Il problema di trovare l'integrale indefinito di una funzione frazionaria razionale si riduce all'integrazione di frazioni semplici. Pertanto, ti consigliamo di familiarizzare prima con la sezione della teoria della scomposizione delle frazioni nella più semplice.

Esempio.

Soluzione.

Poiché il grado del numeratore dell'integrando è uguale al grado del denominatore, selezioniamo prima l'intera parte dividendo il polinomio per il polinomio con una colonna:

Ecco perché, .

La scomposizione della frazione razionale propria risultante in frazioni più semplici ha la forma . Quindi,

L'integrale risultante è l'integrale della frazione più semplice del terzo tipo. Guardando un po' avanti, notiamo che lo si può prendere sussumendolo sotto il segno differenziale.

Perché , Quello . Ecco perché

Quindi,

Passiamo ora a descrivere i metodi per integrare frazioni semplici di ciascuno dei quattro tipi.

Integrazione di frazioni semplici del primo tipo

Il metodo di integrazione diretta è ideale per risolvere questo problema:

Esempio.

Soluzione.

Troviamo l'integrale indefinito utilizzando le proprietà dell'antiderivativa, la tabella delle antiderivative e la regola di integrazione.

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Integrazione di frazioni semplici del secondo tipo

Anche il metodo dell’integrazione diretta è adatto per risolvere questo problema:

Esempio.

Soluzione.

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Integrazione di frazioni semplici del terzo tipo

Per prima cosa presentiamo l'integrale indefinito come somma:

Prendiamo il primo integrale sussumendolo sotto il segno differenziale:

Ecco perché,

Trasformiamo il denominatore dell'integrale risultante:

Quindi,

La formula per integrare le frazioni semplici del terzo tipo assume la forma:

Esempio.

Trova l'integrale indefinito .

Soluzione.

Usiamo la formula risultante:

Se non avessimo questa formula, cosa faremmo:

9. Integrazione di frazioni semplici del quarto tipo

Il primo passo è metterlo sotto il segno differenziale:

Il secondo passo è trovare un integrale della forma . Integrali di questo tipo si trovano utilizzando formule di ricorrenza. (Vedi partizionamento utilizzando formule di ricorrenza). La seguente formula ricorrente è adatta al nostro caso:

Esempio.

Trova l'integrale indefinito

Soluzione.

Per questo tipo di integrando utilizziamo il metodo di sostituzione. Introduciamo una nuova variabile (vedi la sezione sull'integrazione delle funzioni irrazionali):

Dopo la sostituzione abbiamo:

Siamo arrivati ​​a trovare l'integrale di una frazione del quarto tipo. Nel nostro caso abbiamo dei coefficienti M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 E n=3. Applichiamo la formula ricorrente:

Dopo la sostituzione inversa otteniamo il risultato:

10. Integrazione di funzioni trigonometriche.

Molti problemi si riducono alla ricerca di integrali di funzioni trascendenti contenenti funzioni trigonometriche. In questo articolo raggrupperemo i tipi più comuni di integrandi e utilizzeremo esempi per considerare i metodi per la loro integrazione.

Cominciamo integrando seno, coseno, tangente e cotangente.

Dalla tabella delle antiderivative lo notiamo subito E .

Il metodo di sussumere il segno differenziale consente di calcolare gli integrali indefiniti delle funzioni tangente e cotangente:

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Consideriamo il primo caso, il secondo è assolutamente simile.

Usiamo il metodo di sostituzione:

Siamo arrivati ​​al problema dell'integrazione di una funzione irrazionale. Il metodo di sostituzione ci aiuterà anche qui:

Non resta che effettuare la sostituzione inversa e t = sinx:

Inizio pagina

Puoi saperne di più sui principi per trovarli nella sezione integrazione utilizzando formule ricorrenti. Se studi la derivazione di queste formule, puoi facilmente prendere gli integrali della forma , Dove M E N- numeri interi.

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Inizio pagina

La massima creatività arriva quando l'integrando contiene funzioni trigonometriche con argomenti diversi.

È qui che vengono in soccorso le formule base della trigonometria. Quindi scrivili su un pezzo di carta separato e tienili davanti ai tuoi occhi.

Esempio.

Trova l'insieme delle antiderivative di una funzione .

Soluzione.

Le formule di riduzione danno E .

Ecco perché

Il denominatore è la formula per il seno della somma, quindi,

Arriviamo alla somma di tre integrali.

Inizio pagina

Gli integrandi contenenti funzioni trigonometriche possono talvolta essere ridotti a espressioni razionali frazionarie utilizzando la sostituzione trigonometrica standard.

Scriviamo le formule trigonometriche che esprimono seno, coseno, tangente attraverso la tangente del mezzo argomento:

Nell'integrare avremo bisogno anche dell'espressione differenziale dx attraverso la tangente di un semiangolo.

Perché , Quello

Cioè, dove.

Esempio.

Trova l'integrale indefinito .

Soluzione.

Usiamo la sostituzione trigonometrica standard:

Così, .

La scomposizione dell'integrando in frazioni semplici ci porta alla somma di due integrali:

Non resta che effettuare la sostituzione inversa:

11. Le formule di ricorrenza sono formule che esprimono N L'esimo membro della sequenza attraverso i membri precedenti. Sono spesso usati per trovare gli integrali.

Non miriamo ad elencare tutte le formule di ricorrenza, ma vogliamo dare il principio della loro derivazione. La derivazione di queste formule si basa sulla trasformazione dell'integrando e sull'applicazione del metodo di integrazione per parti.

Ad esempio, l'integrale indefinito può essere preso utilizzando la formula di ricorrenza .

Derivazione della formula:

Utilizzando le formule trigonometriche possiamo scrivere:

Troviamo l'integrale risultante utilizzando il metodo dell'integrazione per parti. Come una funzione u(x) prendiamo cosx, quindi, .

Ecco perché,

Ritorniamo all'integrale originale:

Questo è,

Questo è ciò che doveva essere mostrato.

Le seguenti formule di ricorrenza vengono derivate in modo simile:

Esempio.

Trova l'integrale indefinito.

Soluzione.

Usiamo la formula ricorrente del quarto paragrafo (nel nostro esempio n=3):

Poiché dalla tabella degli antiderivativi abbiamo , Quello

Tutto quanto sopra nei paragrafi precedenti ci consente di formulare le regole di base per l'integrazione delle frazioni razionali.

1. Se una frazione razionale è impropria, allora viene rappresentata come la somma di un polinomio e di una frazione razionale propria (vedi paragrafo 2).

Ciò riduce l'integrazione di una frazione razionale impropria all'integrazione di un polinomio e di una frazione razionale propria.

2. Fattorizzare il denominatore della frazione propria.

3. Una frazione razionale propria viene scomposta nella somma di frazioni semplici. Ciò riduce l'integrazione di una frazione razionale propria all'integrazione di frazioni semplici.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1. Trova .

Soluzione. Sotto l'integrale c'è una frazione razionale impropria. Selezionando l'intera parte, otteniamo

Quindi,

Notato ciò, espandiamo la frazione razionale propria

alle frazioni semplici:

(vedi formula (18)). Ecco perché

Quindi, finalmente abbiamo

Esempio 2. Trova

Soluzione. Sotto l'integrale c'è una frazione razionale propria.

Espandendolo in frazioni semplici (vedi formula (16)), otteniamo

Integrazione di una funzione frazionaria-razionale.
Metodo dei coefficienti incerti

Continuiamo a lavorare sull'integrazione delle frazioni. Abbiamo già esaminato gli integrali di alcuni tipi di frazioni nella lezione e questa lezione, in un certo senso, può essere considerata una continuazione. Per comprendere con successo il materiale, sono necessarie competenze di integrazione di base, quindi se hai appena iniziato a studiare gli integrali, cioè sei un principiante, allora devi iniziare con l'articolo Integrale indefinito. Esempi di soluzioni.

Stranamente, ora saremo impegnati non tanto nella ricerca di integrali, ma... nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari. A questo proposito urgentemente Consiglio di frequentare la lezione, cioè di conoscere bene i metodi di sostituzione (metodo “della scuola” e il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema).

Cos'è una funzione razionale frazionaria? In parole semplici, una funzione frazionaria-razionale è una frazione il cui numeratore e denominatore contengono polinomi o prodotti di polinomi. Inoltre, le frazioni sono più sofisticate di quelle discusse nell'articolo Integrazione di alcune frazioni.

Integrazione di una funzione frazionaria-razionale adeguata

Immediatamente un esempio e un tipico algoritmo per risolvere l'integrale di una funzione frazionaria-razionale.

Esempio 1

Passo 1. La prima cosa che facciamo SEMPRE quando risolviamo un integrale di una funzione razionale frazionaria è chiarire la seguente domanda: la frazione è corretta? Questo passaggio viene eseguito verbalmente, e ora ti spiegherò come:

Per prima cosa guardiamo il numeratore e lo scopriamo grado superiore polinomio:

La potenza iniziale del numeratore è due.

Ora guardiamo il denominatore e lo scopriamo grado superiore denominatore. Il modo più ovvio è aprire le parentesi e riportare termini simili, ma puoi farlo in modo più semplice, in ogni trovare tra parentesi il grado più alto

e moltiplicare mentalmente: - quindi il grado più alto del denominatore è uguale a tre. È abbastanza ovvio che se apriamo effettivamente le parentesi, non otterremo un grado superiore a tre.

Conclusione: Grado maggiore del numeratore STRETTAMENTEè inferiore alla potenza massima del denominatore, il che significa che la frazione è propria.

Se in questo esempio il numeratore conteneva il polinomio 3, 4, 5, ecc. gradi, allora la frazione sarebbe sbagliato.

Considereremo ora solo le funzioni razionali frazionarie corrette. Il caso in cui il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore verrà discusso alla fine della lezione.

Passo 2. Fattorizziamo il denominatore. Consideriamo il nostro denominatore:

In generale questo è già un prodotto di fattori, ma tuttavia ci chiediamo: è possibile espandere qualcos’altro? L'oggetto della tortura sarà senza dubbio il trinomio quadrato. Risolvere l'equazione quadratica:

Il discriminante è maggiore di zero, il che significa che il trinomio può davvero essere fattorizzato:

Regola generale: TUTTO al denominatore PUÒ essere scomposto - scomposto

Cominciamo a formulare una soluzione:

Passaggio 3. Usando il metodo dei coefficienti indefiniti, espandiamo l'integrando in una somma di frazioni semplici (elementari). Ora sarà più chiaro.

Diamo un'occhiata alla nostra funzione integranda:

E, sai, in qualche modo emerge un pensiero intuitivo che sarebbe bello trasformare la nostra grande frazione in diverse piccole. Ad esempio, in questo modo:

La domanda sorge spontanea: è possibile farlo? Tiriamo un sospiro di sollievo, afferma il corrispondente teorema dell'analisi matematica – È POSSIBILE. Tale scomposizione esiste ed è unica.

C'è solo un problema, le probabilità lo sono Ciao Non lo sappiamo, da qui il nome – il metodo dei coefficienti indefiniti.

Come hai intuito, i successivi movimenti del corpo sono così, non ridere! sarà finalizzato semplicemente a RICONOSCERLI – per scoprire a cosa sono pari.

Attenzione, vi spiegherò nel dettaglio solo una volta!

Allora cominciamo a ballare da:

Sul lato sinistro riduciamo l'espressione a un denominatore comune:

Ora possiamo tranquillamente sbarazzarci dei denominatori (poiché sono la stessa cosa):

Sul lato sinistro apriamo le parentesi, ma non tocchiamo per ora i coefficienti incogniti:

Allo stesso tempo, ripetiamo la regola scolastica per moltiplicare i polinomi. Quando ero insegnante, ho imparato a pronunciare questa regola con la faccia seria: Per moltiplicare un polinomio per un polinomio è necessario moltiplicare ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell'altro polinomio.

Dal punto di vista di una spiegazione chiara, è meglio mettere i coefficienti tra parentesi (anche se personalmente non lo faccio mai per risparmiare tempo):

Componiamo un sistema di equazioni lineari.
Per prima cosa cerchiamo i titoli senior:

E scriviamo i coefficienti corrispondenti nella prima equazione del sistema:

Ricorda bene il punto seguente. Cosa accadrebbe se non ci fossero le s sul lato destro? Diciamo, si metterebbe in mostra senza alcun quadrato? In questo caso nell'equazione del sistema bisognerebbe mettere uno zero a destra: . Perché zero? Ma perché sul lato destro puoi sempre assegnare lo zero a questo stesso quadrato: se sul lato destro non ci sono variabili e/o un termine libero, allora mettiamo degli zeri sul lato destro delle corrispondenti equazioni del sistema.

Scriviamo i coefficienti corrispondenti nella seconda equazione del sistema:

E infine, l'acqua minerale, selezioniamo i soci gratuiti.

Eh... stavo scherzando. Scherzi a parte, la matematica è una scienza seria. Nel nostro gruppo di istituto, nessuno ha riso quando l'assistente professore ha detto che avrebbe sparso i termini lungo la linea numerica e avrebbe scelto quelli più grandi. Diventiamo seri. Anche se... chiunque vivrà fino a vedere la fine di questa lezione sorriderà comunque tranquillamente.

Il sistema è pronto:

Risolviamo il sistema:

(1) Dalla prima equazione la esprimiamo e la sostituiamo nella 2a e 3a equazione del sistema. In effetti, era possibile esprimere (o un'altra lettera) da un'altra equazione, ma in questo caso è vantaggioso esprimerla dalla prima equazione, poiché non esiste le probabilità più piccole.

(2) Presentiamo termini simili nella 2a e 3a equazione.

(3) Sommiamo la 2a e la 3a equazione termine per termine, ottenendo l'uguaglianza , da cui segue che

(4) Sostituiamo nella seconda (o terza) equazione, da dove la troviamo

(5) Sostituisci e nella prima equazione, ottenendo .

Se hai difficoltà con i metodi di risoluzione del sistema, esercitati in classe. Come risolvere un sistema di equazioni lineari?

Dopo aver risolto il sistema è sempre utile verificare - sostituire i valori trovati ogni equazione del sistema, di conseguenza tutto dovrebbe “convergere”.

Quasi lì. Sono stati trovati i coefficienti e:

Il lavoro finito dovrebbe assomigliare a questo:

Come puoi vedere, la difficoltà principale del compito era comporre (correttamente!) e risolvere (correttamente!) un sistema di equazioni lineari. E nella fase finale, tutto non è così difficile: usiamo le proprietà di linearità dell'integrale indefinito e integriamo. Tieni presente che sotto ciascuno dei tre integrali abbiamo una funzione complessa “libera”; delle caratteristiche della sua integrazione ho parlato nella lezione Metodo del cambiamento di variabile nell'integrale indefinito.

Verifica: Differenzia la risposta:

È stata ottenuta la funzione integranda originale, il che significa che l'integrale è stato trovato correttamente.
Durante la verifica abbiamo dovuto ridurre l'espressione ad un denominatore comune, e questo non è casuale. Il metodo dei coefficienti indefiniti e la riduzione di un'espressione a un denominatore comune sono azioni reciprocamente inverse.

Esempio 2

Trova l'integrale indefinito.

Torniamo alla frazione del primo esempio: . È facile notare che al denominatore tutti i fattori sono DIVERSI. Sorge la domanda: cosa fare se, ad esempio, viene data la seguente frazione: ? Qui abbiamo i gradi al denominatore, o, matematicamente, multipli. Inoltre esiste un trinomio quadratico non fattorizzabile (è facile verificare che il discriminante dell'equazione è negativo, quindi il trinomio non può essere scomposto in fattori). Cosa fare? L'espansione in una somma di frazioni elementari sarà simile a con coefficienti sconosciuti in alto o qualcos'altro?

Esempio 3

Introdurre una funzione

Passo 1. Controllare se abbiamo una frazione propria
Numeratore maggiore: 2
Grado massimo del denominatore: 8
, il che significa che la frazione è corretta.

Passo 2.È possibile fattorizzare qualcosa al denominatore? Ovviamente no, è già tutto predisposto. Il trinomio quadrato non può essere espanso in un prodotto per le ragioni sopra esposte. Cappuccio. Meno lavoro.

Passaggio 3. Immaginiamo una funzione frazionaria-razionale come una somma di frazioni elementari.
In questo caso l'espansione ha la seguente forma:

Consideriamo il nostro denominatore:
Quando si scompone una funzione frazionaria-razionale in una somma di frazioni elementari, si possono distinguere tre punti fondamentali:

1) Se il denominatore contiene un fattore “solitario” alla prima potenza (nel nostro caso), allora mettiamo in alto un coefficiente indefinito (nel nostro caso). Gli esempi n. 1, 2 consistevano solo di tali fattori “solitari”.

2) Se il denominatore ha multiplo moltiplicatore, quindi devi scomporlo in questo modo:
- cioè percorrere in sequenza tutti i gradi di “X” dal primo all'ennesimo grado. Nel nostro esempio ci sono due fattori multipli: e , dai un'altra occhiata all'espansione che ho dato e assicurati che siano espansi esattamente secondo questa regola.

3) Se il denominatore contiene un polinomio indecomponibile di secondo grado (nel nostro caso), allora quando si scompone al numeratore è necessario scrivere una funzione lineare con coefficienti indeterminati (nel nostro caso con coefficienti indeterminati e ).

In effetti esiste un altro 4o caso, ma ne terrò il silenzio, poiché in pratica è estremamente raro.

Esempio 4

Introdurre una funzione come somma di frazioni elementari a coefficienti sconosciuti.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Segui rigorosamente l'algoritmo!

Se si comprendono i principi in base ai quali è necessario espandere una funzione frazionaria-razionale in una somma, è possibile masticare quasi tutti gli integrali del tipo in questione.

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito.

Passo 1. Ovviamente la frazione è corretta:

Passo 2.È possibile fattorizzare qualcosa al denominatore? Potere. Ecco la somma dei cubi . Fattorizza il denominatore utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata

Passaggio 3. Utilizzando il metodo dei coefficienti indefiniti, espandiamo l'integrando in una somma di frazioni elementari:

Tieni presente che il polinomio non è fattorizzabile (verifica che il discriminante sia negativo), quindi in alto mettiamo una funzione lineare con coefficienti sconosciuti, e non una sola lettera.

Portiamo la frazione a un denominatore comune:

Componiamo e risolviamo il sistema:

(1) Esprimiamo dalla prima equazione e la sostituiamo nella seconda equazione del sistema (questo è il modo più razionale).

(2) Presentiamo termini simili nella seconda equazione.

(3) Sommamo la seconda e la terza equazione del sistema termine per termine.

Tutti gli ulteriori calcoli sono, in linea di principio, orali, poiché il sistema è semplice.

(1) Scriviamo la somma delle frazioni secondo i coefficienti trovati.

(2) Utilizziamo le proprietà di linearità dell'integrale indefinito. Cosa è successo nel secondo integrale? Puoi familiarizzare con questo metodo nell'ultimo paragrafo della lezione. Integrazione di alcune frazioni.

(3) Ancora una volta utilizziamo le proprietà della linearità. Nel terzo integrale cominciamo ad isolare il quadrato completo (penultimo paragrafo della lezione Integrazione di alcune frazioni).

(4) Prendiamo il secondo integrale, nel terzo selezioniamo il quadrato completo.

(5) Prendiamo il terzo integrale. Pronto.

Vengono considerati esempi di integrazione di funzioni razionali (frazioni) con soluzioni dettagliate.

Contenuto

Guarda anche: Radici di un'equazione quadratica

Qui forniamo soluzioni dettagliate a tre esempi di integrazione delle seguenti frazioni razionali:
, , .

Esempio 1

Calcola l'integrale:
.

Qui sotto il segno integrale c'è una funzione razionale, poiché l'integrando è una frazione di polinomi. Grado del polinomio del denominatore ( 3 ) è inferiore al grado del polinomio del numeratore ( 4 ). Pertanto, prima devi selezionare l'intera parte della frazione.

1. Selezioniamo l'intera parte della frazione. Dividi x 4 di x 3 - 6x2 + 11x - 6:


Da qui
.

2. Fattorizziamo il denominatore della frazione. Per fare ciò, devi risolvere l'equazione cubica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Sostituiamo x = 1 :
.

1 . Dividi per x - 1 :

Da qui
.
Risoluzione di un'equazione quadratica.
.
Le radici dell'equazione sono: , .
Poi
.

3. Analizziamo la frazione nella sua forma più semplice.

.

Quindi abbiamo trovato:
.
Integriamo.

Esempio 2

Calcola l'integrale:
.

Qui il numeratore della frazione è un polinomio di grado zero ( 1 =x0). Il denominatore è un polinomio di terzo grado. Perché il 0 < 3 , allora la frazione è corretta. Suddividiamolo in frazioni semplici.

1. Fattorizziamo il denominatore della frazione. Per fare ciò, devi risolvere l'equazione di terzo grado:
.
Supponiamo che abbia almeno una radice intera. Allora è un divisore del numero 3 (membro senza x). Cioè, l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 3, -1, -3 .
Sostituiamo x = 1 :
.

Quindi, abbiamo trovato una radice x = 1 . Dividi x 3 + 2 x - 3 su x- 1 :

COSÌ,
.

Risolvere l'equazione quadratica:
X 2+x+3 = 0.
Trovare il discriminante: D = 1 2 - 4 3 = -11. Dal momento che il d< 0 , allora l'equazione non ha radici reali. Pertanto, abbiamo ottenuto la fattorizzazione del denominatore:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Sostituiamo x = 1 . Quindi x- 1 = 0 ,
.

Sostituiamo (2.1) x = 0 :
1 = 3A-C;
.

Identifichiamo a (2.1) coefficienti per x 2 :
;
0 = A+B;
.

.

3. Integriamo.
(2.2) .
Per calcolare il secondo integrale, selezioniamo la derivata del denominatore al numeratore e riduciamo il denominatore alla somma dei quadrati.

;
;
.

Calcola I 2 .


.
Poiché l'equazione x 2+x+3 = 0 non ha radici reali, allora x 2+x+3 > 0. Pertanto il segno del modulo può essere omesso.

Consegniamo a (2.2) :
.

Esempio 3

Calcola l'integrale:
.

Qui sotto il segno integrale c'è una frazione di polinomi. Pertanto, l'integrando è una funzione razionale. Il grado del polinomio al numeratore è uguale a 3 . Il grado del polinomio del denominatore della frazione è uguale a 4 . Perché il 3 < 4 , allora la frazione è corretta. Pertanto, può essere scomposto in frazioni semplici. Ma per fare questo devi fattorizzare il denominatore.

1. Fattorizziamo il denominatore della frazione. Per fare ciò, devi risolvere l'equazione di quarto grado:
.
Supponiamo che abbia almeno una radice intera. Allora è un divisore del numero 2 (membro senza x). Cioè, l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 2, -1, -2 .
Sostituiamo x = -1 :
.

Quindi, abbiamo trovato una radice x = -1 . Dividi per x - (-1) = x + 1:


COSÌ,
.

Ora dobbiamo risolvere l'equazione di terzo grado:
.
Se assumiamo che questa equazione abbia una radice intera, allora è un divisore del numero 2 (membro senza x). Cioè, l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 2, -1, -2 .
Sostituiamo x = -1 :
.

Quindi, abbiamo trovato un'altra radice x = -1 . Sarebbe possibile, come nel caso precedente, dividere il polinomio per , ma raggrupperemo i termini:
.

Poiché l'equazione x 2 + 2 = 0 non ha radici reali, allora otteniamo la fattorizzazione del denominatore:
.

2. Analizziamo la frazione nella sua forma più semplice. Stiamo cercando un'espansione nella forma:
.
Ci liberiamo del denominatore della frazione, moltiplichiamo per (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Sostituiamo x = -1 . Quindi x+ 1 = 0 ,
.

Differenziamo (3.1) :

;

.
Sostituiamo x = -1 e tieni conto che x + 1 = 0 :
;
; .

Sostituiamo (3.1) x = 0 :
0 = 2A+2B+D;
.

Identifichiamo a (3.1) coefficienti per x 3 :
;
1 = B+C;
.

Quindi, abbiamo trovato la scomposizione in frazioni semplici:
.

3. Integriamo.


.

Guarda anche:

La frazione si chiama corretto, se il grado più alto del numeratore è inferiore al grado più alto del denominatore. L’integrale di una frazione razionale propria ha la forma:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

La formula per integrare le frazioni razionali dipende dalle radici del polinomio nel denominatore. Se il polinomio $ ax^2+bx+c $ ha:

1. Solo radici complesse, quindi è necessario estrarne un quadrato completo: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Diverse radici reali $ x_1 $ e $ x_2 $, quindi è necessario espandere l'integrale e trovare i coefficienti indefiniti $ A $ e $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Una radice multipla $ x_1 $, quindi espandiamo l'integrale e troviamo i coefficienti indefiniti $ A $ e $ B $ per la seguente formula: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Se la frazione è sbagliato, cioè il grado più alto del numeratore è maggiore o uguale al grado più alto del denominatore, quindi prima deve essere ridotto a corretto si forma dividendo il polinomio dal numeratore per il polinomio dal denominatore. In questo caso, la formula per integrare una frazione razionale ha la forma:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Trovare l'integrale della frazione razionale: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Soluzione

La frazione è propria e il polinomio ha solo radici complesse. Pertanto, selezioniamo un quadrato completo: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Pieghiamo un quadrato completo e lo posizioniamo sotto il segno differenziale $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Utilizzando la tabella degli integrali otteniamo: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai visualizzare lo stato di avanzamento del calcolo e ottenere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere il voto dal tuo insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Esempio 2

Esegui l'integrazione delle frazioni razionali: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Soluzione

Risolviamo l'equazione quadratica: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Scriviamo le radici: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Tenendo conto delle radici ottenute, trasformiamo l'integrale: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Eseguiamo lo sviluppo di una frazione razionale: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Uguagliamo i numeratori e troviamo i coefficienti $ A $ e $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Sostituiamo i coefficienti trovati nell'integrale e lo risolviamo: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Risposta

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$