Сумма чисел с разными знаками. Сложение и вычитание целых чисел

Сложение чисел с разными знаками

Вычитание чисел с разными знаками

Вопросы для самопроверки

Выполните упражнения

План урока:

I. Организационный момент

Проверка индивидуального домашнего задания.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Взаимотренаж. Контрольные вопросы (парная организационная форма работы – взаимопроверка).
2. Устная работа с комментированием (групповая организационная форма работы).
3. Самостоятельная работа (индивидуальная организационная форма работы, самопроверка).

III. Сообщение темы урока

Групповая организационная форма работы, выдвижение гипотезы, формулирование правила.

1. Выполнение тренировочных заданий по учебнику (групповая организационная форма работы).
2. Работа сильных обучающихся по карточкам (индивидуальная организационная форма работы).

VI. Физпауза

IX. Домашнее задание.

Цель: формирование навыка сложения чисел с разными знаками.

Задачи:

Сформулировать правило сложения чисел с разными знаками.
Отрабатывать умение складывать числа с разными знаками.
Развивать логическое мышление.
Воспитывать умение работать в паре, взаимоуважение.

Материал к уроку: карточки для взаимотренажа, таблицы результатов работы, индивидуальные карточки на повторение и закрепление материала, девиз для индивидуальной работы, карточки с правилом.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Начнём урок с проверки индивидуального домашнего задания. Девизом нашего урока будут слова Яна Амоса Каменского. Дома вам нужно было подумать над его словами. Как вы его понимаете? («Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»)
– Как вы понимаете слова автора? (Если мы не узнаём ничего нового, не получаем новые знания, то этот день можно считать пропавшим или несчастным. Надо стремиться к получению новых знаний).
– И сегодняшний день не будет несчастным потому, что мы опять будем узнавать что-то новое.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

– Для того чтобы изучать новый материал, надо повторить пройденный.
Дома было задание – повторить правила и сейчас вы покажете свои знания, поработав с контрольными вопросами.

(Контрольные вопросы по теме «Положительные и отрицательные числа»)

Работа в паре. Взаимопроверка. Результаты работы отмечают в таблице)

Как называются числа расположенные справа от начала координат?	Положительные
Какие числа называют противоположными?	Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными
Что называют модулем числа?	Расстояние от точки А(а) до начала отсчёта, т. е. до точки О(0), называют модулем числа
Как обозначают модуль числа?	Прямыми скобками
Сформулируй правило сложения отрицательных чисел?	Чтобы сложить два отрицательных числа надо: сложить их модули и поставить знак минус
Как называются числа расположенные слева от начала координат?	Отрицательные
Какое число противоположно нулю?	0
Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом?	Нет. Расстояние не бывает отрицательным
Назови правило сравнения отрицательных чисел	Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и меньше то, у которого модуль больше
Чему равна сумма противоположных чисел?	0

Ответы на вопросы «+» правильно, «–» неправильно Критерии оценки: 5 – «5»; 4 – «4»;3 – «3»

– Какие вопросы были наиболее трудными?
– Что нужно для успешной сдачи контрольных вопросов? (Знать правила)

2. Устная работа с комментированием

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Какие знания вам были нужны для решения 1-5 примеров?

3. Самостоятельная работа

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(Самопроверка. Открыть во время проверки ответы)

– Почему последний пример вызвал у вас затруднение?
– Сумму каких чисел нужно найти, а сумму каких чисел мы знаем, как находить?

III. Сообщение темы урока

– Сегодня на уроке мы узнаем правило сложения чисел с разными знаками. Будем учиться складывать числа с разными знаками. Самостоятельная работа в конце урока покажет ваши успехи.

IV. Изучение нового материала

– Откроем тетради, запишем дату, классная работа, тему урока «Сложение чисел с разными знаками».
– Что изображено на доске? (Координатная прямая)

– Докажите, что это координатная прямая? (Есть начало отсчёта, направление отсчёта, единичный отрезок)
– Сейчас мы с вами вместе будем учиться складывать числа с разными знаками с помощью координатной прямой.

(Объяснение обучающихся под руководством учителя.)

– Найдём на координатной прямой число 0. К 0 надо прибавить число 6. Делаем 6 шагов в правую сторону от начала координат, т.к. число 6 – положительное (ставим цветной магнитик на получившееся число 6). К 6 прибавим число (– 10), делаем 10 шагов в левую сторону от начала координат, т. к. (– 10) число отрицательное (ставим цветной магнитик на получившееся число (– 4).)
– Какой получили ответ? (– 4)
– Как получили число 4? (10 – 6)
Сделайте вывод: Из числа с большим модулем вычли число с меньшим модулем.
– Как в ответе получили знак минус?
Сделайте вывод: Взяли знак у числа с большим модулем.
– Запишем пример в тетрадь:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Аналогично решаем)

Принята запись:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Ребята, вы сейчас сами сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Ваши предположения мы назовём гипотезой . Вы выполнили очень важную интеллектуальную работу. Подобно учёным выдвинули гипотезу и открыли новое правило. Сверим вашу гипотезу с правилом (листок с отпечатанным правилом лежит на парте). Прочитаем хором правило сложения чисел с разными знаками

– Правило очень важное! Оно позволяет сложить числа разных знаков без помощи координатной прямой.
– Что не понятно?
– Где можно сделать ошибку?
– Для того чтобы правильно и без ошибок вычислять задания с положительными и отрицательными числами, надо знать правила.

V. Закрепление изученного материала

– Сможете ли вы найти сумму этих чисел на координатной прямой?
– С помощью координатной прямой такой пример решить трудно, поэтому будем использовать при решении открытое вами правило.
Задание написано на доске:
Учебник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильный ученик работает на закрепление данной темы с дополнительной карточкой.)

VI. Физпауза (Выполняют стоя)

– Человек обладает положительными и отрицательными качествами. Распределите эти качества на координатной прямой.
(Положительные качества – справа от начала отсчёта, отрицательные – слева от начала отсчёта.)
– Если качество отрицательное – хлопаем один раз, положительное – два раза. Будьте внимательны!
– Доброта , злость, жадность, взаимовыручка , взаимопонимание , грубость, и, конечно же, сила воли и стремление к победе , которые вам сейчас потребуются, так как впереди у вас самостоятельная работа)
VII. Индивидуальная работа с последующей взаимопроверкой

Вариант 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

Индивидуальная работа (для сильных обучающихся) с последующей взаимопроверкой

Вариант 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия

– Я считаю, что вы поработали активно, старательно, участвовали в открытии новых знаний, высказывали свое мнение, сейчас я могу оценить вашу работу.
– Скажите, ребята, что эффективнее: получать готовую информацию или размышлять самим?
– Что нового мы узнали на уроке? (Научились складывать числа с разными знаками.)
– Назовите правило сложения чисел с разными знаками.
– Скажите, наш урок сегодня не зря прошёл?
– Почему? (Получили новые знания.)
– Вернемся к девизу. Значит, Ян Амос Каменский был прав, когда сказал: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

IX. Домашнее задание

Выучить правило (карточка), с.45, №184.
Индивидуальное задание – как вы понимаете слова Роджера Бэкона: «Человек, не знающий математику, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества?

Сложение отрицательных чисел.

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .

Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .

Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

Возьмем модули обоих чисел - |a| и |b| - и сравним эти абсолютные значения между собой.
Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

Если «а» - положительное число, а «с» - отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
Если «а» - отрицательное число, а «с» - положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = - а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

Если температура воздуха была равна 9°С, а потом она изменилась на -6°С (т. е. понизилась на 6°С), то она стала равной 9 + (-6) градусам (рис. 83).

Рис. 83

Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой, надо точку A(9) переместить влево на 6 единичных отрезков (рис. 84). Получим точку В(3).

Рис. 84

Значит, 9 + (-6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6.

Действительно, |3| = 3 и |9| - |-6| = 9 - 6 = 3.

Если та же температура воздуха 9°С изменилась на -12°С (т. е. понизилась на 12°С), то она стала равной 9 + (-12) градусам (рис. 85).

Рис. 85

Сложив числа 9 и -12 с помощью координатной прямой (рис. 86), получим 9 + (-12) = -3. Число -3 имеет тот же знак, что и слагаемое -12, а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9.

Рис. 86

Действительно, |-3| = 3 и |-12| - |-9| = 12 - 9 = 3.

Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей.

Например:

При сложении положительных и отрицательных чисел можно использовать микрокалькулятор. Чтобы ввести отрицательное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль этого числа, потом нажать клавишу «изменение знака» . Например, чтобы ввести число -56,81, надо последовательно нажимать клавиши: . Операции над числами любого знака выполняются на микрокалькуляторе так же, как над положительными числами. Например, сумму -6,1 + 3,8 вычисляют по программе

Короче эту программу пишут так: .

Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет отрицательное число? если меньший модуль имеет отрицательное число? если больший модуль имеет положительное число? если меньший модуль имеет положительное число?
Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.
Как ввести в микрокалькулятор отрицательное число?

Сам/работа

Инд/ работа

1061. Число 6 изменили на -10. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 6 и -10?

1062. Число 10 изменили на -6. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 10 и -6?

1063. Число -10 изменили на 3. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 3?

1064. Число -10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 15?

1065. В первую половину дня температура изменилась на -4°С, а во вторую - на +12 °С. На сколько градусов изменилась температура в течение дня?

1066. Выполните сложение:

а) 26 + (-6);
б) -70 + 50;
в) -17 + 30;
г) 80 + (-120);
д) -6,3 + 7,8;
е) -9 + 10,2;
ж) 1 + (-0,39);
з) 0,3 + (-1,2);

1067. Прибавьте:

а) к сумме -6 и -12 число 20;
б) к числу 2,6 сумму -1,8 и 5,2;
в) к сумме -10 и -1,3 сумму 5 и 8,7;
г) к сумме 11 и -6,5 сумму -3,2 и -6.

1068. Какое из чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения -6 + х = -13,1?

1069. Угадайте корень уравнения и выполните проверку:

а) х + (-3) = -11;
б) -5 + у = 15;
в) т + (-12) = 2;
г) 3 + п = -10.

1070. Найдите значение выражения:

1071. Выполните действия с помощью микрокалькулятора:

а) -3,2579 + (-12,308);
б) 7,8547 + (-9,239);
в) -0,00154 + 0,0837;
г) -3,8564 + (-0,8397) + 7,84;
д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
е) -0,0085 + 0,00354 + (-0,00921).

1072. Найдите значение суммы:

1073. Найдите значение выражения:

1074. Сколько целых чисел расположено между числами:

а) 0 и 24;
б) -12 и -3;
в) -20 и 7?

1075. Представьте число -10 в виде суммы двух отрицательных слагаемых так, чтобы:

а) оба слагаемых были целыми числами;
б) оба слагаемых были десятичными дробями;
в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью.

1076. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками координатной прямой с координатами:

а) 0 и а;
б) -а и а;
в) -а и 0;
г) а и -За?

1077. Радиусы географических параллелей земной поверхности, на которых расположены города Афины и Москва, соответственно равны 5040 км и 3580 км (рис. 87). На сколько параллель Москвы короче параллели Афин?

Рис. 87

1078. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков:

1079. Решите задачу:

В первый день путешественники проехали 240 км, во второй день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза больше, чем во второй, а в четвёртый день они отдыхали. Сколько километров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали в среднем по 230 км в день?
Фермер с двумя сыновьями собранные яблоки поместили в 4 контейнера, в среднем по 135 кг в каждый. Фермер собрал 280 кг яблок, а младший сын - в 4 раза меньше. Сколько килограммов яблок собрал старший сын?

1080. Выполните действия:

(2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
(7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).

1081. Выполните сложение:

1082. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых каждое из чисел: 10; -8; -6,8; .

1083. Найдите значение а + b, если:

1084. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. Жилую площадь по 22,8 м 2 имели 2 квартиры, по 16,2 м 2 - 3 квартиры, по 34 м 2 - 2 квартиры. Какую жилую площадь имела восьмая квартира, если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м 2 жилой площади?

1085. В составе товарного поезда было 42 вагона. Крытых вагонов было в 1,2 раза больше, чем платформ, а число цистерн составляло числа платформ. Сколько вагонов каждого вида было в составе поезда?

1086. Найдите значение выражения

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа .

Навигация по уроку:

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как: заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Если испытываете трудности, обязательно повторите урок .

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Вычислим данное выражение в следующем : слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Пример 5 . Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно :

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение . Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти выражения выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно , в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим.

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения: