Eksponencijacija je operacija koja je usko povezana sa množenjem. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an = an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Općenito, eksponencijacija se često koristi u različitim formulama u matematici i fizici. Ova funkcija ima naučniju svrhu od četiri glavne: zbrajanje, oduzimanje, množenje, deljenje.

Podizanje broja na stepen

Podizanje broja na stepen nije komplikovana operacija. Povezan je sa množenjem na sličan način kao i odnos između množenja i sabiranja. Oznaka an je kratka oznaka n-tog broja brojeva “a” pomnoženih jedan s drugim.

Razmotrite eksponencijaciju koristeći najjednostavnije primjere, prelazeći na složene.

Na primjer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Četiri na kvadrat (na drugi stepen) jednako je šesnaest. Ako ne razumijete množenje 4 * 4, pročitajte naš članak o množenju.

Pogledajmo još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubova (na treći stepen) jednako je sto dvadeset i pet.

Drugi primjer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubika jednako je sedam stotina dvadeset devet.

Formule za eksponencijaciju

Da biste pravilno podigli na stepen, morate zapamtiti i znati formule date u nastavku. U tome nema ničeg ekstra prirodnog, najvažnije je razumjeti suštinu i tada će oni ne samo biti zapamćeni, već će se i činiti lakim.

Podizanje monoma na stepen

Šta je monom? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva je monom. A ovaj članak je upravo o podizanju takvih monoma na stepene.

Koristeći formule za eksponencijaciju, neće biti teško izračunati eksponencijaciju monoma.

na primjer, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ako monom podignete na stepen, onda se svaka komponenta monoma podiže na stepen.

Podizanjem varijable koja već ima moć na stepen, moći se množe. Na primjer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Podizanje na negativnu potenciju

Negativna snaga je recipročna vrijednost broja. Koji je recipročni broj? Recipročna vrijednost bilo kojeg broja X je 1/X. To je X-1=1/X. Ovo je suština negativnog stepena.

Razmotrimo primjer (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Zašto je to tako? Pošto u stepenu postoji minus, ovaj izraz jednostavno prenosimo na nazivnik, a zatim ga podižemo na treći stepen. Jednostavno, zar ne?

Povećanje na razlomak

Počnimo sa razmatranjem problema s konkretnim primjerom. 43/2. Šta znači stepen 3/2? 3 – brojilac, znači podizanje broja (u ovom slučaju 4) na kocku. Broj 2 je imenilac, to je ekstrakcija drugog korijena broja (u ovom slučaju 4).

Tada dobijamo kvadratni korijen od 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.

Dakle, nazivnik razlomka može biti 3 ili 4 ili do beskonačno bilo koji broj, a ovaj broj određuje stepen kvadratnog korijena uzetog iz datog broja. Naravno, imenilac ne može biti nula.

Podizanje korijena na potenciju

Ako se korijen podigne na potenciju jednaku moći samog korijena, onda će odgovor biti radikalan izraz. Na primjer, (√x)2 = x. I tako u svakom slučaju, stepen korena i stepen podizanja korena su jednaki.

Ako je (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Da bismo provjerili rješenje, pretvaramo izraz u izraz s razlomkom. Pošto je koren kvadrat, imenilac je 2. A ako se koren podigne na četvrti stepen, brojnik je 4. Dobijamo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

U svakom slučaju, najbolja opcija je jednostavno pretvoriti izraz u izraz s razlomkom. Ako se razlomak ne poništava, onda je ovo odgovor, pod uslovom da korijen datog broja nije izoliran.

Dizanje kompleksnog broja na stepen

Šta je kompleksan broj? Kompleksni broj je izraz koji ima formulu a + b * i; a, b su realni brojevi. i je broj koji, kada se kvadrira, daje broj -1.

Pogledajmo primjer. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se za kurs "Ubrzajte mentalnu aritmetiku, A NE mentalnu aritmetiku" da naučite kako brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadratirati brojeve, pa čak i izvlačiti korijene. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Eksponencijacija online

Koristeći naš kalkulator, možete izračunati povećanje broja na stepen:

Eksponencijal 7. razred

Školarci počinju da se uzdižu do moći tek u sedmom razredu.

Eksponencijacija je operacija koja je usko povezana sa množenjem; Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an=an.

na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primjeri rješenja:

Eksponencijalna prezentacija

Prezentacija o podizanju na stepene, namenjena učenicima sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nejasne tačke, ali ove stvari vjerovatno neće biti razjašnjene zahvaljujući našem članku.

Zaključak

Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se za naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.

Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Moć se koristi za pojednostavljenje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje za ovaj prelaz je dato u prvom delu ovog članka). Stepeni olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednačina; Potencije se također lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenim izrazom ili jednadžbom (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Napomena: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednačinu (u takvoj jednadžbi nepoznata je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih problema sa diplomama

Pomnožite bazu eksponenta samu po sebi broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem snage, prepišite stepen kao operaciju množenja, gdje se baza snage množi sama sa sobom. Na primjer, data diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza snage 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo, pomnožite prva dva broja. na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - proces izračunavanja nije tako komplikovan kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. ovako:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat će se proporcionalno povećavati. U našem primjeru, pomnožite 16 sa 4. Ovako:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Nastavite da množite rezultat prva dva broja sa sljedećim brojem dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, pomnožite prva dva broja, a zatim pomnožite rezultirajući rezultat sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koji stepen. U našem primjeru trebali biste dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
Na svom kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n))", ili "^". Koristeći ovaj taster podići ćete broj na stepen. Gotovo je nemoguće ručno izračunati stepen s velikim indikatorom (na primjer, stepen 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U Windows 7, standardni kalkulator se može prebaciti u inženjerski mod; Da biste to učinili, kliknite na “Prikaz” -> “Inženjering”. Da biste se prebacili na normalan način rada, kliknite na “View” -> “Normal”.
- Provjerite dobijeni odgovor pomoću tražilice (Google ili Yandex). Koristeći taster "^" na tastaturi računara, unesite izraz u pretraživač, koji će odmah prikazati tačan odgovor (i možda predložiti slične izraze za proučavanje).
Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija
1. Možete sabirati i oduzimati stepene samo ako imaju iste baze. Ako trebate zbrajati stepene s istim bazama i eksponentima, tada možete zamijeniti operaciju sabiranja operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Zapamtite da je diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti u obliku 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dakle, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, prebrojite broj sličnih stepeni, a zatim pomnožite taj stepen i ovaj broj. U našem primjeru podignite 4 na peti stepen, a zatim pomnožite rezultirajući rezultat sa 2. Zapamtite da se operacija sabiranja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju (osnova se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju, samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. dakle, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizuelnog objašnjenja ovog pravila:
  
  Kada se stepen podiže na stepen, eksponenti se množe. Na primjer, daje se diploma. Pošto se eksponenti množe, onda (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Poenta ovog pravila je da množite po moćima (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebe pet puta. ovako:
  - (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Pošto je baza ista, eksponenti se jednostavno sabiraju: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Potencija s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (obrnuti stepen). Nije važno ako ne znate šta je recipročna diploma. Ako vam je dat stepen sa negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), upišite ovaj stepen u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojilac) i učinite eksponent pozitivnim. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:
  
  Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju (osnova se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Oduzmite eksponent u nazivniku od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). dakle, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - Potencija u nazivniku se može napisati na sljedeći način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Zapamtite da je razlomak broj (potencija, izraz) sa negativnim eksponentom.
4. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite kako riješiti probleme s eksponentima. Dati izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom dijelu. Da biste vidjeli odgovor, jednostavno odaberite prazan prostor iza znaka jednakosti.
Rješavanje zadataka s razlomačnim eksponentima
1. Ako je eksponent nepravilan razlomak, eksponent se može rastaviti na dva stepena kako bi se pojednostavilo rješenje problema. U tome nema ništa komplikovano - samo zapamtite pravilo množenja snaga. Na primjer, daje se diploma. Pretvorite takav stepen u korijen čiji je stepen jednak nazivniku razlomnog eksponenta, a zatim podignite ovaj korijen na stepen jednak brojiocu razlomnog eksponenta. Da biste to učinili, zapamtite to = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)
  - . U našem primjeru:
  - x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
  - x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
3. Neki kalkulatori imaju dugme za izračunavanje eksponenta (prvo morate uneti bazu, zatim pritisnuti dugme, a zatim uneti eksponent). Označava se kao ^ ili x^y. Zapamtite da je bilo koji broj na prvi stepen jednak samom sebi, na primjer, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Štaviše, svaki broj pomnožen ili podijeljen sa jedan jednak je samom sebi, npr. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) I.
4. 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Znajte da snaga 0 0 ne postoji (takva snaga nema rješenja). Ako pokušate riješiti takav stepen na kalkulatoru ili na računaru, dobićete grešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj na nultu potenciju 1, na primjer,
5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) U višoj matematici, koja operiše imaginarnim brojevima: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Gdje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))
- Upozorenja

Kako se eksponent povećava, njegova vrijednost se značajno povećava. Dakle, ako vam se odgovor čini pogrešnim, možda je i tačan. Ovo možete testirati grafikom bilo koje eksponencijalne funkcije, kao što je 2 x.

Početni nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju Jedinstvenog državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

ULAZNI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao i sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budite oprezni. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno pokriti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni "brojanjem prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku “eksponencijalnosti”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u računanju Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: izbrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj također. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadrirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti, inače, mere se u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je metar veličine i metar duboko i pokušajte da izračunate koliko će kockica dimenzija metar sa metar uklopiti u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko si dobio? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? To je to! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Piše se ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki milion koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sedite i „brojite prstom“, onda ste veoma vredna osoba i... glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da prebrojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zbunite

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Da li mislite šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Elementarno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Vrlo jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

životopis:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

po definiciji:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakom stepenu: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne mešaju i odbili da podignu nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako, onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, reducibilni razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Dakle, ako:

— prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni stepen- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

u ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

— osnova stepena;
- eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako, onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

— prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

po definiciji:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude indikator stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

čak stepen, - broj pozitivno.
Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, pravilo 3 bi se moglo primijeniti. Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjanjem samo jednog nedostatka koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ukupno ima slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja s eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih brojeva).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom puta, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je pre čisto matematički objekat koji su matematičari stvorili da prošire koncept stepena na čitav prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Trudimo se da ga se riješimo! :)

na primjer:

Odlučite sami:

odgovori:

Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva: