Takmer všetky riadiace systémy, prísne vzaté, sú nelineárne, t.j. sú opísané nelineárnymi rovnicami. Lineárne riadiace systémy sú ich lineárne modely, ktoré sa získavajú konvenčnou linearizáciou - linearizáciou pozostávajúcou z rozšírenia nelineárnych funkcií do Taylorovho radu a vypustením nelineárnych členov. Takáto linearizácia však nie je vždy možná. Ak nelinearita pripúšťa obvyklú linearizáciu, potom sa takáto nelinearita nazýva nepodstatná. V opačnom prípade sa hovorí, že nelinearita je významná. Všetky druhy reléových prvkov majú významné nelinearity. Dokonca aj v prípadoch, keď je možná konvenčná linearizácia, môže byť často potrebné zvážiť pôvodný nelineárny model v záverečnej fáze štúdie.
Nelineárny automatický riadiaci systém je systém, ktorý obsahuje aspoň jedno prepojenie opísané nelineárnou rovnicou.
Typy nelineárnych odkazov:
prepojenie typu relé;
prepojenie s po častiach lineárnou charakteristikou;
spojenie s krivočiarou charakteristikou akéhokoľvek tvaru;
väzba, ktorej rovnica obsahuje súčin premenných alebo ich derivátov a ich iných kombinácií;
nelineárne spojenie s oneskorením;
nelineárne impulzné spojenie;
logické prepojenie;
prepojenia opísané po častiach lineárnymi riadiacimi systémami, vrátane tých s variabilnou štruktúrou.
Na obr. 2.1 predstavuje reléové charakteristiky rôznych typov:
charakteristiky ideálneho relé (a);
charakteristiky relé s mŕtvou zónou (b);
charakteristiky relé s hysterézou (c);
charakteristiky relé s mŕtvou zónou a hysterézou (g);
kvantizačná charakteristika podľa úrovne (d).
Na obr. 2.2 predstavuje po častiach lineárne charakteristiky:
po častiach lineárna charakteristika so sýtosťou (a);
po častiach lineárna charakteristika s mŕtvou zónou a sýtosťou (b)
po častiach lineárna charakteristika s mŕtvou zónou (c);
vôľa (charakteristická pre spojenie s vôľou) (d);
charakteristika diódy (d);
po častiach lineárna charakteristika s hysterézou a saturáciou (e).
Existujú statické a dynamické nelinearity. Prvé sú prezentované vo forme nelineárnych statických charakteristík, druhé vo forme nelineárnych diferenciálnych rovníc.
Pohon regulačného telesa, nech už je akýkoľvek (elektrický, hydraulický alebo pneumatický), má vždy po prvé mŕtvu zónu na začiatku; po druhé, saturačná zóna na okrajoch. Okrem toho sa môže vyskytnúť aj hysteréza. Existujú tiež pohony s konštantnou rýchlosťou súvisiace s prepojeniami typu relé.
Mŕtva zóna je vyjadrená tým, že motor má určitý minimálny štartovací prúd, do ktorého dosiahnutia bude motor stáť.
HYSTERÉZA (z gréckeho hysteréza – oneskorenie, oneskorenie), jav, ktorý spočíva v tom, že fyz. veličina charakterizujúca stav telesa (napríklad magnetizácia) nejednoznačne závisí od fyzikálnych vlastností. veličina charakterizujúca vonkajšie podmienky (napríklad magnetické pole). G. sa pozoruje v prípadoch, keď je stav tela v danom časovom okamihu určený vonkajšími podmienkami nielen v rovnakom čase, ale aj v predchádzajúcich bodoch času. V každom procese sa pozoruje nejednoznačná závislosť množstiev, pretože zmena stavu tela vždy vyžaduje určitý čas (čas na relaxáciu) a reakcia tela zaostáva za príčinami, ktoré ju spôsobujú.
Nelineárne systémy majú v porovnaní s lineárnymi niekoľko základných vlastností. Ide najmä o tieto vlastnosti:
Princíp superpozície neplatí a štúdium nelineárneho systému pod viacerými vplyvmi nemožno zredukovať na štúdium pod jedným vplyvom;
Stabilita a charakter procesu prechodu závisí od veľkosti počiatočnej odchýlky od rovnovážnej polohy;
Pri pevných vonkajších vplyvoch je možných niekoľko (a niekedy nekonečný počet) rovnovážnych polôh;
Vznikajú voľné procesy v ustálenom stave, ktoré sú v lineárnych systémoch nemožné (napríklad samooscilácie).
Neexistujú žiadne univerzálne analytické (matematické) metódy na štúdium nelineárnych systémov. V procese vývoja teórie automatického riadenia boli vyvinuté rôzne matematické metódy na analýzu a syntézu nelineárnych systémov, z ktorých každá je použiteľná pre určitú triedu systémov a problémov. Najpoužívanejšie metódy na štúdium nelineárnych systémov sú:
Metóda fázovej roviny;
metóda Ljapunovovej funkcie;
Metóda harmonickej linearizácie (metóda harmonickej rovnováhy);
Metódy štúdia absolútnej stability.
Akékoľvek štúdium viac či menej zložitých nelineárnych systémov sa spravidla končí matematickým modelovaním. A v tomto smere je matematické modelovanie jednou z univerzálnych (neanalytických) metód výskumu.
Fázová rovina
Ak sú rovnice riadiaceho systému prezentované v normálnej forme, potom stavový vektor systému jednoznačne určuje jeho stav. Každý stav systému v stavovom priestore zodpovedá bodu. Bod zodpovedajúci aktuálnemu stavu systému sa nazýva reprezentujúci bod. Keď sa stav zmení, reprezentujúci bod opisuje trajektóriu. Táto dráha sa nazýva fázová dráha. Súbor fázových trajektórií zodpovedajúcich všetkým možným počiatočným podmienkam sa nazýva fázový portrét.
Fázová trajektória a fázový portrét môžu byť vizuálne znázornené v prípade dvojrozmerného fázového priestoru. Dvojrozmerný fázový priestor sa nazýva fázová rovina.
Fázová rovina je súradnicová rovina, v ktorej sú pozdĺž súradnicových osí vynesené dve premenné (fázové súradnice), ktoré jednoznačne určujú stav systému druhého rádu.
Metóda analýzy a syntézy riadiaceho systému založená na konštrukcii fázového portrétu sa nazýva metóda fázovej roviny.
Z fázového portrétu možno posúdiť povahu prechodných procesov. Najmä z fázovej trajektórie možno bez výpočtov zostrojiť kvalitatívne časovú charakteristiku - krivku x proti času a naopak, z časovej charakteristiky možno kvalitatívne zostrojiť fázovú trajektóriu.
Ako príklad najskôr zostrojíme časovú charakteristiku pomocou fázovej trajektórie a potom zostrojíme fázovú trajektóriu pomocou časovej charakteristiky. Nech je daná fázová trajektória (obr. 2.4, a).
Po vyznačení charakteristických bodov na ňom (počiatočný bod, priesečníky so súradnicovými osami) nakreslíme zodpovedajúce body na dočasnú rovinu a spojíme ich hladkou krivkou (obr. 2.4, b).
Teraz uvedieme časovú charakteristiku (obr. 2.5, a). Po vyznačení charakteristických bodov (počiatočný bod, extrémne body a priesečníky s časovou osou) nakreslíme zodpovedajúce body na fázovú rovinu a spojíme ich hladkou krivkou.
(obr. 2.5,6).
Fázové portréty nelineárnych systémov môžu obsahovať typ špeciálnej krivky – izolované uzavreté trajektórie. Tieto krivky sú tzv limitné cykly. Ak zvnútra a zvonku sa fázové trajektórie zbiehajú k limitnému cyklu (obr. 2.8, a),
potom sa takýto limitný cyklus nazýva stabilný limitný cyklus. Stabilný limitný cyklus zodpovedá asymptoticky orbitálne stabilnému periodickému pohybu (vlastné oscilácie).
Ak sa fázové trajektórie vo vnútri a mimo limitného cyklu od neho vzďaľujú (obr. 2.8,6), takýto limitný cyklus sa nazýva nestabilný limitný cyklus. Periodický proces zodpovedajúci nestabilnému limitnému cyklu nie je možné pozorovať.
Ak pohyb začína vo vnútri takéhoto limitného cyklu, potom proces konverguje do rovnovážnej polohy. Ak pohyb začína mimo takéhoto limitného cyklu, potom sa proces rozchádza. Nestabilný limitný cyklus slúži ako hranica príťažlivej oblasti, alebo hranica stability rovnovážnej polohy (počiatku).
Možné sú dva limitné cykly (obr. 2.8, c, d). Interné pred-
limitný cyklus na obr. 2.8, in je stabilný a vlastné oscilácie mu zodpovedajú a vonkajší limitný cyklus je nestabilný a je hranicou oblasti vlastných oscilácií: vlastné oscilácie sa vyskytujú pre akékoľvek počiatočné odchýlky, ktoré nepresahujú vonkajší limitný cyklus .
Vonkajší limitný cyklus na obr. 2.8, d je stabilné a zodpovedá vlastným osciláciám a vnútorný limitný cyklus je nestabilný a je hranicou oblasti príťažlivosti rovnovážnej polohy. V systéme s takýmto fázovým portrétom vznikajú samooscilácie, keď sa systém dostatočne odchýli od rovnovážnej polohy - odchýlka, ktorá presahuje vnútorný limitný cyklus. Ak sa systém pohybuje v rámci nestabilného limitného cyklu, potom sa približuje k rovnovážnej polohe.
Metóda harmonickej linearizácie
Metóda harmonickej linearizácie alebo metóda harmonickej rovnováhy bola pôvodne vyvinutá na štúdium periodických podmienok. Neskôr sa však začal využívať aj na analýzu stability a syntézu nelineárnych systémov.
Hlavná myšlienka metódy je nasledovná. Riadené systémy (objekty) majú spravidla vlastnosť dolnopriepustného filtra: keď sa vyskytujú periodické režimy, neprenášajú alebo s väčším útlmom neprenášajú druhé a vyššie harmonické. A podstatou metódy harmonickej linearizácie je popísať nelineárnu väzbu lineárnou rovnicou, ktorá sa získa zanedbaním (vyradením) naznačených harmonických pri expanzii nelineárnej funkcie vo Fourierovom rade.
Metóda harmonickej linearizácie je približná metóda. Jeho výhodou však je, že je aplikovateľný na systémy akéhokoľvek rádu, na rozdiel od metódy fázovej roviny, ktorú možno efektívne aplikovať len na systémy 2. rádu.
Goldfarbova metóda (metóda na štúdium symetrických vlastných oscilácií)
Metóda Ljapunovovej funkcie
Metóda výskumu založená na konštrukcii Ljapunovovej funkcie vrátane priamej Ljapunovovej metódy sa začala nazývať metóda Ljapunovových funkcií.
Metóda štúdia absolútnej stability
Problémom absolútnej stability sa prvýkrát zaoberal A. I. Lurie a niekedy sa mu hovorí aj Lurieho problém. Vyvinul metódu riešenia tohto problému, založenú na konštrukcii Ljapunovovej funkcie. V roku 1961 Rumunský vedec V.M. Popov publikoval článok, v ktorom načrtol frekvenčnú metódu riešenia tohto problému. To viedlo k veľkému prúdu práce v tomto smere.
Pre úlohy:
Vzťah medzi prechodným procesom a fázovým portrétom:
(Besekersky-Popov s. 595 veľa vecí)
Kritérium stability Popova V.M.
(rumunský vedec)
Toto je frekvenčná metóda na štúdium stability NL ACS s jednoznačnou nelinearitou, ktorá spĺňa podmienku
Uvažuje sa o stabilite rovnovážnej polohy
Dostatočné podmienky absolútna stabilita Takéto systémy sformuloval V. M. Popov.
1. Zavádza sa prenosová funkcia
Predpokladá sa, že 
zodpovedá asymptoticky stabilnému systému (kontrolovanému ktorýmkoľvek z kritérií stability).
2. Frekvenčná odozva je nájdená 
.
3. Je skonštruovaná modifikovaná frekvenčná odozva 
,
ktorý je určený vzťahom
Re
= Re 
,
Im
=
.
4.Skonštruované na komplexnej rovine 
.
Popovovo kritérium:
Ak cez bod 
na skutočnej osi je možné nakresliť priamku tak, že modifikovaný AFC 
ležal na jednej strane tejto priamky, potom uzavreté NL samohybné delo bude absolútne stabilný.
Príklad. Absolútnu stabilitu samohybných zbraní NL preskúmajte pomocou blokovej schémy z obr. 1, ak
Od všetkého 
v charakteristickej rovnici 2. rádu je väčšia ako nula, teda 
- je asymptoticky stabilný, a preto je splnená podmienka (1) Popovovho kritéria stability.
Re
= Re 
=
Im
=
Im
=
Budujeme AFFC 
.
Asymptotická stabilita pre špeciálnu formu
nelineárne charakteristiky
1. Nejednoznačná nelineárna charakteristika
Stav pokoja bude absolútne stabilný, ak
1.
zodpovedá asymptoticky stabilnému systému.
2.
2. Systém s reléovou charakteristikou
r=0 . Toto je špeciálny prípad charakteristiky diskutovanej vyššie.
Dostatočná podmienka pre absolútnu stabilitu - namiesto stavu (2)
3.Nelinearita typu relé
1.
- asymptoticky stabilný.
2.Im 
Absolútna stabilita procesu
Uvažujme teraz stabilitu nie stabilizačných systémov (nominálny režim - pokojový stav), ale prípad, keď je nominálny režim charakterizovaný vstupným signálom 
a výstupný signál 
, to sú obmedzený nepretržitý funkcie času.
Budeme predpokladať, že nelineárny prvok má tvar 
, Kde 
je súvislá jednohodnotová funkcia, ktorá spĺňa podmienku
tie. rýchlosť zmeny nelineárnej charakteristiky je obmedzená. Toto je pomerne prísna podmienka.
V tomto prípade zabezpečiť absolútnu stabilitu obmedzeného procesu 
,
stačí splniť podmienky6
1.
- bol asymptoticky stabilný.
2.
.
V špeciálnom prípade, keď r=0
alebo 
Teória spojená s vývojom Popovových myšlienok ešte nie je úplná, sú tu možné nové, silnejšie výsledky. Súhrn takýchto doterajších výsledkov je dostupný v Naumovovej knihe „Nelineárne automatické riadiace systémy“.
Približné metódy na štúdium nelineárnych systémov automatického riadenia
Metóda harmonickej rovnováhy
Pri štúdiu NL ACS môžete niekedy pozorovať výskyt periodických zmien výstupnej hodnoty y(t)
aj v prípadoch, keď 
Ak sa pri štúdiu samohybných zbraní obmedzíme na lineárne model s konštantnými koeficientmi, potom k uvedenému javu (prirodzené oscilácie) môže dôjsť len vtedy, ak v charakteristickej rovnici existujú čisto imaginárne korene 
.
S týmto vysvetlením však malá zmena parametrov systému „posunie“ koreň z pomyselnej osi doľava alebo doprava a prirodzené kmity buď utlmia, alebo rozkývajú. V praxi v nelineárnych systémoch pretrvávajú periodické oscilácie výstupného signálu s malými zmenami parametrov systému.
Tento druh netlmených oscilácií sa vysvetľuje nelineárnou povahou systému. Nazývajú sa samooscilácie.
Zvážte metódu harmonická rovnováha, ktorý umožňuje určiť prítomnosť alebo neprítomnosť vlastných kmitov na základe vzájomného toku fázovo-frekvenčnej odozvy lineárnej časti a charakteristík nelineárneho prvku.
Uvažujme systém s jednou slučkou, v ktorom je identifikovaný nelineárny prvok
(1)
a lineárna časť s prenosovou funkciou 
.
Predpokladaný:
1.
zodpovedá stabilnému systému,
2. nelineárna charakteristika 
- nepárny symetrický, t.j.
,
3.vstupný signál 
, t.j. Ide o stabilizačný systém.
Budeme hľadať výstupný signál y(t) ako
,
(2)
Kde 
- amplitúda vlastných oscilácií,
- frekvencia vlastných oscilácií.
A 
je potrebné určiť.
Sínusová hypotéza y(t) vyzerá svojvoľne. Budú však dané ďalšie podmienky, za ktorých sa táto hypotéza stane prirodzenou.
Pretože 
,(3)
Nechajme signál 
postupne cez nelineárny prvok a lineárnu časť a nájsť rovnice, z ktorých bude možné určiť amplitúdu 
a frekvenciu 
samooscilácie v samohybných delách NL.
Návod 
cez lineárny prvok
Pretože
-
periodická funkcia, potom signál
na výstupe nelineárneho
element
bude tiež periodická funkcia, ale odlišná od sínusoidy.
Rozsah 
Rozsah 
Ako je známe, akákoľvek periodická funkcia môže byť reprezentovaná Fourierovým radom:
(4)
Predpokladáme, že voľný člen vo vzorci (4) sa rovná nule. To sa uskutoční napríklad vtedy, keď charakteristika nelineárneho prvku spĺňa podmienku
, teda ide o nepárnu funkciu.
Tu sú Fourierove koeficienty 
A 
sú určené:
,
(5)
Transformujme (4) vynásobením a delením každého člena na pravej strane 
(6)
.
Pripomeňme si to
(8)
Teda pri prejazde signálom 
cez nelineárny prvok je na výstupe nelineárneho prvku signál 
obsahuje veľa harmonických, ktoré sú násobkami 
. (pozri obrázok vyššie).
Tok signálu 
cez lineárnu časť
Z teórie lineárnych systémov vieme, že ak je vstup lineárnej väzby s prenosovou funkciou 
, zodpovedajúci stabilnému systému, aplikujte harmonický signál v ustálenom stave, na výstupe tohto spoja bude signál;
Tu 
- modul frekvenčnej odozvy 
v bode 
,
argument 
.
Pomocou týchto vzťahov môžeme zapísať výrazy pre 
, pričom cez lineárnu časť prejdeme oddelene všetky zložky radu (8) a potom sčítame výsledné výrazy pre 
Vzhľadom na lineárnosť systému je takýto postup legálny.
Dostávame, za predpokladu 
:
Výsledný výraz (9) pre 
má pomerne zložitú štruktúru. Jeho používanie sa dá výrazne zjednodušiť filtrovať hypotézu.
Štúdiom frekvenčných charakteristík typických elementárnych jednotiek sme videli, že ich frekvenčná odozva má tendenciu k nule 
Hypotéza filtra je taká, že frekvenčná odozva na pravej strane (9) klesá so zvyšujúcou sa frekvenciou tak rýchlo, že v (9) možno brať do úvahy iba prvý člen, zodpovedajúci k=1 a zostávajúce termíny považujú za zanedbateľné. Inými slovami, hypotéza filtra je hypotéza, že lineárna časť ACS prakticky neumožňuje prechod vysokofrekvenčných oscilácií. Preto je vzorec (9) (a toto je aproximácia metódy) zjednodušený takto:
Pri uzavretí systému za predpokladu filtračnej hypotézy teda získame harmonickú rovnováhu (odtiaľ názov metódy - metóda harmonickej rovnováhy)
Pozrime sa, ako používať metóda harmonická rovnováha určiť amplitúdu A a frekvenciu 
samooscilácie.
Predstavme si koncept ekvivalentná prenosová funkcia nelineárneho prvku:
(11)
Ak 
(a to sa vyskytuje pri jednoznačných symetrických nelineárnych charakteristikách), potom
(12)
Charakteristická rovnica automatického riadiaceho systému s uzavretou slučkou (obr. 1) má tvar:
alebo frekvenčná odozva
(13)
(14)
Predstavme si
Potom sa rovnica (14) prepíše:
=
(17)
Rovnosť (14) alebo (17) je základom grafovo-analytickej metódy na určenie parametrov vlastných oscilácií A A 
.
Fázovo-frekvenčná odozva lineárnej časti je skonštruovaná na komplexnej rovine
a charakteristiky nelineárneho prvku
Ak sa krivky pretínajú, potom v ACS existujú vlastné oscilácie.
Frekvencia vlastných oscilácií v priesečníku kriviek pozdĺž 
, a amplitúda je podľa 
.
Pozrime sa bližšie na vybranú oblasť
Poznáme amplitúdu a frekvenciu bodov, ktoré sú najbližšie k priesečníku kriviek. Amplitúdu a frekvenciu v priesečníku je možné určiť napríklad rozdelením segmentu na polovicu.
Metóda harmonickej linearizácie
Toto je veľmi efektívna približná metóda na určenie periodických kmitov v NL ACS.
Pre aplikáciu metódy harmonickej linearizácie nelinearity je potrebné splniť požiadavku: lineárna časť musí mať filtračné vlastnosti, t.j. nemal by prepúšťať vysoké frekvencie.
V praxi je táto požiadavka zvyčajne splnená.
Nech existuje nelineárny prvok
(1)
Nechaj 
(2)
Potom 
(3)
Rozšírme (1) na Fourierov rad:
Pripomeňme si, že nelineárna funkcia F(X) , rozšírený do Fourierovho radu, má tvar:
,
,
,
Potom bude Fourierov rad pre našu nelinearitu vyzerať takto:
++vyššie harmonické (4)
Dajme konštantnú zložku 
Z rovnice (2): 
Z rovnice (3): 
Potom je možné rovnicu (4) prepísať:
,
V rovnici (5) zanedbávame vysoké frekvencie a toto je aproximácia metódy.
Teda nelineárny prvok at 
je nahradený linearizovaným výrazom (5), ktorý, keď je splnená hypotéza filtra lineárnej časti, nadobúda tvar:
(6)
Tento postup sa nazýva harmonická linearizácia.
Odds 
A 
pri konštantný a A 
. V dynamickom režime, keď sa menia A A 
, koeficienty 
A 
zmení sa. Toto je rozdiel medzi harmonickou linearizáciou a konvenčnou linearizáciou. (Pri konvenčnej linearizácii koeficient linearizovanej rovnice TO závisí od bodu linearizácie). Závislosť koeficientov linearizácie na A A 
umožňuje aplikovať metódy na štúdium lineárnych systémov na NL ACS (6) a analyzovať vlastnosti NL ACS, ktoré nie je možné zistiť konvenčnou linearizáciou.
Koeficienty harmonickej linearizácie
niektoré typické nelinearity
Charakteristika relé
2. Charakteristika relé s mŕtvou zónou
,
Amplitúda oscilácie 
3. Charakteristika relé s hysteréznou slučkou
,
,
4. Charakteristika relé s mŕtvou zónou a hysteréznou slučkou
,
Teraz zvážte uzavretý systém.
,
Môžeme zaviesť koncept prenosovej funkcie nelineárneho prvku
,
.
Potom charakteristická rovnica uzavretého ACS:
,
alebo
Keď v uzavretom systéme vzniknú prirodzené netlmené oscilácie konštantnej amplitúdy a frekvencie, koeficienty harmonickej linearizácie sa stanú konštantnými a automatický riadiaci systém sa stane lineárnym. A v lineárnom systéme prítomnosť periodických netlmených oscilácií naznačuje prítomnosť čisto imaginárnych koreňov.
Teda určiť periodické riešenia musia byť dosadené do charakteristickej rovnice 
. Tu 
- aktuálna frekvencia a 
- frekvencia vlastných oscilácií.
Neznáme v tejto rovnici sú 
A 
.
Izolujme skutočnú a imaginárnu časť tejto rovnice.
Uveďme si označenie frekvencie a amplitúdy požadovaného periodického riešenia: 
,
.
Dostaneme dve rovnice s dvoma neznámymi.
Vyriešením týchto rovníc zistíme 
A 
- amplitúda a frekvencia periodických riešení v NL ACS.
Pomocou týchto rovníc môžete určiť nielen 
A 
, ale aj vybudovať závislosť 
A 
, napríklad zo zisku ACS TO.
Potom, zvažovať TO premenné, píšeme:
Premýšľal TO, nájdeme 
A 
, t.j. 
A 
Dá sa vybrať TO takže
1.
to by nestačilo
2.
bolo by to neškodné pre samohybné zbrane,
3. nenastali by žiadne samooscilácie.
Použitím rovnakých rovníc je možné v rovine dvoch parametrov (napr. T A TO) zostrojte čiary rovnakých hodnôt amplitúdy a frekvencie vlastných oscilácií. Pre túto rovnicu prepíšeme:
Určenie číselných hodnôt 
, dostaneme 
A 
Z týchto grafov si môžete vybrať T A TO.
Stanovenie stability riešení v nelineárnych systémoch automatického riadenia
Vlastné oscilácie v NL ACS musia zodpovedať stabilným periodickým riešeniam. Preto po zistení amplitúdy 
a frekvencie 
periodické riešenia, je potrebné skúmať ich stabilitu.
Uvažujme o približnej metóde štúdia stability periodických riešení v NL ACS pomocou Michajlovho hodografu.
Nech NL samohybné delá
,
.
- získané metódou harmonickej linearizácie.
Charakteristická rovnica uzavretého systému
Zapíšme si rovnicu charakteristickej krivky (Michajlovov hodograf), ktorú do nej dosadíme 
.
- aktuálna hodnota frekvencie pozdĺž Michajlovho hodografu,
- frekvencia harmonickej linearizácie (vlastné oscilácie).
Potom za každú danú vec trvalé
A 
Michajlovova krivka bude mať rovnaký tvar ako pre bežné lineárne systémy.
Pre periodické riešenia zodpovedajúce 
A 
, Michajlovov hodograf prejde počiatkom súradníc (keďže systém je na hranici stability).
Na určenie stability periodických riešení uvádzame 
prírastok 
Ak pri 
Michajlovova krivka zaujme polohu 1 a kedy
- poloha 2, potom je periodické riešenie stabilné.
Ak pri 
krivka zaujme polohu 2 a kedy 
- poloha 1, potom je periodické riešenie nestabilné.
Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár
Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Štátna technická univerzita v Novosibirsku
Katedra elektrického pohonu a automatizácie priemyselných inštalácií
KURZOVÁ PRÁCA
v odbore "Teória automatického riadenia"
Analýza nelineárnych automatických riadiacich systémov
Študent: Tishininov Yu.S.
Skupina Ema-71
Vedúci kurzu
ZADANIE KURZU:
1. Preskúmajte automatický riadiaci systém s daným štruktúrnym diagramom, typom nelinearity a numerickými parametrami pomocou metódy fázovej roviny.
1.1 Skontrolujte výsledky výpočtu pre bod 1 pomocou konštrukčného modelovania.
1.2 Skúmajte vplyv vstupného vplyvu a parametrov nelinearity na dynamiku systému.
2. Preskúmajte automatický riadiaci systém s daným štruktúrnym diagramom, typom nelinearity a numerickými parametrami pomocou metódy harmonickej linearizácie.
2.1 Skontrolujte výsledky výpočtu pre bod 2 pomocou konštrukčného modelovania.
2.2 Skúmať vplyv vstupného vplyvu a parametrov nelinearity na dynamiku systému
1. Študujeme automatický riadiaci systém s daným štruktúrnym diagramom, typom nelinearity a numerickými parametrami metódou fázovej roviny.
Možnosť č. 4-1-a
Počiatočné údaje.
1) Bloková schéma nelineárneho automatického riadiaceho systému:
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Systém, v ktorom sú pracovné a kontrolné operácie vykonávané technickými zariadeniami, sa nazýva automatický riadiaci systém (ACS).
Bloková schéma nazývané grafické znázornenie matematického popisu systému.
Prepojenie v blokovej schéme je znázornené ako obdĺžnik označujúci vonkajšie vplyvy a v ňom je zapísaná prenosová funkcia.
Súbor väzieb spolu s komunikačnými linkami, ktoré charakterizujú ich interakciu, tvorí štruktúrny diagram.
2) Parametre blokového diagramu:
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Metóda fázovej roviny
Správanie sa nelineárneho systému v akomkoľvek časovom okamihu je určené riadenou premennou a jej (n?1) deriváciou, ak sú tieto veličiny vynesené pozdĺž súradnicových osí, potom sa výsledný n-rozmerný priestor nazýva fázový priestor. Stav systému v každom časovom okamihu bude určený vo fázovom priestore reprezentujúcim bodom. Počas prechodného procesu sa reprezentujúci bod pohybuje vo fázovom priestore. Dráha jeho pohybu sa nazýva fázová trajektória. V ustálenom stave je zobrazovací bod v pokoji a nazýva sa singulárny bod. Súbor fázových trajektórií pre rôzne počiatočné podmienky spolu so singulárnymi bodmi a trajektóriami sa nazýva fázový portrét systému.
Pri štúdiu nelineárneho systému pomocou tejto metódy je potrebné previesť blokovú schému (obr. 1.1) do tvaru:
Znamienko mínus znamená, že spätná väzba je negatívna.
kde X 1 a X 2 sú výstupné a vstupné veličiny lineárnej časti systému.
Poďme nájsť diferenciálnu rovnicu systému:
Potom urobíme náhradu
Vyriešme túto rovnicu pre najvyššiu deriváciu:
Predpokladajme, že:
Rozdeľme rovnicu (1.2) rovnicou (1.1) a získame nelineárnu diferenciálnu rovnicu fázovej trajektórie:
kde x 2 = f(x 1).
Ak tento DE vyriešite izoklinovou metódou, môžete zostrojiť fázový portrét systému pre rôzne počiatočné podmienky.
Izoklina je geometrické umiestnenie bodov fázovej roviny, ktorú fázová trajektória pretína pod rovnakým uhlom.
Pri tejto metóde je nelineárna charakteristika rozdelená na lineárne úseky a pre každý z nich je napísaný lineárny DE.
Na získanie izoklinovej rovnice sa pravá strana rovnice (1.3) rovná konštantnej hodnote N a rieši sa relatívne.
Ak vezmeme do úvahy nelinearitu, dostaneme:
Zadaním hodnôt N v rozsahu od do sa skonštruuje rodina izoklinál. Na každej izokline je nakreslená pomocná priamka pod uhlom k osi x
kde m X je mierka pozdĺž osi x;
m Y - mierka pozdĺž osi y.
Zvoľte m X = 0,2 jednotiek/cm, m Y = 40 jednotiek/cm;
Konečný vzorec pre uhol je:
Vypočítajme rodinu izoklinál a uhol pre oblasť, zhrňme výpočet v tabuľke 1:
stôl 1
Vypočítajme rodinu izoklinál a uhol pre oblasť, zhrňme výpočet v tabuľke 2:
tabuľka 2
Vypočítajme rodinu izoklinál a uhol pre oblasť, zhrňme výpočet v tabuľke 3:
Tabuľka 3
Zostavme fázovú trajektóriu
Na tento účel sa vyberú počiatočné podmienky na jednej z izoklinál (bod A), z bodu A sa nakreslia dve priame čiary, až kým sa nepretnú s ďalšou izoklinou v uhloch b 1, b 2, kde b 1, b 2? respektíve uhly prvej a druhej izokliny. Segment odrezaný týmito čiarami je rozdelený na polovicu. Z výsledného bodu, stredu segmentu, sú opäť nakreslené dve čiary v uhloch b 2, b 3 a opäť je segment rozdelený na polovicu atď. Výsledné body sú spojené hladkou krivkou.
Pre každý lineárny úsek nelineárnej charakteristiky sú zostrojené rodiny izoklinál a sú od seba oddelené prepínacími čiarami.
Fázová trajektória ukazuje, že bol získaný špeciálny bod stabilného typu zaostrenia. Môžeme konštatovať, že v systéme nie sú žiadne vlastné oscilácie a proces prechodu je stabilný.
1.1 Skontrolujeme výsledky výpočtov pomocou štrukturálneho modelovania v programe MathLab
Štrukturálna schéma:
Fázový portrét:
Prechodný proces so vstupnou akciou rovnou 2:
Xout.max = 1,6
1.2 Študujeme vplyv vstupného vplyvu a parametrov nelinearity na dynamiku systému
Zvýšime vstupný signál na 10:
Xout.max = 14,3
Treg = 0,055
X von max = 103
Treg = 0,18
Zvýšime zónu citlivosti na 15:
Xout.max = 0,81
Znížme zónu citlivosti na 1:
Xout.max = 3,2
Výsledky simulácie potvrdili výsledky výpočtu: z obrázku 1.7 je zrejmé, že proces je konvergentný, v systéme nie sú žiadne vlastné oscilácie. Fázový portrét simulovaného systému je podobný vypočítanej výpočtovej ceste.
Po preštudovaní vplyvu vstupného vplyvu a parametrov nelinearity na dynamiku systému môžeme vyvodiť tieto závery:
1) so zvyšovaním vstupného vplyvu sa zvyšuje úroveň ustáleného stavu, počet kmitov sa nemení a čas riadenia sa zvyšuje.
2) ako sa mŕtva zóna zvyšuje, úroveň ustáleného stavu sa zvyšuje, počet kmitov tiež zostáva nezmenený a čas ovládania sa zvyšuje.
2. Študujeme automatický riadiaci systém s daným štruktúrnym diagramom, typom nelinearity a numerickými parametrami metódou harmonickej linearizácie.
Možnosť č. 5-20-c
Počiatočné údaje.
1) Bloková schéma:
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
2) Hodnoty parametrov:
3) Typ a parametre nelinearity:
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Najpoužívanejšou metódou na štúdium nelineárnych systémov automatického riadenia vysokého rádu (n > 2) je približná metóda harmonickej linearizácie pomocou frekvenčných reprezentácií vyvinutá v teórii lineárnych systémov.
Hlavná myšlienka metódy je nasledovná. Nech uzavretý autonómny (bez vonkajších vplyvov) nelineárny systém pozostáva zo sériovo zapojeného nelineárneho NC bez zotrvačnosti a stabilnej alebo neutrálnej lineárnej časti LC (obrázok 2.3, a)
u=0 x z Х=Х m sinwt z y
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
y = Y m 1 sin (hmotnosť +)
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Pre posúdenie možnosti existencie monoharmonických netlmených kmitov v tomto systéme sa predpokladá, že na vstupe nelineárneho spoja pôsobí harmonický sínusový signál x(t) = X m sinwt (obr. 2.3b). V tomto prípade signál na výstupe nelineárneho spoja z(t) = z obsahuje spektrum harmonických zložiek s amplitúdami Z m 1, Z m 2, Z m 3 atď. a frekvencie w, 2w, 3w atď. Predpokladá sa, že tento signál z(t), prechádzajúci cez lineárnu časť W l (jw), je ním filtrovaný do takej miery, že v signáli na výstupe lineárnej časti y(t) sú všetky vyššie harmonické Y m. 2, Ym3 atď. a predpokladať, že
y(t)Y m 1 sin(hm +)
Posledný predpoklad sa nazýva hypotéza filtra a splnenie tejto hypotézy je nevyhnutnou podmienkou harmonickej linearizácie.
Podmienka ekvivalencie pre obvody znázornené na obr. 2.3, aab, možno formulovať ako rovnosť
x(t) + y(t) = 0(1)
Keď je hypotéza filtra y(t) = Y m 1 sin(wt +) splnená, rovnica (1) sa rozdelí na dve
Rovnice (2) a (3) sa nazývajú rovnice harmonickej rovnováhy; prvý z nich vyjadruje rovnováhu amplitúd a druhý - rovnováhu fáz harmonických kmitov.
Aby teda v uvažovanom systéme existovali netlmené harmonické oscilácie, musia byť splnené podmienky (2) a (3), ak je splnená hypotéza filtra.
Využime Goldfarbovu metódu na grafické vyriešenie charakteristickej rovnice tvaru
W LCH (p) W NE (A) +1 = 0
W LCH (jw) W NE (A) = -1
Na približné určenie vlastných oscilácií sa skonštruuje fázovo-frekvenčná odozva lineárnej časti systému a inverzná negatívna charakteristika nelineárneho prvku.
Na zostrojenie AFC odozvy lineárnej časti transformujeme blokovú schému do tvaru obr. 2.4:
Výsledkom transformácie je diagram na obr. 2.5:
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Uverejnené na http://www.allbest.ru/
Nájdite prenosovú funkciu lineárnej časti systému:
Zbavme sa iracionality v menovateli vynásobením čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa, dostaneme:
Rozdeľme výsledok na imaginárnu a reálnu časť:
Na vytvorenie inverznej negatívnej charakteristiky nelineárneho prvku použijeme vzorec:
Parametre nelinearity:
A je amplitúda za predpokladu, že.
AFC odozva lineárnej časti systému a inverzná negatívna charakteristika nelineárneho prvku sú uvedené na obr. 2.6:
Na určenie stability vlastných oscilácií používame nasledujúcu formuláciu: ak bod zodpovedajúci zvýšenej amplitúde v porovnaní s priesečníkom nie je pokrytý frekvenčnou charakteristikou lineárnej časti systému, potom sú vlastné oscilácie stabilné . Ako je vidieť na obrázku 2.6, riešenie je stabilné, preto v systéme vznikajú samooscilácie.
2.1 Skontrolujeme výsledky výpočtov pomocou štrukturálneho modelovania v programe MathLab.
Obrázok 2.7: Bloková schéma
Prechodný proces so vstupnou akciou rovnou 1 (obrázok 2.8):
automatické riadenie nelineárne harmonické
Ako je možné vidieť z grafu, dochádza k samooscilácii. Overme si vplyv nelinearity na stabilitu systému.
2.2 Preštudujme si vplyv vstupného vplyvu a parametrov nelinearity na dynamiku systému.
Zvýšime vstupný signál na 100:
Zvýšime vstupný signál na 270
Znížime vstupný signál na 50:
Zvýšime saturáciu na 200:
Znížime saturáciu na 25:
Znížime saturáciu na 10:
Výsledky simulácie jednoznačne nepotvrdili výsledky výpočtu:
1) V systéme sa vyskytujú vlastné oscilácie a zmeny saturácie ovplyvňujú amplitúdu oscilácií.
2) So zvyšujúcim sa vstupným vplyvom sa mení hodnota výstupného signálu a systém smeruje k stabilnému stavu.
ZOZNAM POUŽITÝCH ZDROJOV:
1. Zbierka úloh z teórie automatickej regulácie a riadenia. Ed. V.A. Besekersky, piate vydanie, prepracované. - M.: Nauka, 1978. - 512 s.
2. Teória automatického riadenia. Časť II. Teória nelineárnych a špeciálnych systémov automatického riadenia. Ed. A.A. Učebnica manuál pre univerzity. - M.: Vyššie. škola, 1977. - 288 s.
3. Topcheev Yu.I. Atlas pre návrh automatických riadiacich systémov: učebnica. príspevok. ? M.: Strojárstvo, 1989. ? 752 str.
Uverejnené na Allbest.ru
Podobné dokumenty
Nelineárne systémy opísané nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami. Metódy analýzy nelineárnych systémov: po častiach lineárna aproximácia, harmonická linearizácia, fázová rovina, štatistická linearizácia. Použitie kombinácie metód.
abstrakt, pridaný 21.01.2009
Analýza stability automatického riadiaceho systému (ACS) pomocou Nyquistovho kritéria. Štúdia stability ACS na základe amplitúdovo-fázovo-frekvenčných charakteristík AFC a logaritmických charakteristík. Nástroje na ovládanie systému sledovania prístrojov.
kurzová práca, pridaná 11.11.2009
Analýza blokovej schémy daného automatického riadiaceho systému. Základné podmienky stability Hurwitzovho a Nyquistovho kritéria. Syntéza ako výber štruktúry a parametrov systému na uspokojenie vopred stanovených požiadaviek. Koncept udržateľnosti.
kurzová práca, pridané 1.10.2013
Štúdium režimov automatického riadiaceho systému. Stanovenie prenosovej funkcie systému s uzavretou slučkou. Konštrukcia logaritmických amplitúdových a fázových frekvenčných charakteristík. Syntéza systému "objekt-regulátor", výpočet optimálnych parametrov.
kurzová práca, pridané 17.06.2011
Návrh uzavretého, jednorozmerného, stacionárneho, servoautomatického riadiaceho systému s určením parametrov korekčného zariadenia, ktoré zabezpečuje stanovené požiadavky na kvalitu regulácie. Analýza systému s prihliadnutím na nelineárnosť mysle.
kurzová práca, pridané 18.01.2011
Štruktúra uzavretého lineárneho spojitého automatického riadiaceho systému. Analýza prenosovej funkcie spätnoväzbového systému. Štúdium lineárnych impulzných, lineárnych spojitých a nelineárnych spojitých automatických riadiacich systémov.
test, pridané 16.01.2011
Rovnice spojov štruktúrneho diagramu ACS. Analýza lineárneho spojitého automatického riadiaceho systému. Kritériá stability. Indikátory kvality prechodných procesov pri modelovaní na počítači. Syntéza sekvenčného korekčného zariadenia.
test, pridané 19.01.2016
Návrh blokovej schémy elektromechanického reléového servopohonu. Zostavenie diferenciálnych rovníc uzavretého nelineárneho automatického riadiaceho systému, zostrojenie jeho fázového portrétu. Harmonická linearizácia nelinearity.
kurzová práca, pridané 26.02.2014
Diskrétne automatické riadiace systémy ako systémy obsahujúce prvky, ktoré premieňajú spojitý signál na diskrétny. Pulzný prvok (IE), jeho matematický popis. Digitálny automatický riadiaci systém, metódy jeho výpočtu.
abstrakt, pridaný 18.08.2009
Vykonávanie syntézy a analýzy sledovacieho automatického riadiaceho systému pomocou LFC a LFFC. Určenie typov väzieb systémových prenosových funkcií a stability okrajových parametrov. Výpočet štatistických a logaritmických charakteristík systému.
2.7.3.1. Exaktné metódy na štúdium nelineárnych systémov
1. Priama Lyapunovova metóda. Vychádza z Ljapunovovej vety o stabilite nelineárnych systémov. Ako výskumný aparát sa používa Ljapunovova funkcia, čo je znamienkovo definitná funkcia súradníc systému, ktorá má aj znamienkovo definitívnu deriváciu v čase. Aplikácia metódy je limitovaná jej zložitosťou.
2. Popovova metóda (rumunský vedec) je jednoduchšia, ale je vhodná len pre niektoré špeciálne prípady.
3. Metóda založená na lineárnej aproximácii po častiach. Charakteristiky jednotlivých nelineárnych väzieb sú rozdelené do niekoľkých lineárnych úsekov, v rámci ktorých sa problém ukáže ako lineárny a dá sa celkom jednoducho vyriešiť.
Metódu je možné použiť, ak je počet úsekov, na ktoré je nelineárna charakteristika rozdelená, malý (reléové charakteristiky). S veľkým počtom oblastí je to ťažké. Riešenie je možné len s pomocou počítača.
4. Metóda fázového priestoru. Umožňuje študovať systémy s nelinearitami ľubovoľného typu, ako aj s niekoľkými nelinearitami. Súčasne sa vo fázovom priestore vytvára takzvaný fázový portrét procesov prebiehajúcich v nelineárnom systéme. Podľa vzhľadu fázového portrétu je možné posúdiť stabilitu, možnosť samooscilácií a presnosť v ustálenom stave. Rozmer fázového priestoru sa však rovná rádu diferenciálnej rovnice nelineárneho systému. Aplikácia pre systémy vyššie ako druhého rádu je prakticky nemožná.
5. Na analýzu náhodných procesov môžete použiť matematický aparát teórie Markovových náhodných procesov. Zložitosť metódy a schopnosť riešiť Fokker-Planckovu rovnicu, ktorá sa pri analýze vyžaduje len pre rovnice prvého a v niektorých prípadoch aj druhého rádu, však obmedzuje jej použitie.
Aj keď presné metódy na analýzu nelineárnych systémov umožňujú získať presné a správne výsledky, sú veľmi zložité, čo obmedzuje ich praktické použitie. Tieto metódy sú dôležité z čisto vedeckého, kognitívneho, výskumného hľadiska, a preto ich možno zaradiť medzi čisto akademické metódy, ktorých praktická aplikácia na reálne zložité systémy nedáva zmysel.
2.7.3.2. Približné metódy na štúdium nelineárnych systémov
Zložitosť a obmedzenia praktickej aplikácie exaktných metód na analýzu nelineárnych systémov viedli k potrebe vyvinúť približné a jednoduchšie metódy na štúdium týchto systémov. Približné metódy umožňujú v mnohých praktických prípadoch celkom jednoducho získať transparentné a ľahko viditeľné výsledky analýzy nelineárnych systémov. Približné metódy zahŕňajú:
1. Metóda harmonickej linearizácie, založená na nahradení nelineárneho prvku jeho lineárnym ekvivalentom, a ekvivalencia sa dosiahne pre určitý pohyb systému, ktorý je blízky harmonickému. To umožňuje celkom jednoducho preskúmať možnosť výskytu samokmitov v riadiacom systéme. Metódu je však možné použiť aj na štúdium prechodných procesov nelineárnych systémov.
2. Metóda štatistickej linearizácie je tiež založená na nahradení nelineárneho prvku jeho lineárnym ekvivalentom, ale keď sa systém pohybuje pod vplyvom náhodných porúch. Metóda umožňuje relatívne jednoducho študovať správanie sa nelineárneho systému pri náhodných vplyvoch a nájsť niektoré jeho štatistické charakteristiky.
Metóda harmonickej linearizácie
Aplikujme na nelineárne systémy opísané diferenciálnou rovnicou ľubovoľného rádu. Uvažujme to len vo vzťahu k výpočtu vlastných kmitov v automatickom riadiacom systéme. Rozdeľme riadiaci systém na lineárnu a nelineárnu časť (obr. 7.2) s prenosovými funkciami, resp.
Pre lineárny odkaz:
Nelineárne prepojenie môže mať nelineárne závislosti formulára:
atď. Obmedzme sa na závislosť formy:
Ryža. 7.2. Smerom k metóde harmonickej linearizácie
Položme si problém štúdia vlastných oscilácií v tomto nelineárnom systéme. Presne povedané, vlastné oscilácie budú nesínusové, budeme však predpokladať, že pre premennú X majú blízko k harmonickej funkcii. To je odôvodnené skutočnosťou, že lineárna časť (7.1) je spravidla dolnopriepustný filter (LPF). Preto lineárna časť oneskorí vyššie harmonické obsiahnuté v premennej r. Tento predpoklad sa nazýva hypotéza filtra. V opačnom prípade, ak je lineárnou časťou hornopriepustný filter (HPF), metóda harmonickej linearizácie môže poskytnúť chybné výsledky.
Nech Nahradením do (7.2) rozšírime (7.2) na Fourierov rad:
Predpokladajme, že v požadovaných kmitoch nie je konštantná zložka, t.j.
Táto podmienka je splnená vždy, keď je nelineárna charakteristika symetrická vzhľadom na počiatok súradníc a na nelineárne prepojenie nepôsobí žiadny vonkajší vplyv.
Tak sme to akceptovali.
V písomnej expanzii urobíme náhradu a zahodíme všetky vyššie harmonické série, keďže sú odfiltrované. Potom pre nelineárne spojenie získame približný vzorec
kde a sú koeficienty harmonickej linearizácie určené pomocou vzorcov rozšírenia Fourierovej série:
Nelineárna rovnica (7.2) je teda nahradená približnou rovnicou pre prvú harmonickú (7.3), podobnou lineárnej rovnici. Jeho zvláštnosťou je, že koeficienty rovnice závisia od požadovanej amplitúdy vlastných oscilácií. Vo všeobecnom prípade, pri zložitejšej závislosti (7.2), budú tieto koeficienty závisieť od amplitúdy aj frekvencie.
Vykonaná operácia nahradenia nelineárnej rovnice približnou lineárnou rovnicou sa nazýva harmonická linearizácia a koeficienty (7.4), (7.5) sa nazývajú koeficienty harmonického prenosu nelineárneho spojenia.
Z (7.3) vyplýva, že pre uvažovaný systém je prenosová funkcia nelineárneho spojenia:
Ak vezmeme do úvahy (7.1) a (7.3), získame prenosovú funkciu systému s otvorenou slučkou:
a charakteristická rovnica uzavretého systému:
Dosadením do (7.6) nájdeme frekvenčnú prenosovú funkciu systému s otvorenou slučkou:
Nezávisí od [pozri (7,8)].
Modul ekvivalentnej prenosovej funkcie nelineárneho spojenia je určený vzorcom:
a rovná sa pomeru amplitúdy prvej harmonickej na jej výstupe k amplitúde vstupnej hodnoty. Argument funkcie frekvenčného prenosu nelineárneho spojenia sa rovná:
Dá sa ukázať, že pre nelineárne väzby s jednoznačnými a symetrickými vzhľadom na pôvod súradníc charakteristiky, ktoré nemajú hysterézne slučky, sú teda čisto skutočné a
Často sa používa inverzná funkcia ekvivalentnej prenosovej funkcie nelineárneho spojenia:
nazývaná ekvivalentná impedancia nelineárneho spojenia. Jeho použitie je vhodné pri výpočte vlastných oscilácií pomocou Nyquistovho kritéria. Ako príklad použitia metódy harmonickej linearizácie uvažujme reléovú charakteristiku trojpolohového relé bez hysteréznej slučky (obr. 7.3). Ako je možné vidieť z obr. 7.3 je statická charakteristika symetrická vzhľadom na počiatok súradníc, teda . Preto je potrebné nájsť koeficient iba pomocou vzorca (7.4). Aby sme to dosiahli, aplikujeme na vstup väzby sínusovú funkciu a zostrojíme y(t) (obr. 7.4).
Ryža. 7.3. Statická charakteristika trojpolohovej
relé bez hysteréznej slučky
Ako je možné vidieť z obr. 7.4, s
Fázový uhol zodpovedajúci x 1 = b sa rovná arcsin (b/a) (obr. 7.4).
Berúc do úvahy symetriu integrandu a v súlade s (7.4), máme:
Pretože , potom máme konečne:
Podobným spôsobom je možné vykonať harmonickú linearizáciu iných nelineárnych väzieb. Výsledky linearizácie sú uvedené v , .
Ako je uvedené vyššie, metóda harmonickej linearizácie je vhodná na analýzu možnosti výskytu režimu vlastnej oscilácie v nelineárnom systéme a na určenie jeho parametrov. Na výpočet vlastných oscilácií sa používajú rôzne kritériá stability. Najjednoduchším a najzrejmejším spôsobom je použiť Nyquistovo kritérium. Nyquistovo kritérium je vhodné použiť najmä v prípade, že existuje nelineárna závislosť tvaru a ekvivalentná prenosová funkcia nelineárneho spojenia závisí len od amplitúdy vstupného signálu.
Ryža. 7.4. Príklad linearizácie reléovej charakteristiky
Podmienky pre vznik samokmitov: objavenie sa dvojice čisto imaginárnych koreňov v roztoku (7.7) a všetky ostatné korene ležia v ľavej polrovine (spojenie s bodom –1,j0).
Dajme rovnítko (7,7) mínus jedna:
Na vyriešenie (7.12) nastavíme rôzne hodnoty a zostrojíme AFC. Pri a = A AFC prejde bodom (-1,j0), čo zodpovedá absencii stabilizačných rezerv.
Frekvencia a zodpovedá frekvencii a amplitúde požadovaného harmonického kmitania: (obr. 7.5).
Podobným spôsobom je možné nájsť periodické riešenie pre nelineárne závislosti akéhokoľvek typu, čo vedie najmä k tomu, že ekvivalentná prenosová funkcia nelineárneho prvku závisí nielen od amplitúdy, ale aj od frekvencie. Ak sa obmedzíme na uvažovanie o nelineárnej závislosti formy , potom sa proces hľadania periodického režimu môže zjednodušiť.
Ryža. 7.5. Podmienka pre výskyt samooscilácií
Napíšme rovnicu (7.12) v tvare:
Pozri (7.11). (7,13)
Vzťah (7.13) sa dá jednoducho vyriešiť graficky. Na tento účel je potrebné samostatne zostrojiť AFC a inverznú AFC branú s opačným znamienkom. Priesečník dvoch AFC určuje riešenie (7.13). Frekvencia periodického režimu zistíme podľa frekvenčných značiek na grafe a amplitúdu podľa značiek amplitúdy na grafe (obr. 7.6).
Nájdený periodický režim však zodpovedá samoosciláciám len vtedy, keď je stabilný v tom zmysle, že tento režim môže v systéme existovať neobmedzene dlhý čas. Stabilita periodického režimu môže byť určená nasledovne.
Predpokladajme, že lineárna časť systému v otvorenom stave je stabilná alebo neutrálna. Dajme amplitúde A nejaký kladný prírastok A. Potom sa zvýši, teda bude klesať. V dôsledku toho klesá, a preto sa ešte viac vzďaľuje od bodu (-1,j0). A klesá a bude mať tendenciu k 0. Podobne, ak A dostane záporný prírastok - A. Potom sa zníži, preto sa zvýši, zvýši sa, a preto sa zvýši amplitúda, pretože AFC sa priblíži k bodu (-1,j0) (zníženie marže stability).
Ryža. 7.6. Podmienka vzniku samokmitov pri nelineárnom
závislosti typu
V dôsledku toho každá náhodná odchýlka A zmení systém takým spôsobom, že amplitúda obnoví svoju hodnotu. To zodpovedá stabilite periodického režimu, ktorý zodpovedá vlastným osciláciám.
Kritérium stability pre periodický režim tu vychádza zo skutočnosti, že časť krivky zodpovedajúca menším amplitúdam je pokrytá AFC lineárnej časti systému, čo zodpovedá prítomnosti jedného priesečníka charakteristiky s záporná časť osi reálnych hodnôt (pozri obr. 7.6).
Keď AFC systému s otvorenou slučkou prekročí zápornú časť osi reálnych hodnôt dvakrát, je možné, aby AFC prešiel bodom (-1,j0) pre dve hodnoty a (obr. 7.7).
Dva priesečníky zodpovedajú dvom možným periodickým riešeniam s parametrami a . Podobne ako to bolo urobené vyššie, môžete sa uistiť, že prvý bod zodpovedá nestabilnému režimu periodických oscilácií a druhý stabilnému režimu, t.j. vlastné oscilácie (obr. 7.8).
V zložitejších prípadoch, keď je povedzme nestabilný, je možné určiť stabilitu výsledného periodického režimu zvážením umiestnenia AFC systému s otvorenou slučkou. Spoločné tu zostáva, že na dosiahnutie stability periodického režimu je potrebné, aby kladné zvýšenie amplitúdy viedlo ku konvergentným procesom v systéme a záporné k divergentným.
Pri absencii možných periodických režimov blízkych harmonickej v systéme, čo je odhalené vyššie uvedeným výpočtom, existuje veľa rôznych možností pre správanie systému. Avšak v systémoch, ktorých lineárna časť má vlastnosť potláčať vyššie harmonické, najmä v takých systémoch, kde pre niektoré parametre existuje periodické riešenie, ale pre iné nie, existuje dôvod domnievať sa, že pri absencii periodického riešenia systém bude byť stabilný vzhľadom na rovnovážny stav. V tomto prípade možno stabilitu rovnovážneho stavu posúdiť požiadavkou, že keď je lineárna časť v otvorenom stave stabilná alebo neutrálna, jej AFC neprekrýva hodograf.
Metóda štatistickej linearizácie nelineárnych charakteristík
Na vyhodnotenie štatistických charakteristík nelineárnych systémov môžete použiť metódu štatistickej linearizácie založenú na nahradení nelineárnej charakteristiky lineárnou, ktorá je v určitom zmysle štatistiky ekvivalentná pôvodnej nelineárnej charakteristike.
Nahradenie nelineárnej transformácie lineárnou je približné a môže byť spravodlivé len v niektorých ohľadoch. Preto pojem štatistickej ekvivalencie, na základe ktorého sa takáto náhrada robí, nie je jednoznačný a je možné formulovať rôzne kritériá pre štatistickú ekvivalenciu nelineárnej a lineárnej transformácie, ktorá ju nahrádza.
V prípade, že nelineárna závislosť tvaru (7.2) bez zotrvačnosti je podrobená linearizácii, zvyčajne sa uplatňujú tieto kritériá štatistickej ekvivalencie:
Prvý vyžaduje rovnosť matematických očakávaní a rozptylov procesov a kde je výstupná hodnota ekvivalentného linearizovaného spojenia a je výstupná hodnota nelineárneho spojenia;
Druhý vyžaduje minimalizáciu strednej štvorce rozdielu medzi procesmi na výstupe nelineárnych a linearizovaných prvkov.
Uvažujme o linearizácii pre prípad použitia prvého kritéria. Nahraďte nelineárnu závislosť (7.2) lineárnou charakteristikou (7.14), ktorá má rovnaké matematické očakávania a rozptyl ako tie, ktoré sú k dispozícii na výstupe nelineárnej väzby s charakteristikou (7.2). Pre tento účel uvádzame (7.14) v tvare: , kde je centrovaná náhodná funkcia.
Podľa zvoleného kritéria musia koeficienty a spĺňať nasledujúce vzťahy:
Z (7.15) vyplýva, že štatistická ekvivalencia nastáva, ak
Okrem toho sa znamienko musí zhodovať so znamienkom derivácie nelineárnej charakteristiky F( X).
Veličiny sa nazývajú štatistické koeficienty linearizácie. Na ich výpočet potrebujete poznať signál na výstupe nelineárneho spojenia:
kde je hustota pravdepodobnosti rozdelenia náhodného signálu na vstupe nelineárneho spojenia.
Pre druhé kritérium sa štatistické koeficienty linearizácie volia tak, aby sa zabezpečilo minimum stredného štvorcového rozdielu medzi procesmi na výstupe nelineárneho a linearizovaného spojenia, t.j. zabezpečiť rovnosť
Koeficienty štatistickej linearizácie, ako vyplýva z (7.16), (7.17) a (7.18), závisia nielen od charakteristík nelineárneho spojenia, ale aj od distribučného zákona signálu na jeho vstupe. V mnohých praktických prípadoch možno predpokladať, že distribučný zákon tejto náhodnej premennej je Gaussovský (normálny), opísaný výrazom
Vysvetľuje to skutočnosť, že nelineárne spojenia v riadiacich systémoch sú zapojené do série s lineárnymi inerciálnymi prvkami, ktorých distribučné zákony sú výstupné signály blízke gaussovskej pre akékoľvek distribučné zákony ich vstupných signálov. Čím je sústava inerciálnejšia, tým je distribučný zákon výstupného signálu bližšie ku gaussovskej, t.j. inerciálne zariadenia systému vedú k obnoveniu Gaussovho rozdelenia, narušeného nelineárnymi väzbami. Okrem toho zmeny v distribučnom zákone v širokom malom rozsahu ovplyvňujú koeficienty štatistickej linearizácie. Preto sa predpokladá, že signály na vstupe nelineárnych prvkov sú distribuované podľa Gaussovho zákona.
V tomto prípade koeficienty a závisia iba od signálu na vstupe nelineárneho spojenia, preto pre typické nelineárne charakteristiky môžu byť koeficienty a koeficienty vypočítané vopred, čo výrazne zjednodušuje výpočty systémov pomocou metódy štatistickej linearizácie. Pre zákon normálneho rozdelenia a typické nelineárne väzby pri výpočte nelineárnych systémov môžete použiť údaje uvedené v.
Aplikácia metódy štatistickej linearizácie na analýzu
stacionárne režimy a zlyhanie sledovania
Schopnosť nahradiť charakteristiky nelineárnych väzieb lineárnymi závislosťami umožňuje použitie metód vyvinutých pre lineárne systémy pri analýze nelineárnych systémov. Aplikujme metódu štatistickej linearizácie na analýzu stacionárnych režimov v systéme znázornenom na obr. 7,9,
kde F(e) je statická charakteristika nelineárneho prvku (diskriminátora);
W(p) – prenosová funkcia lineárnej časti systému.
Úlohou analýzy je posúdiť vplyv charakteristík diskriminátora na presnosť systému a určiť podmienky, za ktorých je normálna prevádzka systému narušená a sledovanie zlyhá.
Pri analýze presnosti činnosti vzhľadom na nenáhodnú zložku signálu g(t) je nelineárny prvok F(e) podľa metódy štatistickej linearizácie nahradený lineárnou väzbou s koeficientom prenosu . Dynamická chyba, ako je uvedené vyššie, sa nachádza podľa vzorca:
Príklad nájdenia a , ako aj určenie podmienky zlyhania sledovania je uvedený v.
Samotestovacie otázky
1. Vymenujte približné metódy analýzy nelineárnych systémov.
2. Čo je podstatou metódy harmonickej linearizácie?
3. Čo je podstatou metódy štatistickej linearizácie?
4. Pre ktoré nelineárne spojenia platí q¢ (a) = 0?
5. Aké kritériá štatistickej ekvivalencie poznáte?
"Teória automatického riadenia"
"Metódy na štúdium nelineárnych systémov"
1. Metóda diferenciálnych rovníc
Diferenciálnu rovnicu uzavretého nelineárneho systému n-tého rádu (obr. 1) možno transformovať na sústavu n-diferenciálnych rovníc prvého rádu v tvare:
kde: – premenné charakterizujúce správanie systému (jedna z nich môže byť riadená premenná); – nelineárne funkcie; u – vplyv nastavenia.
Tieto rovnice sú zvyčajne napísané v konečných rozdieloch:
kde sú počiatočné podmienky.
Ak odchýlky nie sú veľké, potom je možné tento systém riešiť ako systém algebraických rovníc. Riešenie je možné znázorniť graficky.
2. Metóda fázového priestoru
Uvažujme prípad, keď je vonkajší vplyv nulový (U = 0).
Pohyb systému je určený zmenou jeho súradníc – ako funkcia času. Hodnoty kedykoľvek charakterizujú stav (fázu) systému a určujú súradnice systému s n-osiami a môžu byť reprezentované ako súradnice niektorého (reprezentujúceho) bodu M (obr. 2).
Fázový priestor je súradnicový priestor systému.
Ako sa mení čas t, bod M sa pohybuje po trajektórii nazývanej fázová trajektória. Ak zmeníme počiatočné podmienky, dostaneme rodinu fázových trajektórií nazývanú fázový portrét. Fázový portrét určuje povahu procesu prechodu v nelineárnom systéme. Fázový portrét má špeciálne body, ku ktorým smerujú alebo sa vzďaľujú fázové trajektórie systému (môže ich byť niekoľko).
Fázový portrét môže obsahovať uzavreté fázové trajektórie, ktoré sa nazývajú limitné cykly. Limitné cykly charakterizujú samooscilácie v systéme. Fázové trajektórie sa nikde nepretínajú, okrem špeciálnych bodov, ktoré charakterizujú rovnovážne stavy sústavy. Limitné cykly a rovnovážne stavy môžu byť stabilné alebo nestabilné.
Fázový portrét úplne charakterizuje nelineárny systém. Charakteristickým znakom nelineárnych systémov je prítomnosť rôznych druhov pohybov, niekoľko rovnovážnych stavov a prítomnosť limitných cyklov.
Metóda fázového priestoru je základnou metódou pre štúdium nelineárnych systémov. Je oveľa jednoduchšie a pohodlnejšie študovať nelineárne systémy vo fázovej rovine, ako vykresľovať prechodné procesy v časovej oblasti.
Geometrické konštrukcie v priestore sú menej vizuálne ako konštrukcie v rovine, keď je systém druhého rádu a používa sa metóda fázovej roviny.
Aplikácia metódy fázovej roviny pre lineárne systémy
Analyzujme vzťah medzi povahou prechodového procesu a krivkami fázových trajektórií. Fázové trajektórie možno získať buď integráciou rovnice fázovej trajektórie alebo riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice 2. rádu.
Nech je daný systém (obr. 3).
Zoberme si voľný pohyb systému. V tomto prípade: U(t)=0, e(t)=– x(t)
Vo všeobecnosti má diferenciálna rovnica tvar
Kde 
(1)
Ide o homogénnu diferenciálnu rovnicu 2. rádu, jej charakteristická rovnica sa rovná;
. (2)
Korene charakteristickej rovnice sú určené zo vzťahov
(3)
Predstavme si diferenciálnu rovnicu 2. rádu vo forme systému
Rovnice 1. rádu:
(4)
kde je rýchlosť zmeny riadenej veličiny.
V uvažovanom lineárnom systéme predstavujú premenné x a y fázové súradnice. Fázový portrét zostrojíme v priestore súradníc x a y, t.j. na fázovej rovine.
Ak z rovnice (1) vylúčime čas, dostaneme rovnicu integrálnych kriviek alebo fázových trajektórií.
. (5)
Toto je oddeliteľná rovnica
Zoberme si niekoľko prípadov
Súbory GB_prog.m a GB_mod.mdl a analýza spektrálneho zloženia periodického módu na výstupe lineárnej časti - pomocou súborov GB_prog.m a R_Fourie.mdl. Obsah súboru GB_prog.m: % Štúdium nelineárnych systémov metódou harmonickej rovnováhy % Použité súbory: GB_prog.m, GB_mod.mdl a R_Fourie.mdl. % Použité označenia: NE – nelineárny prvok, LP – lineárna časť. %Vymazáva sa všetko...
Bez zotrvačnosti v prípustnom (zhora obmedzenom) frekvenčnom rozsahu, nad ktorým sa stáva zotrvačným. V závislosti od typu charakteristík sa rozlišujú nelineárne prvky so symetrickými a asymetrickými charakteristikami. Charakteristika, ktorá nezávisí od smeru veličín, ktoré ju určujú, sa nazýva symetrická, t.j. mať symetriu vzhľadom na pôvod systému...
