• apothem- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena iz njenog vrha (osim toga, apotema je dužina okomice, koja se spušta od sredine pravilnog mnogougla na jednu od njegovih stranica);
• bočne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji se sastaju na vrhu;
• bočna rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — zajedničke strane bočnih strana;
• vrh piramide (t. S) - tačka koja spaja bočna rebra i koja ne leži u ravni osnove;
• visina ( SO ) - okomiti segment povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi takvog segmenta će biti vrh piramide i osnova okomice);
• dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
• baza (A B C D) - poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Svojstva piramide.

1. Kada su sve bočne ivice iste veličine, tada:

• lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ovog kruga;
• bočna rebra formiraju jednake uglove sa ravninom osnove;
• Štaviše, tačno je i suprotno, tj. kada bočna rebra formiraju jednake uglove sa ravninom osnove, ili kada se krug može opisati oko osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ove kružnice, to znači da su svi bočni rubovi piramide su iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:

• lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ovog kruga;
• visine bočnih strana su jednake dužine;
• površina bočne površine jednaka je ½ umnoška opsega baze i visine bočne površine.

3. Sfera se može opisati oko piramide ako se u osnovi piramide nalazi poligon oko kojeg se može opisati krug (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti tačka presjeka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaključujemo da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.

4. Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u 1. tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će postati centar sfere.

Najjednostavnija piramida.

Na osnovu broja uglova, osnova piramide se deli na trouglastu, četvorougaonu i tako dalje.

Biće piramida trouglasti, četvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, četverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokutni - peterokutni i tako dalje.

S konceptom piramide učenici se susreću mnogo prije nego što su počeli proučavati geometriju. Greška je u čuvenim velikim egipatskim čudima svijeta. Stoga, kada počnu proučavati ovaj divni poliedar, većina učenika to već jasno zamišlja. Sve gore navedene atrakcije imaju pravilan oblik. Šta se desilo pravilne piramide, a koja svojstva ima bit će riječi dalje.

U kontaktu sa

Definicija

Postoji dosta definicija piramide. Od davnina je veoma popularan.

Na primjer, Euklid ga je definirao kao tjelesnu figuru koja se sastoji od ravni koje se, polazeći od jedne, konvergiraju u određenoj tački.

Heron je dao precizniju formulaciju. Insistirao je da je to cifra koja ima osnovu i ravni u obliku trokuta, konvergirajući u jednoj tački.

Na osnovu savremene interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-ugla i k ravnih trouglastih figura, koje imaju jednu zajedničku tačku.

Pogledajmo to detaljnije, od kojih elemenata se sastoji:

• K-ugao se smatra osnovom figure;
• 3-kutni oblici strše kao ivice bočnog dijela;
• gornji dio iz kojeg potiču bočni elementi naziva se vrh;
• svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se ivicama;
• ako se ravna linija spusti iz vrha u ravan figure pod uglom od 90 stepeni, tada je njen deo sadržan u unutrašnjem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bočnom elementu, okomita, nazvana apotema, može se povući na stranu našeg poliedra.

Broj ivica se izračunava pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-ugla. Koliko strana ima poliedar kao što je piramida može se odrediti pomoću izraza k+1.

Bitan! Piramida pravilnog oblika je stereometrijska figura čija je osnovna ravan k-ugao sa jednakim stranicama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava, koje su jedinstvene za nju. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Rubovi piramide koji ograničavaju bočne elemente imaju jednake numeričke vrijednosti.
3. Bočni elementi su jednakokraki trouglovi.
4. Osnova visine figure pada u centar poligona, a istovremeno je centralna tačka upisanog i opisanog.
5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravni baze pod istim uglom.
6. Sve bočne površine imaju isti ugao nagiba u odnosu na bazu.

Zahvaljujući svim navedenim svojstvima, izvođenje proračuna elemenata je mnogo jednostavnije. Na osnovu gore navedenih svojstava obraćamo pažnju na dva znaka:

1. U slučaju kada se poligon uklapa u krug, bočne strane će imati jednake uglove sa bazom.
2. Kada se opisuje kružnica oko poligona, sve ivice piramide koje izlaze iz vrha imat će jednake dužine i jednake uglove sa bazom.

Osnova je kvadrat

Pravilna četvorougaona piramida - poliedar čija je osnova kvadrat.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Kvadrat je prikazan na ravni, ali je zasnovan na svim svojstvima pravilnog četverougla.

Na primjer, ako je potrebno povezati stranu kvadrata sa njegovom dijagonalom, onda koristite sljedeću formulu: dijagonala je jednaka proizvodu stranice kvadrata i kvadratnog korijena iz dva.

Zasnovan je na pravilnom trouglu

Pravilna trouglasta piramida je poliedar čija je osnova pravilan trougao.

Ako je osnova pravilan trokut, a bočne ivice jednake su rubovima baze, onda je takav lik nazvan tetraedar.

Sve strane tetraedra su jednakostranični trouglovi. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračunavanja:

• ugao nagiba rebara prema bilo kojoj osnovi je 60 stepeni;
• veličina svih unutrašnjih strana je takođe 60 stepeni;
• svako lice može poslužiti kao osnova;
• , nacrtani unutar figure, to su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko vrsta sekcija stan. Često u školskom kursu geometrije rade sa dvoje:

• aksijalni;
• paralelno sa osnovom.

Aksijalni presek se dobija presecanjem poliedra sa ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne ivice i osu. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Rezna ravnina je ograničena linijama presjeka sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilnoj piramidi, aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno sa bazom, onda je rezultat druga opcija. U ovom slučaju imamo lik poprečnog presjeka sličan bazi.

Na primjer, ako je u osnovi kvadrat, tada će i presjek paralelan s bazom biti kvadrat, samo manjih dimenzija.

Prilikom rješavanja zadataka pod ovim uvjetom koriste znakove i svojstva sličnosti figura, na osnovu Talesove teoreme. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako se ravnina povuče paralelno s bazom i odsiječe gornji dio poliedra, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skraćena piramida. Tada se za osnove skraćenog poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokraki trapezi. Aksijalni presjek je također jednakokraki.

Da bi se odredila visina skraćenog poliedra, potrebno je povući visinu u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju riješiti u školskom predmetu geometrije su određivanje površine i zapremine piramide.

Postoje dvije vrste vrijednosti površine:

• površina bočnih elemenata;
• površine cele površine.

Iz samog imena je jasno o čemu je reč. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate sabrati površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnih 3-kuta. Pokušajmo izvući formulu za površinu bočnih elemenata:

1. Površina jednakokračnog 3-ugla je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
2. Broj bočnih ravni zavisi od vrste k-ugla u bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravni. Stoga je potrebno sabrati površine četiri cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je pojednostavljen na ovaj način jer je vrijednost 4a = Rosn, gdje je Rosn obim baze. A izraz 1/2*Rosn je njegov poluperimetar.
3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka umnošku poluperimetra osnove i apoteme: Sside = Rosn * L.

Površina ukupne površine piramide sastoji se od zbira površina bočnih ravnina i osnove: Sp.p. = Sside + Sbas.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Zapremina pravilne piramide jednak proizvodu površine osnovne ravni i visine podijeljene sa tri: V=1/3*Sbas*H, gdje je H visina poliedra.

Šta je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četvorougaone piramide

Definicija. Bočna ivica- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).

Definicija. Bočna rebra- ovo su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko i uglova poligona.

Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.

Definicija. Apothem- ovo je okomita na bočnu stranu piramide, spuštena od vrha piramide na stranu osnove.

Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.

Definicija. Ispravna piramida je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra baze.

Zapremina i površina piramide

Formula. Volumen piramide kroz površinu osnove i visinu:

Svojstva piramide

Ako su sve bočne ivice jednake, tada se oko osnove piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).

Ako su sve bočne ivice jednake, onda su nagnute prema ravni baze pod istim uglovima.

Bočne ivice su jednake kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.

Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod istim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.

Ako su bočne strane nagnute prema ravni baze pod istim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.

Svojstva pravilne piramide

1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.

2. Sve bočne ivice su jednake.

3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim uglovima u odnosu na bazu.

4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.

5. Površine svih bočnih strana su jednake.

6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.

7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna tačka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.

8. Možete uklopiti sferu u piramidu. Središte upisane sfere će biti tačka preseka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i osnove.

9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π/n, gdje je n broj uglova u osnovi piramide.

Veza između piramide i sfere

Sfera se može opisati oko piramide kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti presjek ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih rubova piramide.

Uvek je moguće opisati sferu oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.

Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.

Veza piramide sa konusom

Za konus se kaže da je upisan u piramidu ako mu se vrhovi poklapaju, a osnova konusa upisana u bazu piramide.

Konus se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake jedna drugoj.

Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.

Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.

Odnos između piramide i cilindra

Piramida se naziva upisanom u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.

Cilindar se može opisati oko piramide ako se može opisati krug oko baze piramide.

Definicija. Krnja piramida (piramidalna prizma) je poliedar koji se nalazi između osnove piramide i ravni preseka paralelne bazi. Dakle, piramida ima veću osnovu i manju bazu koja je slična većoj. Bočne strane su trapezoidne.

Definicija. Trouglasta piramida (tetraedar) je piramida u kojoj su tri lica i baza proizvoljni trouglovi.

Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajedničke vrhove ali se ne dodiruju.

Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju trouglasti ugao.

Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).

Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).

Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijani su podijeljeni na pola, a medijani su podijeljeni u omjeru 3:1 počevši od vrha.

Definicija. Kosa piramida je piramida u kojoj jedna od ivica formira tupi ugao (β) sa bazom.

Definicija. Pravougaona piramida je piramida u kojoj je jedna od bočnih strana okomita na osnovu.

Definicija. Piramida sa oštrim uglom- piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice osnove.

Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.

Definicija. Regularni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (na vrhu) su jednaki.

Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar u kojem postoji pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougaoni ugao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.

Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su stranice jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trougao. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokraki trouglovi.

Definicija. Ortocentrični tetraedar naziva se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.

Definicija. Zvezdana piramida naziva se poliedar čija je osnova zvezda.

Definicija. Bipiramida- poliedar koji se sastoji od dvije različite piramide (piramide se također mogu odsjeći), imaju zajedničku osnovu, a vrhovi leže na suprotnim stranama osnovne ravni.

Ovdje možete pronaći osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi se oni izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za Jedinstveni državni ispit.

Zamislite ravan, poligon , koja leži u njemu i tačka S, a ne leži u njoj. Povežimo S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočna rebra. Poligon se naziva baza, a tačka S je vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trouglastu piramidu je tetraedar. Visina piramide je okomica koja se spušta od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva pravilnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncepte “pravilne piramide” i “pravilnog tetraedra”. U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica je jednako. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da se centar P poligona poklapa sa osnovnom visinom, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotema piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Učitelj matematike o svojoj terminologiji: 80% rada s piramidama je izgrađeno kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike nazove prvi od njih apothemal, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula za zapreminu piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a površina ukupne površine piramide.
3) , gdje je MN udaljenost između bilo koja dva ruba koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo osnove visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: Imajte na umu da su sve tačke ujedinjene jednim zajedničkim svojstvom: na ovaj ili onaj način, bočne strane su svuda uključene (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali pogodniju za učenje formulaciju: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi trouglovi apotema jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem kruga opisanog blizu osnove piramide ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Prvi nivo

Piramida. Vizuelni vodič (2019)

Šta je piramida?

Kako ona izgleda?

Vidite: na dnu piramide (kažu “ u bazi") neki poligon, a svi vrhovi ovog poligona su povezani sa nekom tačkom u prostoru (ova tačka se zove " vertex»).

Cijela ova struktura još uvijek postoji bočne strane, bočna rebra I bazna rebra. Još jednom, nacrtajmo piramidu zajedno sa svim ovim imenima:

Neke piramide mogu izgledati vrlo čudno, ali one su i dalje piramide.

Ovdje je, na primjer, potpuno "koso" piramida.

I još malo o nazivima: ako je u podnožju piramide trokut, onda se piramida zove trokutna, ako je četverokut, onda je četverokut, a ako je petougao, onda... pogodite sami .

Istovremeno, tačka gde je pao visina, zvao visina osnove. Imajte na umu da u "krivim" piramidama visina može čak završiti izvan piramide. Volim ovo:

I nema ništa loše u tome. Izgleda kao tupougao.

Ispravna piramida.

Mnogo komplikovanih reči? Hajde da dešifrujemo: "U osnovi - tačno" - to je razumljivo. Sada hajde da zapamtimo da regularni poligon ima centar - tačka koja je centar i , I .

Pa, riječi "vrh je projektovan u centar baze" znače da osnova visine pada tačno u centar baze. Pogledajte kako izgleda glatko i slatko pravilne piramide.

Hexagonal: u osnovi je pravilan šestougao, vrh je projektovan u centar baze.

Quadrangular: osnova je kvadrat, vrh je projektovan na tačku preseka dijagonala ovog kvadrata.

Triangular: u osnovi je pravilan trougao, vrh je projektovan na tačku preseka visina (one su i medijane i simetrale) ovog trougla.

Veoma važna svojstva pravilne piramide:

U desnoj piramidi

• sve bočne ivice su jednake.
• sve bočne strane su jednakokraki trouglovi i svi ti trokuti su jednaki.

Volumen piramide

Glavna formula za volumen piramide:

Odakle je to tačno došlo? Ovo nije tako jednostavno, i u početku samo trebate zapamtiti da piramida i konus imaju volumen u formuli, ali cilindar ne.

Sada izračunajmo zapreminu najpopularnijih piramida.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moramo pronaći i.

Ovo je površina pravilnog trougla.

Prisjetimo se kako tražiti ovo područje. Koristimo formulu površine:

Za nas je “ ” ovo, a “ ” je također ovo, eh.

Sad hajde da ga nađemo.

Prema Pitagorinoj teoremi za

Koja je razlika? Ovo je radijus kruga u jer piramidaispravan a samim tim i centar.

Pošto - i tačka preseka medijana.

(Pitagorina teorema za)

Zamijenimo ga u formulu za.

I zamijenimo sve u formulu volumena:

pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda formula ispada ovako:

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.

Nema potrebe tražiti ovdje; Na kraju krajeva, baza je kvadrat, i stoga.

Naći ćemo ga. Prema Pitagorinoj teoremi za

Da li znamo? Skoro. pogledajte:

(vidjeli smo to gledajući).

Zamijenite u formulu za:

A sada zamjenjujemo i u formulu volumena.

Neka je stranica osnove jednaka i bočna ivica.

Kako pronaći? Gledajte, šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta pri izračunavanju volumena pravilne trokutaste piramide; ovdje koristimo formulu koju smo pronašli.

Sada hajde da pronađemo (to).

Prema Pitagorinoj teoremi za

Ali kakve to veze ima? Jednostavno je jer je (i svi ostali) u pravu.

Zamenimo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Piramida je poliedar koji se sastoji od bilo kojeg ravnog mnogougla (), tačke koja ne leži u ravni osnove (vrh piramide) i svih segmenata koji povezuju vrh piramide sa tačkama osnove (bočnim ivicama).

Okomita pala sa vrha piramide na ravan osnove.

Ispravna piramida- piramida u kojoj u osnovi leži pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Svojstvo pravilne piramide:

• U pravilnoj piramidi, sve bočne ivice su jednake.
• Sve bočne strane su jednakokraki trokuti i svi ti trokuti su jednaki.