Definicija. Bočna ivica- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).
Definicija. Bočna rebra- ovo su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko i uglova poligona.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.
Definicija. Apothem- ovo je okomita na bočnu stranu piramide, spuštena od vrha piramide na stranu osnove.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra baze.
Zapremina i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz površinu osnove i visinu:
Svojstva piramide
Ako su sve bočne ivice jednake, tada se oko osnove piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).
Ako su sve bočne ivice jednake, onda su nagnute prema ravni baze pod istim uglovima.
Bočne ivice su jednake kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod istim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide je projektovan u njenom središtu.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni baze pod istim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.
2. Sve bočne ivice su jednake.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim uglovima u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.
5. Površine svih bočnih strana su jednake.
6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.
7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna tačka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.
8. Možete uklopiti sferu u piramidu. Središte upisane sfere će biti tačka preseka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i osnove.
9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π/n, gdje je n broj uglova u osnovi piramide.
Veza između piramide i sfere
Sfera se može opisati oko piramide kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti presjek ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih rubova piramide.
Uvek je moguće opisati sferu oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.
Kugla se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.
Odnos između piramide i konusa
Za konus se kaže da je upisan u piramidu ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa upisana u bazu piramide.
Konus se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake jedna drugoj.
Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.
Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.
Odnos između piramide i cilindra
Piramida se naziva upisanom u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.
Cilindar se može opisati oko piramide ako se može opisati krug oko baze piramide.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajedničke vrhove ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju trouglasti ugao.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).
Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane su podijeljene u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Piramida sa oštrim uglom- piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice osnove.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.
Definicija. Regularni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (na vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar u kojem postoji pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougaoni ugao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su stranice jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trougao. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokraki trouglovi.
Definicija. Ortocentrični tetraedar naziva se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.
Definicija. Zvezdana piramida Poliedar čija je osnova zvijezda naziva se.
Prvi nivo
Piramida. Vizuelni vodič (2019)
Šta je piramida?
Kako ona izgleda?
Vidite: na dnu piramide (kažu “ u bazi") neki poligon, a svi vrhovi ovog poligona su povezani sa nekom tačkom u prostoru (ova tačka se zove " vertex»).
Cijela ova struktura još uvijek postoji bočne strane, bočna rebra I bazna rebra. Još jednom, nacrtajmo piramidu zajedno sa svim ovim imenima:
Neke piramide mogu izgledati vrlo čudno, ali one su i dalje piramide.
Ovdje je, na primjer, potpuno "koso" piramida.
I još malo o nazivima: ako je u podnožju piramide trokut, onda se piramida zove trokutna, ako je četverokut, onda je četverokut, a ako je petougao, onda... pogodite sami .
U isto vrijeme, tačka gdje je pao visina, zvao visina osnove. Imajte na umu da u "krivim" piramidama visina može čak završiti izvan piramide. Volim ovo:
I nema ništa loše u tome. Izgleda kao tupougao.
Ispravna piramida.
Mnogo komplikovanih reči? Hajde da dešifrujemo: "U osnovi - tačno" - to je razumljivo. Sada hajde da zapamtimo da regularni poligon ima centar - tačka koja je centar i , I .
Pa, riječi "vrh je projektovan u centar baze" znače da osnova visine pada tačno u centar baze. Pogledajte kako izgleda glatko i slatko pravilne piramide.
Hexagonal: u osnovi je pravilan šestougao, vrh je projektovan u centar baze.
Quadrangular: osnova je kvadrat, vrh je projektovan na tačku preseka dijagonala ovog kvadrata.
Triangular: u osnovi je pravilan trougao, vrh je projektovan na tačku preseka visina (one su i medijane i simetrale) ovog trougla.
Veoma važna svojstva pravilne piramide:
U desnoj piramidi
- sve bočne ivice su jednake.
- sve bočne strane su jednakokraki trouglovi i svi ti trokuti su jednaki.
Volumen piramide
Glavna formula za volumen piramide:
Odakle je to tačno došlo? Ovo nije tako jednostavno, i u početku samo trebate zapamtiti da piramida i konus imaju volumen u formuli, ali cilindar ne.
Sada izračunajmo zapreminu najpopularnijih piramida.
Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moramo pronaći i.
Ovo je površina pravilnog trougla.
Prisjetimo se kako tražiti ovo područje. Koristimo formulu površine:
Za nas je “ ” ovo, a “ ” je također ovo, eh.
Sad hajde da ga nađemo.
Prema Pitagorinoj teoremi za
Koja je razlika? Ovo je radijus kruga u jer piramidaispravan a samim tim i centar.
Pošto - i tačka preseka medijana.
(Pitagorina teorema za)
Zamijenimo ga u formulu za.
I zamijenimo sve u formulu volumena:
pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda formula ispada ovako:
Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.
Nema potrebe tražiti ovdje; Na kraju krajeva, baza je kvadrat, i stoga.
Naći ćemo ga. Prema Pitagorinoj teoremi za
Da li znamo? Skoro. pogledajte:
(vidjeli smo to gledajući).
Zamijenite u formulu za:
A sada zamjenjujemo i u formulu volumena.
Neka je stranica osnove jednaka i bočna ivica.
Kako pronaći? Gledajte, šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta kada smo izračunali volumen pravilne trokutaste piramide, ovdje koristimo formulu koju smo pronašli.
Sada hajde da pronađemo (to).
Prema Pitagorinoj teoremi za
Ali kakve to veze ima? Jednostavno je jer je (i svi ostali) u pravu.
Zamenimo:
\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
PIRAMIDA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
Piramida je poliedar koji se sastoji od bilo kojeg ravnog mnogougla (), tačke koja ne leži u ravni osnove (vrh piramide) i svih segmenata koji povezuju vrh piramide sa tačkama osnove (bočnim ivicama).
Okomita pala sa vrha piramide na ravan osnove.
Ispravna piramida- piramida u kojoj u osnovi leži pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.
Svojstvo pravilne piramide:
- U pravilnoj piramidi, sve bočne ivice su jednake.
- Sve bočne strane su jednakokraki trokuti i svi ti trokuti su jednaki.
Definicija
Piramida je poliedar sastavljen od poligona \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trokuta sa zajedničkim vrhom \(P\) (koji ne leži u ravni poligona) i stranica nasuprot njemu, koje se poklapaju sa strane poligona.
Oznaka: \(PA_1A_2...A_n\) .
Primjer: pentagonalna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trokuti \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), itd. su pozvani bočne strane piramide, segmenti \(PA_1, PA_2\) itd. – bočna rebra, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – osnovu, tačka \(P\) – top.
Visina piramide su okomite koje se spuštaju od vrha piramide do ravni baze.
Zove se piramida sa trouglom u osnovi tetraedar.
Piramida se zove ispravan, ako je njegova osnova pravilan poligon i ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
\((a)\) bočne ivice piramide su jednake;
\((b)\) visina piramide prolazi kroz centar kružnice opisane u blizini baze;
\((c)\) bočna rebra su nagnuta prema ravni baze pod istim uglom.
\((d)\) bočne strane su nagnute prema ravni baze pod istim uglom.
Regularni tetraedar je trouglasta piramida, čija su sva lica jednaki jednakostranični trouglovi.
Teorema
Uslovi \((a), (b), (c), (d)\) su ekvivalentni.
Dokaz
Nađimo visinu piramide \(PH\) . Neka je \(\alpha\) ravan osnove piramide.
1) Dokažimo da iz \((a)\) slijedi \((b)\) . Neka \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Jer \(PH\perp \alpha\), tada je \(PH\) okomito na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni, što znači da su trouglovi pravokutni. To znači da su ovi trokuti jednaki u zajedničkom kraku \(PH\) i hipotenuzi \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To znači \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znači da su tačke \(A_1, A_2, ..., A_n\) na istoj udaljenosti od tačke \(H\), dakle, leže na istoj kružnici poluprečnika \(A_1H\) . Ovaj krug je, po definiciji, opisan oko poligona \(A_1A_2...A_n\) .
2) Dokažimo da \((b)\) implicira \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravougaona i jednaka na dvije noge. To znači da su i njihovi uglovi jednaki, dakle, \(\ugao PA_1H=\ugao PA_2H=...=\ugao PA_nH\).
3) Dokažimo da \((c)\) implicira \((a)\) .
Slično prvoj tački, trouglovi \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravougaonog i duž kraka i oštrog ugla. To znači da su i njihove hipotenuze jednake, odnosno \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Dokažimo da \((b)\) implicira \((d)\) .
Jer u pravilnom poligonu centri opisane i upisane kružnice se poklapaju (općenito govoreći, ova tačka se naziva središtem pravilnog mnogougla), tada je \(H\) centar upisane kružnice. Nacrtajmo okomite iz tačke \(H\) na stranice baze: \(HK_1, HK_2\), itd. Ovo su poluprečnici upisane kružnice (po definiciji). Tada prema TTP (\(PH\) je okomito na ravan, \(HK_1, HK_2\), itd. su projekcije okomite na stranice) nagnute \(PK_1, PK_2\), itd. okomito na stranice \(A_1A_2, A_2A_3\), itd. respektivno. Dakle, po definiciji \(\ugao PK_1H, \ugao PK_2H\) jednak uglovima između bočnih strana i baze. Jer trokuti \(PK_1H, PK_2H, ...\) su jednaki (kao pravougaoni sa dve strane), zatim uglovi \(\ugao PK_1H, \ugao PK_2H, ...\) su jednaki.
5) Dokažimo da \((d)\) implicira \((b)\) .
Slično četvrtoj tački, trokuti \(PK_1H, PK_2H, ...\) su jednaki (kao pravougaoni duž kraka i oštri ugao), što znači da su segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) jednaka. To znači, po definiciji, \(H\) je centar kružnice upisane u bazu. Ali zato Za pravilne poligone, centri upisanog i opisanog kruga se poklapaju, tada je \(H\) centar opisane kružnice. Chtd.
Posljedica
Bočne strane pravilne piramide su jednaki jednakokraki trouglovi.
Definicija
Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem.
Apoteme svih bočnih strana pravilne piramide su jednake jedna drugoj i također su medijane i simetrale.
Važne napomene
1. Visina pravilne trouglaste piramide pada u tački preseka visina (ili simetrala, ili medijana) osnove (osnova je pravilan trougao).
2. Visina pravilne četvorougaone piramide pada u tački preseka dijagonala osnove (osnova je kvadrat).
3. Visina pravilne šestougaone piramide pada u tački preseka dijagonala osnove (osnova je pravilan šestougao).
4. Visina piramide je okomita na bilo koju pravu liniju koja leži u osnovi.
Definicija
Piramida se zove pravougaona, ako je jedan od njegovih bočnih rubova okomit na ravan baze.
Važne napomene
1. U pravougaonoj piramidi, ivica okomita na osnovu je visina piramide. To jest, \(SR\) je visina.
2. Jer \(SR\) je onda okomito na bilo koju pravu od baze \(\trokut SRM, \trokut SRP\)– pravougli trouglovi.
3. Trokuti \(\trokut SRN, \trokut SRK\)- takođe pravougaone.
Odnosno, bilo koji trokut formiran od ove ivice i dijagonale koja izlazi iz vrha ovog ruba koji leži u osnovi bit će pravokutni.
\[(\Large(\text(Zapremina i površina piramide)))\]
Teorema
Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze i visine piramide: \
Posljedice
Neka je \(a\) stranica baze, \(h\) visina piramide.
1. Zapremina pravilne trouglaste piramide je \(V_(\text(pravokutni trokut.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Zapremina pravilne četvorougaone piramide je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Zapremina pravilne šestougaone piramide je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Zapremina pravilnog tetraedra je \(V_(\text(desni tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorema
Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je poluproizvodu perimetra osnove i apoteme.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Definicija
Razmotrimo proizvoljnu piramidu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Povučemo ravan paralelnu sa osnovom piramide kroz određenu tačku koja leži na bočnoj ivici piramide. Ova ravan će podijeliti piramidu na dva poliedra, od kojih je jedan piramida (\(PB_1B_2...B_n\)), a drugi se zove krnje piramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Skraćena piramida ima dvije osnove - poligone \(A_1A_2...A_n\) i \(B_1B_2...B_n\) koje su međusobno slične.
Visina skraćene piramide je okomica povučena iz neke tačke gornje osnove na ravan donje osnove.
Važne napomene
1. Sve bočne strane krnje piramide su trapezi.
2. Segment koji povezuje centre osnova pravilne krnje piramide (tj. piramide dobijene poprečnim presjekom pravilne piramide) je visina.
Uvod
Kada smo počeli da proučavamo stereometrijske figure, dotakli smo se teme „Piramida“. Ova tema nam se dopala jer se piramida vrlo često koristi u arhitekturi. A budući da je naše buduće zanimanje arhitekture inspirisano ovom figurom, mislimo da nas ona može potaknuti ka odličnim projektima.
Čvrstoća arhitektonskih objekata je njihov najvažniji kvalitet. Povezujući snagu, prvo, s materijalima od kojih su izrađeni, i, drugo, sa karakteristikama dizajnerskih rješenja, ispada da je čvrstoća konstrukcije direktno povezana s geometrijskim oblikom koji je za nju osnovni.
Drugim riječima, riječ je o geometrijskoj figuri koja se može smatrati modelom odgovarajuće arhitektonske forme. Ispostavilo se da geometrijski oblik također određuje snagu arhitektonske strukture.
Od davnina, egipatske piramide se smatraju najtrajnijim arhitektonskim građevinama. Kao što znate, imaju oblik pravilnih četverokutnih piramida.
Upravo ovaj geometrijski oblik pruža najveću stabilnost zbog velike površine baze. S druge strane, piramidalni oblik osigurava da se masa smanjuje kako se visina iznad tla povećava. Upravo ta dva svojstva čine piramidu stabilnom, a samim tim i jakom u uslovima gravitacije.
Cilj projekta: naučite nešto novo o piramidama, produbite svoje znanje i pronađite praktičnu primjenu.
Za postizanje ovog cilja bilo je potrebno riješiti sljedeće zadatke:
· Naučite istorijske informacije o piramidi
· Razmotrite piramidu kao geometrijsku figuru
· Pronađite primjenu u životu i arhitekturi
· Pronađite sličnosti i razlike između piramida koje se nalaze u različitim dijelovima svijeta
Teorijski dio
Istorijski podaci
Geometrija piramida počela je u starom Egiptu i Babilonu, ali se aktivno razvijala u staroj Grčkoj. Prvi koji je utvrdio zapreminu piramide bio je Demokrit, a Eudoks Knidski je to dokazao. Drevni grčki matematičar Euklid je sistematizirao znanje o piramidi u XII tomu svojih "Elemenata", a takođe je izveo prvu definiciju piramide: čvrstu figuru ograničenu ravninama koje se konvergiraju iz jedne ravni u jednu tačku.
Grobnice egipatskih faraona. Najveće od njih - Keopsove, Kefrenove i Mikerinove piramide u El Gizi - u antičko doba smatrane su jednim od sedam svjetskih čuda. Izgradnja piramide, u kojoj su Grci i Rimljani već vidjeli spomenik neviđenom ponosu kraljeva i okrutnosti koja je osudila cijeli narod Egipta na besmislenu gradnju, bila je najvažniji kultni čin i trebala je, po svemu sudeći, izraziti mistični identitet zemlje i njenog vladara. Stanovništvo zemlje radilo je na izgradnji grobnice u dijelu godine bez poljoprivrednih radova. Brojni tekstovi svjedoče o pažnji i brizi koju su sami kraljevi (iako kasnijeg vremena) poklanjali izgradnji svoje grobnice i njenih graditelja. Poznato je i o posebnim kultnim počastima koje su davane samoj piramidi.
Osnovni koncepti
Piramida naziva se poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajednički vrh.
Apothem- visina bočne strane pravilne piramide, povučena iz njenog vrha;
Bočne strane- trouglovi koji se sastaju u vrhu;
Bočna rebra- zajedničke strane bočnih strana;
Vrh piramide- tačka koja spaja bočna rebra i ne leži u ravni osnove;
Visina- okomiti segment povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice);
Dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
Baza- poligon koji ne pripada vrhu piramide.
Osnovna svojstva pravilne piramide
Bočne ivice, bočne strane i apoteme su respektivno jednake.
Diedarski uglovi u osnovi su jednaki.
Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki.
Svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih vrhova baze.
Svaka tačka visine je jednako udaljena od svih bočnih strana.
Osnovne piramidalne formule
Površina bočne i ukupne površine piramide.
Površina bočne površine piramide (puna i skraćena) je zbir površina svih njenih bočnih strana, ukupna površina je zbir površina svih njenih strana.
Teorema: Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme piramide.
str- perimetar baze;
h- apotema.
Područje bočne i pune površine krnje piramide.
p 1, str 2 - perimetri baze;
h- apotema.
R- ukupna površina pravilne skraćene piramide;
S strana- površina bočne površine pravilne skraćene piramide;
S 1 + S 2- bazna površina
Volumen piramide
Forma volume ula se koristi za piramide bilo koje vrste.
H- visina piramide.
Uglovi piramida
Uglovi koje formiraju bočna strana i osnova piramide nazivaju se diedarski uglovi u osnovi piramide.
Diedarski ugao formiraju dvije okomice.
Da biste odredili ovaj ugao, često morate koristiti teoremu o tri okomite.
Uglovi koje formira bočni rub i njegova projekcija na ravan osnove nazivaju se uglovi između bočne ivice i ravni baze.
Ugao koji čine dvije bočne ivice naziva se diedarski ugao na bočnoj ivici piramide.
Ugao koji čine dvije bočne ivice jedne strane piramide naziva se ugao na vrhu piramide.
Sekcije piramida
Površina piramide je površina poliedra. Svaka njena strana je ravan, stoga je presek piramide definisan reznom ravninom izlomljena linija koja se sastoji od pojedinačnih pravih linija.
Dijagonalni presjek
Presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne leže na istoj površini naziva se dijagonalni presjek piramide.
Paralelne sekcije
Teorema:
Ako je piramidu presječena ravninom koja je paralelna osnovici, tada su bočne ivice i visine piramide podijeljene ovom ravninom na proporcionalne dijelove;
Presek ove ravni je poligon sličan bazi;
Površine presjeka i baze su međusobno povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od temena.
Vrste piramida
Ispravna piramida– piramida čija je osnova pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.
Za pravilnu piramidu:
1. bočna rebra su jednaka
2. bočne strane su jednake
3. apoteme su jednake
4. Diedarski uglovi u osnovi su jednaki
5. Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki
6. svaka tačka visine je jednako udaljena od svih vrhova baze
7. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih bočnih ivica
Krnja piramida- dio piramide zatvoren između njene osnove i rezne ravni paralelne sa bazom.
Osnova i odgovarajući presjek krnje piramide nazivaju se osnove krnje piramide.
Zove se okomica povučena iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge visina krnje piramide.
Zadaci
br. 1. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi, tačka O je centar osnove, SO=8 cm, BD=30 cm.
Rješavanje problema
br. 1. U pravilnoj piramidi, sva lica i ivice su jednake.
Uzmite u obzir OSB: OSB je pravougaoni pravougaonik, jer.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramida u arhitekturi
Piramida je monumentalna građevina u obliku obične pravilne geometrijske piramide, u kojoj se stranice konvergiraju u jednoj tački. Po svojoj funkcionalnoj namjeni, piramide su u antičko doba bile mjesta sahranjivanja ili kulta. Osnova piramide može biti trouglasta, četverokutna ili u obliku poligona sa proizvoljnim brojem vrhova, ali najčešća verzija je četverokutna osnova.
Postoji znatan broj piramida koje su izgradile različite kulture antičkog svijeta, uglavnom kao hramovi ili spomenici. Velike piramide uključuju egipatske piramide.
Širom Zemlje možete vidjeti arhitektonske strukture u obliku piramida. Zgrade piramida podsjećaju na drevna vremena i izgledaju veoma lijepo.
Egipatske piramide su najveći arhitektonski spomenici starog Egipta, uključujući jedno od „Sedam svjetskih čuda“, Keopsovu piramidu. Od podnožja do vrha dostiže 137,3 m, a prije nego što je izgubio vrh, visina mu je bila 146,7 m.
Zgrada radio stanice u glavnom gradu Slovačke, koja liči na obrnutu piramidu, izgrađena je 1983. godine. Pored kancelarija i uslužnih prostorija, unutar volumena se nalazi prilično prostrana koncertna dvorana, koja ima jedne od najvećih orgulja u Slovačkoj.
Louvre, koji je "tihi, nepromjenjivi i veličanstveni, poput piramide", pretrpio je mnoge promjene tokom stoljeća prije nego što je postao najveći muzej na svijetu. Nastao je kao tvrđava koju je podigao Filip August 1190. godine, koja je ubrzo postala kraljevska rezidencija. Godine 1793. palača je postala muzej. Kolekcije se obogaćuju zavještanjem ili kupovinom.
Prilikom rješavanja Zadatka C2 koordinatnom metodom mnogi učenici se suočavaju sa istim problemom. Ne mogu da izračunaju koordinate tačaka uključeno u formulu skalarnog proizvoda. Najveće poteškoće se javljaju piramide. A ako se bazne tačke smatraju manje-više normalnim, onda su vrhovi pravi pakao.
Danas ćemo raditi na pravilnoj četvorougaonoj piramidi. Tu je i trouglasta piramida (tzv. tetraedar). Ovo je složeniji dizajn, pa će mu biti posvećena posebna lekcija.
Prvo, sjetimo se definicije:
Pravilna piramida je ona koja:
- Osnova je pravilan poligon: trokut, kvadrat, itd.;
- Visina povučena do baze prolazi kroz njeno središte.
Konkretno, osnova četvorougaone piramide je kvadrat. Baš kao Keops, samo malo manji.
Ispod su proračuni za piramidu u kojoj su sve ivice jednake 1. Ako to nije slučaj u vašem zadatku, proračuni se ne mijenjaju - samo će brojevi biti drugačiji.
Vrhovi četvorougaone piramide
Dakle, neka je data pravilna četvorougaona piramida SABCD, gde je S vrh, a osnova ABCD kvadrat. Sve ivice su jednake 1. Potrebno je uneti koordinatni sistem i pronaći koordinate svih tačaka. Imamo:
Uvodimo koordinatni sistem sa ishodištem u tački A:
- Osa OX je usmjerena paralelno sa ivicom AB;
- OY osa je paralelna sa AD. Pošto je ABCD kvadrat, AB ⊥ AD;
- Konačno, usmjeravamo OZ os prema gore, okomito na ravan ABCD.
Sada izračunavamo koordinate. Dodatna konstrukcija: SH - visina povučena do osnove. Radi praktičnosti, bazu piramide ćemo postaviti u poseban crtež. Pošto tačke A, B, C i D leže u ravni OXY, njihova koordinata je z = 0. Imamo:
- A = (0; 0; 0) - poklapa se sa ishodištem;
- B = (1; 0; 0) - korak za 1 duž ose OX od početka;
- C = (1; 1; 0) - korak za 1 duž ose OX i za 1 duž ose OY;
- D = (0; 1; 0) - korak samo duž ose OY.
- H = (0,5; 0,5; 0) - centar kvadrata, sredina segmenta AC.
Ostaje pronaći koordinate tačke S. Imajte na umu da su koordinate x i y tačaka S i H iste, budući da leže na pravoj paralelnoj sa OZ osi. Ostaje pronaći z koordinatu za tačku S.
Razmotrimo trouglove ASH i ABH:
- AS = AB = 1 po uslovu;
- Ugao AHS = AHB = 90°, pošto je SH visina, a AH ⊥ HB kao dijagonale kvadrata;
- Strana AH je uobičajena.
Dakle, pravougli trouglovi ASH i ABH jednaka po jedan krak i po jedna hipotenuza. To znači SH = BH = 0,5 BD. Ali BD je dijagonala kvadrata sa stranicom 1. Stoga imamo:
Ukupne koordinate tačke S:
U zaključku, zapisujemo koordinate svih vrhova pravilne pravokutne piramide:
Šta učiniti kada su rebra drugačija
Šta ako bočne ivice piramide nisu jednake ivicama baze? U ovom slučaju, razmotrite trokut AHS:
trokut AHS - pravougaona, a hipotenuza AS je također bočna ivica originalne piramide SABCD. Nog AH se lako izračunava: AH = 0,5 AC. Pronaći ćemo preostalu nogu SH prema Pitagorinoj teoremi. Ovo će biti z koordinata za tačku S.
Zadatak. Zadata je pravilna četvorougaona piramida SABCD, u čijem dnu leži kvadrat sa stranicom 1. Bočna ivica BS = 3. Odredite koordinate tačke S.
Već znamo koordinate x i y ove tačke: x = y = 0,5. To proizilazi iz dvije činjenice:
- Projekcija tačke S na ravan OXY je tačka H;
- Istovremeno, tačka H je centar kvadrata ABCD, čije su sve strane jednake 1.
Ostaje pronaći koordinate tačke S. Razmotrimo trougao AHS. Pravougaona je, sa hipotenuzom AS = BS = 3, krak AH je polovina dijagonale. Za dalje izračune potrebna nam je njegova dužina:
Pitagorina teorema za trougao AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Imamo:
Dakle, koordinate tačke S:
