Uvod

Kada smo počeli da proučavamo stereometrijske figure, dotakli smo se teme „Piramida“. Ova tema nam se dopala jer se piramida vrlo često koristi u arhitekturi. A budući da je naše buduće zanimanje arhitekture inspirisano ovom figurom, mislimo da nas ona može potaknuti ka odličnim projektima.

Čvrstoća arhitektonskih objekata je njihov najvažniji kvalitet. Povezujući snagu, prvo, s materijalima od kojih su izrađeni, i, drugo, sa karakteristikama dizajnerskih rješenja, ispada da je čvrstoća konstrukcije direktno povezana s geometrijskim oblikom koji je za nju osnovni.

Drugim riječima, riječ je o geometrijskoj figuri koja se može smatrati modelom odgovarajuće arhitektonske forme. Ispostavilo se da geometrijski oblik također određuje snagu arhitektonske strukture.

Od davnina, egipatske piramide se smatraju najtrajnijim arhitektonskim građevinama. Kao što znate, imaju oblik pravilnih četverokutnih piramida.

Upravo ovaj geometrijski oblik pruža najveću stabilnost zbog velike površine baze. S druge strane, piramidalni oblik osigurava da se masa smanjuje kako se visina iznad tla povećava. Upravo ta dva svojstva čine piramidu stabilnom, a samim tim i jakom u uslovima gravitacije.

Cilj projekta: naučite nešto novo o piramidama, produbite svoje znanje i pronađite praktičnu primjenu.

Za postizanje ovog cilja bilo je potrebno riješiti sljedeće zadatke:

· Naučite istorijske informacije o piramidi

· Razmotrite piramidu kao geometrijsku figuru

· Pronađite primjenu u životu i arhitekturi

· Pronađite sličnosti i razlike između piramida koje se nalaze u različitim dijelovima svijeta

Teorijski dio

Istorijski podaci

Geometrija piramida počela je u starom Egiptu i Babilonu, ali se aktivno razvijala u staroj Grčkoj. Prvi koji je utvrdio zapreminu piramide bio je Demokrit, a Eudoks Knidski je to dokazao. Drevni grčki matematičar Euklid sistematizirao je znanje o piramidi u XII tomu svojih "Elemenata", a također je izveo prvu definiciju piramide: čvrstu figuru ograničenu ravninama koje konvergiraju iz jedne ravni u jednu tačku.

Grobnice egipatskih faraona. Najveće od njih - Keopsove, Kefrenove i Mikerinove piramide u El Gizi - u antičko doba smatrane su jednim od sedam svjetskih čuda. Izgradnja piramide, u kojoj su Grci i Rimljani već vidjeli spomenik neviđenom ponosu kraljeva i okrutnosti koja je osudila cijeli narod Egipta na besmislenu gradnju, bila je najvažniji kultni čin i trebala je, po svemu sudeći, izraziti mistični identitet zemlje i njenog vladara. Stanovništvo zemlje radilo je na izgradnji grobnice u dijelu godine bez poljoprivrednih radova. Brojni tekstovi svjedoče o pažnji i brizi koju su sami kraljevi (iako kasnijeg vremena) poklanjali izgradnji svog groba i njegovih graditelja. Poznato je i o posebnim kultnim počastima koje su davane samoj piramidi.

Osnovni koncepti

Piramida naziva se poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajednički vrh.

Apothem- visina bočne strane pravilne piramide, povučena iz njenog vrha;

Bočne strane- trouglovi koji se sastaju u vrhu;

Bočna rebra- zajedničke strane bočnih strana;

Vrh piramide- tačka koja spaja bočna rebra i ne leži u ravni osnove;

Visina- okomiti segment povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice);

Dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;

Baza- poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Osnovna svojstva pravilne piramide

Bočne ivice, bočne strane i apoteme su respektivno jednake.

Diedarski uglovi u osnovi su jednaki.

Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki.

Svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih vrhova baze.

Svaka tačka visine je jednako udaljena od svih bočnih strana.

Osnovne piramidalne formule

Površina bočne i ukupne površine piramide.

Površina bočne površine piramide (puna i skraćena) je zbir površina svih njenih bočnih strana, ukupna površina je zbir površina svih njenih strana.

Teorema: Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme piramide.

str- perimetar baze;

h- apotema.

Područje bočne i pune površine krnje piramide.

p 1, str 2 - perimetri baze;

h- apotema.

R- ukupna površina pravilne skraćene piramide;

S strana- površina bočne površine pravilne skraćene piramide;

S 1 + S 2- bazna površina

Volumen piramide

Forma volume ula se koristi za piramide bilo koje vrste.

H- visina piramide.

Uglovi piramida

Uglovi koje formiraju bočna strana i osnova piramide nazivaju se diedarski uglovi u osnovi piramide.

Diedarski ugao formiraju dvije okomice.

Da biste odredili ovaj ugao, često morate koristiti teoremu o tri okomite.

Uglovi koje formira bočna ivica i njena projekcija na osnovnu ravninu nazivaju se uglovi između bočne ivice i ravni baze.

Ugao koji čine dvije bočne ivice naziva se diedarski ugao na bočnoj ivici piramide.

Ugao koji čine dvije bočne ivice jedne strane piramide naziva se ugao na vrhu piramide.

Sekcije piramida

Površina piramide je površina poliedra. Svaka njena strana je ravan, stoga je presek piramide definisan reznom ravninom izlomljena linija koja se sastoji od pojedinačnih pravih linija.

Dijagonalni presjek

Presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne leže na istoj površini naziva se dijagonalni presjek piramide.

Paralelne sekcije

Teorema:

Ako je piramidu presječena ravninom koja je paralelna osnovici, tada su bočne ivice i visine piramide podijeljene ovom ravninom na proporcionalne dijelove;

Presek ove ravni je poligon sličan bazi;

Površine presjeka i baze su međusobno povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od temena.

Vrste piramida

Ispravna piramida– piramida čija je osnova pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Za pravilnu piramidu:

1. bočna rebra su jednaka

2. bočne strane su jednake

3. apoteme su jednake

4. Diedarski uglovi u osnovi su jednaki

5. Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki

6. svaka tačka visine je jednako udaljena od svih vrhova baze

7. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih bočnih ivica

Krnja piramida- dio piramide zatvoren između njene osnove i rezne ravni paralelne sa bazom.

Osnova i odgovarajući presjek krnje piramide nazivaju se osnove krnje piramide.

Zove se okomita povučena iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge visina krnje piramide.

Zadaci

br. 1. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi tačka O je centar osnove, SO=8 cm, BD=30 cm.Nađi bočnu ivicu SA.

Rješavanje problema

br. 1. U pravilnoj piramidi, sva lica i ivice su jednake.

Uzmite u obzir OSB: OSB je pravougaoni pravougaonik, jer.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Piramida u arhitekturi

Piramida je monumentalna građevina u obliku obične pravilne geometrijske piramide, u kojoj se stranice konvergiraju u jednoj tački. Po svojoj funkcionalnoj namjeni, piramide su u antičko doba bile mjesta sahranjivanja ili kulta. Osnova piramide može biti trokutastog, četverokutnog ili poligonalnog oblika sa proizvoljnim brojem vrhova, ali najčešća verzija je četverokutna osnova.

Postoji znatan broj piramida koje su izgradile različite kulture antičkog svijeta, uglavnom kao hramovi ili spomenici. Velike piramide uključuju egipatske piramide.

Širom Zemlje možete vidjeti arhitektonske strukture u obliku piramida. Zgrade piramida podsjećaju na antičko doba i izgledaju veoma lijepo.

Egipatske piramide su najveći arhitektonski spomenici starog Egipta, uključujući jedno od „Sedam svjetskih čuda“, Keopsovu piramidu. Od podnožja do vrha dostiže 137,3 m, a prije nego što je izgubio vrh, visina mu je bila 146,7 m.

Zgrada radio stanice u glavnom gradu Slovačke, koja liči na obrnutu piramidu, izgrađena je 1983. godine. Pored kancelarija i uslužnih prostorija, unutar volumena se nalazi prilično prostrana koncertna dvorana, koja ima jedne od najvećih orgulja u Slovačkoj.

Louvre, koji je "tihi, nepromjenjivi i veličanstveni, poput piramide", pretrpio je mnoge promjene tokom stoljeća prije nego što je postao najveći muzej na svijetu. Nastala je kao tvrđava koju je podigao Filip August 1190. godine, koja je ubrzo postala kraljevska rezidencija. Godine 1793. palača je postala muzej. Kolekcije se obogaćuju zavještanjem ili kupovinom.

Prvi nivo

Piramida. Vizuelni vodič (2019)

Šta je piramida?

Kako ona izgleda?

Vidite: na dnu piramide (kažu “ u bazi") neki poligon, a svi vrhovi ovog poligona su povezani sa nekom tačkom u prostoru (ova tačka se zove " vertex»).

Cijela ova struktura još uvijek postoji bočne strane, bočna rebra I bazna rebra. Još jednom, nacrtajmo piramidu zajedno sa svim ovim imenima:

Neke piramide mogu izgledati vrlo čudno, ali one su i dalje piramide.

Ovdje je, na primjer, potpuno "koso" piramida.

I još malo o nazivima: ako je u podnožju piramide trokut, onda se piramida zove trokutna, ako je četverokut, onda je četverokut, a ako je petougao, onda... pogodite sami .

Istovremeno, tačka gde je pao visina, zvao visina osnove. Imajte na umu da u "krivim" piramidama visina može čak završiti izvan piramide. Volim ovo:

I nema ništa loše u tome. Izgleda kao tupougao.

Ispravna piramida.

Mnogo komplikovanih reči? Hajde da dešifrujemo: "U osnovi - tačno" - to je razumljivo. Sada hajde da zapamtimo da regularni poligon ima centar - tačka koja je centar i , I .

Pa, riječi "vrh je projektovan u centar baze" znače da osnova visine pada tačno u centar baze. Pogledajte kako izgleda glatko i slatko pravilne piramide.

Hexagonal: u osnovi je pravilan šestougao, vrh je projektovan u centar baze.

Quadrangular: osnova je kvadrat, vrh je projektovan na tačku preseka dijagonala ovog kvadrata.

Triangular: u osnovi je pravilan trougao, vrh je projektovan na tačku preseka visina (one su i medijane i simetrale) ovog trougla.

Veoma važna svojstva pravilne piramide:

U desnoj piramidi

sve bočne ivice su jednake.
sve bočne strane su jednakokraki trouglovi i svi ti trokuti su jednaki.

Volumen piramide

Glavna formula za volumen piramide:

Odakle je to tačno došlo? Ovo nije tako jednostavno, i u početku samo trebate zapamtiti da piramida i konus imaju volumen u formuli, ali cilindar ne.

Sada izračunajmo zapreminu najpopularnijih piramida.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moramo pronaći i.

Ovo je površina pravilnog trougla.

Prisjetimo se kako tražiti ovo područje. Koristimo formulu površine:

Za nas je “ ” ovo, a “ ” je također ovo, eh.

Sad hajde da ga nađemo.

Prema Pitagorinoj teoremi za

Koja je razlika? Ovo je radijus kruga u jer piramidaispravan a samim tim i centar.

Pošto - i tačka preseka medijana.

(Pitagorina teorema za)

Zamijenimo ga u formulu za.

I zamijenimo sve u formulu volumena:

pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda formula ispada ovako:

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.

Nema potrebe tražiti ovdje; Na kraju krajeva, baza je kvadrat, i stoga.

Naći ćemo ga. Prema Pitagorinoj teoremi za

Da li znamo? Skoro. pogledajte:

(vidjeli smo to gledajući).

Zamijenite u formulu za:

A sada zamjenjujemo i u formulu volumena.

Neka je stranica osnove jednaka i bočna ivica.

Kako pronaći? Gledajte, šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta pri izračunavanju volumena pravilne trokutaste piramide; ovdje koristimo formulu koju smo pronašli.

Sada hajde da pronađemo (to).

Prema Pitagorinoj teoremi za

Ali kakve to veze ima? Jednostavno je jer je (i svi ostali) u pravu.

Zamenimo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Piramida je poliedar koji se sastoji od bilo kojeg ravnog mnogougla (), tačke koja ne leži u ravni osnove (vrh piramide) i svih segmenata koji povezuju vrh piramide sa tačkama osnove (bočnim ivicama).

Okomita pala sa vrha piramide na ravan osnove.

Ispravna piramida- piramida u kojoj u osnovi leži pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Svojstvo pravilne piramide:

U pravilnoj piramidi, sve bočne ivice su jednake.
Sve bočne strane su jednakokraki trokuti i svi ti trokuti su jednaki.

Ovdje možete pronaći osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi se oni izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za Jedinstveni državni ispit.

Zamislite ravan, poligon , koja leži u njemu i tačka S, a ne leži u njoj. Povežimo S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočna rebra. Poligon se naziva baza, a tačka S je vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trouglastu piramidu je tetraedar. Visina piramide je okomica koja se spušta od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva pravilnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncepte “pravilne piramide” i “pravilnog tetraedra”. U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica je jednako. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da se centar P poligona poklapa sa osnovnom visinom, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotema piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Učitelj matematike o svojoj terminologiji: 80% rada s piramidama je izgrađeno kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike nazove prvi od njih apothemal, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula za zapreminu piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a površina ukupne površine piramide.
3) , gdje je MN udaljenost između bilo koja dva ruba koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo osnove visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: Imajte na umu da su sve tačke ujedinjene jednim zajedničkim svojstvom: na ovaj ili onaj način, bočne strane su svuda uključene (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali pogodniju za učenje formulaciju: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi trouglovi apotema jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem kruga opisanog blizu osnove piramide ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

hipoteza: vjerujemo da je savršenstvo oblika piramide posljedica matematičkih zakona svojstvenih njenom obliku.

Cilj: Proučavajući piramidu kao geometrijsko tijelo, objasnite savršenstvo njenog oblika.

Zadaci:

1. Dajte matematičku definiciju piramide.

2. Proučavajte piramidu kao geometrijsko tijelo.

3. Shvatite koje su matematičko znanje Egipćani ugradili u svoje piramide.

Privatna pitanja:

1. Šta je piramida kao geometrijsko tijelo?

2. Kako se jedinstveni oblik piramide može objasniti sa matematičke tačke gledišta?

3. Šta objašnjava geometrijska čuda piramide?

4. Šta objašnjava savršenstvo oblika piramide?

Definicija piramide.

PIRAMIDA (od grčkog pyramis, gen. pyramidos) - poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajednički vrh (crtež). Na osnovu broja uglova baze, piramide se dijele na trouglaste, četverokutne itd.

PIRAMIDA - monumentalna građevina koja ima geometrijski oblik piramide (ponekad i stepenasta ili u obliku kule). Piramide su naziv za džinovske grobnice drevnih egipatskih faraona iz 3.-2. milenijuma prije Krista. e., kao i postolja drevnih američkih hramova (u Meksiku, Gvatemali, Hondurasu, Peruu), povezana s kosmološkim kultovima.

Moguće je da grčka riječ "piramida" potiče od egipatskog izraza per-em-us, odnosno od izraza koji označava visinu piramide. Izvanredni ruski egiptolog V. Struve vjerovao je da grčko “puram...j” dolazi od staroegipatskog “p”-mr.

Iz istorije. Proučivši materijal u udžbeniku „Geometrija“ autora Atanasyana. Butuzov i drugi, saznali smo da: Poliedar sastavljen od n-ugla A1A2A3 ... An i n trouglova PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 naziva se piramida. Poligon A1A2A3...An je osnova piramide, a trouglovi PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 su bočne strane piramide, P je vrh piramide, segmenti PA1, PA2,..., PAn su bočne ivice.

Međutim, ova definicija piramide nije uvijek postojala. Na primjer, starogrčki matematičar, autor teorijskih rasprava o matematici koja je do nas došla, Euklid, definira piramidu kao čvrstu figuru ograničenu ravninama koje konvergiraju iz jedne ravni u jednu tačku.

Ali ova je definicija kritizirana već u antičko doba. Tako je Heron predložio sljedeću definiciju piramide: “To je lik omeđen trouglovima koji konvergiraju u jednoj tački i čija je osnova poligon.”

Naša grupa je, upoređujući ove definicije, došla do zaključka da one nemaju jasnu formulaciju pojma „temelj“.

Proučili smo ove definicije i pronašli definiciju Adriena Marie Legendrea, koji je 1794. godine u svom djelu “Elementi geometrije” definirao piramidu na sljedeći način: “Piramida je čvrsta figura formirana od trokuta koji se konvergiraju u jednoj tački i završavaju na različitim stranama ravnu osnovu.”

Čini nam se da posljednja definicija daje jasnu predstavu o piramidi, budući da govori o tome da je osnova ravna. Druga definicija piramide pojavila se u udžbeniku iz 19. veka: „piramida je čvrst ugao presečen ravninom“.

Piramida kao geometrijsko tijelo.

To. Piramida je poliedar, čije je jedno lice (osnova) poligon, a preostale strane (stranice) su trouglovi koji imaju jedan zajednički vrh (vrh piramide).

Zove se okomito povučeno od vrha piramide do ravni baze visinah piramide.

Pored proizvoljnih piramida, postoje ispravna piramida u čijoj se osnovi nalazi pravilan poligon i krnje piramide.

Na slici je piramida PABCD, ABCD je njena osnova, PO je njena visina.

Ukupna površina piramida je zbir površina svih njenih lica.

Puno = Sside + Smain, Gdje Side– zbir površina bočnih strana.

Volumen piramide nalazi se po formuli:

V=1/3Sbas. h, gdje je Sbas. - bazna površina, h- visina.

Os pravilne piramide je prava linija koja sadrži njenu visinu.
Apotema ST je visina bočne strane pravilne piramide.

Površina bočne strane pravilne piramide izražava se na sljedeći način: Sside. =1/2P h, gdje je P obim baze, h- visina bočne strane (apotema pravilne piramide). Ako piramidu siječe ravan A’B’C’D’, paralelna sa bazom, tada:

1) bočna rebra i visina podijeljeni su ovom ravninom na proporcionalne dijelove;

2) u poprečnom preseku se dobija poligon A’B’C’D’, sličan osnovi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Osnove krnje piramide– slični poligoni ABCD i A`B`C`D`, bočne strane su trapezi.

Visina skraćena piramida - udaljenost između baza.

Skraćeni volumen piramida se nalazi po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočna površina pravilne skraćene piramide se izražava na sljedeći način: bočna strana = ½(P+P') h, gdje su P i P' perimetri baza, h- visina bočne strane (apotema pravilne skraćene piramije

Sekcije piramide.

Presjeci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trouglovi.

Odsjek koji prolazi kroz dvije nesusjedne bočne ivice piramide naziva se dijagonalni presjek.

Ako presjek prolazi kroz tačku na bočnoj ivici i strani baze, tada će njegov trag do ravni osnove piramide biti ova strana.

Presjek koji prolazi kroz tačku koja leži na licu piramide i zadanu dionicu prati na osnovnoj ravni, tada konstrukciju treba izvesti na sljedeći način:

· pronaći tačku preseka ravni date površine i traga preseka piramide i označiti je;

· konstruisati pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku i rezultujuću tačku preseka;

· ponovite ove korake za sljedeća lica.

, što odgovara omjeru kateta pravokutnog trokuta 4:3. Ovaj omjer krakova odgovara dobro poznatom pravokutnom trokutu sa stranicama 3:4:5, koji se naziva "savršeni", "sveti" ili "egipatski" trokut. Prema istoričarima, "egipatskom" trouglu je dato magično značenje. Plutarh je napisao da su Egipćani upoređivali prirodu univerzuma sa „svetim“ trouglom; oni su vertikalnu nogu simbolično uporedili sa mužem, bazu sa ženom, a hipotenuzu sa onim što se rađa od oboje.

Za trougao 3:4:5 tačna je jednakost: 32 + 42 = 52, što izražava Pitagorinu teoremu. Nije li tu teoremu egipatski sveštenici hteli da ovjekovječe podizanjem piramide zasnovane na trouglu 3:4:5? Teško je naći uspješniji primjer za ilustraciju Pitagorine teoreme, koja je bila poznata Egipćanima mnogo prije nego što je Pitagora otkrila.

Tako su briljantni tvorci egipatskih piramida nastojali da zadive daleke potomke dubinom svog znanja, a to su postigli odabirom „zlatnog“ pravokutnog trokuta kao „glavne geometrijske ideje“ za Keopsovu piramidu, a „svetog“ ili "egipatski" za Khafreovu piramidu.trougao.

Veoma često u svojim istraživanjima naučnici koriste svojstva piramida sa zlatnim omjerom.

Matematički enciklopedijski rječnik daje sljedeću definiciju zlatnog presjeka - ovo je harmonijska podjela, podjela u ekstremnim i srednjim omjerima - dijeleći segment AB na dva dijela na način da je njegov veći dio AC prosječna proporcija između cijelog segmenta AB i njegov manji dio NE.

Algebarsko određivanje zlatnog presjeka segmenta AB = a svodi na rješavanje jednačine a: x = x: (a – x), od čega je x približno jednako 0,62a. Omjer x se može izraziti kao razlomci 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, gdje su 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonačijevi brojevi.

Geometrijska konstrukcija zlatnog preseka segmenta AB izvodi se na sledeći način: u tački B se vraća okomita na AB, na nju se polaže segment BE = 1/2 AB, A i E su povezani, DE = BE se otpušta i, konačno, AC = AD, tada je zadovoljena jednakost AB: CB = 2:3.

Zlatni rez se često koristi u umjetničkim djelima, arhitekturi i nalazi se u prirodi. Živopisni primjeri su skulptura Apolona Belvedere i Partenon. Prilikom izgradnje Partenona korišćen je odnos visine objekta prema njegovoj dužini i taj odnos je 0,618. Objekti oko nas također pružaju primjere zlatnog omjera, na primjer, povezi mnogih knjiga imaju omjer širine i dužine blizu 0,618. S obzirom na raspored listova na zajedničkoj stabljici biljaka, možete primijetiti da se između svaka dva para listova nalazi treći u zlatnom omjeru (slajdovi). Svako od nas "nosi" zlatni omjer sa sobom "u rukama" - to je omjer falangi prstiju.

Zahvaljujući otkriću nekoliko matematičkih papirusa, egiptolozi su naučili nešto o drevnim egipatskim sistemima izračunavanja i mjerenja. Zadatke sadržane u njima rješavali su pisari. Jedan od najpoznatijih je Rhind matematički papirus. Proučavajući ove probleme, egiptolozi su naučili kako su se stari Egipćani nosili s različitim veličinama koje su nastajale prilikom izračunavanja mjera težine, dužine i zapremine, koje su često uključivale razlomke, kao i kako su postupali s uglovima.

Stari Egipćani su koristili metodu izračunavanja uglova zasnovanu na omjeru visine i osnovice pravokutnog trokuta. Oni su izražavali bilo koji ugao jezikom gradijenta. Gradijent nagiba je izražen kao omjer cijelih brojeva nazvan "seced". U Matematici u doba faraona, Richard Pillins objašnjava: „Seked pravilne piramide je nagib bilo kojeg od četiri trokutasta lica prema ravni osnove, mjeren n-tim brojem horizontalnih jedinica po vertikalnoj jedinici uspona. . Dakle, ova mjerna jedinica je ekvivalentna našem modernom kotangensu ugla nagiba. Stoga je egipatska riječ "seced" povezana s našom modernom riječi "gradijent".

Numerički ključ za piramide leži u omjeru njihove visine i baze. U praktičnom smislu, ovo je najlakši način da napravite šablone potrebne za stalnu provjeru ispravnog ugla nagiba tokom cijele konstrukcije piramide.

Egiptolozi bi nas rado uvjerili da je svaki faraon žudio da izrazi svoju individualnost, pa otuda i razlike u uglovima nagiba svake piramide. Ali može postojati i drugi razlog. Možda su svi htjeli utjeloviti različite simboličke asocijacije, skrivene u različitim proporcijama. Međutim, ugao Khafreove piramide (zasnovan na trouglu (3:4:5) pojavljuje se u tri problema predstavljena piramidama u Rhindovom matematičkom papirusu). Dakle, ovaj stav je bio dobro poznat starim Egipćanima.

Da budemo pošteni prema egiptolozima koji tvrde da stari Egipćani nisu bili svjesni trougla 3:4:5, dužina hipotenuze 5 nikada nije spomenuta. Ali matematički problemi koji uključuju piramide uvijek se rješavaju na osnovu seceda ugla - omjera visine i baze. Kako dužina hipotenuze nikada nije spomenuta, zaključeno je da Egipćani nikada nisu izračunali dužinu treće strane.

Omjer visine i osnove korišten u piramidama u Gizi nesumnjivo je bio poznat starim Egipćanima. Moguće je da su ovi odnosi za svaku piramidu odabrani proizvoljno. Međutim, ovo je u suprotnosti sa značajem koji se pridaje simbolizmu brojeva u svim vrstama egipatske likovne umjetnosti. Vrlo je vjerovatno da su takvi odnosi bili značajni jer su izražavali specifične vjerske ideje. Drugim riječima, cijeli kompleks Gize bio je podređen koherentnom dizajnu dizajniranom da odražava određenu božansku temu. Ovo bi objasnilo zašto su dizajneri odabrali različite uglove za tri piramide.

U Misteriji Oriona, Bauval i Gilbert izneli su ubedljive dokaze koji povezuju piramide u Gizi sa sazvežđem Orion, posebno sa zvezdama Orionovog pojasa. Isto sazvežđe je prisutno u mitu o Izidi i Ozirisu, i postoji razlog da se posmatra svaka piramida kao reprezentacija jednog od tri glavna božanstva - Ozirisa, Izide i Horusa.

"GEOMETRIJSKA" ČUDA.

Među grandioznim egipatskim piramidama zauzima posebno mjesto Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Prije nego počnemo analizirati oblik i veličinu Keopsove piramide, trebamo se sjetiti koji su sistem mjera Egipćani koristili. Egipćani su imali tri jedinice dužine: "lakat" (466 mm), što je bilo jednako sedam "dlanova" (66,5 mm), što je zauzvrat bilo jednako četiri "prsta" (16,6 mm).

Analizirajmo dimenzije Keopsove piramide (slika 2), slijedeći argumente date u divnoj knjizi ukrajinskog naučnika Nikolaja Vasjutinskog “Zlatna proporcija” (1990).

Većina istraživača se slaže da je dužina stranice osnove piramide, na primjer, GF jednak L= 233,16 m. Ova vrijednost odgovara skoro tačno 500 “lakata”. Potpuna usklađenost sa 500 "lakata" će se dogoditi ako se smatra da je dužina "lakta" jednaka 0,4663 m.

Visina piramide ( H) istraživači procjenjuju različito od 146,6 do 148,2 m. I u zavisnosti od prihvaćene visine piramide, mijenjaju se svi odnosi njenih geometrijskih elemenata. Koji je razlog razlika u procjenama visine piramide? Činjenica je da je, strogo govoreći, Keopsova piramida skraćena. Njena gornja platforma danas ima otprilike 10´10 m, ali je prije jednog stoljeća bila 6´ 6 m. Očigledno je vrh piramide demontiran i ne odgovara prvobitnom.

Prilikom procjene visine piramide, potrebno je uzeti u obzir takav fizički faktor kao što je "nacrt" konstrukcije. Tokom dužeg vremenskog perioda, pod uticajem kolosalnog pritiska (do 500 tona po 1 m2 donje površine), visina piramide se smanjivala u odnosu na prvobitnu visinu.

Koja je bila prvobitna visina piramide? Ova visina se može ponovo stvoriti pronalaženjem osnovne "geometrijske ideje" piramide.

Slika 2.

Godine 1837. engleski pukovnik G. Wise izmjerio je ugao nagiba lica piramide: ispostavilo se da je jednak a= 51°51". Ovu vrijednost i danas prepoznaje većina istraživača. Navedena vrijednost ugla odgovara tangenti (tg a), jednako 1,27306. Ova vrijednost odgovara omjeru visine piramide AC do polovine svoje osnove C.B.(Sl.2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

I ovdje je istraživače čekalo veliko iznenađenje!.png" width="25" height="24">= 1.272. Upoređujući ovu vrijednost sa tg vrijednošću a= 1,27306, vidimo da su ove vrijednosti vrlo blizu jedna drugoj. Ako uzmemo ugao a= 51°50", odnosno smanjite ga za samo jednu lučnu minutu, a zatim vrijednost a postat će jednak 1,272, odnosno poklopit će se sa vrijednošću. Treba napomenuti da je 1840. G. Wise ponovio svoja mjerenja i razjasnio da je vrijednost ugla a=51°50".

Ova mjerenja dovela su istraživače do sljedeće vrlo zanimljive hipoteze: trougao ACB Keopsove piramide bio je zasnovan na relaciji AC / C.B. = = 1,272!

Razmotrimo sada pravougaoni trougao ABC, u kojem je omjer nogu A.C. / C.B.= (slika 2). Ako sada dužine stranica pravougaonika ABC označiti po x, y, z, a takođe uzeti u obzir da omjer y/x= , zatim u skladu sa Pitagorinom teoremom, dužina z može se izračunati pomoću formule:

Ako prihvatimo x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Slika 3."Zlatni" pravougaoni trougao.

Pravokutni trokut u kojem su stranice povezane kao t:zlatni" pravougli trougao.

Zatim, ako kao osnovu uzmemo hipotezu da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlatni" pravougaoni trokut, onda odavde lako možemo izračunati "dizajn" visinu Keopsove piramide. To je jednako:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Izvedemo sada neke druge relacije za Keopsovu piramidu, koje slijede iz “zlatne” hipoteze. Konkretno, naći ćemo omjer vanjske površine piramide i površine njene osnove. Da bismo to učinili, uzimamo dužinu noge C.B. po jedinici, odnosno: C.B.= 1. Ali onda dužina stranice osnove piramide GF= 2, i površina baze EFGH biće jednaki SEFGH = 4.

Izračunajmo sada površinu bočne strane Keopsove piramide SD. Zbog visine AB trougao AEF jednak t, tada će površina bočne strane biti jednaka SD = t. Tada će ukupna površina sve četiri bočne strane piramide biti jednaka 4 t, a omjer ukupne vanjske površine piramide i površine baze bit će jednak zlatnom rezu! to je ono - glavna geometrijska misterija Keopsove piramide!

Grupa „geometrijskih čuda“ Keopsove piramide uključuje stvarna i nategnuta svojstva odnosa između različitih dimenzija u piramidi.

Po pravilu se dobijaju u potrazi za određenim „konstantama“, posebno za brojem „pi“ (Ludolfoov broj), jednak 3,14159...; osnova prirodnih logaritama "e" (Neperovski broj), jednaka 2,71828...; broj "F", broj "zlatnog preseka", jednak, na primer, 0,618... itd.

Možete imenovati, na primjer: 1) Svojstvo Herodota: (Visina)2 = 0,5 art. osnovni x Apothem; 2) Vlasništvo V. Cijena: Visina: 0,5 art. baza = Kvadratni korijen od "F"; 3) Svojstvo M. Eista: Perimetar osnove: 2 Visina = "Pi"; u drugačijem tumačenju - 2 žlice. osnovni : Visina = "Pi"; 4) Svojstvo G. Ivica: Poluprečnik upisane kružnice: 0,5 art. osnovni = "F"; 5) Vlasništvo K. Klepischa: (glavni čl.)2: 2(glavni čl. x apotema) = (čl. glavni. W. apotema) = 2 (glavni čl. x apotema) : ((2 čl. .osnova X Apotema) + (čl. osnova)2). itd. Možete smisliti mnogo takvih svojstava, posebno ako povežete dvije susjedne piramide. Na primjer, kao “Svojstva A. Arefyeva” može se spomenuti da je razlika u zapreminama Keopsove piramide i Hafreove piramide jednaka dvostrukom volumenu Mikerinove piramide...

Mnogo zanimljivosti, posebno o izgradnji piramida prema „zlatnom omjeru“, izloženo je u knjigama D. Hambidgea „Dinamička simetrija u arhitekturi“ i M. Gicka „Estetika proporcija u prirodi i umjetnosti“. Podsjetimo da je „zlatni rez“ podjela segmenta u takvom omjeru da je dio A onoliko puta veći od dijela B, koliko puta je A manji od cijelog segmenta A + B. Omjer A/B jednak je broju “F” == 1,618... Upotreba “zlatnog preseka” je naznačena ne samo u pojedinačnim piramidama, već iu čitavom kompleksu piramida u Gizi.

Najzanimljivije je, međutim, da jedna te ista Keopsova piramida jednostavno „ne može“ da sadrži toliko divnih svojstava. Uzimajući jedno po jedno određeno svojstvo, može se "uklopiti", ali se svi ne uklapaju odjednom - ne poklapaju se, protivreče jedno drugom. Stoga, ako, na primjer, prilikom provjere svih svojstava u početku uzmemo istu stranu osnove piramide (233 m), tada će i visine piramida s različitim svojstvima biti različite. Drugim riječima, postoji određena "porodica" piramida koje su izvana slične Keopsovim, ali imaju drugačija svojstva. Imajte na umu da nema ničeg posebno čudesnog u "geometrijskim" svojstvima - mnogo toga proizlazi čisto automatski, iz svojstava same figure. „Čudom“ treba smatrati samo nešto što je drevnim Egipćanima bilo očigledno nemoguće. Ovo, posebno, uključuje „kosmička“ čuda, u kojima se mere Keopsove piramide ili kompleksa piramida u Gizi upoređuju sa nekim astronomskim merenjima i navode „parni“ brojevi: milion puta manje, milijardu puta manje, i tako dalje. Hajde da razmotrimo neke "kosmičke" odnose.

Jedna od izjava glasi: "ako podijelite stranu osnove piramide tačnom dužinom godine, dobićete tačno 10 milionitih delova Zemljine ose." Izračunajte: podijelite 233 sa 365, dobijemo 0,638. Poluprečnik Zemlje je 6378 km.

Druga izjava je zapravo suprotna prethodnoj. F. Noetling je istakao da ako koristimo "egipatski lakat" koji je on sam izmislio, tada će stranica piramide odgovarati "najtačnijem trajanju sunčeve godine, izraženo na najbliži milijardu dana" - 365.540. 903.777.

Izjava P. Smitha: "Visina piramide je tačno jedna milijarda udaljenosti od Zemlje do Sunca." Iako je uobičajeno uzimana visina 146,6 m, Smith ju je uzeo kao 148,2 m. Prema savremenim radarskim mjerenjima, velika poluosa Zemljine orbite je 149 597 870 + 1,6 km. Ovo je prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca, ali u perihelu je 5.000.000 kilometara manja nego u afelu.

Još jedna zanimljiva izjava:

„Kako možemo objasniti da su mase Keopsovih, Kefreovih i Mikerinovih piramida međusobno povezane, kao što su mase planeta Zemlje, Venere, Marsa?“ Hajde da izračunamo. Mase tri piramide su: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Odnosi masa tri planete: Venera - 0,815; Zemlja - 1.000; Mars - 0,108.

Dakle, uprkos skepticizmu, primećujemo dobro poznatu harmoniju konstrukcije iskaza: 1) visina piramide, poput linije koja „ide u svemir“, odgovara udaljenosti od Zemlje do Sunca; 2) strana osnove piramide, najbliža „podlozi“, odnosno Zemlji, odgovorna je za Zemljin poluprečnik i Zemljinu cirkulaciju; 3) zapremine piramide (čitaj - mase) odgovaraju omjeru masa planeta najbližih Zemlji. Slična "šifra" može se pratiti, na primjer, u pčelinjem jeziku koji je analizirao Karl von Frisch. Međutim, za sada ćemo se suzdržati od komentara na ovu temu.

PIRAMIDNI OBLIK

Čuveni tetraedarski oblik piramida nije nastao odmah. Skiti su pravili ukope u obliku zemljanih brda - humki. Egipćani su gradili "brda" od kamena - piramide. To se prvi put dogodilo nakon ujedinjenja Gornjeg i Donjeg Egipta, u 28. veku pre nove ere, kada je osnivač Treće dinastije, faraon Džoser (Zoser), bio suočen sa zadatkom da ojača jedinstvo zemlje.

I ovdje je, prema istoričarima, „novi koncept oboženja“ kralja odigrao važnu ulogu u jačanju centralne moći. Iako su se kraljevski ukopi odlikovali većim sjajem, oni se, u principu, nisu razlikovali od grobnica dvorskih plemića, već su bile iste građevine - mastabe. Iznad komore sa sarkofagom u kojem se nalazila mumija izlivena je pravougaona brda od sitnog kamenja, gdje je potom postavljena mala građevina od velikih kamenih blokova - "mastaba" (na arapskom - "klupa"). Faraon Džoser je podigao prvu piramidu na mestu mastabe svog prethodnika, Sanahta. Bio je stepenasti i bio je vidljiva prelazna faza iz jednog arhitektonskog oblika u drugi, od mastabe do piramide.

Na taj način je mudrac i arhitekta Imhotep, kojeg su Grci kasnije smatrali čarobnjakom, a poistovjećivali ga s bogom Asklepijem, “podigao” faraona. Kao da je postavljeno šest mastaba u nizu. Štaviše, prva piramida zauzimala je površinu od 1125 x 115 metara, sa procijenjenom visinom od 66 metara (prema egipatskim standardima - 1000 "palmi"). U početku je arhitekt planirao da izgradi mastabu, ali ne duguljastu, već kvadratnu tlocrtu. Kasnije je proširen, ali kako je proširenje spušteno, činilo se kao da postoje dvije stepenice.

Ova situacija nije zadovoljila arhitektu, pa je na gornju platformu ogromne ravne mastabe Imhotep postavio još tri, postepeno se spuštajući prema vrhu. Grobnica se nalazila ispod piramide.

Poznato je još nekoliko stepenastih piramida, ali su kasnije graditelji prešli na izgradnju nama poznatijih tetraedarskih piramida. Zašto, međutim, ne trouglasti ili, recimo, osmougaoni? Indirektan odgovor daje činjenica da su skoro sve piramide savršeno orijentisane duž četiri kardinalna pravca, pa stoga imaju četiri strane. Osim toga, piramida je bila „kuća“, školjka četvorougaone grobne komore.

Ali šta je odredilo ugao nagiba lica? U knjizi "Načelo proporcija" cijelo jedno poglavlje je posvećeno tome: "Šta je moglo odrediti uglove nagiba piramida." Posebno je naznačeno da je „slika kojoj gravitiraju velike piramide Starog kraljevstva trokut sa pravim uglom na vrhu.

U svemiru je to poluoktaedar: piramida u kojoj su ivice i stranice osnove jednake, ivice su jednakostranični trouglovi." Određena razmatranja o ovoj temi su data u knjigama Hambidgea, Gicka i drugih.

Koja je prednost ugla poluoktaedra? Prema opisima arheologa i istoričara, neke piramide su se srušile pod svojom težinom. Ono što je bilo potrebno je "ugao izdržljivosti", ugao koji je bio energetski najpouzdaniji. Čisto empirijski, ovaj ugao se može uzeti iz ugla vrha u gomili suvog peska koji se mrvi. Ali da biste dobili tačne podatke, morate koristiti model. Uzimajući četiri čvrsto fiksirane kuglice, na njih morate postaviti petu i izmjeriti uglove nagiba. Međutim, ovdje možete pogriješiti, pa teoretski proračun pomaže: treba da povežete središta loptica linijama (mentalno). Osnova će biti kvadrat sa stranicom jednakom dvostrukom polumjeru. Kvadrat će biti samo osnova piramide, čija će dužina ivica također biti jednaka dvostrukom polumjeru.

Dakle, blisko pakovanje loptica poput 1:4 će nam dati pravilan poluoktaedar.

Međutim, zašto mnoge piramide, koje gravitiraju prema sličnom obliku, ipak ga ne zadržavaju? Piramide vjerovatno stare. Suprotno poznatoj izreci:

„Sve na svetu se plaši vremena, a vreme se plaši piramida“, zgrade piramida moraju da stare, ne samo da se u njima mogu i treba desiti procesi spoljašnjeg trošenja, već i procesi unutrašnjeg „smanjivanja“, koji mogu uzrokuju da piramide postanu niže. Skupljanje je moguće i zato što su, kako otkriva rad D. Davidovitsa, stari Egipćani koristili tehnologiju izrade blokova od krhotina kreča, odnosno od „betona“. Upravo slični procesi mogli bi objasniti razlog uništenja piramide Medum, koja se nalazi 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 godina, dimenzije osnove su 146 x 146 m, visina 118 m. „Zašto je tako unakaženo?", pita se V. Zamarovsky. „Uobičajene reference na destruktivne efekte vremena i „upotrebu kamena za druge građevine" ovde nisu prikladne.

Uostalom, većina njegovih blokova i obložnih ploča ostala je na svom mjestu do danas, u ruševinama u njenom podnožju." Kao što ćemo vidjeti, niz odredbi čak nas navodi na pomisao da se i čuvena Keopsova piramida "smežurala". u svakom slučaju, na svim drevnim slikama piramide su šiljaste...

Oblik piramida je također mogao biti generiran imitacijom: neki prirodni uzorci, "čudesno savršenstvo", recimo, neki kristali u obliku oktaedra.

Slični kristali mogu biti dijamantski i zlatni kristali. Veliki broj „preklapajućih“ karakteristika tipičan je za koncepte kao što su faraon, sunce, zlato, dijamant. Svugdje - plemenito, briljantno (briljantno), sjajno, besprijekorno i tako dalje. Sličnosti nisu slučajne.

Solarni kult, kao što je poznato, bio je važan dio religije starog Egipta. „Bez obzira na to kako prevodimo ime najveće piramide“, piše u jednom od modernih priručnika, „Kufuovo nebo“ ili „Kufu prema nebu“, to je značilo da je kralj sunce. Ako je Khufu, u sjaju svoje moći, zamišljao sebe kao drugo sunce, onda je njegov sin Djedef-Ra postao prvi od egipatskih kraljeva koji je sebe nazvao "Raovim sinom", odnosno sinom Sunca. Sunce je kod skoro svih naroda simbolizovano „solarnim metalom“, zlatom. "Veliki disk od sjajnog zlata" - tako su Egipćani zvali našu dnevnu svjetlost. Egipćani su savršeno poznavali zlato, poznavali su njegove izvorne oblike, gdje se zlatni kristali mogu pojaviti u obliku oktaedra.

„Sunčev kamen“ — dijamant — je takođe ovde zanimljiv kao „uzorak oblika“. Ime dijamanta došlo je upravo iz arapskog svijeta, "almas" - najtvrđi, najtvrđi, neuništivi. Stari Egipćani su prilično dobro poznavali dijamant i njegova svojstva. Prema nekim autorima, za bušenje su koristili čak i bronzane cijevi s dijamantskim rezačima.

Danas je glavni dobavljač dijamanata Južna Afrika, ali je i zapadna Afrika bogata dijamantima. Teritorija Republike Mali se čak naziva i „Dijamantska zemlja“. U međuvremenu, na teritoriji Malija žive Dogoni, s kojima pristalice hipoteze o paleo-posjeti polažu mnoge nade (vidi dolje). Dijamanti nisu mogli biti razlog za kontakte starih Egipćana sa ovim krajem. Međutim, na ovaj ili onaj način, moguće je da su upravo kopiranjem oktaedra dijamanata i zlatnih kristala, stari Egipćani na taj način obogotvorili faraone, “neuništive” poput dijamanta i “sjajne” poput zlata, sinove Sunca, samo usporedive do najdivnijih kreacija prirode.

zaključak:

Proučavajući piramidu kao geometrijsko tijelo, upoznajući se s njenim elementima i svojstvima, uvjerili smo se u opravdanost mišljenja o ljepoti oblika piramide.

Kao rezultat našeg istraživanja, došli smo do zaključka da su ga Egipćani, prikupivši najvrednije matematičko znanje, utjelovili u piramidu. Stoga je piramida zaista najsavršenija kreacija prirode i čovjeka.

BIBLIOGRAFIJA

„Geometrija: Udžbenik. za 7 – 9 razrede. opšte obrazovanje institucije\ itd. - 9. izd. - M.: Obrazovanje, 1999

Istorija matematike u školi, M: “Prosveščenie”, 1982.

Geometrija 10-11 razred, M: “Prosvjeta”, 2000

Peter Tompkins “Tajne Velike Keopsove piramide”, M: “Centropoligraf”, 2005.

Internet resursi

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Definicija

Piramida je poliedar sastavljen od poligona \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trokuta sa zajedničkim vrhom \(P\) (koji ne leži u ravni poligona) i stranica nasuprot njemu, koje se poklapaju sa strane poligona.
Oznaka: \(PA_1A_2...A_n\) .
Primjer: pentagonalna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trokuti \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), itd. su pozvani bočne strane piramide, segmenti \(PA_1, PA_2\), itd. – bočna rebra, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – osnovu, tačka \(P\) – top.

Visina piramide su okomite koje se spuštaju od vrha piramide do ravni baze.

Zove se piramida sa trouglom u osnovi tetraedar.

Piramida se zove ispravan, ako je njegova osnova pravilan poligon i ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

\((a)\) bočne ivice piramide su jednake;

\((b)\) visina piramide prolazi kroz centar kružnice opisane u blizini baze;

\((c)\) bočna rebra su nagnuta prema ravni baze pod istim uglom.

\((d)\) bočne strane su nagnute prema ravni baze pod istim uglom.

Regularni tetraedar je trouglasta piramida, čija su sva lica jednaki jednakostranični trouglovi.

Teorema

Uslovi \((a), (b), (c), (d)\) su ekvivalentni.

Dokaz

Nađimo visinu piramide \(PH\) . Neka je \(\alpha\) ravan osnove piramide.

1) Dokažimo da iz \((a)\) slijedi \((b)\) . Neka \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Jer \(PH\perp \alpha\), tada je \(PH\) okomito na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni, što znači da su trouglovi pravokutni. To znači da su ovi trokuti jednaki u zajedničkom kraku \(PH\) i hipotenuzi \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To znači \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znači da su tačke \(A_1, A_2, ..., A_n\) na istoj udaljenosti od tačke \(H\), dakle, leže na istoj kružnici poluprečnika \(A_1H\) . Ovaj krug je, po definiciji, opisan oko poligona \(A_1A_2...A_n\) .

2) Dokažimo da \((b)\) implicira \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravougaona i jednaka na dvije noge. To znači da su i njihovi uglovi jednaki, dakle, \(\ugao PA_1H=\ugao PA_2H=...=\ugao PA_nH\).

3) Dokažimo da \((c)\) implicira \((a)\) .

Slično prvoj tački, trouglovi \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravougaona i duž kraka i oštrog ugla. To znači da su i njihove hipotenuze jednake, odnosno \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Dokažimo da \((b)\) implicira \((d)\) .

Jer u pravilnom poligonu centri opisane i upisane kružnice se poklapaju (općenito govoreći, ova tačka se naziva središtem pravilnog mnogougla), tada je \(H\) centar upisane kružnice. Nacrtajmo okomite iz tačke \(H\) na stranice baze: \(HK_1, HK_2\), itd. Ovo su poluprečnici upisane kružnice (po definiciji). Zatim, prema TTP (\(PH\) je okomita na ravan, \(HK_1, HK_2\), itd. su projekcije okomite na stranice) nagnute \(PK_1, PK_2\) itd. okomito na stranice \(A_1A_2, A_2A_3\), itd. respektivno. Dakle, po definiciji \(\ugao PK_1H, \ugao PK_2H\) jednak uglovima između bočnih strana i baze. Jer trokuti \(PK_1H, PK_2H, ...\) su jednaki (kao pravougaoni sa dve strane), zatim uglovi \(\ugao PK_1H, \ugao PK_2H, ...\) su jednaki.

5) Dokažimo da \((d)\) implicira \((b)\) .

Slično četvrtoj tački, trokuti \(PK_1H, PK_2H, ...\) su jednaki (kao pravougaoni duž kraka i oštri ugao), što znači da su segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) jednaka. To znači, po definiciji, \(H\) je centar kružnice upisane u bazu. Ali zato Za pravilne poligone, centri upisanog i opisanog kruga se poklapaju, tada je \(H\) centar opisane kružnice. Chtd.

Posljedica

Bočne strane pravilne piramide su jednaki jednakokraki trouglovi.

Definicija

Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem.
Apoteme svih bočnih strana pravilne piramide su jednake jedna drugoj i također su medijane i simetrale.

Važne napomene

1. Visina pravilne trouglaste piramide pada u tački preseka visina (ili simetrala, ili medijana) osnove (osnova je pravilan trougao).

2. Visina pravilne četvorougaone piramide pada u tački preseka dijagonala osnove (osnova je kvadrat).

3. Visina pravilne šestougaone piramide pada u tački preseka dijagonala osnove (osnova je pravilan šestougao).

4. Visina piramide je okomita na bilo koju pravu liniju koja leži u osnovi.

Definicija

Piramida se zove pravougaona, ako je jedan od njegovih bočnih rubova okomit na ravan baze.

Važne napomene

1. U pravougaonoj piramidi, ivica okomita na osnovu je visina piramide. To jest, \(SR\) je visina.

2. Jer \(SR\) je onda okomito na bilo koju pravu od baze \(\trokut SRM, \trokut SRP\)– pravougli trouglovi.

3. Trokuti \(\trokut SRN, \trokut SRK\)- takođe pravougaone.
Odnosno, bilo koji trokut formiran od ove ivice i dijagonale koja izlazi iz vrha ovog ruba koji leži u osnovi bit će pravokutni.

\[(\Large(\text(Zapremina i površina piramide)))\]

Teorema

Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze i visine piramide: \

Posljedice

Neka je \(a\) stranica baze, \(h\) visina piramide.

1. Zapremina pravilne trouglaste piramide je \(V_(\text(pravougli trokut.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Zapremina pravilne četvorougaone piramide je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Zapremina pravilne šestougaone piramide je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Zapremina pravilnog tetraedra je \(V_(\text(desni tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je poluproizvodu perimetra osnove i apoteme.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definicija

Razmotrimo proizvoljnu piramidu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Povučemo ravan paralelnu sa osnovom piramide kroz određenu tačku koja leži na bočnoj ivici piramide. Ova ravan će podijeliti piramidu na dva poliedra, od kojih je jedan piramida (\(PB_1B_2...B_n\)), a drugi se zove krnje piramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).