Postotak je jedan od zanimljivih i često korištenih alata u praksi. Procenti se djelimično ili u potpunosti koriste u bilo kojoj nauci, u bilo kojem poslu, pa čak i u svakodnevnoj komunikaciji. Osoba koja je dobra u procentima odaje utisak pametne i obrazovane. U ovoj lekciji ćemo naučiti šta je postotak i koje radnje možete izvoditi s njim.

Sadržaj lekcije

Šta je procenat?

Razlomci su najčešći u svakodnevnom životu. Čak su dobili i svoja imena: polovina, trećina i četvrtina, respektivno.

Ali postoji još jedan dio koji se također često javlja. Ovo je razlomak (stoti dio). Ovaj razlomak se zove posto. Šta znači razlomak stoti? Ovaj razlomak znači da se nešto podijeli na sto dijelova i odatle se uzme jedan dio. Dakle, postotak je stoti dio nečega.

Procenat je stoti deo nečega

Na primjer, jedan metar je 1 cm Jedan metar je podijeljen na sto dijelova, a jedan dio se uzima (zapamtite da je 1 metar 100 cm). A jedan dio ovih stotinu dijelova je 1 cm. To znači da je jedan posto jednog metra 1 cm.

Jedan metar je već 2 centimetra. Ovaj put je jedan metar podijeljen na sto dijelova i ne jedan, nego dva dijela. A dva dijela od sto su dva centimetra. Dakle, dva posto jednog metra je 2 centimetra.

Drugi primjer: jedna rublja jednaka je jednoj kopejci. Rublja je podijeljena na sto dijelova, a jedan dio je uzet odatle. A jedan dio ovih stotinu je jedna kopejka. To znači da je jedan procenat od jedne rublje jedna kopejka.

Procenti su bili toliko uobičajeni da su ljudi zamijenili razlomak posebnom ikonom koja izgleda ovako:

Ovaj unos glasi "jedan posto". Zamjenjuje razlomak. Također zamjenjuje decimalni razlomak 0,01 jer ako konvertujemo običan razlomak u decimalni razlomak, dobićemo 0,01. Dakle, između ova tri izraza možemo staviti znak jednakosti:

1% = = 0,01

Dva procenta u frakcijskom obliku biće napisana kao , u decimalnom obliku kao 0,02, a korišćenjem posebne ikone dva procenta se zapisuje kao 2%.

2% = = 0,02

Kako pronaći procenat?

Princip pronalaženja procenta je isti kao i uobičajeno nalaženje razlomka iz broja. Da biste pronašli postotak nečega, trebate ga podijeliti na 100 dijelova i pomnožiti rezultirajući broj sa željenim postotkom.

Na primjer, pronađite 2% od 10 cm.

Šta znači unos 2%? Unos od 2% zamjenjuje . Ako ovaj zadatak prevedemo na razumljiviji jezik, izgledat će ovako:

Pronađite od 10 cm

A mi već znamo kako riješiti takve zadatke. Ovo je uobičajen način pronalaženja razlomka iz broja. Da biste pronašli razlomak broja, trebate ovaj broj podijeliti sa nazivnikom razlomka, a rezultat pomnožiti brojnikom razlomka.

Dakle, podijelite broj 10 sa imeniocem razlomka

Imamo 0,1. Sada množimo 0,1 brojicom razlomka

0,1 × 2 = 0,2

Dobili smo odgovor 0,2. To znači da je 2% od 10 cm 0,2 cm. A ako , onda dobijamo 2 milimetra:

0,2 cm = 2 mm

To znači da je 2% od 10 cm 2 mm.

Primjer 2. Pronađite 50% od 300 rubalja.

Da biste pronašli 50% od 300 rubalja, trebate podijeliti ovih 300 rubalja sa 100, a rezultat pomnožiti sa 50.

Dakle, dijelimo 300 rubalja 100

300: 100 = 3

Sada pomnožite rezultat sa 50

3 × 50 = 150 rub.

To znači da je 50% od 300 rubalja 150 rubalja.

Ako je u početku teško naviknuti se na zapis sa znakom %, možete zamijeniti ovu notaciju uobičajenom razlomkom.

Na primjer, istih 50% može se zamijeniti unosom . Tada će zadatak izgledati ovako: Pronađite od 300 rubalja, ali rješavanje takvih problema i dalje nam je lakše

300: 100 = 3

3 × 50 = 150

U principu, ovdje nema ništa komplikovano. Ako se pojave poteškoće, savjetujemo vam da prestanete i ponovo pregledate i.

Primjer 3. Fabrika konfekcije proizvela je 1.200 odela. Od toga, 32% su odijela novog stila. Koliko je novih stilskih odijela proizvela tvornica?

Ovdje trebate pronaći 32% od 1200. Pronađeni broj će biti odgovor na problem. Koristimo pravilo za pronalaženje procenta. Podijelimo 1200 sa 100 i dobijeni rezultat pomnožimo sa željenim postotkom, tj. u 32

1200: 100 = 12

12 × 32 = 384

Odgovor: Fabrika je proizvela 384 odijela novog stila.

Drugi način za pronalaženje procenta

Drugi način pronalaženja procenta je mnogo jednostavniji i praktičniji. Ona leži u činjenici da će se broj od kojeg se traži procenat odmah pomnožiti sa željenim procentom, izraženim kao decimalni razlomak.

Na primjer, riješimo prethodni problem pomoću ove metode. Pronađite 50% od 300 rubalja.

Unos 50% zamjenjuje unos , a ako ih pretvorimo u decimalni razlomak, dobićemo 0,5

Sada, da biste pronašli 50% od 300, biće dovoljno pomnožiti broj 300 sa decimalnim razlomkom 0,5

300 × 0,5 = 150

Inače, mehanizam za pronalaženje procenta na kalkulatorima radi na istom principu. Da biste pomoću kalkulatora pronašli procenat, potrebno je da unesete u kalkulator broj od kojeg se traži procenat, zatim pritisnete taster za množenje i unesete željeni procenat. Zatim pritisnite tipku za postotak %

Pronalaženje broja prema njegovom postotku

Znajući postotak broja, možete saznati cijeli broj. Na primjer, preduzeće nam je platilo 60.000 rubalja za rad, a to iznosi 2% ukupne dobiti koju je primilo preduzeće. Znajući naš udio i koliki je to procenat, možemo saznati ukupan profit.

Prvo morate saznati koliko rubalja čini jedan posto. Kako uraditi? Pokušajte pogoditi pažljivo proučavajući sljedeću sliku:

Ako je dva posto ukupne dobiti 60 hiljada rubalja, onda je lako pogoditi da je jedan posto 30 hiljada rubalja. A da biste dobili ovih 30 hiljada rubalja, morate podijeliti 60 hiljada sa 2

60 000: 2 = 30 000

Našli smo jedan posto ukupne dobiti, tj. . Ako je jedan dio 30 hiljada, onda da biste odredili sto dijelova, morate 30 hiljada pomnožiti sa 100

30.000 × 100 = 3.000.000

Pronašli smo ukupni profit. To je tri miliona.

Pokušajmo formulirati pravilo za pronalaženje broja po njegovom postotku.

Da biste pronašli broj prema njegovom postotku, trebate poznati broj podijeliti sa datim postotkom, a rezultat pomnožiti sa 100.

Primjer 2. Broj 35 je 7% nekog nepoznatog broja. Pronađite ovaj nepoznati broj.

Pročitajmo prvi dio pravila:

Da biste pronašli broj prema njegovom postotku, trebate poznati broj podijeliti sa datim postotkom.

Naš poznati broj je 35, a dati procenat je 7. Podijelite 35 sa 7

35: 7 = 5

Pročitajte drugi dio pravila:

i rezultat pomnožite sa 100

Naš rezultat je broj 5. Pomnožite 5 sa 100

5 × 100 = 500

500 je nepoznat broj koji je trebalo pronaći. Možeš da proveriš. Da bismo to uradili, nalazimo 7% od 500. Ako smo sve uradili ispravno, trebalo bi da dobijemo 35

500: 100 = 5

5 × 7 = 35

Dobili smo 35. Dakle, problem je ispravno riješen.

Princip pronalaženja broja po procentu je isti kao i uobičajeno nalaženje cijelog broja po njegovom razlomku. Ako su procenti isprva zbunjujući i zbunjujući, onda se unos procenta može zamijeniti razlomkom.

Na primjer, prethodni problem se može iskazati na sljedeći način: broj 35 je iz nekog nepoznatog broja. Pronađite ovaj nepoznati broj. Mi već znamo kako riješiti takve probleme. Ovo je pronalaženje broja pomoću razlomka. Da bismo pronašli broj pomoću razlomka, ovaj broj podijelimo s brojnikom razlomka i rezultat pomnožimo sa nazivnikom razlomka. U našem primjeru, broj 35 se mora podijeliti sa 7, a rezultirajući rezultat pomnožiti sa 100

35: 7 = 5

5 × 100 = 500

U budućnosti ćemo rješavati probleme u procentima, od kojih će neki biti teški. Da ne bi komplikovali učenje u početku, dovoljno je znati pronaći postotak broja, i broj po postotak.

Zadaci za samostalno rješavanje

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Mogućnost izračunavanja procenta od broja kada trebate saznati naknadu za kašnjenje, iznos preplaćenog kredita ili dobit kompanije ako su poznati njen promet i marža.

• Kako pronaći broj po postotku?

Pravilo. Da biste pronašli broj prema njegovom određenom procentu, trebate dati broj podijeliti sa datom procentnom vrijednošću, a rezultat pomnožiti sa 100.

Ovim proračunom prvo utvrđujemo koliko jedinica ovog broja sadrži 1%, a zatim i cijeli broj (100%).

Na primjer:
Broj čiji je 23% 52 nalazi se ovako:
52: 23 * 100 = 226.1

To znači da ako je broj 226,1 jednak 100%, onda je broj 52 jednak 23% ovog broja.

Pronalazimo broj čijih 125% iznosi 240 na sljedeći način:
240: 125 * 100 = 192.

Kada određujete broj po postotku, zapamtite da:

- ako je procenat manji od 100%, onda je broj dobijen kao rezultat proračuna veći od navedenog broja (ako je 23%< 100%, то 226,1 > 52);
— ako je procenat veći od 100%, onda je broj dobijen kao rezultat izračuna manji od navedenog broja (ako je 125% > 100%, onda je 192< 240).

Stoga, kada izračunavate broj prema njegovom postotku, za samokontrolu morate provjeriti:

— procenat naveden u uslovu je veći ili manji od 100%;
— rezultat izračuna je veći ili manji od datog broja.

• Kako saznati postotak iznosa u općem slučaju?

Nakon ovoga postoje dvije opcije:

1. Ako želite da saznate koliki je procenat drugog iznosa od originala, samo ga trebate podijeliti s iznosom od 1% koji ste ranije dobili.
2. Ako vam je potreban iznos koji iznosi, recimo, 27,5% originala, potrebno je da pomnožite iznos od 1% sa potrebnom kamatom.

• Kako izračunati postotak iznosa koristeći proporciju?

Da biste to učinili, morat ćete koristiti znanja o metodi proporcija, koja se uči u sklopu školskog tečaja matematike. To će izgledati ovako:

Neka je A iznos glavnice jednak 100%, a B iznos čiji odnos sa A u procentima moramo znati. Zapisujemo proporciju:

(X je u ovom slučaju broj postotaka).

Prema pravilima za izračunavanje proporcija, dobijamo sljedeću formulu:

X = 100 * V / A

Ako trebate saznati koliki će biti iznos B ako je već poznat broj postotaka količine A, formula će izgledati drugačije:

B = 100 * X / A

Sada ostaje samo da zamenite poznate brojeve u formulu - i možete napraviti proračun.

• Kako izračunati postotak iznosa koristeći poznate omjere?

Konačno, možete koristiti jednostavniju metodu. Da biste to učinili, samo zapamtite da je 1% kao decimala 0,01. Prema tome, 20% je 0,2; 48% - 0,48; 37,5% je 0,375, itd. Dovoljno je pomnožiti prvobitni iznos odgovarajućim brojem - i rezultat će pokazati iznos kamate.

Osim toga, ponekad možete koristiti jednostavne razlomke. Na primjer, 10% je 0,1, odnosno 1/10; stoga je saznanje koliko je 10% jednostavno: samo trebate podijeliti originalni iznos sa 10.

Drugi primjeri takvih odnosa bi bili:

1. 12,5% - 1/8, odnosno potrebno je podijeliti sa 8;
2. 20% - 1/5, odnosno potrebno je podijeliti sa 5;
3. 25% - 1/4, odnosno podijeliti sa 4;
4. 50% - 1/2, odnosno treba ga podijeliti na pola;
5. 75% je 3/4, odnosno potrebno je podijeliti sa 4 i pomnožiti sa 3.

Istina, nisu svi prosti razlomci pogodni za izračunavanje postotaka. Na primjer, 1/3 je po veličini blizu 33%, ali nije potpuno jednaka: 1/3 je 33.(3)% (to jest, razlomak sa beskonačnim trojkama nakon decimalne zapete).

• Kako od iznosa oduzeti postotak bez korištenja kalkulatora?

Ako trebate oduzeti nepoznati broj od već poznatog iznosa, a to je određeni iznos postotaka, možete koristiti sljedeće metode:

1. Izračunajte nepoznati broj koristeći jednu od gore navedenih metoda, a zatim ga oduzmite od originalnog.
2. Odmah izračunajte preostali iznos. Da biste to učinili, od 100% oduzmite broj postotaka koje je potrebno oduzeti i konvertirajte rezultirajući rezultat iz postotka u broj koristeći bilo koju od gore opisanih metoda.

Drugi primjer je praktičniji, pa hajde da ga ilustrujemo. Recimo da trebamo saznati koliko je ostalo ako oduzmemo 16% od 4779. Računica će biti ovakva:

1. Od 100 (ukupan broj postotaka) oduzimamo 16. Dobijamo 84.
2. Izračunamo koliko je 84% od 4779. Dobijamo 4014,36.

• Kako izračunati (oduzeti) postotak od iznosa sa kalkulatorom u ruci?

Sve gore navedene kalkulacije je lakše izvesti pomoću kalkulatora. Može biti u obliku zasebnog uređaja ili u obliku posebnog programa na računalu, pametnom telefonu ili običnom mobilnom telefonu (tu funkciju obično imaju i najstariji uređaji koji se trenutno koriste). Uz njihovu pomoć, pitanje kako izračunati procenat od iznosa, Rješenje je vrlo jednostavno:

1. Početni iznos se prikuplja.
2. Pritisnut je znak “-”.
3. Unesite broj postotaka koje želite oduzeti.
4. Pritisnut je znak “%”.
5. Pritisnut je znak “=”.

Kao rezultat, na ekranu se prikazuje traženi broj.

• Kako oduzeti postotak od iznosa koristeći online kalkulator?

Konačno, sada postoji dosta stranica na internetu koje implementiraju funkciju online kalkulatora. U ovom slučaju, ne morate ni da znate kako izračunati procenat iznosa: sve se radnje korisnika svode na unošenje traženih brojeva u prozore (ili pomicanje klizača za njihovo dobivanje), nakon čega se rezultat odmah prikazuje na ekranu.

Ova funkcija je posebno pogodna za one koji izračunavaju ne samo apstraktni postotak, već i određeni iznos odbitka poreza ili iznosa državne dažbine. Činjenica je da su u ovom slučaju izračuni složeniji: ne samo da trebate pronaći procente, već im dodati i konstantan dio iznosa. Online kalkulator vam omogućava da izbjegnete takve dodatne proračune. Glavna stvar je odabrati stranicu koja koristi podatke koji su u skladu s važećim zakonom.

Online kalkulator kamata:

calculator.ru - omogućava vam da izvršite različite izračune kada radite s postocima;

mirurokov.ru - kalkulator kamata;

Izvor informacija:

• nsovetnik.ru - članak o tome kako izračunati procenat iznosa;

U procesu rješavanja zadataka 149–156 potrebno je učenike dovesti do razumijevanja pravila za pronalaženje dijela broja:

Da biste pronašli dio broja izražen kao razlomak, ovaj broj možete podijeliti sa nazivnikom razlomka i rezultat pomnožiti njegovim brojnikom.

Naravno, učenici mogu formulisati ovo pravilo samo za specifične situacije: pronaći 3 / 4 broj 24, ovaj broj možete podijeliti sa imeniocem razlomci 4 I pomnožite dobijeni rezultat sa brojnikom 3.

149 . a) 12 ptica je sjedilo na grani; 2/3 njihovog broja je odletjelo. Koliko je ptica odletelo?

b) U razredu ima 32 učenika; 3/4 svih učenika je skijalo. Koliko je učenika skijalo?

150 . a) Biciklisti su prešli 48 za dva dana. km. Prvog dana prešli su 2/3 cijele rute. Koliko su kilometara prešli drugog dana?

b) Neko je sa 350 rubalja potrošio 5/7 svog novca. Koliko mu je novca ostalo?

c) Sveska ima 24 stranice. Djevojčica je napisala 5/8 svih stranica sveske. Koliko je još nenapisanih stranica?

151 . Drevni problem. Kupivši komodu za 36 R., tada sam ga bio prisiljen prodati za 7/12 cijene. Koliko sam rubalja izgubio na ovoj prodaji?

152 . Autoturisti su za tri dana prevezli 360 km; prvog dana su putovali 2/5, a drugog dana - 3/8 cijelog puta. Koliko su kilometara prešli motorni turisti trećeg dana?

153 . 1) U dramskom klubu ima 24 djevojčice i nekoliko dječaka. Broj dječaka je 3/8 od broja djevojčica. Koliko učenika ima dramski klub?

2) Zbirka sadrži kovanice od 45 godišnjica rublja. Broj kovanica od 3 i 5 rubalja je 2/9 od broja kovanica rubalja. Koliko jubilarnih kovanica od 1, 3 i 5 rubalja ima u kolekciji?

Učenici moraju riješiti zadatke 154–156 tako što će prvo pronaći navedeni dio veličine, a zatim povećati ili smanjiti ovu količinu za pronađeni dio. Drugo rješenje će biti prikazano kasnije.

154 . 1) Smanjite 90 rubalja za 1/10 ovog iznosa.

2) Povećajte 80 rubalja za 2/5 ovog iznosa.

155 . Prošlog mjeseca cijena proizvoda je bila 90 R. Sada je pao za 3/10 ovog iznosa. Koja je sada cijena proizvoda?

156 . Prošlog mjeseca plata je bila 400 R. Sada se povećao za 2/5 ovog iznosa. Koja je sada plata?

U procesu rješavanja zadataka 157–158 i sljedećih zadataka potrebno je učenike navesti da razumiju i pravilno primjene pravilo za pronalaženje broja po njegovom dijelu:

Da biste pronašli broj prema njegovom dijelu izraženom kao razlomak, možete podijeliti ovaj dio s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti sa nazivnikom.

Formulacija ovog pravila je složena zbog potrebe
nekako pozovite broj koji smo imenovali « dio » . Autori udžbenika su primorani da prevaziđu ovu poteškoću. Tako u udžbeniku I.V. Baranova i Z.G. Borchugova pravilo je formulirano samo za posebne slučajeve: pronaći broj, 3 / 5 što je 90 km, potrebno je podijeliti 90 km s brojnikom razlomka 3 i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka 5.

Na ovaj način studenti to mogu koristiti. Istina, kada govorimo o broju, bolje je ne koristiti imena, jer broj i veličina nisu ista stvar. Kasnije u istom udžbeniku na str. 226 formulira opće pravilo u kojem koristimo termin « dio » odgovara prometu « broj koji mu odgovara » , što teško da je lakše.

157 . a) 120 R.čine 3/4 raspoloživog iznosa novca. Koliki je ovo iznos?

b) Odrediti dužinu segmenta čija je 3/5 jednaka 15 cm.

158 . a) Moj sin ima 10 godina. Njegove godine su 2/7 godina njegovog oca. Koliko godina ima otac?

b) Kćerka ima 12 godina. Njena starost je 2/5 starosti njene majke. Koliko godina ima majka?

Domaćica je potrošila 6 za kupovinu povrća R., što je iznosilo 1/6 novca koji je imala. Onda je kupila 2 kg jabuke po 7 R. po kilogramu. Koliko joj je novca ostalo nakon ovih kupovina?

160 . Otac je sinu kupio odelo za 24 R., na koji sam potrošio 1/3 svog novca. Nakon toga je kupio nekoliko knjiga i ostalo mu je 39. R. Koliko su knjige koštale?

161 . Sin ima 8 godina, 2/9 godina oca. A starost oca je 3/5 godina djeda. Koliko godina ima deda?

162 .* Iz Ahmesovog papirusa (Egipat, oko 2000. pne).

Stiže pastir sa 70 bikova. Pita se:

Koliko ih donosite iz svog brojnog stada?

Pastir odgovara:

Dovozim dve trećine stoke. Prebroj!

Koliko bikova ima u stadu?

Interes jedan je od koncepata primijenjene matematike koji se često susrećemo u svakodnevnom životu. Tako se često može pročitati ili čuti da je, na primjer, na izborima izašlo 56,3% birača, rejting pobjednika takmičenja je 74%, industrijska proizvodnja povećana za 3,2%, banka naplaćuje 8% godišnje, mlijeko sadrži 1,5% masti, tkanina sadrži 100% pamuk itd. Jasno je da je razumijevanje takvih informacija neophodno u modernom društvu.

Jedan posto bilo koje vrijednosti - suma novca, broj učenika itd. - zove se stoti deo. Procenat je označen znakom %.
1% je 0,01, ili \(\frac(1)(100)\) dio vrijednosti

Evo nekoliko primjera:
- 1% minimalne plaće 2300 rub. (septembar 2007.) - ovo je 2300/100 = 23 rublje;
- 1% stanovništva Rusije, što je otprilike 145 miliona ljudi (2007), je 1,45 miliona ljudi;
- Koncentracija otopine soli od 3% je 3 g soli u 100 g otopine (podsjetimo da je koncentracija otopine dio koji je masa otopljene tvari od mase cijele otopine).

Jasno je da je cjelokupna vrijednost koja se razmatra iznosi 100 stotinki, odnosno 100% nje same. Tako, na primjer, etiketa na kojoj piše “100% pamuk” znači da je tkanina čisti pamuk, a 100% uspjeh znači da u razredu nema učenika koji su pali.

Reč "posto" dolazi od latinskog procentum, što znači "od sto" ili "na 100". Ova fraza se može naći i u modernom govoru. Na primjer, kažu: "Od svakih 100 učesnika lutrije, 7 učesnika je dobilo nagrade." Ako ovaj izraz shvatimo doslovno, onda je ova izjava, naravno, lažna: jasno je da je moguće odabrati 100 ljudi koji su učestvovali u lutriji, a nisu dobili nagrade. Zapravo, tačno značenje ovog izraza je da je 7% učesnika lutrije dobilo nagrade, a ovo shvatanje odgovara porijeklu riječi "postotak": 7% je 7 od 100, 7 osoba od 100 ljudi.

Znak "%" postao je široko rasprostranjen krajem 17. vijeka. Godine 1685. u Parizu je objavljena knjiga Mathieua de la Portea “Priručnik za komercijalnu aritmetiku”. Na jednom mjestu se radilo o postotku, koji je tada označen kao “cto” (skraćeno od cento). Međutim, slagač je ovo "s/o" pomiješao za razlomak i ispisao "%". Dakle, zbog greške u kucanju ovaj znak je ušao u upotrebu.

Bilo koji broj postotaka može se zapisati kao decimalni razlomak koji izražava dio količine.

Da biste procente izrazili kao brojeve, trebate broj postotaka podijeliti sa 100. Na primjer:

\(58\% = \frac(58)(100) = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac(4,5)(100) = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac (200)(100) = 2\)

Za obrnuti prijelaz izvodi se obrnuta radnja. dakle, Da biste broj izrazili kao postotak, morate ga pomnožiti sa 100:

\(0,58 = (0,58 \cdot 100)\% = 58\% \) \(0,045 = (0,045 \cdot 100)\% = 4,5\% \)

U praktičnom životu, korisno je razumjeti odnos između najjednostavnijih procentualnih vrijednosti i odgovarajućih razlomaka: polovina - 50%, četvrtina - 25%, tri četvrtine - 75%, petina - 20%, tri petine - 60 %, itd.

Takođe je korisno razumjeti različite oblike izražavanja iste promjene količine, formulisane bez postotaka i korištenjem postotaka. Na primjer, poruke “Minimalna plata je od februara povećana za 50%” i ​​“Minimalna plata povećana 1,5 puta od februara” govore isto. Na isti način, povećati za 2 puta znači povećati za 100%, povećati za 3 puta znači povećati za 200%, smanjiti za 2 puta znači smanjiti za 50%.

Isto tako
- povećanje za 300% - to znači povećanje 4 puta,
- smanjiti za 80% - to znači smanjiti za 5 puta.

Problemi u procentima

Pošto se procenti mogu izraziti kao razlomci, problemi sa procentima su u suštini isti kao i problemi sa razlomcima. U najjednostavnijim problemima koji uključuju procente, određena vrijednost a se uzima kao 100% („cjelina“), a njen dio b se izražava brojem p.

U zavisnosti od toga šta je nepoznato - a, b ili p, postoje tri vrste problema koji uključuju procente. Ovi problemi se rješavaju na isti način kao i odgovarajući razlomci, ali prije njihovog rješavanja broj p% se izražava kao razlomak.

1. Pronalaženje procenta broja.
Da biste pronašli \(\frac(p)(100) \) iz a, morate a pomnožiti sa \(\frac(p)(100) \):

\(b = a \cdot \frac(p)(100) \)

Dakle, da biste pronašli p% broja, morate ovaj broj pomnožiti sa razlomkom \(\frac(p)(100)\). Na primjer, 20% od 45 kg je jednako 45 0,2 = 9 kg, a 118% od x je jednako 1,18x

2. Pronalaženje broja po procentu.
Da biste pronašli broj iz njegovog dijela b, izraženog kao razlomak \(\frac(p)(100) , \; (p \neq 0) \), trebate podijeliti b sa \(\frac(p)(100) ) \):
\(a = b: \frac(p)(100)\)

dakle, da biste pronašli broj po njegovom dijelu koji je p% ovog broja, trebate ovaj dio podijeliti sa \(\frac(p)(100)\). Na primjer, ako je 8% dužine segmenta 2,4 cm, tada je dužina cijelog segmenta 2,4:0,08 = 240:8 = 30 cm.

3. Pronalaženje procentualnog odnosa dva broja.
Da biste pronašli u kojem postotku je broj b od a \((a \neq 0) \), prvo morate saznati koji je dio b od a, a zatim izraziti ovaj dio kao postotak:

\(p ​​= \frac(b)(a) \cdot 100\% \) Dakle, da biste saznali koliki je postotak prvi broj od drugog, morate prvi broj podijeliti drugim i pomnožiti rezultat po 100.
Na primjer, 9 g soli u otopini težine 180 g je \(\frac(9\cdot 100)(180) = 5\%\) otopine.

Zove se količnik dva broja izražen u procentima postotak ovi brojevi. Stoga se zadnje pravilo zove pravilo za pronalaženje procentualnog odnosa dva broja.

Lako je vidjeti da su formule

\(b = a \cdot \frac(p)(100), \;\; a = b: \frac(p)(100), \;\; p = \frac(b)(a) \cdot 100 \% \;\; (a,b,p \neq 0) \) su međusobno povezane, naime, posljednje dvije formule se dobijaju iz prve, ako iz nje izrazimo vrijednosti a i p. Stoga se prva formula smatra glavnom i naziva se procentualna formula. Formula procenta kombinuje sve tri vrste problema s razlomcima i može se koristiti za pronalaženje bilo koje od nepoznanica a, b i p ako se želi.

Složeni problemi koji uključuju procente rješavaju se slično problemima koji uključuju razlomke.

Jednostavan procentualni rast

Kada osoba ne plati stanarinu na vrijeme, podliježe mu se novčana kazna koja se zove „kazna“ (od latinskog roena – kazna). Dakle, ako je kazna 0,1% iznosa zakupnine za svaki dan kašnjenja, onda će, na primjer, za 19 dana kašnjenja iznos biti 1,9% iznosa zakupnine. Dakle, zajedno sa, recimo, 1000 rubalja. najam, osoba će morati platiti kaznu od 1000 0,019 = 19 rubalja, a ukupno 1019 rubalja.

Jasno je da su u različitim gradovima i različitim ljudima kirija, visina kazni i vrijeme kašnjenja različiti. Stoga, ima smisla stvoriti opštu formulu zakupnine za neuredne platiše, primjenjivu u svim okolnostima.

Neka je S mjesečna zakupnina, kazna je p% zakupnine za svaki dan kašnjenja, a n je broj dana kašnjenja. Iznos koji osoba mora platiti nakon n dana kašnjenja će biti označen sa S n.
Tada će za n dana kašnjenja kazna biti pn% od S, odnosno \(\frac(pn)(100)S\), a ukupno ćete morati platiti \(S + \frac(pn)(100) S = \lijevo(1+ \frac(pn)(100) \desno) S\)
ovako:
\(S_n = \lijevo(1+ \frac(pn)(100) \desno) S \)

Ova formula opisuje mnoge specifične situacije i ima poseban naziv: jednostavna formula procentualnog rasta.

Slična formula će se dobiti ako se određena vrijednost smanji u određenom vremenskom periodu za određeni broj postotaka. Kao što je gore navedeno, to je u ovom slučaju lako provjeriti
\(S_n = \lijevo(1- \frac(pn)(100) \desno) S \)

Ova formula se također naziva jednostavna formula procentualnog rasta iako se data vrijednost zapravo smanjuje. Rast je u ovom slučaju „negativan“.

Rast složenih kamata

U ruskim bankama, za neke vrste depozita (tzv. oročenih depozita, koji se ne mogu uzeti ranije od perioda određenog u ugovoru, na primjer, godinu dana), usvojen je sljedeći sistem isplate prihoda: za prvi godine da je deponovani iznos na računu, prihod je npr. 10% od nje. Na kraju godine, deponent može podići iz banke uloženi novac i ostvareni prihod - "kamatu", kako se to obično naziva.

Ako deponent to nije učinio, kamata se dodaje na početni depozit (kapitalizira), pa na kraju naredne godine banka dodaje 10% na novi, uvećani iznos. Drugim riječima, kod takvog sistema se obračunava „kamata na kamatu“, ili, kako se obično naziva, složena kamata.

Izračunajmo koliko će novca investitor dobiti za 3 godine ako položi 1000 rubalja na bankovni račun na određeno vrijeme. i nikada neće uzeti novac sa računa tri godine.

10% od 1000 rub. su 0,1 1000 = 100 rubalja, dakle, za godinu dana će njegov račun imati
1000 + 100 = 1100 (r.)

10% od novog iznosa 1100 rub. su 0,1 1100 = 110 rubalja, dakle, nakon 2 godine će biti
1100 + 110 = 1210 (r.)

10% od novog iznosa 1210 rub. su 0,1 1210 = 121 rubalja, dakle, nakon 3 godine će biti
1210 + 121 = 1331 (r.)

Nije teško zamisliti koliko bi vremena, uz ovako direktnu, „čelnu“ računicu, trebalo da se nakon 20 godina pronađe iznos depozita. U međuvremenu, proračun može biti mnogo lakši.

Naime, za godinu dana početni iznos će porasti za 10%, odnosno biće 110% od početnog, odnosno povećaće se za 1,1 puta. Sljedeće godine će se i novi, već povećani iznos povećati za istih 10%. Stoga će se nakon 2 godine početni iznos povećati za 1,1 1,1 = 1,1 2 puta.

U narednoj godini ovaj iznos će se povećati za 1,1 puta, tako da će se početni iznos povećati za 1,1 1,1 2 = 1,1 3 puta. Ovom metodom zaključivanja dobijamo mnogo jednostavnije rešenje našeg problema: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (r.)

Hajde da sada rešimo ovaj problem u opštem obliku. Neka banka akumulira prihod u iznosu od p% godišnje, deponovani iznos je jednak S rub., a iznos koji će biti na računu za n godina jednak je S n rub.

Vrijednost p% S je \(\frac(p)(100)S \) rub., a nakon godinu dana iznos će biti na računu
\(S_1 = S+ \frac(p)(100)S = \left(1+ \frac(p)(100) \desno)S \)
odnosno, početni iznos će se povećati za \(1+ \frac(p)(100)\) puta.

U narednoj godini iznos S 1 će se povećati za isti iznos, pa će za dvije godine na računu biti iznos
\(S_2 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)S_1 = \left(1+ \frac(p)(100) \right) \left(1+ \frac(p)(100 ) ) \desno)S = \levo(1+ \frac(p)(100) \desno)^2 S \)

Slično \(S_3 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^3 S \), itd. Drugim riječima, jednakost
\(S_n = \lijevo(1+ \frac(p)(100) \desno)^n S \)

Ova formula se zove formula složene kamate, ili jednostavno formula složene kamate.

Želite li znati kako zaraditi 50 hiljada mjesečno na internetu?
Pogledajte moj video intervju sa Igorom Krestinjinom
=>>

Najjednostavniji i najočitiji metod je iscrtavanje proporcije. Svi dalji proračuni se odvijaju na njegovoj osnovi. izgleda ovako:

• 45 je poznati broj jednak 100%.
• ? – broj koji iznosi 15% od 45.

Zatim se razlomak pojednostavljuje u jednadžbu s jednom nepoznatom. Prema matematičkim zakonima, podaci poprečnog presjeka su jednaki u proporciji, odnosno: 45*15%=?*100%. Da bismo pronašli "?", koristimo jednostavno pravilo i dobijemo sljedeće.

Izračunavanje formule proporcije uvijek se odvija na principu množenja poznatih podataka koji se nalaze na dijagonali i dijeljenja ih trećim brojem.

Možete kreirati formulu sa bilo kojom nepoznatom u . Kako bismo izbjegli zabunu oko toga da li je rezultat postotak ili broj, podsjećamo na pravilo redukcije u razlomcima - ako je znak procenta (%) ili novčani simbol (rub) prisutan i iznad i ispod, on se smanjuje. primjer:

Rezultat obračuna je novčani iznos.

Kako pronaći procenat broja. Opcije

Razmotrimo redom situacije pronalaženja interesa.

Kako pronaći 100%. Potrebno je izračunati broj od kojih je 15% jednako 45. Sastavljamo proporciju:

Računamo po formuli: (45*100)/15=300

Ako ne znate koliko je 100%. Ponekad se proračuni provode na osnovu istih početnih podataka, ali njihova tačna vrijednost nije poznata. Na primjer: jučer 15% ukupne količine kolačića u vrijednosti od 450 rubalja, a danas 25%.

Koliko ste prodali za danas? Pošto je iznos za 100% ukupna vrijednost i za 15% i za 25%, možete izvršiti kalkulacije bez traženja punog troška.

Računamo po formuli: (25*450)/15=750

Možete zakomplikovati zadatak ako niste sigurni u izračune ili ako je potrebno provjeriti rezultat. Da biste to učinili, prvo pronađite 100%, na osnovu potpunih podataka (15% košta 450 rubalja), a zatim izbrojite 25% od 100%.

Koliko je jedan broj manji od drugog u procentima

Na primjer: uobičajeni trošak praha je 500 rubalja. Prema promociji, cijena je smanjena na 480 rubalja. Koliko je cijena dionice u postocima manja od prvobitne cijene? Prvo pronađite procentualni dio promotivne cijene od osnovne cijene, a zatim pronađite njihovu razliku. Napravimo proporciju:

Računamo koristeći formulu: (480*100)/500=96. 100%-96%=4%. Cijena dionice je 4% niža od originalne cijene.

Koliko je broj veći od drugog u procentima. Primjer: tastatura je koštala 300 rubalja, a nakon povećanja dolara cijena je porasla na 390 rubalja. Koliko se u procentima promijenila cijena tastature? Prvo pronađite ukupnu kamatnu stopu nove cijene u odnosu na prvobitnu, a zatim izračunajte njihovu razliku. Napravimo proporciju:

Računamo koristeći formulu: (390*100)/300=130. 130%-100%=30%. Cijena je porasla za 30%.

Nepoznati broj je veći od poznatog za određeni postotak. Primjer: proizvod u trgovini je 15% skuplji od proizvoda u skladištu. Cijena šećera u skladištu je 50 rubalja i jednaka je 100%. Cijena prodavnice – 100%+15%=115%. Računamo koristeći formulu: (115*50)/100=57,5

Nepoznati broj je manji od poznatog broja za dati procenat. Primjer: veleprodaja je 5% jeftinija. Cijena za maloprodaju je 60 rubalja i jednaka je 100 posto, za veleprodaju – 100% -5% = 95%. Napravimo proporciju:

Računamo po formuli: (60*95)/100=57

Procenat između dva broja. Situacija u kojoj je poznat broj koji je 100% i broj koji je određeni dio originala. Primjer: očekivala se isporuka od 60 kutija, a isporučeno je 53. Koliki je postotak plana ispunjen? Napravimo proporciju:

Računamo po formuli: (53*100)/60=88,3

Najteži "zadatak" je da se ne zbunite u sastavljanju proporcije.

P.S. Prilažem screenshotove svoje zarade u partnerskim programima. I podsjećam vas da to može svako, čak i početnik! Najvažnije je to učiniti ispravno, što znači učiti od onih koji već zarađuju, odnosno od profesionalaca.

Želite li znati koje greške prave početnici?


99% početnika pravi ove greške i ne uspijeva u poslovanju i zaradi na internetu! Pazite da ne ponovite ove greške - “3 + 1 POČETNIČKE GREŠKE KOJE UBIJAJU REZULTATE”.

Da li vam je hitno potreban novac?


Preuzmite besplatno: " TOP - 5 načina da zaradite novac na internetu" 5 najboljih načina da zaradite novac na internetu, koji će vam garantirano donijeti rezultate od 1.000 rubalja dnevno ili više.

Evo gotovog rješenja za vaše poslovanje!


A za one koji su navikli uzimati gotova rješenja, postoji “Projekat gotovih rješenja za početak zarade na internetu”. Saznajte kako pokrenuti vlastiti posao na mreži, čak i za najzelenijeg početnika, bez tehničkog znanja, pa čak i bez stručnosti.