Apstrakt: Grafičko rješenje jednačina. Primjena linearne funkcije u rješavanju problema

U ovoj video lekciji ponuđena je tema “Funkcija y=x 2” za proučavanje. Grafičko rješenje jednačina." Tokom ovog časa učenici će moći da se upoznaju sa novim načinom rešavanja jednačina – grafičkim, koji se zasniva na poznavanju svojstava grafova funkcija. Nastavnik će pokazati kako grafički riješiti funkciju y=x 2.

Predmet:Funkcija

lekcija:Funkcija. Grafičko rješenje jednačina

Grafičko rješenje jednačina zasniva se na poznavanju grafova funkcija i njihovih svojstava. Nabrojimo funkcije čije grafove poznajemo:

1), graf je prava linija paralelna sa apscisnom osom, koja prolazi kroz tačku na osi ordinata. Pogledajmo primjer: y=1:

Za različite vrijednosti, dobijamo familiju pravih linija paralelnih sa x-osi.

2) Funkcija direktne proporcionalnosti, grafik ove funkcije je prava linija koja prolazi kroz početak koordinata. Pogledajmo primjer:

Već smo konstruisali ove grafike u prethodnim lekcijama, da biste konstruisali svaku liniju, morate odabrati tačku koja je zadovoljava, a kao drugu tačku uzeti ishodište koordinata.

Prisjetimo se uloge koeficijenta k: kako se funkcija povećava, ugao između prave i pozitivnog smjera x ose je oštar; kada se funkcija smanjuje, kut između prave linije i pozitivnog smjera x ose je tup. Osim toga, postoji sljedeća veza između dva parametra k istog predznaka: za pozitivan k, što je veći, funkcija se brže povećava, a za negativne, funkcija se brže smanjuje za velike vrijednosti k u apsolutnoj vrijednosti .

3) Linearna funkcija. Kada - dobijemo tačku preseka sa ordinatnom osom i sve prave ove vrste prolaze kroz tačku (0; m). Osim toga, kako se funkcija povećava, kut između prave linije i pozitivnog smjera x ose je oštar; kada se funkcija smanjuje, kut između prave linije i pozitivnog smjera x ose je tup. I naravno, vrijednost k utječe na brzinu promjene vrijednosti funkcije.

4). Graf ove funkcije je parabola.

Pogledajmo primjere.

Primjer 1 - Riješite jednačinu grafički:

Ne poznajemo funkcije ovog tipa, pa moramo transformirati datu jednačinu da radi s poznatim funkcijama:

Dobijamo poznate funkcije na obje strane jednačine:

Napravimo grafove funkcija:

Grafikoni imaju dve presečne tačke: (-1; 1); (2; 4)

Provjerimo da li je rješenje ispravno pronađeno i zamijenimo koordinate u jednadžbu:

Prva tačka je tačno pronađena.

, , , , , ,

Druga tačka je takođe pronađena ispravno.

Dakle, rješenja jednadžbe su i

Nastavljamo slično kao u prethodnom primjeru: transformiramo datu jednačinu u nama poznate funkcije, konstruiramo njihove grafove, pronađemo presječne struje i odavde naznačimo rješenja.

Dobijamo dvije funkcije:

Napravimo grafikone:

Ovi grafovi nemaju presečne tačke, što znači da data jednačina nema rešenja

Zaključak: u ovoj lekciji pregledali smo nam poznate funkcije i njihove grafove, zapamtili njihova svojstva i pogledali grafičku metodu rješavanja jednačina.

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i drugi Algebra 7. 6. izdanje. M.: Prosvetljenje. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Koljagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i drugi Algebra 7.M.: Prosvetljenje. 2006

Zadatak 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. i dr. Algebra 7, br. 494, čl.

Zadatak 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. i dr. Algebra 7, br. 495, čl.

Zadatak 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. i dr. Algebra 7, br. 496, čl.

Grafičko rješenje jednačina

Heyday, 2009

Uvod

Potreba za rješavanjem kvadratnih jednačina u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišta i sa vojnim iskopavanjima, kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Babilonci su bili u stanju da reše kvadratne jednačine oko 2000. godine pre nove ere. Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa modernim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila.

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama.

Ali opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina, sa svim mogućim kombinacijama koeficijenata b i c, formulisao je u Evropi tek 1544. godine M. Stiefel.

Godine 1591 Francois Viet uvedene formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

U starom Babilonu su mogli riješiti neke vrste kvadratnih jednačina.

Diofant Aleksandrijski I Euclid, Al-Khwarizmi I Omar Khayyam rješavanje jednadžbi geometrijskim i grafičkim metodama.

U 7. razredu smo učili funkcije y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, u 8. razredu - y = √x, y =|x|, y =sjekira2 + bx+ c, y =k/ x. U udžbeniku algebre za 9. razred vidio sam funkcije koje mi još nisu bile poznate: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 i drugi. Postoje pravila za konstruisanje grafova ovih funkcija. Pitao sam se da li postoje druge funkcije koje poštuju ova pravila.

Moj posao je proučavanje grafova funkcija i grafički rješavanje jednadžbi.

1. Koje su funkcije?

Graf funkcije je skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednostima argumenata, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.

Linearna funkcija je data jednadžbom y =kx+ b, Gdje k I b- neki brojevi. Grafikon ove funkcije je prava linija.

Inverzna proporcionalna funkcija y =k/ x, gdje je k ¹ 0. Graf ove funkcije naziva se hiperbola.

Funkcija (x– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Gdje A, b I r- neki brojevi. Graf ove funkcije je kružnica polumjera r sa centrom u tački A ( A, b).

Kvadratna funkcija y= sjekira2 + bx+ c Gdje A,b, With– neki brojevi i A¹ 0. Grafikon ove funkcije je parabola.

Jednačina at2 (a– x) = x2 (a+ x) . Grafikon ove jednačine će biti kriva koja se zove strofoid.

/>Equation (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Graf ove jednačine naziva se Bernulijeva lemniskata.

Jednačina. Graf ove jednadžbe naziva se astroid.

Curve (x2 y2 – 2 sjekire)2 =4a2 (x2 + y2 ) . Ova kriva se naziva kardioida.

Funkcije: y =x 3 – kubna parabola, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Pojam jednadžbe i njeno grafičko rješenje

Jednačina– izraz koji sadrži varijablu.

Riješite jednačinu- to znači pronaći sve njegove korijene, ili dokazati da oni ne postoje.

Korijen jednadžbe je broj koji, kada se zameni u jednadžbu, daje tačnu numeričku jednakost.

Grafičko rješavanje jednačina omogućava vam da pronađete tačnu ili približnu vrijednost korijena, omogućava vam da pronađete broj korijena jednadžbe.

Prilikom konstruiranja grafova i rješavanja jednadžbi koriste se svojstva funkcije, zbog čega se metoda često naziva funkcionalno-grafičkom.

Da bismo riješili jednačinu, "podijelimo" je na dva dijela, uvedemo dvije funkcije, izgradimo njihove grafove i pronađemo koordinate tačaka presjeka grafova. Apscise ovih tačaka su korijeni jednadžbe.

3. Algoritam za crtanje grafa funkcije

Poznavanje grafa funkcije y =f(x) , možete graditi grafove funkcija y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l I y =f(x+ m)+ l. Svi ovi grafovi se dobijaju iz grafa funkcije y =f(x) koristeći paralelnu transformaciju prijenosa: to │ m│ jedinice skale desno ili lijevo duž x-ose i dalje │ l│ jedinice razmjera gore ili dolje duž ose y.

4. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe

Koristeći kvadratnu funkciju kao primjer, razmotrit ćemo grafičko rješenje kvadratne jednadžbe. Graf kvadratne funkcije je parabola.

Šta su stari Grci znali o paraboli?

Savremeni matematički simbolizam nastao je u 16. veku.

Drevni grčki matematičari nisu imali ni koordinatnu metodu ni koncept funkcije. Ipak, detaljno su proučavali svojstva parabole. Genijalnost drevnih matematičara je jednostavno nevjerojatna - na kraju krajeva, mogli su koristiti samo crteže i verbalne opise zavisnosti.

Najpotpunije je istražio parabolu, hiperbolu i elipsu Apolonije iz Perge, koji je živio u 3. vijeku prije nove ere. On je tim krivuljama dao imena i pokazao koje uslove ispunjavaju tačke koje leže na ovoj ili onoj krivulji (na kraju krajeva, nije bilo formula!).

Postoji algoritam za konstruisanje parabole:

Pronađite koordinate vrha parabole A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Naći os simetrije parabole (prava x=x0);

PAGE_BREAK--

Sastavljamo tablicu vrijednosti za izgradnju kontrolnih tačaka;

Konstruišemo rezultirajuće tačke i konstruišemo tačke koje su im simetrične u odnosu na os simetrije.

1. Koristeći algoritam, konstruisaćemo parabolu y= x2 – 2 x– 3 . Apscise tačaka preseka sa osom x i postoje korijeni kvadratne jednadžbe x2 – 2 x– 3 = 0.

Postoji pet načina da se ova jednačina riješi grafički.

2. Podijelimo jednačinu na dvije funkcije: y= x2 I y= 2 x+ 3

3. Podijelimo jednačinu na dvije funkcije: y= x2 –3 I y=2 x. Korijeni jednadžbe su apscise tačaka presjeka parabole i prave.

4. Transformirajte jednačinu x2 – 2 x– 3 = 0 izolacijom kompletnog kvadrata u funkcije: y= (x–1) 2 I y=4. Korijeni jednadžbe su apscise tačaka presjeka parabole i prave.

5. Podijelite obje strane člana jednačine po članu x2 – 2 x– 3 = 0 on x, dobijamo x– 2 – 3/ x= 0 , podijelimo ovu jednačinu na dvije funkcije: y= x– 2, y= 3/ x. Korijeni jednadžbe su apscise tačaka presjeka prave i hiperbole.

5. Grafičko rješenje stepenskih jednačinan

Primjer 1. Riješite jednačinu x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

odgovor: x = 1.

Primjer 2. Riješite jednačinu 3 √ x= 10 – x.

Korijeni ove jednadžbe su apscisa točke presjeka grafova dvije funkcije: y= 3 √ x, y= 10 – x.

odgovor: x = 8.

Zaključak

Nakon što smo pogledali grafikone funkcija: y =sjekira2 + bx+ c, y =k/ x, u = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Primijetio sam da su svi ovi grafovi građeni po pravilu paralelnog prevođenja u odnosu na osi x I y.

Na primjeru rješavanja kvadratne jednačine možemo zaključiti da je grafička metoda primjenjiva i za jednačine stepena n.

Grafičke metode za rješavanje jednačina su lijepe i razumljive, ali ne daju 100% garanciju rješavanja bilo koje jednačine. Apscise presječnih tačaka grafova mogu biti približne.

U 9. razredu i srednjoj školi nastaviću da se upoznajem sa ostalim funkcijama. Zanima me da li se te funkcije pridržavaju pravila paralelnog prijenosa prilikom konstruiranja svojih grafova.

Iduće godine bih takođe želeo da razmotrim pitanja grafičkog rešavanja sistema jednačina i nejednačina.

Književnost

1. Algebra. 7. razred. Dio 1. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. razred. Dio 1. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. razred. Dio 1. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Istorija matematike u školi. VII–VIII razredi. – M.: Obrazovanje, 1982.

5. Časopis Matematika br. 5 2009; br. 8 2007; br. 23 2008.

6. Web stranice za grafičko rješenje jednačina na Internetu: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; stranica 3–6.htm.

Jedan od načina rješavanja jednačina je grafički. Zasniva se na konstruisanju grafova funkcija i određivanju njihovih presečnih tačaka. Razmotrimo grafičku metodu za rješavanje kvadratne jednačine a*x^2+b*x+c=0.

Prvo rješenje

Hajde da transformišemo jednačinu a*x^2+b*x+c=0 u oblik a*x^2 =-b*x-c. Gradimo grafove dvije funkcije y= a*x^2 (parabola) i y=-b*x-c (prava). Tražimo raskrsnice. Apscise presječnih tačaka će biti rješenje jednačine.

Pokažimo na primjeru: riješiti jednačinu x^2-2*x-3=0.

Hajde da ga transformišemo u x^2 =2*x+3. Konstruišemo grafove funkcija y= x^2 i y=2*x+3 u jednom koordinatnom sistemu.

Grafovi se sijeku u dvije tačke. Njihove apscise će biti korijeni naše jednadžbe.

Rješenje po formuli

Da bismo bili uvjerljiviji, hajde da analitički provjerimo ovo rješenje. Rešimo kvadratnu jednačinu koristeći formulu:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

znači, rješenja su ista.

Grafička metoda rješavanja jednačina također ima svoj nedostatak uz pomoć nje nije uvijek moguće dobiti tačno rješenje jednačine. Pokušajmo riješiti jednačinu x^2=3+x.

Konstruirajmo parabolu y=x^2 i pravu liniju y=3+x u jednom koordinatnom sistemu.

Opet smo dobili sličan crtež. Prava i parabola seku se u dve tačke. Ali ne možemo reći tačne vrijednosti apscisa ovih tačaka, samo približne: x≈-1,3 x≈2,3.

Ako smo zadovoljni odgovorima takve tačnosti, onda možemo koristiti ovu metodu, ali to se rijetko događa. Obično su potrebna tačna rješenja. Stoga se grafička metoda rijetko koristi, i to uglavnom za provjeru postojećih rješenja.