Sa ovom uslugom možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije jedna varijabla f(x) sa rješenjem formatiranim u Wordu. Ako je data funkcija f(x,y), potrebno je pronaći ekstremum funkcije dvije varijable. Također možete pronaći intervale rastućih i opadajućih funkcija.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

y=

na segmentu [ ;]

Uključite teoriju

Pravila za unos funkcija:

Neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Jednačina f" 0 (x *) = 0 je neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable, tj. u tački x * prvi izvod funkcije mora nestati. Identificira stacionarne točke x c ​​u kojima funkcija ne funkcionira povećati ili smanjiti.

Dovoljan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Neka je f 0 (x) dvaput diferencibilan u odnosu na x koji pripada skupu D. Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada je tačka x * lokalna (globalna) minimalna tačka funkcije.

Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tada je tačka x * lokalni (globalni) maksimum.

Primjer br. 1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: na segmentu.
Rješenje.

Kritična tačka je jedan x 1 = 2 (f’(x)=0). Ova tačka pripada segmentu. (Tačka x=0 nije kritična, jer je 0∉).
Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na kritičnoj tački.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 pri x=2; f max =9 pri x=1

Primjer br. 2. Koristeći derivacije višeg reda, pronađite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
Rješenje.
Pronađite izvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Nađimo kritične tačke: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nalazimo y’’=2sin(x), izračunaj , što znači da su x= π / 3 +2πk, k∈Z minimalne tačke funkcije; , što znači da su x=- π / 3 +2πk, k∈Z maksimalne tačke funkcije.

Primjer br. 3. Istražiti funkciju ekstrema u blizini tačke x=0.
Rješenje. Ovdje je potrebno pronaći ekstreme funkcije. Ako je ekstrem x=0, onda saznajte njegov tip (minimum ili maksimum). Ako među pronađenim tačkama nema x = 0, onda izračunajte vrijednost funkcije f(x=0).
Treba napomenuti da kada derivacija na svakoj strani date tačke ne mijenja svoj predznak, moguće situacije nisu iscrpljene čak ni za diferencijabilne funkcije: može se dogoditi da za proizvoljno malo susjedstvo na jednoj strani tačke x 0 ili na obje strane derivacija mijenja predznak. U ovim tačkama potrebno je koristiti druge metode za proučavanje funkcija na ekstremu.

77419.Nađi maksimalnu tačku funkcije y=x 3 –48x+17

Nađimo nule derivacije:

Uzmimo korijene:

Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom vrijednosti iz intervala u rezultirajuću derivaciju i opišemo ponašanje funkcije na slici:

Otkrili smo da u tački –4 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan. Dakle, tačka x=–4 je željena maksimalna tačka.

Odgovor: –4

77423. Naći maksimalnu tačku funkcije y=x 3 –3x 2 +2

Nađimo derivaciju date funkcije:

Izjednačimo derivaciju sa nulom i riješimo jednačinu:

U tački x=0 derivacija mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo maksimalna tačka.

77427. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=x 3 +2x 2 +x+3

Nađimo derivaciju date funkcije:

Kada izjednačimo izvod na nulu i riješimo jednačinu:

Odredimo predznake derivacije funkcije i na slici prikažemo intervale povećanja i smanjenja funkcije zamjenom vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije:

U tački x=–1 derivacija mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

Odgovor: –1

77431. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=x 3 –5x 2 +7x–5

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo nule derivacije:

3x 2 – 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

U tački x = 1 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

77435. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=7+12x–x 3

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo nule derivacije:

12 – 3x 2 = 0

Rješavajući kvadratnu jednačinu dobijamo:

*Ovo su tačke mogućeg maksimuma (minimuma) funkcije.

Konstruirajmo brojevnu pravu i označimo nule izvoda. Odredimo predznake derivacije zamjenom proizvoljne vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije funkcije i šematski predočimo povećanje i smanjenje na intervalima:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

U tački x = 2 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

*Za istu funkciju, minimalna tačka je tačka x = – 2.

77439. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=9x 2 – x 3

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo nule derivacije:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Rješavajući jednačinu dobijamo:

*Ovo su tačke mogućeg maksimuma (minimuma) funkcije.

Konstruirajmo brojevnu pravu i označimo nule izvoda. Odredimo predznake derivacije zamjenom proizvoljne vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije funkcije i šematski predočimo povećanje i smanjenje na intervalima:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

U tački x=6 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

*Za istu funkciju, minimalna tačka je tačka x = 0.

Iz ovog članka čitatelj će saznati šta je ekstremum funkcionalne vrijednosti, kao i o značajkama njegove upotrebe u praktičnim aktivnostima. Proučavanje takvog koncepta izuzetno je važno za razumijevanje osnova više matematike. Ova tema je fundamentalna za dublje proučavanje predmeta.

U kontaktu sa

Šta je ekstrem?

U školskom kursu se daju mnoge definicije pojma „ekstremum“. Ovaj članak ima za cilj da pruži najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji ne poznaju ovo pitanje. Dakle, pod pojmom se podrazumijeva u kojoj mjeri funkcionalni interval poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost na određenom skupu.

Ekstremum je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna i maksimalna tačka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne nauke koje koriste ovaj koncept su:

• statistika;
• upravljanje mašinama;
• ekonometrija.

Ekstremne tačke igraju važnu ulogu u određivanju redosleda date funkcije. Koordinatni sistem na grafu u svom najboljem izdanju pokazuje promjenu ekstremnog položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.

Ekstremi funkcije derivacije

Postoji i takav fenomen kao "derivat". Potrebno je odrediti tačku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne bodove sa najvišim i najnižim vrijednostima. To su različiti koncepti, iako mogu izgledati slični.

Vrijednost funkcije je glavni faktor u određivanju kako pronaći maksimalnu tačku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz njegovog ekstremnog položaja u jednom ili drugom redu.

Sam derivat se određuje na osnovu ovih ekstremnih tačaka, a ne na osnovu najveće ili najmanje vrednosti. U ruskim školama granica između ova dva koncepta nije jasno povučena, što utiče na razumijevanje ove teme općenito.

Razmotrimo sada takav koncept kao "akutni ekstremum". Danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je data u skladu sa ruskom klasifikacijom kritičnih tačaka funkcije. Koncept tačke ekstrema je osnova za pronalaženje kritičnih tačaka na grafu.

Da bi definisali takav koncept, pribegavaju upotrebi Fermaove teoreme. Najvažnija je u proučavanju ekstremnih tačaka i daje jasnu predstavu o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Da bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uvjete za smanjenje ili povećanje na grafikonu.

Da biste precizno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalnu točku", morate slijediti ove smjernice:

1. Pronalaženje tačne domene definicije na grafu.
2. Traži derivaciju funkcije i tačku ekstrema.
3. Riješite standardne nejednakosti za domenu u kojoj se nalazi argument.
4. Znati dokazati u kojim funkcijama je tačka na grafu definirana i kontinuirana.

Pažnja! Traganje za kritičnom tačkom funkcije moguće je samo ako postoji derivacija najmanje drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti tačke ekstrema.

Neophodan uslov za ekstremum funkcije

Da bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalne i maksimalne tačke. Ako se ovo pravilo poštuje samo djelimično, onda je uslov za postojanje ekstrema narušen.

Svaka funkcija u bilo kojoj poziciji mora biti diferencirana kako bi se identificirala njena nova značenja. Važno je shvatiti da slučaj kada tačka ide na nulu nije glavni princip za pronalaženje diferencijabilne tačke.

Akutni ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješavanja matematičkog problema korištenjem ekstremnih vrijednosti. Da biste bolje razumjeli ovu komponentu, važno je obratiti se na tablične vrijednosti za specifikaciju funkcionalnosti.

Istraživanje punog značenja

Iscrtavanje grafa vrijednosti

1. Određivanje tačaka rastućih i opadajućih vrijednosti. 2. Pronalaženje tačaka diskontinuiteta, ekstremuma i sjecišta s koordinatnim osa. 3. Proces određivanja promjena položaja na grafu. 4. Određivanje indikatora i smjera konveksnosti i konveksnosti, uzimajući u obzir prisustvo asimptota. 5. Izrada zbirne tabele istraživanja sa stanovišta određivanja njenih koordinata. 6. Pronalaženje intervala povećanja i smanjenja ekstremnih i oštrih tačaka. 7. Određivanje konveksnosti i konkavnosti krive. 8. Iscrtavanje grafikona uzimajući u obzir istraživanje omogućava vam da pronađete minimum ili maksimum.

Glavni element kada je potrebno raditi sa ekstremnim tačkama je tačna konstrukcija njegovog grafikona. Školski nastavnici često ne obraćaju maksimalnu pažnju na tako važan aspekt, koji predstavlja grubo kršenje obrazovnog procesa. Konstrukcija grafikona se dešava samo na osnovu rezultata proučavanja funkcionalnih podataka, identifikovanja akutnih ekstrema, kao i tačaka na grafu. Oštri ekstremi funkcije derivacije se prikazuju na dijagramu tačnih vrijednosti, koristeći standardnu ​​proceduru za određivanje asimptota.

Vrijednosti funkcije i maksimalne i minimalne točke

Najveća vrijednost funkcije

Najmanja vrijednost funkcije

Kako je kum rekao: "Ništa lično." Samo derivati!

Statistički zadatak 12 smatra se prilično teškim, a sve zato što momci nisu pročitali ovaj članak (šala). U većini slučajeva kriva je nepažnja.

12 zadataka dolazi u dvije vrste:

1. Pronađite maksimalnu/minimalnu tačku (tražite da pronađete vrijednosti “x”).
2. Pronađite najveću/najmanju vrijednost funkcije (tražite da pronađete vrijednosti “y”).

Kako postupiti u ovim slučajevima?

Pronađite maksimalnu/minimalnu tačku

1. Izjednačite to sa nulom.
2. Pronađeni ili pronađeni “x” bit će minimalni ili maksimalni bodovi.
3. Odredite znakove metodom intervala i odaberite koja je točka potrebna u zadatku.

Zadaci Jedinstvenog državnog ispita:

Pronađite maksimalnu tačku funkcije

• Uzimamo derivat:

Tako je, prvo se funkcija povećava, a zatim smanjuje - ovo je maksimalna tačka!
Odgovor: −15

Pronađite minimalnu tačku funkcije

• Transformirajmo i uzmimo izvod:

• Odlično! Prvo se funkcija smanjuje, a zatim povećava - ovo je minimalna tačka!

Odgovor: −2

Pronađite najveću/najmanju vrijednost funkcije

1. Uzmite derivaciju predložene funkcije.
   
2. Izjednačite to sa nulom.
   
3. Pronađeno “x” će biti minimalna ili maksimalna tačka.
   
4. Odredite znakove metodom intervala i odaberite koja je točka potrebna u zadatku.
5. U takvim zadacima, praznina je uvijek specificirana: X-ovi pronađeni u koraku 3 moraju biti uključeni u ovu prazninu.
6. Zamijenite rezultujuću tačku maksimuma ili minimuma u originalnu jednačinu i dobićemo najveću ili najmanju vrijednost funkcije.

Zadaci Jedinstvenog državnog ispita:

Pronađite najveću vrijednost funkcije na intervalu [−4; −1]

Odgovor: −6

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

• Najveća vrijednost funkcije je “11” u maksimalnoj tački (na ovom segmentu) “0”.

Odgovor: 11

Zaključci:

1. 70% grešaka je to što se momci ne sećaju na šta su odgovorili najveća/najmanja vrijednost funkcije treba biti napisana "y", i dalje upišite maksimalnu/minimalnu tačku “x”.
2. Ne postoji rješenje za derivaciju pri pronalaženju vrijednosti funkcije? Nema problema, zamijenite krajnje tačke jaza!
3. Odgovor se uvijek može napisati kao broj ili decimala. Ne? Zatim ponovo razmislite o primjeru.
4. U većini zadataka ćemo dobiti jedan bod i naša lijenost u provjeri maksimuma ili minimuma bit će opravdana. Dobili smo jednu poentu - možete slobodno pisati.
5. I ovdje Ne biste to trebali činiti kada tražite vrijednost funkcije! Proverite da li je ovo prava tačka, inače ekstremne vrednosti jaza mogu biti veće ili manje.