Gotovo svi sistemi upravljanja, strogo govoreći, su nelinearni, tj. opisani su nelinearnim jednadžbama.

Linearni upravljački sistemi su njihovi linearni modeli, koji se dobijaju konvencionalnom linearizacijom – linearizacijom koja se sastoji od proširenja nelinearnih funkcija u Taylorov red i odbacivanja nelinearnih članova. Međutim, takva linearizacija nije uvijek moguća. Ako nelinearnost dopušta uobičajenu linearizaciju, onda se takva nelinearnost naziva nebitnom. Inače, za nelinearnost se kaže da je značajna. Sve vrste relejnih elemenata imaju značajne nelinearnosti.

Čak iu slučajevima kada je moguća konvencionalna linearizacija, često može biti potrebno razmotriti originalni nelinearni model u završnoj fazi studije.

Nelinearni automatski sistem upravljanja je sistem koji sadrži najmanje jednu kariku opisanu nelinearnom jednačinom.

Vrste nelinearnih veza:

veza tipa releja;

veza sa djelično linearnom karakteristikom;

karika sa krivolinijskom karakteristikom bilo kojeg oblika;

vezu čija jednačina sadrži proizvod varijabli ili njihovih derivata i njihovih drugih kombinacija;

nelinearna veza sa kašnjenjem;

nelinearna impulsna veza;

logička veza;

veze opisane po komadno linearnim sistemima upravljanja, uključujući i one sa promjenjivom strukturom.

Na sl. 2.1 predstavlja karakteristike releja različitih tipova:

karakteristike idealnog releja (a);

karakteristike releja sa mrtvom zonom (b);

karakteristike releja sa histerezom (c);

karakteristike releja sa mrtvom zonom i histerezom (g);

karakteristika kvantizacije po nivou (d).

Na sl. 2.2 predstavlja komadno linearne karakteristike:

komadno linearna karakteristika sa zasićenjem (a);

komadno linearna karakteristika sa mrtvom zonom i zasićenjem (b)

komadno linearna karakteristika sa mrtvom zonom (c);

zazor (karakterističan za vezu sa zazorom) (g);

karakteristika diode (d);

Pogon regulacionog tijela, kakav god da je (električni, hidraulični ili pneumatski), uvijek ima, prvo, mrtvu zonu na početku; drugo, zona zasićenja na rubovima. Osim toga, može doći i do histereza. Postoje i pogoni konstantne brzine koji se odnose na veze tipa releja.

Mrtva zona se izražava činjenicom da motor ima određenu minimalnu startnu struju, do dostizanja koje će motor mirovati.

HISTEREZA (od grč. hysteresis - zaostajanje, kašnjenje), pojava koja se sastoji u tome što je fizička. veličina koja karakterizira stanje tijela (na primjer, magnetizacija) dvosmisleno ovisi o fizičkim svojstvima. veličina koja karakteriše spoljašnje uslove (na primer, magnetno polje). G. se uočava u slučajevima kada je stanje tijela u datom trenutku određeno vanjskim uslovima ne samo u isto vrijeme, već iu prethodnim vremenskim tačkama.

U svakom procesu uočava se dvosmislena ovisnost količina, jer promjena stanja tijela uvijek zahtijeva određeno vrijeme (vrijeme opuštanja) i reakcija tijela zaostaje za uzrocima koji ga uzrokuju.

Nelinearni sistemi imaju niz osnovnih karakteristika u poređenju sa linearnim. Konkretno, ove karakteristike su sljedeće:

Princip superpozicije ne važi, a proučavanje nelinearnog sistema pod više uticaja ne može se svesti na proučavanje pod jednim uticajem;

Stabilnost i priroda procesa tranzicije zavise od veličine početnog odstupanja od ravnotežnog položaja;

Pod fiksnim vanjskim utjecajima moguće je nekoliko (a ponekad i beskonačan broj) položaja ravnoteže;

Nastaju slobodni stabilni procesi koji su nemogući u linearnim sistemima (na primjer, autooscilacije).

Ne postoje univerzalne analitičke (matematičke) metode za proučavanje nelinearnih sistema. U procesu razvoja teorije automatskog upravljanja razvijene su različite matematičke metode za analizu i sintezu nelinearnih sistema, od kojih je svaka primenljiva na određenu klasu sistema i problema. Metode koje se najčešće koriste za proučavanje nelinearnih sistema su:

Metoda fazne ravni;

Metoda funkcije Ljapunova;

Metoda harmonične linearizacije (metoda harmonične ravnoteže);

Svako proučavanje manje ili više složenih nelinearnih sistema, po pravilu, završava se matematičkim modeliranjem. I u tom smislu, matematičko modeliranje je jedna od univerzalnih (neanalitičkih) istraživačkih metoda.

Fazna ravan

Ako su jednadžbe upravljačkog sistema predstavljene u normalnom obliku, tada vektor stanja sistema jednoznačno određuje njegovo stanje. Svako stanje sistema u prostoru stanja odgovara tački. Tačka koja odgovara trenutnom stanju sistema naziva se reprezentativna tačka. Kada se stanje promijeni, predstavljana tačka opisuje putanju.

Ova putanja se naziva fazna putanja. Skup faznih putanja koji odgovaraju svim mogućim početnim uslovima naziva se fazni portret.

Fazna putanja i fazni portret mogu se vizuelno prikazati u slučaju dvodimenzionalnog faznog prostora.

Dvodimenzionalni fazni prostor naziva se fazna ravan.

Fazna ravan je koordinatna ravan u kojoj su dvije varijable (fazne koordinate) iscrtane duž koordinatnih osa, koje jednoznačno određuju stanje sistema drugog reda.

Metoda analize i sinteze upravljačkog sistema zasnovana na konstrukciji faznog portreta naziva se metodom fazne ravni.

Iz faznog portreta može se suditi o prirodi prolaznih procesa. Konkretno, koristeći faznu putanju, možete konstruirati kvalitativno vremensku karakteristiku bez proračuna - krivulju x u odnosu na vrijeme, i obrnuto, koristeći vremensku karakteristiku, možete kvalitativno konstruirati faznu putanju.

Kao primjer, prvo ćemo konstruirati vremensku karakteristiku koristeći faznu putanju, a zatim konstruirati faznu putanju koristeći vremensku karakteristiku.

Neka je data putanja faze (slika 2.4, a).

Nakon što smo na njemu označili karakteristične tačke (početnu tačku, tačke preseka sa koordinatnim osama), ucrtavamo odgovarajuće tačke na privremenu ravan i povezujemo ih glatkom krivom (slika 2.4, b). Neka je sada data vremenska karakteristika (slika 2.5, a). Nakon što smo na njemu označili karakteristične tačke (početnu tačku, tačke ekstrema i tačke preseka sa vremenskom osom), iscrtavamo odgovarajuće tačke na faznoj ravni i povezujemo ih glatkom krivom(Sl. 2.5,6).

onda se takav granični ciklus naziva stabilnim graničnim ciklusom. Stabilan granični ciklus odgovara asimptotski orbitalno stabilnom periodičnom kretanju (auto-oscilacije).

Ako se fazne trajektorije unutar i izvan graničnog ciklusa udaljavaju od njega (sl. 2.8,6), takav granični ciklus naziva se nestabilan granični ciklus. Ne može se uočiti periodični proces koji odgovara nestabilnom graničnom ciklusu.

Ako kretanje započne unutar takvog graničnog ciklusa, tada proces konvergira u ravnotežni položaj. Ako kretanje započne izvan takvog graničnog ciklusa, tada se proces razilazi. Nestabilan granični ciklus služi kao granica područja privlačenja, odnosno granica stabilnosti ravnotežnog položaja (izvora).

Moguća su dva granična ciklusa (sl. 2.8, c, d). Interni pred-

granični ciklus na sl. 2.8, in je stabilan, a njemu odgovaraju samooscilacije, a vanjski granični ciklus je nestabilan i granica je područja samooscilacija: samooscilacije se javljaju za sva početna odstupanja koja ne prelaze vanjski granični ciklus .

Vanjski granični ciklus na sl. 2.8, d je stabilan i odgovara autooscilacijama, a unutrašnji granični ciklus je nestabilan i predstavlja granicu područja privlačenja ravnotežnog položaja. U sistemu sa takvim faznim portretom, autooscilacije nastaju kada sistem u dovoljnoj meri odstupi od ravnotežnog položaja - odstupanje koje ide dalje od unutrašnjeg graničnog ciklusa. Ako se sistem kreće unutar nestabilnog graničnog ciklusa, tada se približava ravnotežnom položaju.

Metoda harmonične linearizacije

Metoda harmonske linearizacije, ili metoda harmonske ravnoteže, prvobitno je razvijena za proučavanje periodičnih uslova.

Međutim, kasnije se počeo koristiti i za analizu stabilnosti i sintezu nelinearnih sistema.

Metoda harmonične linearizacije je približna metoda. Međutim, njegova prednost je što je primenljiva na sisteme bilo kog reda, za razliku od metode fazne ravni, koja se može efikasno primeniti samo na sisteme 2. reda.

Goldfarb metoda (metoda za proučavanje simetričnih samooscilacija)

Metoda Ljapunovljeve funkcije

Metoda istraživanja zasnovana na konstrukciji Ljapunovljeve funkcije, uključujući direktnu Ljapunovljevu metodu, počela se nazivati ​​metodom Ljapunovljevih funkcija.

Metoda za proučavanje apsolutne stabilnosti

Problem apsolutne stabilnosti prvi je razmatrao A. I. Lurie, a ponekad se naziva i Lurieov problem. Razvio je metodu za rješavanje ovog problema, zasnovanu na konstrukciji Ljapunovljeve funkcije. Godine 1961

Rumunski naučnik V.M. Popov je objavio rad u kojem je iznio frekvencijski metod za rješavanje ovog problema. To je rezultiralo velikim tokom rada u ovom pravcu.

Za zadatke:

Odnos između prelaznog procesa i faznog portreta:

(Besekersky-Popov str. 595 puno stvari)

Kriterijum stabilnosti Popova V.M.

(rumunski naučnik)

Ovo je frekvencijska metoda za proučavanje stabilnosti NL ACS-a s nedvosmislenom nelinearnošću koja zadovoljava uvjet

Razmatra se stabilnost ravnotežnog položaja Dovoljni uslovi apsolutna stabilnost

Takve sisteme je formulisao V.M.

1. Uvedena je prijenosna funkcija
Pretpostavlja se da

odgovara asimptotski stabilnom sistemu (provereno bilo kojim od kriterijuma stabilnosti).
.

2. Frekvencijski odziv je pronađen
,

3. Izrađen je modificirani frekventni odziv

koji je određen relacijom
Re
,

=Re
= .

Im
.

4. Konstruisano na kompleksnoj ravni

Popov kriterijum:
Ako kroz tačku
prava linija se može nacrtati na realnoj osi tako da modificirani AFC ležao na jednoj strani ove prave linije, zatim zatvorena NL samohodna puška

biće apsolutno stabilan. Primjer.

Istražite apsolutnu stabilnost samohodnih topova NL pomoću blok dijagrama na slici 1, ako Od svega
u karakterističnoj jednačini 2. reda veća je od nule, tada

koji je određen relacijom
Re
=

=Re
==Re
=

- je asimptotski stabilan i stoga je ispunjen uslov (1) Popovovog kriterijuma stabilnosti.
.

Gradimo AFFC

Asimptotska stabilnost za poseban oblik

nelinearne karakteristike

1. Dvosmislena nelinearna karakteristika

1.
Stanje mirovanja će biti apsolutno stabilno ako

2.

odgovara asimptotski stabilnom sistemu.

2. Sistem sa relejnom karakteristikom=0 r

. Ovo je poseban slučaj gore opisane karakteristike.

3.Nelinearnost tipa releja

1.
- asimptotski stabilan.

2.Im

Apsolutna stabilnost procesa

Razmotrimo sada stabilnost ne stabilizacijskih sistema (nominalni režim - stanje mirovanja), već slučaj kada nominalni režim karakteriše ulazni signal
i izlazni signal
koji su ograničeno kontinuirano funkcije vremena.

Pretpostavićemo da nelinearni element ima oblik
, Gdje
je kontinuirana jednoznačna funkcija koja zadovoljava uvjet

one. brzina promjene nelinearne karakteristike je ograničena. Ovo je prilično strog uslov.

U ovom slučaju, kako bi se osigurala apsolutna stabilnost ograničenog procesa
,
dovoljno je da se ispune uslovi6

1.
- bio asimptotski stabilan.

2.
.

U posebnom slučaju kada 2. Sistem sa relejnom karakteristikom=0

ili

Teorija vezana za razvoj Popovih ideja još nije potpuna, ovdje su mogući novi, jači rezultati. Sažetak takvih dosadašnjih rezultata dostupan je u Naumovljevoj knjizi “Nelinearni automatski upravljački sistemi”.

Približne metode za proučavanje nelinearnih sistema automatskog upravljanja

Metoda harmonične ravnoteže

Kada proučavate NL ACS, ponekad možete uočiti pojavu periodičnih promjena u izlaznoj vrijednosti y(t) čak iu slučajevima kada
Ako se, proučavajući samohodne topove, ograničimo na linearno model sa konstantnim koeficijentima, onda se naznačena pojava (prirodne oscilacije) može dogoditi samo ako postoje čisto imaginarni korijeni u karakterističnoj jednadžbi
.

Međutim, uz ovo objašnjenje, mala promjena parametara sistema će “pomjeriti” korijen sa imaginarne ose ulijevo ili udesno, a prirodne oscilacije će ili prigušiti ili zanjihati. U praksi, u nelinearnim sistemima, periodične oscilacije izlaznog signala traju uz male promjene parametara sistema.

Ova vrsta neprigušenih oscilacija objašnjava se nelinearnom prirodom sistema. One se nazivaju autooscilacije.

Razmotrite metodu harmonična ravnoteža,što omogućava utvrđivanje prisutnosti ili odsustva autooscilacija na osnovu međusobnog toka fazno-frekventnog odziva linearnog dijela i karakteristika nelinearnog elementa.

Razmotrimo sistem sa jednom petljom u kojem je identificiran nelinearni element

(1)

i linearni dio sa prijenosnom funkcijom
.

Pretpostavlja se:

1.
odgovara stabilnom sistemu,

2. nelinearna karakteristika
- neparna simetrična, tj.

,

3.ulazni signal
, tj. Ovo je stabilizacijski sistem.

Potražićemo izlazni signal y(t) u formi

, (2)

Gdje - amplituda sopstvenih oscilacija,

- frekvencija samooscilacija.

I treba utvrditi.

Sinusoidna hipoteza y(t) izgleda proizvoljno. Međutim, bit će dati daljnji uvjeti pod kojima ova hipoteza postaje prirodna.

Jer
,(3)

Hajde da propustimo signal
sekvencijalno kroz nelinearni element i linearni dio i pronađite jednadžbe iz kojih će biti moguće odrediti amplitudu i frekvencija samooscilacije u samohodnim topovima NL.

Walkthrough
preko linearnog elementa

Jer
- periodičnu funkciju, zatim signal
na izlazu nelinearnog element također će biti periodična funkcija, ali različita od sinusnog vala.

Spectrum
Spectrum

Kao što je poznato, svaka periodična funkcija može biti predstavljena Fourierovim redom:

(4)

Pretpostavljamo da je slobodni član u formuli (4) jednak nuli. To će se dogoditi, na primjer, kada karakteristika nelinearnog elementa zadovolji uvjet

, tj. radi se o neparnoj funkciji.

Ovdje su Fourierovi koeficijenti I određuju se:

,

(5)

Transformirajmo (4) množenjem i dijeljenjem svakog člana na desnoj strani
(6)

.

Da vas podsjetimo na to

(8)

Dakle, prilikom prolaska signala
kroz nelinearni element, na izlazu nelinearnog elementa dolazi do signala
sadrži mnogo harmonika koji su višestruki . (vidi sliku iznad).

Signal Passage
kroz linearni dio

Iz teorije linearnih sistema znamo da ako je ulaz linearne veze sa prijenosnom funkcijom
, što odgovara stabilnom sistemu, primeniti harmonijski signal u stabilnom stanju, biće signal na izlazu ove veze.

Evo
- modul frekvencijskog odziva
u tački ,

argument
.

Koristeći ove relacije, možemo zapisati izraze za
, prolazeći odvojeno kroz linearni dio sve komponente serije (8) i zatim zbrajajući rezultirajuće izraze za

Zbog linearnosti sistema, takav postupak je legalan.

Dobijamo, pod pretpostavkom
:

Rezultirajući izraz (9) za
ima prilično složenu strukturu. Može se znatno pojednostaviti upotrebom hipoteza filtera.

Proučavajući frekvencijske karakteristike tipičnih elementarnih jedinica, vidjeli smo da njihov frekvencijski odziv teži nuli na

Hipoteza filtera je da frekvencijski odziv na desnoj strani (9) opada sa povećanjem frekvencije tako brzo da se u (9) može uzeti u obzir samo prvi član, što odgovara k=1, a preostale pojmove smatrati zanemarljivim. Drugim riječima, hipoteza filtera je hipoteza da linearni dio ACS-a praktično ne propušta visokofrekventne oscilacije. Stoga se formula (9) (a ovo je aproksimacija metode) pojednostavljuje na sljedeći način:

Dakle, kada zatvorimo sistem pod pretpostavkom hipoteze filtera, dobićemo harmonijsku ravnotežu (otuda naziv metode - metoda harmonijske ravnoteže)

Pogledajmo kako se koristi metoda harmonična ravnoteža odrediti amplitudu A i frekvencija samooscilacije.

Hajde da predstavimo koncept ekvivalentna prijenosna funkcija nelinearnog elementa:

(11)

Ako
(a to se dešava sa nedvosmislenim simetričnim nelinearnim karakteristikama), onda

(12)

Karakteristična jednačina zatvorenog ACS-a (slika 1) ima oblik:

ili frekvencijski odziv

(13)

(14)

Hajde da zamislimo

Tada će jednačina (14) biti prepisana:

=
(17)

Jednakost (14) ili (17) je osnova grafsko-analitičke metode za određivanje parametara samooscilacija A I .

Fazno-frekvencijski odziv linearnog dijela konstruiran je na kompleksnoj ravni

i karakteristike nelinearnog elementa

Ako se krive seku, tada u ACS-u postoje autooscilacije.

Učestalost samooscilacija u tački preseka krivih duž
, a amplituda je prema
.

Pogledajmo pobliže odabrano područje

Znamo amplitudu i frekvenciju tačaka najbližih presjeku krivih. Amplituda i frekvencija u tački presjeka mogu se odrediti, na primjer, dijeljenjem segmenta na pola.

Metoda harmonične linearizacije

Ovo je vrlo efikasna približna metoda za određivanje periodičnih oscilacija u NL ACS.

Za primjenu metode harmonijske linearizacije nelinearnosti potrebno je ispuniti zahtjev: linearni dio mora imati svojstva filtera, tj. ne bi trebalo dozvoliti da visoke frekvencije prođu.

U praksi se ovaj uslov obično ispunjava.

Neka postoji nelinearni element

(1)

Neka
(2)

Onda
(3)

Proširimo (1) u Fourierov niz:

Podsjetimo da je nelinearna funkcija F(x) , proširen u Fourierov niz, ima oblik:

,

,
,

Tada će Fourierov niz za našu nelinearnost izgledati ovako:

++viši harmonici (4)

Stavimo konstantnu komponentu

Iz jednačine (2):

Iz jednačine (3):

Tada se jednačina (4) može prepisati:

,

U jednačini (5) zanemarujemo visoke frekvencije i ovo je aproksimacija metode.

Dakle, nelinearni element at
se zamjenjuje lineariziranim izrazom (5), koji, kada je hipoteza filtera linearnog dijela zadovoljena, poprima oblik:

(6)

Ovaj postupak se naziva harmonska linearizacija.

Odds
I
at konstanta a I . U dinamičkom modu, kada se mijenjaju A I , koeficijenti
I
će se promijeniti. Ovo je razlika između harmonijske linearizacije i konvencionalne linearizacije. (Kod konvencionalne linearizacije, koeficijent linearizovane jednačine TO zavisi od tačke linearizacije). Zavisnost koeficijenata linearizacije od A I omogućava vam da primenite metode za proučavanje linearnih sistema na NL ACS (6) i analizirate svojstva NL ACS koja se ne mogu detektovati konvencionalnom linearizacijom.

Harmonični koeficijenti linearizacije

neke tipične nelinearnosti

Karakteristika releja

2. Karakteristika releja sa mrtvom zonom

,
Amplituda oscilacije

3. Karakteristika releja sa histerezisnom petljom

,
,

4. Karakteristika releja sa mrtvom zonom i petljom histereze

,

Sada razmotrite zatvoreni sistem.

,

Možemo uvesti koncept prijenosne funkcije nelinearnog elementa

,

.

Tada je karakteristična jednadžba zatvorenog ACS-a:

,

ili

Kada se u zatvorenom sistemu pojave prirodne neprigušene oscilacije konstantne amplitude i frekvencije, koeficijenti harmonijske linearizacije postaju konstantni, a sistem automatskog upravljanja postaje linearan. A u linearnom sistemu, prisustvo periodičnih neprigušenih oscilacija ukazuje na prisustvo čisto imaginarnih korena.

Dakle, utvrditi periodično rješenja moraju biti zamijenjena u karakterističnu jednačinu
. Evo - frekvencija struje, i - frekvencija samooscilacija.

Nepoznate u ovoj jednačini su I .

Izolirajmo stvarni i imaginarni dio u ovoj jednadžbi.

Uvedemo notaciju za frekvenciju i amplitudu željenog periodičnog rješenja:
,
.

Dobijamo dvije jednačine sa dvije nepoznate.

Rješavajući ove jednačine, nalazimo I - amplituda i frekvencija periodičnih rješenja u NL ACS.

Koristeći ove jednačine, možete odrediti ne samo I , ali i izgraditi zavisnost I , na primjer, od pojačanja ACS-a TO.

Zatim, s obzirom TO varijable, pišemo:

Pitam se TO, nalazimo I , tj.
I

Možete birati TO tako da

1. ne bi bilo dovoljno

2. bilo bi bezopasno za samohodne topove,

3. ne bi bilo samooscilacija.

Koristeći iste jednačine, moguće je na ravni dva parametra (npr. T I TO) konstruisati linije jednakih vrednosti amplitude i frekvencije samooscilacija. Za ovu jednačinu prepisujemo:

Određivanje numeričkih vrijednosti , dobijamo
I

Od ovih grafikona možete birati T I TO.

Određivanje stabilnosti rješenja u nelinearnim sistemima automatskog upravljanja

Autooscilacije u NL ACS-u moraju odgovarati stabilnim periodičnim rješenjima. Stoga, nakon pronalaženja amplitude i frekvencije periodična rješenja, potrebno je ispitati njihovu stabilnost.

Razmotrimo približnu metodu za proučavanje stabilnosti periodičnih rešenja u NL ACS koristeći Mihajlovljev hodograf.

Neka NL samohodne topove

,
.
- dobiveno metodom harmonijske linearizacije.

Karakteristična jednačina zatvorenog sistema

Zapišimo jednačinu karakteristične krive (Mihailovljev hodograf) koju u nju zamjenjujemo
.

- trenutna vrijednost frekvencije duž Mihailovljevog hodografa,

- frekvencija harmonske linearizacije (autooscilacije).

Onda za bilo koju datu trajno I Mihajlovljeva kriva će imati isti oblik kao za obične linearne sisteme.

Za periodična rješenja odgovaraju I , Mihailovljev hodograf će proći kroz početak koordinata (pošto je sistem na granici stabilnosti).

Za određivanje stabilnosti periodičnih rješenja dajemo prirast

Ako na
Mihajlovljeva kriva će zauzeti poziciju 1, i kada

- pozicija 2, tada je periodično rješenje stabilno.

Ako na
kriva će zauzeti poziciju 2, i kada
- pozicija 1, tada je periodično rješenje nestabilno.

Slanje vašeg dobrog rada u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Novosibirski državni tehnički univerzitet

Katedra za elektro pogon i automatizaciju industrijskih instalacija

NASTAVNI RAD

u disciplini "Teorija automatskog upravljanja"

Analiza nelinearnih sistema automatskog upravljanja

Student: Tishininov Yu.S.

Grupa Ema-71

Šef predmeta

RADNI ZADATAK PREDMETA:

1. Ispitati sistem automatskog upravljanja sa datim strukturnim dijagramom, vrstom nelinearnosti i numeričkim parametrima metodom fazne ravni.

1.1 Provjeriti rezultate proračuna za tačku 1 koristeći strukturno modeliranje.

1.2 Istražiti uticaj ulaznog uticaja i parametara nelinearnosti na dinamiku sistema.

2. Ispitati sistem automatskog upravljanja sa datim strukturnim dijagramom, vrstom nelinearnosti i numeričkim parametrima metodom harmonijske linearizacije.

2.1 Provjeriti rezultate proračuna za tačku 2 koristeći strukturno modeliranje.

2.2 Istražiti uticaj ulaznog uticaja i parametara nelinearnosti na dinamiku sistema

1. Metodom fazne ravni proučavamo sistem automatskog upravljanja sa zadatim strukturnim dijagramom, vrstom nelinearnosti i numeričkim parametrima.

Opcija br. 4-1-a

Početni podaci.

1) Blok dijagram nelinearnog sistema automatskog upravljanja:

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Sistem u kojem se radne i upravljačke operacije obavljaju tehničkim uređajima naziva se automatski kontrolni sistem (ACS).

Blok dijagram naziva se grafički prikaz matematičkog opisa sistema.

Veza u blok dijagramu prikazana je kao pravougaonik koji ukazuje na vanjske utjecaje, a unutar nje je zapisana funkcija prijenosa.

Skup veza, zajedno sa komunikacijskim linijama koje karakteriziraju njihovu interakciju, čini strukturni dijagram.

2) Parametri blok dijagrama:

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Metoda fazne ravni

Ponašanje nelinearnog sistema u bilo kom trenutku određeno je kontrolisanom varijablom i njenim (n?1) derivatom ako su ove veličine nacrtane duž koordinatnih osa, onda će se rezultujući n-dimenzionalni prostor zvati fazni prostor. Stanje sistema u svakom trenutku vremena će biti određeno u faznom prostoru pomoću tačke koja predstavlja. Tokom prelaznog procesa, reprezentativna tačka se kreće u faznom prostoru. Putanja njegovog kretanja naziva se fazna putanja. U stabilnom stanju, tačka snimanja miruje i naziva se posebna tačka. Skup faznih trajektorija za različite početne uslove, zajedno sa singularnim tačkama i putanjama, naziva se fazni portret sistema.

Prilikom proučavanja nelinearnog sistema ovom metodom, potrebno je blok dijagram (slika 1.1) pretvoriti u oblik:

Znak minus označava da je povratna informacija negativna.

gdje su X 1 i X 2 izlazne i ulazne veličine linearnog dijela sistema, respektivno.

Nađimo diferencijalnu jednačinu sistema:

Onda ćemo napraviti zamjenu

Rešimo ovu jednačinu za najveći izvod:

Pretpostavimo da:

Podijelimo jednačinu (1.2) s jednačinom (1.1) i dobijemo nelinearnu diferencijalnu jednačinu fazne putanje:

gdje je x 2 = f(x 1).

Ako ovaj DE riješite metodom izokline, možete konstruisati fazni portret sistema za različite početne uslove.

Izoklina je geometrijska lokacija tačaka fazne ravni koje fazna putanja seče pod istim uglom.

U ovoj metodi, nelinearna karakteristika se dijeli na linearne dijelove i za svaki od njih se upisuje linearni DE.

Da bi se dobila jednačina izokline, desna strana jednačine (1.3) je izjednačena sa konstantnom vrijednošću N i relativno riješena.

Uzimajući u obzir nelinearnost, dobijamo:

Određivanjem N vrijednosti u rasponu od do, konstruiše se porodica izoklina. Na svakoj izoklinali povučena je pomoćna ravna linija pod uglom u odnosu na osu apscise

gdje je m X faktor razmjera duž x ose;

m Y - faktor skale duž y ose.

Odaberite m X = 0,2 jedinica/cm, m Y = 40 jedinica/cm;

Konačna formula za ugao je:

Izračunajmo porodicu izoklina i ugao za površinu, sumirajmo proračun u tabeli 1:

Tabela 1

Izračunajmo porodicu izoklina i ugao za područje, sumirajmo proračun u tabeli 2:

Tabela 2

Izračunajmo porodicu izoklina i ugao za područje, sumirajmo proračun u tabeli 3:

Tabela 3

Napravimo faznu putanju

Da bi se to uradilo, odabiru se početni uslovi na jednoj od izoklina (tačka A), dvije prave se povlače iz tačke A dok se ne seku sa sledećom izoklinalom pod uglovima b 1, b 2, gde je b 1, b 2? uglovi prve i druge izokline. Segment odsječen ovim linijama podijeljen je na pola. Iz rezultirajuće tačke, sredine segmenta, ponovo se povlače dvije linije pod uglovima b 2, b 3, i opet se segment dijeli na pola, itd. Rezultirajuće tačke su povezane glatkom krivom.

Porodice izoklina su konstruisane za svaki linearni presek nelinearne karakteristike i odvojene su jedna od druge preklopnim linijama.

Fazna putanja pokazuje da je dobijena posebna tačka tipa stabilnog fokusa. Možemo zaključiti da u sistemu nema autooscilacija, a proces tranzicije je stabilan.

1.1 Provjerimo rezultate proračuna koristeći strukturno modeliranje u programu MathLab

Blok dijagram:

Fazni portret:

Prolazni proces sa ulaznom akcijom jednakom 2:

Xout.max = 1,6

1.2 Proučavamo uticaj ulaznog uticaja i parametara nelinearnosti na dinamiku sistema

Povećajmo ulazni signal na 10:

Xout.max = 14,3

Treg = 0,055

X out max = 103

T reg = 0,18

Povećajmo zonu osjetljivosti na 15:

Xout.max = 0,81

Smanjimo zonu osjetljivosti na 1:

Xout.max = 3,2

Rezultati simulacije su potvrdili rezultate proračuna: sa slike 1.7 je jasno da je proces konvergentan, da nema autooscilacija u sistemu. Fazni portret simuliranog sistema je sličan izračunatoj putanji proračuna.

Proučavajući uticaj ulaznog uticaja i parametara nelinearnosti na dinamiku sistema, možemo izvesti sledeće zaključke:

1) kako se ulazni uticaj povećava, nivo stacionarnog stanja se povećava, broj oscilacija se ne menja, a vreme upravljanja se povećava.

2) kako se mrtva zona povećava, nivo stacionarnog stanja se povećava, broj oscilacija takođe ostaje nepromenjen, a vreme kontrole se povećava.

2. Metodom harmonične linearizacije proučavamo sistem automatskog upravljanja sa zadatim strukturnim dijagramom, vrstom nelinearnosti i numeričkim parametrima.

Opcija br. 5-20-c

Početni podaci.

1) Blok dijagram:

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

2) Vrijednosti parametara:

3) Vrsta i parametri nelinearnosti:

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Najrasprostranjenija metoda za proučavanje nelinearnih automatskih sistema upravljanja visokog reda (n > 2) je približna metoda harmonijske linearizacije koristeći frekventne reprezentacije razvijene u teoriji linearnih sistema.

Osnovna ideja metode je sljedeća. Neka se zatvoreni autonomni (bez vanjskih utjecaja) nelinearni sistem sastoji od serijski povezanog nelinearnog NC bez inercije i stabilnog ili neutralnog linearnog dijela LC (slika 2.3, a)

u=0 x z H=H m sinwt z y

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

y = Y m 1 sin (wt +)

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Da bi se sudila mogućnost postojanja monoharmoničnih neprigušenih oscilacija u ovom sistemu, pretpostavlja se da na ulaz nelinearne veze deluje harmonijski sinusoidalni signal x(t) = X m sinwt (slika 2.3b). U ovom slučaju, signal na izlazu nelinearne veze z(t) = z sadrži spektar harmonijskih komponenti sa amplitudama Z m 1, Z m 2, Z m 3 itd. i frekvencije w, 2w, 3w, itd. Pretpostavlja se da je ovaj signal z(t), prolazeći kroz linearni dio W l (jw), njime filtriran do te mjere da u signalu na izlazu linearnog dijela y(t) svi viši harmonici Y m 2, Y m 3 i sl. i pretpostavimo da

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Posljednja pretpostavka naziva se hipoteza filtera, a ispunjenje ove hipoteze je neophodan uvjet za harmonsku linearizaciju.

Uslov ekvivalencije za kola prikazana na sl. 2.3, a i b, mogu se formulisati kao jednakost

x(t) + y(t) = 0(1)

Kada je hipoteza filtera y(t) = Y m 1 sin(wt +) zadovoljena, jednadžba (1) se dijeli na dva

Jednačine (2) i (3) nazivaju se jednadžbe harmonijske ravnoteže; prvi od njih izražava ravnotežu amplituda, a drugi - ravnotežu faza harmonijskih oscilacija.

Dakle, da bi u razmatranom sistemu postojale neprigušene harmonijske oscilacije, moraju biti zadovoljeni uslovi (2) i (3) ako je ispunjena hipoteza filtera.

Koristimo Goldfarbovu metodu da grafički riješimo karakterističnu jednadžbu oblika

W LCH (p) W NE (A) +1 = 0

W LCH (jw) W NE (A) = -1

Da bi se približno odredile autooscilacije, konstruisan je fazno-frekventni odziv linearnog dela sistema i inverzna negativna karakteristika nelinearnog elementa.

Da bismo konstruirali AFC odgovor linearnog dijela, transformiramo blok dijagram u oblik slike 2.4:

Kao rezultat transformacije, dobijamo dijagram na slici 2.5:

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Nađimo prijenosnu funkciju linearnog dijela sistema:

Oslobodimo se iracionalnosti u nazivniku množenjem brojnika i nazivnika konjugatom imenioca, dobićemo:

Podijelimo rezultat na imaginarne i realne dijelove:

Za konstruiranje inverzne negativne karakteristike nelinearnog elementa koristimo formulu:

Parametri nelinearnosti:

A je amplituda, pod uslovom da.

AFC odziv linearnog dijela sistema i inverzna negativna karakteristika nelinearnog elementa prikazani su na Sl. 2.6:

Za određivanje stabilnosti samooscilacija koristimo sljedeću formulaciju: ako tačka koja odgovara povećanoj amplitudi u odnosu na točku presjeka nije pokrivena frekvencijskim odzivom linearnog dijela sistema, tada su samooscilacije stabilne . Kao što se može vidjeti sa slike 2.6, rješenje je stabilno, pa se u sistemu uspostavljaju autooscilacije.

2.1 Provjerimo rezultate proračuna koristeći strukturno modeliranje u programu MathLab.

Slika 2.7: Blok dijagram

Prolazni proces sa ulaznim djelovanjem jednakim 1 (slika 2.8):

automatsko upravljanje nelinearnim harmonikom

Kao što se vidi iz grafikona, uspostavljene su autooscilacije. Provjerimo utjecaj nelinearnosti na stabilnost sistema.

2.2 Proučimo uticaj ulaznog uticaja i parametara nelinearnosti na dinamiku sistema.

Povećajmo ulazni signal na 100:

Povećajmo ulazni signal na 270

Smanjimo ulazni signal na 50:

Povećajmo zasićenje na 200:

Smanjimo zasićenje na 25:

Smanjimo zasićenje na 10:

Rezultati simulacije nisu jednoznačno potvrdili rezultate proračuna:

1) U sistemu se javljaju autooscilacije, a promjene zasićenja utiču na amplitudu oscilacija.

2) Kako se ulazni uticaj povećava, vrijednost izlaznog signala se mijenja i sistem teži stabilnom stanju.

SPISAK KORIŠTENIH IZVORA:

1. Zbirka zadataka iz teorije automatske regulacije i upravljanja. Ed. V.A. Besekersky, peto izdanje, revidirano. - M.: Nauka, 1978. - 512 str.

2. Teorija automatskog upravljanja. Dio II. Teorija nelinearnih i specijalnih sistema automatskog upravljanja. Ed. A.A.Voronova. Udžbenik priručnik za univerzitete. - M.: Više. škola, 1977. - 288 str.

3. Topcheev Yu.I. Atlas za projektovanje sistema automatskog upravljanja: udžbenik. dodatak. ? M.: Mašinstvo, 1989. ? 752 pp.

Objavljeno na Allbest.ru

Slični dokumenti

Nelinearni sistemi opisani nelinearnim diferencijalnim jednadžbama. Metode za analizu nelinearnih sistema: komadno linearna aproksimacija, harmonijska linearizacija, fazna ravan, statistička linearizacija. Koristeći kombinaciju metoda.

sažetak, dodan 21.01.2009


Analiza stabilnosti automatskog upravljačkog sistema (ACS) korištenjem Nyquistovog kriterija. Proučavanje stabilnosti ACS-a na osnovu amplitudno-fazno-frekventnih karakteristika AFC-a i logaritamskih karakteristika. Alati za kontrolu sistema za praćenje instrumenata.

kurs, dodan 11.11.2009


Analiza blok dijagrama datog sistema automatskog upravljanja. Osnovni uvjeti stabilnosti Hurwitz-ovog i Nyquistovog kriterija. Sinteza kao odabir strukture i parametara sistema koji će zadovoljiti unaprijed određene zahtjeve. Koncept održivosti.

kurs, dodan 01.10.2013


Proučavanje režima automatskog upravljanja. Određivanje prijenosne funkcije sistema zatvorene petlje. Konstrukcija logaritamskih amplitudnih i faznih frekvencijskih karakteristika. Sinteza sistema "objekt-regulator", proračun optimalnih parametara.

kurs, dodan 17.06.2011


Projektovanje zatvorenog, jednodimenzionalnog, stacionarnog, servo automatskog sistema upravljanja sa određivanjem parametara korektivnog uređaja koji obezbeđuje propisane zahteve za kvalitetom regulacije. Analiza sistema uzimajući u obzir nelinearnost uma.

kurs, dodan 18.01.2011


Struktura zatvorenog linearnog kontinuiranog sistema automatskog upravljanja. Analiza prijenosne funkcije povratnog sistema. Proučavanje linearnih impulsnih, linearnih kontinuiranih i nelinearnih kontinuiranih sistema automatskog upravljanja.

test, dodano 16.01.2011


Jednačine veza strukturnog dijagrama ACS-a. Analiza linearnog kontinuiranog sistema automatskog upravljanja. Kriterijumi stabilnosti. Pokazatelji kvaliteta prolaznih procesa pri modeliranju na računaru. Sinteza uređaja za sekvencijalnu korekciju.

test, dodato 19.01.2016


Dizajn blok dijagrama elektromehaničkog relejnog servo pogona. Izrada diferencijalnih jednačina zatvorenog nelinearnog sistema automatskog upravljanja, konstruisanje njegovog faznog portreta. Harmonična linearizacija nelinearnosti.

kurs, dodato 26.02.2014


Diskretni sistemi automatskog upravljanja kao sistemi koji sadrže elemente koji konvertuju kontinuirani signal u diskretni. Impulsni element (IE), njegov matematički opis. Digitalni automatski sistem upravljanja, metode njegovog proračuna.

sažetak, dodan 18.08.2009


Izvođenje sinteze i analize sistema automatske kontrole praćenja pomoću LFC i LFFC. Određivanje tipova veza sistemskih prijenosnih funkcija i stabilnosti graničnih parametara. Proračun statističkih i logaritamskih karakteristika sistema.

2.7.3.1. Tačne metode za proučavanje nelinearnih sistema

1. Direktna metoda Ljapunova. Zasniva se na Ljapunovljevoj teoremi o stabilnosti nelinearnih sistema. Kao istraživački aparat koristi se funkcija Ljapunova, koja je predznakom određena funkcija koordinata sistema, koja takođe ima predznak-definisanu derivaciju u vremenu. Primjena metode je ograničena njenom složenošću.

2. Popovov metod (rumunski naučnik) je jednostavniji, ali je prikladan samo za neke posebne slučajeve.

3. Metoda zasnovana na komadno linearnoj aproksimaciji. Karakteristike pojedinačnih nelinearnih karika podijeljene su u niz linearnih dijelova, unutar kojih se problem ispostavlja linearnim i može se vrlo jednostavno riješiti.

Metoda se može koristiti ako je mali broj sekcija na koje je podijeljena nelinearna karakteristika (relejne karakteristike). Sa velikim brojem područja to je teško. Rješenje je moguće samo uz pomoć kompjutera.

4. Metoda faznog prostora. Omogućava proučavanje sistema sa nelinearnostima proizvoljnog tipa, kao i sa nekoliko nelinearnosti. Istovremeno, u faznom prostoru se konstruiše takozvani fazni portret procesa koji se dešavaju u nelinearnom sistemu. Po izgledu faznog portreta može se suditi o stabilnosti, mogućnosti autooscilacija i tačnosti u stacionarnom stanju. Međutim, dimenzija faznog prostora jednaka je redu diferencijalne jednačine nelinearnog sistema. Primena za sisteme višeg od drugog reda je praktično nemoguća.

5. Za analizu slučajnih procesa možete koristiti matematički aparat teorije Markovljevih slučajnih procesa. Međutim, složenost metode i sposobnost rješavanja Fokker-Planckove jednačine, koja je potrebna u analizi samo za jednačine prvog i u nekim slučajevima drugog reda, ograničava njegovu upotrebu.

Dakle, iako precizne metode za analizu nelinearnih sistema omogućavaju dobijanje tačnih, tačnih rezultata, one su veoma složene, što ograničava njihovu praktičnu primenu. Ove metode su važne sa čisto naučne, kognitivne, istraživačke tačke gledišta, pa se stoga mogu klasifikovati kao čisto akademske metode, čija praktična primena na stvarne složene sisteme nema smisla.

2.7.3.2. Približne metode za proučavanje nelinearnih sistema

Složenost i ograničenja praktične primjene egzaktnih metoda za analizu nelinearnih sistema doveli su do potrebe za razvojem približnih, jednostavnijih metoda za proučavanje ovih sistema. Približne metode omogućavaju u mnogim praktičnim slučajevima da se sasvim jednostavno dobiju transparentni i lako vidljivi rezultati analize nelinearnih sistema. Približne metode uključuju:

1. Metoda harmonijske linearizacije, zasnovana na zamjeni nelinearnog elementa njegovim linearnim ekvivalentom, a ekvivalencija se postiže za neko kretanje sistema koje je blisko harmonijskom. Ovo omogućava da se sasvim jednostavno istraži mogućnost nastanka autooscilacija u upravljačkom sistemu. Međutim, metoda se može primijeniti i za proučavanje prolaznih procesa nelinearnih sistema.

2. Metoda statističke linearizacije takođe se zasniva na zamjeni nelinearnog elementa njegovim linearnim ekvivalentom, ali kada se sistem kreće pod utjecajem slučajnih poremećaja. Metoda omogućava relativno jednostavno proučavanje ponašanja nelinearnog sistema pod slučajnim uticajima i pronalaženje nekih njegovih statističkih karakteristika.

Metoda harmonične linearizacije

Primijenimo na nelinearne sisteme opisane diferencijalnom jednadžbom bilo kojeg reda. Razmotrimo ga samo u vezi sa proračunom samooscilacija u sistemu automatskog upravljanja. Podijelimo upravljački sistem zatvorene petlje na linearne i nelinearne dijelove (slika 7.2) sa prijenosnim funkcijama i, respektivno.

Za linearnu vezu:

Nelinearna veza može imati nelinearne zavisnosti oblika:

itd. Ograničimo se na zavisnost oblika:

Rice. 7.2. Prema metodi harmonijske linearizacije

Postavimo problem proučavanja autooscilacija u ovom nelinearnom sistemu. Strogo govoreći, samooscilacije će biti nesinusoidalne, međutim, pretpostavit ćemo da za varijablu x oni su bliski harmonijskoj funkciji. To je opravdano činjenicom da je linearni dio (7.1), u pravilu, niskopropusni filter (LPF). Stoga će linearni dio odgoditi više harmonike sadržane u varijabli y. Ova pretpostavka se naziva hipoteza filtera. Inače, ako je linearni dio visokopropusni filtar (HPF), onda metoda harmonijske linearizacije može dati pogrešne rezultate.

Neka Zamjenom u (7.2) proširimo (7.2) u Fourierov red:

Pretpostavimo da u željenim oscilacijama nema konstantne komponente, tj.

Ovaj uslov je uvijek ispunjen kada je nelinearna karakteristika simetrična u odnosu na ishodište koordinata i ne postoji vanjski utjecaj na nelinearnu vezu.

Onda smo to prihvatili.

U pisanoj ekspanziji ćemo napraviti zamjenu i odbaciti sve više harmonike serije, s obzirom da su filtrirani. Tada za nelinearnu vezu dobijamo približnu formulu

gdje su i koeficijenti harmonijske linearizacije, određeni formulama proširenja Fourierovog reda:

Tako je nelinearna jednačina (7.2) zamijenjena približnom jednačinom za prvi harmonik (7.3), slično linearnoj jednačini. Njegova posebnost je da koeficijenti jednačine zavise od željene amplitude autooscilacija. U opštem slučaju, sa složenijom zavisnošću (7.2), ovi koeficijenti će zavisiti i od amplitude i od frekvencije.

Izvršena operacija zamjene nelinearne jednačine približnom linearnom naziva se harmonijska linearizacija, a koeficijenti (7.4), (7.5) se nazivaju koeficijenti harmonijskog prijenosa nelinearne veze.

Iz (7.3) slijedi da je za razmatrani sistem prijenosna funkcija nelinearne veze:

Uzimajući u obzir (7.1) i (7.3), dobijamo funkciju prenosa otvorenog sistema:

i karakteristična jednačina zatvorenog sistema:

Zamjenom u (7.6) nalazimo funkciju prijenosa frekvencije otvorenog sistema:

Ne zavisi od [vidi (7.8)].

Modul ekvivalentne funkcije prijenosa nelinearne veze određen je formulom:

i jednak je omjeru amplitude prvog harmonika na njegovom izlazu i amplitude ulazne vrijednosti. Argument funkcije prijenosa frekvencije nelinearne veze jednak je:

Može se pokazati da za nelinearne veze sa nedvosmislenim i simetričnim u odnosu na ishodište koordinata karakteristike koje nemaju petlje histereze, dakle - čisto realne, i

Često se koristi inverzna funkcija ekvivalentne funkcije prijenosa nelinearne veze:

naziva se ekvivalentna impedansa nelinearne veze. Njegova upotreba je zgodna kada se računaju samooscilacije pomoću Nyquistovog kriterija. Kao primjer korištenja metode harmonične linearizacije, razmotrite relejnu karakteristiku tropoložajnog releja bez petlje histereze (slika 7.3). Kao što se može videti sa sl. 7.3, statička karakteristika je simetrična u odnosu na početak koordinata, dakle, . Stoga je potrebno samo pronaći koeficijent pomoću formule (7.4). Da bismo to uradili, primenjujemo sinusoidnu funkciju na ulaz veze i konstruišemo y(t) (slika 7.4).

Rice. 7.3. Statička karakteristika tropoložaja

relej bez petlje histereze

Kao što se može videti sa sl. 7.4, sa

Fazni ugao koji odgovara x 1 = b jednak je arcsin (b/a) (slika 7.4).

Uzimajući u obzir simetriju integranda iu skladu sa (7.4), imamo:

Jer , onda konačno imamo:

Na sličan način moguće je izvršiti harmonijsku linearizaciju drugih nelinearnih veza. Rezultati linearizacije su dati u , .

Kao što je gore navedeno, metoda harmonijske linearizacije pogodna je za analizu mogućnosti pojave autooscilacionog režima u nelinearnom sistemu i određivanje njegovih parametara. Za izračunavanje samooscilacija koriste se različiti kriteriji stabilnosti. Najjednostavniji i najočitiji način je korištenje Nyquistovog kriterija. Posebno je zgodno koristiti Nyquistov kriterij u slučaju kada postoji nelinearna ovisnost oblika i ekvivalentna prijenosna funkcija nelinearne veze zavisi samo od amplitude ulaznog signala.

Rice. 7.4. Primjer linearizacije karakteristike releja

Uvjeti za nastanak autooscilacija: pojava u rješenju (7.7) para čisto imaginarnih korijena, a svi ostali korijeni leže u lijevoj poluravni (veza sa tačkom –1,j0).

Izjednačimo (7.7) sa minus jedan:

Da bismo riješili (7.12), postavili smo različite vrijednosti i konstruirali AFC. Na nekom a = A, AFC će proći kroz tačku (-1,j0), što odgovara odsustvu rezervi stabilnosti.

Frekvencija i odgovara frekvenciji i amplitudi željene harmonijske oscilacije: (slika 7.5).

Na sličan način moguće je pronaći periodično rješenje za nelinearne ovisnosti bilo koje vrste, što posebno dovodi do činjenice da ekvivalentna prijenosna funkcija nelinearnog elementa ne ovisi samo o amplitudi, već i o frekvenciji. Ako se ograničimo na razmatranje nelinearne zavisnosti oblika , tada se proces pronalaženja periodičnog režima može pojednostaviti.

Rice. 7.5. Uslov za nastanak autooscilacija

Zapišimo jednačinu (7.12) u obliku:

Vidi (7.11). (7.13)

Jednačina (7.13) se lako može riješiti grafički. U tu svrhu potrebno je posebno konstruisati AFC i inverzni AFC uzeti sa suprotnim predznakom. Točka presjeka dva AFC-a određuje rješenje (7.13). Frekvenciju periodičnog moda nalazimo po oznakama frekvencije na grafikonu, a amplitudu po oznakama amplitude na grafikonu (slika 7.6).

Međutim, pronađeni periodični režim odgovara samooscilacijama samo kada je stabilan u smislu da ovaj režim može postojati u sistemu neograničeno dugo vremena. Stabilnost periodičnog režima se može odrediti na sledeći način.

Pretpostavimo da je linearni dio sistema u otvorenom stanju stabilan ili neutralan. Dajmo amplitudi A neki pozitivan prirast A. Tada će se povećati, pa će se smanjiti. Kao rezultat toga, on se smanjuje i stoga se još više udaljava od tačke (-1,j0). A se smanjuje i težiće ka 0. Slično, ako je A primio negativan prirast - A. Tada će se smanjiti, dakle, povećavaće se, povećavaće se i, prema tome, amplituda će se povećati, jer AFC će se približiti tački (-1,j0) (smanjenje margine stabilnosti).

Rice. 7.6. Uslov za nastanak autooscilacija pri nelinearnom

zavisnosti tipa

Posljedično, svako nasumično odstupanje A mijenja sistem na takav način da amplituda vraća svoju vrijednost. To odgovara stabilnosti periodičnog moda, koji odgovara samooscilacijama.

Kriterijum stabilnosti za periodični mod ovde se svodi na činjenicu da deo krive koji odgovara manjim amplitudama pokriva AFC linearnog dela sistema, što odgovara prisustvu jedne tačke preseka karakteristike sa negativni dio ose realnih vrijednosti (vidi sliku 7.6).

Kada AFC sistema otvorene petlje dvaput pređe negativni dio ose realnih vrijednosti, moguće je da AFC prođe kroz tačku (-1,j0) za dvije vrijednosti i (Sl. 7.7).

Dvije točke presjeka odgovaraju dva moguća periodična rješenja s parametrima i . Slično kao što je gore urađeno, možete osigurati da prva tačka odgovara nestabilnom modu periodičnih oscilacija, a druga stabilnom, tj. samooscilacije (slika 7.8).

U složenijim slučajevima, kada je, recimo, nestabilan, moguće je odrediti stabilnost rezultujućeg periodičnog režima razmatranjem lokacije AFC sistema otvorene petlje. Ono što ostaje uobičajeno ovdje je da je za postizanje stabilnosti periodičnog režima neophodno da pozitivno povećanje amplitude dovodi do konvergentnih procesa u sistemu, a negativno do divergentnih.

U nedostatku mogućih periodičnih modova bliskih harmonijskom u sistemu, što je otkriveno gornjim proračunom, postoji mnogo različitih opcija za ponašanje sistema. Međutim, u sistemima čiji linearni dio ima svojstvo potiskivanja viših harmonika, posebno u takvim sistemima gdje za neke parametre postoji periodično rješenje, a za druge ne, postoji razlog vjerovati da će u nedostatku periodičnog rješenja sistem biti stabilan u odnosu na stanje ravnoteže. U ovom slučaju, stabilnost ravnotežnog stanja može se ocijeniti zahtjevom da kada je linearni dio stabilan ili neutralan u otvorenom stanju, njegov AFC ne pokriva hodograf

Metoda statističke linearizacije nelinearnih karakteristika

Za procjenu statističkih karakteristika nelinearnih sistema, možete koristiti metodu statističke linearizacije, zasnovanu na zamjeni nelinearne karakteristike linearnom, koja je u određenom smislu statistike ekvivalentna originalnoj nelinearnoj karakteristici.

Zamjena nelinearne transformacije linearnom je približna i može biti pravedna samo u nekim aspektima. Dakle, koncept statističke ekvivalencije, na osnovu kojeg se vrši takva zamjena, nije jednoznačan, te je moguće formulisati različite kriterije za statističku ekvivalentnost nelinearne i linearnih transformacija koje je zamjenjuju.

U slučaju kada je nelinearna zavisnost oblika (7.2) bez inercije podvrgnuta linearizaciji, obično se primjenjuju sljedeći kriteriji statističke ekvivalencije:

Prvi zahtijeva jednakost matematičkih očekivanja i varijansi procesa i , gdje je izlazna vrijednost ekvivalentne linearizirane veze, a izlazna vrijednost nelinearne veze;

Drugi zahtijeva minimiziranje srednjeg kvadrata razlike između procesa na izlazu nelinearnih i lineariziranih elemenata.

Razmotrimo linearizaciju za slučaj primjene prvog kriterija. Zamijenimo nelinearnu ovisnost (7.2) linearnom karakteristikom (7.14), koja ima ista matematička očekivanja i disperziju kao i oni dostupni na izlazu nelinearne veze sa karakteristikom (7.2). U tu svrhu prikazujemo (7.14) u obliku: , gdje je centrirana slučajna funkcija.

Prema odabranom kriteriju, koeficijenti i moraju zadovoljiti sljedeće odnose:

Iz (7.15) slijedi da se statistička ekvivalencija javlja ako

Štaviše, znak se mora podudarati sa predznakom izvoda nelinearne karakteristike F( x).

Veličine se nazivaju statistički koeficijenti linearizacije. Da biste ih izračunali, morate znati signal na izlazu nelinearne veze:

gdje je gustina vjerovatnoće distribucije slučajnog signala na ulazu nelinearne veze.

Za drugi kriterijum statistički koeficijenti linearizacije se biraju na način da se obezbedi minimum srednje kvadratne razlike između procesa na izlazu nelinearne i linearizovane veze, tj. osigurati ravnopravnost

Koeficijenti statističke linearizacije, kako slijedi iz (7.16), (7.17) i (7.18), zavise ne samo od karakteristika nelinearne veze, već i od zakona distribucije signala na njegovom ulazu. U mnogim praktičnim slučajevima, zakon distribucije ove slučajne varijable može se pretpostaviti da je Gausov (normalan), opisan izrazom

Ovo se objašnjava činjenicom da su nelinearne veze u upravljačkim sistemima povezane u seriju sa linearnim inercijskim elementima, čiji su zakoni distribucije izlazni signali bliski Gausovim za bilo koje zakone raspodjele njihovih ulaznih signala. Što je sistem inercijski, to je zakon distribucije izlaznog signala bliži Gausovom, tj. inercijski uređaji sistema dovode do obnavljanja Gausove distribucije, narušene nelinearnim vezama. Osim toga, promjena zakona raspodjele u širokom malom rasponu utiče na statističke koeficijente linearizacije. Stoga se smatra da su signali na ulazu nelinearnih elemenata raspoređeni prema Gausovom zakonu.

U ovom slučaju koeficijenti i zavise samo od signala na ulazu nelinearne veze, dakle, za tipične nelinearne karakteristike, koeficijenti i mogu se izračunati unapred, što značajno pojednostavljuje proračune sistema primenom metode statističke linearizacije. Za zakon normalne distribucije i tipične nelinearne veze prilikom izračunavanja nelinearnih sistema, možete koristiti podatke navedene u.

Primjena metode statističke linearizacije za analizu

stacionarni načini rada i neuspjeh praćenja

Mogućnost zamjene karakteristika nelinearnih veza linearnim ovisnostima omogućava korištenje metoda razvijenih za linearne sisteme pri analizi nelinearnih sistema. Primijenimo metodu statističke linearizacije za analizu stacionarnih modova u sistemu prikazanom na Sl. 7.9,

gdje je F(e) statička karakteristika nelinearnog elementa (diskriminator);

W(p) – prijenosna funkcija linearnog dijela sistema.

Zadatak analize je da proceni uticaj karakteristika diskriminatora na tačnost sistema i utvrdi uslove pod kojima je normalan rad sistema poremećen i praćenje ne uspeva.

Prilikom analize tačnosti rada u odnosu na neslučajnu komponentu signala g(t), nelinearni element F(e) u skladu sa metodom statističke linearizacije zamjenjuje se linearnom vezom sa transmisionim koeficijentom . Dinamička greška, kao što je ranije prikazano, nalazi se po formuli:

Dat je primjer pronalaženja i , kao i određivanje uvjeta neuspjeha praćenja.

Pitanja za samotestiranje

1. Imenujte približne metode za analizu nelinearnih sistema.

2. Koja je suština metode harmonijske linearizacije?

3. Koja je suština metode statističke linearizacije?

4. Za koje nelinearne veze je q¢ (a) = 0?

5. Koje kriterije za statističku ekvivalenciju poznajete?

"Teorija automatskog upravljanja"

"Metode za proučavanje nelinearnih sistema"

1. Metoda diferencijalnih jednadžbi

Diferencijalna jednačina zatvorenog nelinearnog sistema n-tog reda (slika 1) može se transformisati u sistem n-diferencijalnih jednačina prvog reda u obliku:

gdje je: – varijable koje karakteriziraju ponašanje sistema (jedna od njih može biti kontrolirana varijabla); – nelinearne funkcije; u – uticaj podešavanja.

Obično se ove jednačine pišu u konačnim razlikama:

gdje su početni uslovi.

Ako odstupanja nisu velika, onda se ovaj sistem može riješiti kao sistem algebarskih jednačina. Rješenje se može prikazati grafički.

2. Metoda faznog prostora

Razmotrimo slučaj kada je vanjski utjecaj nula (U = 0).

Kretanje sistema je određeno promjenom njegovih koordinata – u funkciji vremena. Vrijednosti u bilo kojem trenutku karakteriziraju stanje (fazu) sistema i određuju koordinate sistema koji imaju n-ose i mogu se predstaviti kao koordinate neke (koja predstavlja) tačke M (slika 2).

Fazni prostor je koordinatni prostor sistema.

Kako se vrijeme t mijenja, tačka M se kreće duž putanje koja se naziva fazna putanja. Ako promijenimo početne uslove, dobićemo familiju faznih putanja koja se naziva fazni portret. Fazni portret određuje prirodu procesa tranzicije u nelinearnom sistemu. Fazni portret ima posebne tačke do kojih fazne putanje sistema teže ili se udaljavaju (može ih biti nekoliko).

Fazni portret može sadržavati zatvorene fazne putanje, koje se nazivaju granični ciklusi. Granični ciklusi karakterišu samooscilacije u sistemu. Fazne trajektorije se nigde ne seku, osim posebnih tačaka koje karakterišu ravnotežna stanja sistema. Granični ciklusi i ravnotežna stanja mogu biti stabilni ili nestabilni.

Fazni portret u potpunosti karakterizira nelinearni sistem. Karakteristična karakteristika nelinearnih sistema je prisustvo različitih tipova kretanja, nekoliko ravnotežnih stanja i prisustvo graničnih ciklusa.

Metoda faznog prostora je fundamentalna metoda za proučavanje nelinearnih sistema. Mnogo je lakše i praktičnije proučavati nelinearne sisteme na faznoj ravni nego crtanjem prelaznih procesa u vremenskom domenu.

Geometrijske konstrukcije u prostoru su manje vizuelne od konstrukcija na ravni, kada je sistem drugog reda, a koristi se metod fazne ravni.

Primjena metode fazne ravni za linearne sisteme

Analizirajmo odnos između prirode procesa tranzicije i krivulja faznih trajektorija. Fazne trajektorije se mogu dobiti ili integracijom jednadžbe fazne putanje ili rješavanjem originalne diferencijalne jednadžbe 2. reda.

Neka je sistem zadan (slika 3).

Hajde da razmotrimo slobodno kretanje sistema. U ovom slučaju: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Općenito, diferencijalna jednadžba ima oblik

Gdje (1)

Ovo je homogena diferencijalna jednadžba 2. reda, njena karakteristična jednačina je jednaka

. (2)

Korijeni karakteristične jednadžbe određuju se iz relacija

(3)

Hajde da predstavimo diferencijalnu jednačinu 2. reda u obliku sistema

Jednačine 1. reda:

(4)

gdje je stopa promjene kontrolirane varijable.

U linearnom sistemu koji se razmatra, varijable x i y predstavljaju fazne koordinate. Fazni portret konstruišemo u prostoru koordinata x i y, tj. na faznoj ravni.

Ako iz jednačine (1) isključimo vrijeme, dobijamo jednadžbu integralnih krivulja ili faznih putanja.

. (5)

Ovo je jednadžba koja se može odvojiti

Razmotrimo nekoliko slučajeva

Fajlovi GB_prog.m i GB_mod.mdl, te analiza spektralnog sastava periodičnog moda na izlazu linearnog dijela - korištenjem datoteka GB_prog.m i R_Fourie.mdl. Sadržaj datoteke GB_prog.m: % Proučavanje nelinearnih sistema metodom harmonijskog balansa % Korištene datoteke: GB_prog.m, GB_mod.mdl i R_Fourie.mdl. % Korištene oznake: NE - nelinearni element, LP - linearni dio. %Clearing all...

Bez inercije u dozvoljenom (ograničenom odozgo) frekvencijskom opsegu, izvan kojeg postaje inercijalan. U zavisnosti od vrste karakteristika razlikuju se nelinearni elementi sa simetričnim i asimetričnim karakteristikama. Karakteristika koja ne zavisi od smera veličina koje je određuju naziva se simetrična, tj. ima simetriju u odnosu na porijeklo sistema...