левена» (и тот и другой романы принадлежат перу Стендаля. – Прим. ред.)), они составляли бы единое существо и не были бы близнецами. Таким образом, тождество в строгом смысле слова подразумевает уникальность, свойство быть одним и тем же, а никто не может в точности повторять никого, кроме себя.

В более широком и более прочно укоренившемся в традиции значении тождественными называют два объекта, дабы подчеркнуть их сходство. Например, друзья отмечают между собой тождество точек зрения или вкусов.

Оба значения имеют право на существование, важно лишь не путать одно с другим. Поэтому, употребляя слово «тождество» в первом значении, к нему часто добавляют определение «количественное» (чтобы подчеркнуть, что речь идет об одном и том же объекте: «Мы живем в одном и том же доме»). В отличие от этого специфическое или качественное тождество указывает на полное сходство между многими различными объектами (выражение «У нас с ним одна и та же машина» подразумевает существование двух автомобилей одной марки, одной модели и одного цвета).

Тождество последнего вида никогда не бывает абсолютным (два тождественных автомобиля никогда не бывают абсолютно одинаковыми). Но бывает ли абсолютным количественное тождество? В настоящем времени – да, бывает, но только и исключительно в настоящем времени. Если рассматривать его с точки зрения времени, то оно становится таким же относительным, как качественное тождество, а быть может, и еще более иллюзорным. Стендаль начал писать «Люсьена Левена» в 1834 году и был тогда на четыре года моложе автора «Пармской обители». Какое же здесь тождество? А если он все-таки был тождественен себе более позднему, то почему написал другую книгу, а не ту же самую?

Заблуждением было бы думать, что понятие тождества, формальное по своей сути, способно дать нам какое-либо знание о реальной действительности. Утверждение, что Стендаль, Анри Бейль и автор «Жизни Анри Брюлара» являют собой единое целое, позволяет нам получить хоть какое-то знание только в том случае, если нам известно, что означает каждое из этих слов. Точнее даже, лишь потому, что это нам известно, мы и можем утверждать, что все три упомянутых лица являются одним и тем же человеком. Тождество, подобно удостоверению личности, ничего не сообщает о содержании того, на что указывает (ибо это не сущность); оно лишь говорит, что это содержание равно самому себе. А=А. Тождество не есть сущность, хотя сущность подразумевает тождество.

Вполне вероятно, во всяком случае, я придерживаюсь именно такого мнения, что во времени ничто не способно оставаться тождественным себе. Ничто не остается постоянным, как говорят буддисты, и нельзя дважды войти в одну и ту же реку. Что нисколько не мешает реальной действительности оставаться тождественной себе в настоящем времени. В этом пункте Парменид торжествует победу над Гераклитом, хотя триумф его тщетен: он побеждает и в том случае, если бы прав был Гераклит. Мы можем думать, что есть такая вещь, как тождество; однако о том, что такое тождество, мысль может узнать только благодаря бытию, а не самому тождеству. Не бывает онтологии a priori. Тождество есть необходимое, но пустое понятие. Это всего лишь имя, которое мы присваиваем чистому присутствию себя в реальности, тогда как реальность именем не является.

Тождество – одно из измерений молчания, благодаря которому возможна речь.

Риторика: Словарь-справочник

Тождество

- это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Тождество - это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у », «х то же самое, что и y »), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Тождество - это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли.

Логические и философские аспекты Тождество дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Тождество , второй - основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Тождество связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.

Различение логических и философских аспектов Тождество восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Тождество как понятие - это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Тождество исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, - путём предположений (гипотез ) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Тождество предметов в точности совпадает с Тождество в логическом смысле.

Важность понятия Тождество обусловила потребность в специальных теориях Тождество Самый распространённый способ построения этих теорий - аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х ,

2. х = у É у = х ,

3. x = y & y = z É x = z ,

4. А (х ) É (х = у É А (у )),

где А (х ) - произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у , а А (х ) и А (у ) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y .

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Тождество В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Тождество , к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Тождество , основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой - и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Тождество Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат - в данном случае равновесие - один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Тождество как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте - от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Тождество , удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Тождество Она утверждает, что суперпозиция Тождество также есть Тождество и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Тождество - это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Тождество : неразличимость гарантирует только Тождество в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Тождество как эквивалентности .

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Тождество предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» - по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым - основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ - конгруентных ей «содержательных» аксиом Тождество Например, в аксиоматической теории множеств Цермело - Френкеля - аксиомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y ),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z ),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1-3, определяющих Тождество как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1-4 относятся к так называемым законам Тождество Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Тождество не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Тождество Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Тождество необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, ., 1973.

М. М. Новосёлов.

Статья про слово "Тождество " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 8309 раз

Тождество - это философско-логическое понятие, выражающее равенство (одинаковость) предмета или явления с самим собой либо равенство нескольких предметов или явлений между собой. Тождество обычно представлено в естественном языке либо в форме «a (есть) то же, что и b » или «a тождественно b », что может быть символизировано как «a = b » (такое утверждение обычно называют абсолютным тождеством), либо в форме «a есть то же по свойству Φ, что и b » (утверждения подобного вида называются относительным тождеством и могут быть символизированы как «a = Φ b »).

Утверждения тождества, как правило, истолковываются различным образом. Наиболее ограничительным является предложение Л. Витгенштейна, выдвинутое в его «Логико-философском трактате» (1921): элиминировать утверждения тождества путём введения специальных ограничений на единичные термины, когда каждому предмету сопоставляется не более одного единичного термина. Альтернативный подход представлен классической теорией тождества (Дж. Перри, Дж. Нельсон), сводящей все тождества естественного языка к абсолютным тождествам (обычно в этом случае тождество определяется с помощью закона Г. В. Лейбница x = y = Df ∀F (F (x ) = F (y ))), и релятивистской теорией (П. Гич), сводящей все тождества к относительным.

Существует и смешанная нередукционистская стратегия (Д. Одегард), когда принимаются во внимание оба вида тождества. Классическая теория тождества базируется на утверждении о том, что всё тождественно самому себе, ничто не является тождественным чему-либо ещё, кроме самого себя (Д. Льюис). Однако при подобном понимании тождества для физических объектов возникают проблемы преемственности (самотождественны ли длящиеся во времени предметы, сохраняются ли предметы после замены их частей). Согласно Г. Фреге, мы должны уметь распознавать объект, обозначенный введённым нами символом, как тот же самый. В связи с этим вводится принцип неразличимости тождественных предметов, гласящий, что тождественные объекты неразличимы по свойствам. Такое понятие тождества удобно для математических целей, где объекты заданы жёстко и не изменяются со временем.

Теория относительного тождества принимает следующий постулат: два предмета могут совпадать по отношению к одному свойству и различаться по отношению к другому. Тем не менее, теория относительного тождества сводится к классической теории абсолютного тождества, если ввести двухместный предикат тождества с помощью определения x = y = Df ∃ψ(x = ψ y ) (Л. Стивенсон), либо считать закон Лейбница определением тождества и принять аксиому х = Φ y ⊃ ∀Ψ (Ψ(x ) ≡ Ψ(y )).

Формальные теории относительного тождества в большинстве своём строятся в рамках второпорядковой логики, поскольку приходится вести речь о совокупности свойств. Отношению относительного тождества в этом случае сопоставляется множество свойств Δ Φ , такое, что Φ-тождественность влечёт неразличимость по отношению к свойствам из Δ Φ . Полная спецификация Δ Φ для данного Φ в общем случае затруднительна (при конструктивистском подходе прибегают к абстракции отождествления , при которой выделяются общие свойства и отношения при одновременном отвлечении от некоторых характеристик исследуемых объектов). Обычно вводят Δ как новый константный (реляционный) символ отношения на свойствах и определяют относительное тождество как x = Φ у тогда и только тогда, когда для каждого Ψ, такого, что Δ Φ (Ψ), Ψ(x ) тогда и только тогда, когда Ψ(y ). Интуитивно Δ Φ (Ψ) означает, что Ψ является членом множества свойств Δ Φ , определяемого для Φ и замкнутого относительно отрицания, конъюнкции и импликации. Более гибкая трактовка получается при переходе к неклассической второпорядковой логике, например трёхзначной второпорядковой логике (Р. Роутли и Н. Гриффин).

В последние десятилетия проблема тождества часто обсуждалась в связи с проблемой семантики возможных миров . Центральными вопросами при этом были проблема подстановки тождественных выражений и проблема идентификации индивидов сквозь возможные миры. Закон подстановки тождественного гласит, что если один из двух тождественных объектов обладает определённым свойством, то им обладает и второй объект. Однако в модальных контекстах это приводит к тому, что все тождества являются необходимыми тождествами, то есть если a = b , то выводимо (a = b ). Тем самым ставится под сомнение возможность случайных утверждений о тождестве.

Для решения этой проблемы С. Крипке вводит в рассмотрение термин «жёсткий десигнатор», обозначающий один и тот же объект во всех возможных мирах. В этом случае если a и b являются жёсткими десигааторами, то утверждение a = b не только истинно, но и необходимо истинно. В противном случае из a = b не следует (a = b ), хотя объекты, обозначенные как a и b , будут тождественны.

Другое решение, предложенное Я. Хинтиккой, заключается в задании подкласса класса индивидуальных концептов (то есть функций, принимающих в качестве своих аргументов возможные миры, а в качестве значений - объекты соответствующих предметных областей). Элементы этого подкласса (индивидуирующие функции или мировые линии) служат для связи индивидов из различных предметных областей, присущих различным мирам (например, имя «Сократ» означает лицо, являющееся Сократом в различных обстоятельствах, другими словами, означает всех индивидов в различных мирах, связанных между собой мировой линией). Индивиды, связанные мировыми линиями, являются как раз теми индивидами, которые предполагаются тождественными в подходе Крипке.

В представлениях знаний и эпистемических контекстах часто возникает необходимость в представлении ложных тождеств, то есть ситуаций, в которых объекты, считающиеся субъектом тождественными, на самом деле различны, или наоборот, тождественные объекты полагаются различными. Теория жёстких десигнаторов не предусматривает таких ситуаций, в то время как подход Хинтикки позволяет рассматривать два различных способа отождествления: субъективный и обычный. Субъективное отождествление связывает два объекта мировой линией тогда и только тогда, когда они полагаются тождественными некоторым субъектом в определённом состоянии знания.