Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или - ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную .

Производная обозначается символами

y , f (x o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o .

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем  0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u )" =  u  1 u" (  R ).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u v , (u>0), где u и v суть функции от х , имеющие в данной точке производные u" , v" .

Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y"/y = vu"/u +v" ln u, откуда y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Например, если y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y" , то = y"+, где 0 при х 0; отсюда  y = y" х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y" х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x"х = 1х =х, поэтому dy=y"dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Пример 3 .15. Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Решение. По правилу 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

Пример 3.16 . Найти y", y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Пример 3 .17. Найти производную сложной функции y= , u=x 4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u + . Так как u=x 4 +1,то (2 x 4 +2+ .

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пошаговые примеры - как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями" .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций" .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Дата: 20.11.2014

Что такое производная?

Таблица производных.

Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала - приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование - действие над функцией.

Производная - результат этого действия.

Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y" или f"(x) или S"(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли...)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)" , (x 3 )" , (sinx)" и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего - научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе - линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. А математики - тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.

	Функция y	Производная функции y y"
1	C (постоянная величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - любое число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
4	e x
5	log a x
5	ln x (a = e )

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) " = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y" = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y" = (sin x)" = cosx

Подставляем ноль в производную:

y"(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...

Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это - табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y" = - sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Урок на тему: "Что такое производная? Определение производной"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Введение в понятие производной.
2. Чуть-чуть истории.

4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.

6. Дифференцирование функции.
7. Примеры.

Введение в понятие производной

Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

А) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

Чуть-чуть истории

Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).

Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
На математическом языке: производная - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
Давайте посмотрим на графики трех функций:

Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами - насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная на графике функции. Геометрический смысл производной

Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной.

Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
И так производная нашей функции равна:

И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.

Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
г) Составить соотношение: Δy/Δx
д) Вычислить

Это и есть производная нашей функции.

Дифференцирование функции

Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
И так запишем выше сказанное как определение:
Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

Примеры производной

Найти производную функции: y=3x
Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δ

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g" означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

(sin x)"=cos x
(cos x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x 100)"=100 x 99

Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С - константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производная суммы равна сумме производных

(f + g)"=f" + g"

Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)"=f" – g"

Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(e x)"=e x , (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)"=f" * g + f * g"

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Производная частного

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x