Asimptotski kriteriji odabira. Asimptotska svojstva simetrije i kriterijumi slaganja zasnovani na karakterizaciji

U savremenim uslovima, interesovanje za analizu podataka stalno i intenzivno raste u potpuno različitim oblastima, kao što su biologija, lingvistika, ekonomija i, naravno, IT. Osnova ove analize su statističke metode i svaki stručnjak za rudarenje podataka koji poštuje sebe treba da ih razumije.

Nažalost, istinski dobra literatura, ona vrsta koja može pružiti i matematički rigorozne dokaze i jasna intuitivna objašnjenja, nije baš uobičajena. I ova su predavanja, po mom mišljenju, neobično dobra za matematičare koji razumiju teoriju vjerovatnoće upravo iz tog razloga. Predaju se kao master na njemačkom Univerzitetu Christian-Albrecht na programima matematike i finansijske matematike. A za one koje zanima kako se ovaj predmet predaje u inostranstvu, preveo sam ova predavanja. Za prevođenje mi je trebalo nekoliko mjeseci, predavanja sam razvodnjavao ilustracijama, vježbama i fusnotama o nekim teoremama. Napominjem da nisam profesionalni prevodilac, već jednostavno altruista i amater u ovoj oblasti, pa ću prihvatiti svaku kritiku ako je konstruktivna.

Ukratko, ovo je ono o čemu su predavanja:

Uslovno matematičko očekivanje

Ovo poglavlje se ne odnosi direktno na statistiku, ali je idealno za početak proučavanja. Uslovno očekivanje je najbolji izbor za predviđanje slučajnog ishoda na osnovu već dostupnih informacija. I ovo je takođe slučajna varijabla. Ovdje razmatramo njena različita svojstva, poput linearnosti, monotonosti, monotone konvergencije i drugih.

Osnove procjene bodova

Kako procijeniti parametar distribucije? Koji kriterijum da odaberem za ovo? Koje metode da koristim? Ovo poglavlje pomaže odgovoriti na sva ova pitanja. Ovdje uvodimo koncepte nepristrasnog estimatora i uniformno nepristrasnog estimatora minimalne varijance. Objašnjava odakle potiču hi-kvadrat i t-distribucije i zašto su važne u procjeni parametara normalne distribucije. Objašnjava šta su Rao-Kramerova nejednakost i Fišerova informacija. Uvodi se i koncept eksponencijalne porodice, što uvelike olakšava dobijanje dobre procjene.

Bayesova i minimalna procjena parametara

Ovdje je opisan drugačiji filozofski pristup evaluaciji. U ovom slučaju, parametar se smatra nepoznatim jer se radi o realizaciji određene slučajne varijable sa poznatom (a priori) raspodjelom. Posmatrajući rezultat eksperimenta, izračunavamo takozvanu posteriornu distribuciju parametra. Na osnovu toga možemo dobiti Bayesov estimator, gdje je kriterij minimalni gubitak u prosjeku, ili minimax estimator, koji minimizira maksimalni mogući gubitak.

Dovoljnost i potpunost

Ovo poglavlje ima ozbiljan praktični značaj. Dovoljna statistika je funkcija uzorka takva da je dovoljno pohraniti samo rezultat ove funkcije da bi se procijenio parametar. Takvih funkcija ima mnogo, a među njima je i takozvana minimalna dovoljna statistika. Na primjer, za procjenu medijane normalne distribucije, dovoljno je pohraniti samo jedan broj - aritmetičku sredinu za cijeli uzorak. Radi li ovo i za druge distribucije, kao što je Cauchyjeva distribucija? Kako dovoljna statistika pomaže u odabiru procjena? Ovdje možete pronaći odgovore na ova pitanja.

Asimptotska svojstva procjena

Možda je najvažnije i neophodno svojstvo procjene njena konzistentnost, odnosno sklonost ka pravom parametru kako se veličina uzorka povećava. Ovo poglavlje opisuje koja svojstva imaju procjene koje poznajemo, dobijene statističkim metodama opisanim u prethodnim poglavljima. Uvode se koncepti asimptotske nepristrasnosti, asimptotske efikasnosti i Kullback-Leiblerove udaljenosti.

Osnove testiranja

Pored pitanja kako procijeniti nama nepoznati parametar, moramo nekako provjeriti da li on zadovoljava tražena svojstva. Na primjer, provodi se eksperiment za testiranje novog lijeka. Kako znati da li je vjerovatnoća oporavka veća s njim nego uz korištenje starih lijekova? Ovo poglavlje objašnjava kako se takvi testovi konstruišu. Naučit ćete koji je jednolično najmoćniji test, Neyman-Pearsonov test, nivo značajnosti, interval povjerenja i odakle potiču dobro poznati Gaussov test i t-test.

Asimptotska svojstva kriterija

Kao i procjene, kriteriji moraju zadovoljiti određena asimptotska svojstva. Ponekad se mogu pojaviti situacije kada je nemoguće konstruisati traženi kriterijum, međutim, koristeći dobro poznatu centralnu graničnu teoremu, konstruišemo kriterijum koji asimptotski teži potrebnom. Ovdje ćete naučiti koji je nivo asimptotske važnosti, metod omjera vjerovatnoće i kako se konstruišu Bartletov test i hi-kvadrat test nezavisnosti.

Linearni model

Ovo poglavlje se može posmatrati kao dopuna, odnosno primjena statistike u slučaju linearne regresije. Shvatićete koje su ocene dobre i pod kojim uslovima. Naučit ćete odakle dolazi metoda najmanjih kvadrata, kako konstruirati testove i zašto je potrebna F-distribucija.

Glossary

Za odeljak 7

Autokovarijanca - za stacionarni niz Xt, kovarijansa slučajnih varijabli Xt9 Xt+T9 y(t) Cov(Xn Xt+T).

Autokorelacioni spoj -ACF - za stacionarni niz Xt - niz njegovih autokorelacija p(t) = Corr(Xt9 Xt+ r), r = 0,1, 2,...

Autokorelacija, koeficijent autokorelacije - za stacionarni niz Xt, koeficijent korelacije slučajnih varijabli Xn Xt+T, p(t) = Corr(Xt, Xt+T).

Bijeli šum, proces bijelog šuma - stacionarni slučajni proces Xt sa nultom srednjom i nenultom varijansom,

za koji je Corr(Xt, Xs) = 0 na t F s.

„Štedljiviji“ modeli spadaju u određeni skup alternativnih modela vremenskih serija, modele sa najmanjim brojem koeficijenata za procenu.

Vremenske serije - niz vrijednosti neke varijable mjerene u uzastopnim vremenskim tačkama. Pod vremenskim nizom se podrazumijeva i slučajni proces sa diskretnim vremenom (slučajni niz), čija je implementacija posmatrani niz vrijednosti.

Funkcija autokorelacije uzorka (SACF - uzorak ACF) - niz uzoraka autokorelacija r (k), & = 0, 1,2, izgrađen iz postojeće implementacije vremenske serije. Analiza ovog niza pomaže da se identifikuje proces pokretnog proseka i njegov redosled.

Funkcija parcijalne autokorelacije uzorka (SPACF-uzorak PACF) - niz uzoraka parcijalnih autokorelacija rpart(k), k = 0, 1, 2, konstruisan iz postojeće implementacije vremenske serije. Analiza ovog niza pomaže da se identifikuje proces pokretnog proseka i njegov redosled.

Autokorelacije uzorka su procjene autokorelacija p(k) slučajnog procesa, konstruirane iz postojeće implementacije vremenske serije. Jedna od opcija za procjenu autokorelacije p(k) ima oblik:

T-kf?x " I)U t+k I) u (k) 1 t

gdje je p = x = - ^xt - procjena za p = E(Xt), ] tk

y(k) = y](xt p)(xt+k p) - procjena autokovarijance y(k).

Uzorci parcijalnih autokorelacija su procjene parcijalnih autokorelacija prap(t) slučajnog procesa, konstruirane iz postojeće implementacije vremenske serije.

Gausov proces bijelog šuma je proces bijelog šuma čije su jednodimenzionalne distribucije normalne distribucije sa nultim matematičkim očekivanjem.

Gausov slučajni proces - slučajni proces za koji je za bilo koji cijeli broj m > O i bilo koji skup vremena tx< t2 < ... < tm совместные распределения случайных величин Xti, Xtm являются m-мерными нормальными распределениями.

Inovacija je trenutna vrijednost slučajne greške na desnoj strani odnosa koja određuje proces autoregresije Xr Inovacija nije

u korelaciji sa zaostalim vrijednostima Xt_k9 k= 1, 2, ... Uzastopne vrijednosti inovacija (inovacijski niz) formiraju proces bijelog šuma.

Akaike informacioni kriterijum (AIC) je jedan od kriterijuma za odabir „najboljeg” modela među nekoliko alternativnih modela. Među alternativnim vrijednostima reda autoregresivnog modela, odabrana je vrijednost koja minimizira vrijednost

o 2k A1C(£) = 1n0£2+y,

Procjena disperzije inovacija êg u AR modelu je uredna.

Akaike kriterijum asimptotski precenjuje (precenjuje) pravu vrednost k0 sa verovatnoćom različitom od nule.

Hannan-Quinn informacioni kriterijum (HQC) jedan je od kriterijuma za odabir „najboljeg” modela među nekoliko alternativnih modela. Među alternativnim vrijednostima reda autoregresivnog modela, odabrana je vrijednost koja minimizira vrijednost

UQ(k) = U a2k + k - ,

gdje je T broj zapažanja;

(t£ - procjena disperzije inovacija st u AR modelu A>-tog reda.

Kriterijum ima prilično brzu konvergenciju na pravu vrijednost k0 na T -» oo. Međutim, za male vrijednosti T, ovaj kriterij podcjenjuje red autoregresije.

Schwarzov informacioni kriterijum (SIC) je jedan od kriterijuma za odabir „najboljeg” modela među nekoliko alternativnih modela. Među alternativnim vrijednostima reda autoregresivnog modela, odabrana je vrijednost koja minimizira vrijednost

SIC(£) = lno>2+Ar-,

gdje je T broj zapažanja;

A? - procjena disperzije inovacija st u AR modelu A: reda.

Korelogram - za stacionarni niz: graf zavisnosti vrednosti autokorelacije p(t) stacionarne serije od t. Korelogram se naziva i par grafova datih u protokolima za analizu podataka u različitim paketima statističke analize: a graf uzorka autokorelacijske funkcije i graf uzorka djelomične autokorelacijske funkcije. Prisustvo ova dva dijagrama pomaže da se identifikuje ARMA model koji generiše dostupni skup zapažanja.

Backcasting je tehnika za dobijanje preciznije aproksimacije funkcije uslovne vjerovatnoće pri procjeni modela pokretnog prosjeka MA(q):

Xt = et + bxst_x + b2st_2 + ... + bqet_q9 bq F0,

prema zapažanjima xl9..., xt. Rezultat maksimiziranja (bez bx, bl9 ..., bq) funkcije uslovne vjerovatnoće koja odgovara uočenim vrijednostima xH9h29 ...9ht za fiksne vrijednosti ê09 ê_H9 ê_d+H9 zavisi od odabranih vrijednosti b*0, e_ê_d+1. Ako je proces MA(q) reverzibilan, tada možemo staviti 6*0 = ê_h = ... = s_q+x = 0. Ali da bismo poboljšali kvalitet procjene, možemo koristiti metodu obrnute prognoze za „procjenu“ vrijednosti ê09 e_H9 ê_d+h i koristiti procijenjene vrijednosti u funkciji uslovne vjerovatnoće. Operator zaostajanja (L)9 Operator povratnog pomaka - operator definiran relacijom: LXt = Xt_x. Pogodno za kompaktno snimanje modela vremenskih serija i za formulisanje uslova koji obezbeđuju određena svojstva serije. Na primjer, koristeći ovaj operator, jednačina koja definira ARMA(p, q) model

Xt = Z ajxt-j + Z bj£t-j ><*Р*ъ>ych* Oh,

može se zapisati kao: a(L) Xt = b(b)êp gdje

a(L) = 1 (axL + a2L2 + ... + apLp

b(L)=l+blL + b2L2 + ... + bqLq.

Problem zajedničkih faktora je prisustvo zajedničkih faktora u polinomima a(L) i b(L)9 koji odgovaraju AR i MA komponentama ARMA modela:

Prisustvo zajedničkih faktora u specifikaciji ARMA modela otežava praktičnu identifikaciju modela kroz niz opservacija.

Autoregresivni proces prvog reda (AR(1)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost zbir linearne funkcije vrijednosti procesa zaostajanja za jedan korak i slučajne greške koja nije u korelaciji s prošlim vrijednostima procesa. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma.

Autoregresivni proces reda p (autoregresivni proces pth-reda - AR(p)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost zbir linearne funkcije vrijednosti procesa zaostalih za p koraka ili manje i slučajne greške nije u korelaciji sa prošlim procesnim vrijednostima. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma.

Proces pokretnog prosjeka reda q (qth-order pokretni prosjek procesa - MA(g)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost linearna funkcija trenutne vrijednosti nekog procesa bijelog šuma i vrijednosti ovog proces bijelog šuma zaostaje za p koraka ili manje.

Woldova dekompozicija je reprezentacija široko stacionarnog procesa sa nultim matematičkim očekivanjem kao zbirom pokretnog prosječnog procesa beskonačnog reda i linearno determinističkog procesa.

Sezonska autoregresija prvog reda (SAR(l) - sezonska auto-regresija prvog reda) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost linearna funkcija vrijednosti ovog procesa sa zaostatkom za S koraka i slučajne greške koja nije u korelaciji sa prethodne vrijednosti procesa. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma. Ovdje je S = 4 za kvartalne podatke, S = 12 za mjesečne podatke.

Sezonski pokretni prosek prvog reda (SMA(l) - sezonski pokretni prosek prvog reda) je slučajni proces čija je trenutna vrednost jednaka zbiru linearne funkcije trenutne vrednosti nekog procesa belog šuma i vrednosti ovog procesa bijelog šuma zaostaje za S koraka. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma. Ovdje 5 = 4 za kvartalne podatke, 5 = 12 za mjesečne podatke.

Yule - Walkerov sistem jednačina je sistem jednačina koji povezuje autokorelacije stacionarnog autoregresivnog procesa reda p sa njegovim koeficijentima. Sistem vam omogućava dosljedno pronalaženje vrijednosti autokorelacija i omogućava, koristeći prve p jednačine, da izrazite koeficijente procesa stacionarne autoregresije kroz vrijednosti prvih p autokorelacija, koje se mogu direktno koristiti kada odabir modela autoregresije na stvarne statističke podatke.

Slučajni proces sa diskretnim vremenom (diskretno-vremenski stohastički proces, slučajni proces diskretnog vremena) je niz slučajnih varijabli koje odgovaraju zapažanjima izvršenim u uzastopnim trenucima vremena, koji imaju određenu vjerovatnoću strukturu.

Mješoviti autoregresivni pokretni prosjek, autoregresivni proces sa rezidualima u obliku pokretnog prosjeka (autoregresivni pokretni prosjek, mješoviti autoregresivni pokretni prosjek - ARMA(p, q)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost zbir linearna funkcija koraka koji zaostaju za p ili manje vrijednosti procesa i linearna funkcija od trenutne vrijednosti nekog procesa bijelog šuma i vrijednosti ovog procesa bijelog šuma zaostaju za q koraka ili manje.

Box-Pierce Q-statistic - jedna od opcija g-statistike:

Ê = r£g2(*),

Ljung-Box Q-statistika je jedna od opcija g-statistike, poželjnija od Box-Pierce statistike:

gdje je T broj zapažanja; r (k) - autokorelacije uzorka.

Koristi se za testiranje hipoteze da su posmatrani podaci realizacija procesa bijelog šuma.

Široki stacionarni, slabo stacionarni, slabo stacionarni, stacionarni drugog reda, kovarijansno-stacionarni stohastički proces - slučajni proces sa konstantnim matematičkim očekivanjem, konstantnom varijansom i invarijantnim slučajnim varijablama Xt,Xt+T:

Cov(Xt,Xt+T) = r(r).

Strogo stacionaran, stacionaran u užem smislu (strogo stacionaran, strict-sense stacionaran) slučajni proces (stohastički proces) - slučajni proces sa zajedničkim distribucijama slučajnih varijabli Xh + T, ..., + T invarijantnih u r.

Uslov za reverzibilnost procesa MA(q) i ARMA(p, q) (uslov invertibilnosti) - za procese Xt oblika MA(g): Xt = b(L)st ili ARMA(p, q): a(L )(Xt ju ) = = b(L)st - uslov na korijenima jednadžbe b(z) = O, koji osigurava postojanje ekvivalentne reprezentacije procesa Xt u obliku autoregresivnog procesa beskonačnog reda AR( oo):

Uslov reverzibilnosti: svi korijeni jednačine b(z) = O leže izvan jedinične kružnice |z|< 1.

Uslov stacionarnosti za procese AR(p) i ARMA(p, q) - za procese Xt oblika AR(p): a(L)(Xt ju) = et ili ARMA(p, q) a(L)( Xt ju) = = b(L)st - uvjet na korijenima jednadžbe a(z) = 0, osiguravajući stacionarnost procesa Xg Uslov stacionarnosti: svi korijeni jednačine b(z) = O leže izvan jediničnog kruga |z|< 1. Если многочлены a(z) и b(L) не имеют общих корней, то это условие является необходимым и достаточным условием стационарности процесса Хг

Parcijalna autokorelacija funkcija (PACF - parcijalna autokorelacija funkcija) - za stacionarni niz, niz parcijalnih autokorelacija prap(r), m = 0, 1,2,...

Djelomična autokorelacija (PAC - parcijalna autokorelacija) - za stacionarnu seriju, vrijednost ppart(r) koeficijenta korelacije između slučajnih varijabli Xt nXt+k, očišćena od utjecaja srednjih slučajnih varijabli Xt+l9...9Xt+k_Y.

Faza dijagnostičke provjere modela - dijagnostika procijenjenog ARMA modela, odabranog na osnovu dostupne serije zapažanja.

Faza identifikacije modela - izbor modela generisanja serije na osnovu dostupnih serija posmatranja, određivanje p i q reda ARMA modela.

Faza evaluacije modela (etapa procjene) - procjena koeficijenata ARMA modela, odabranih na osnovu dostupnih serija zapažanja.

(Q-statistics) - statistika testiranja koja se koristi za testiranje hipoteze da su posmatrani podaci implementacija procesa bijelog šuma.

Za odeljak 8

Vektorska autoregresija reda p (ph-order vector autoregression - VAR(p)) je model za generisanje grupe vremenskih serija, u kojoj se trenutna vrijednost svake serije sastoji od konstantne komponente, linearne kombinacije zaostalih (do reda p) vrijednosti ove serije i drugih serija i slučajne greške. Slučajne greške u svakoj jednadžbi nisu u korelaciji sa zaostalim vrijednostima svih serija koje se razmatraju. Slučajni vektori formirani greškama u različitim serijama u isto vreme su nezavisni, identično raspoređeni slučajni vektori sa nultim srednjim vrednostima.

Dugoročni odnos je određeni odnos uspostavljen tokom vremena između varijabli, u odnosu na koji se javljaju prilično brze oscilacije.

Dugoročni množitelji (dugoročni množitelji, ravnotežni množitelji) - u dinamičkom modelu sa autoregresivno raspoređenim kašnjenjima - koeficijenti sh,cs dugoročne zavisnosti varijable od egzogenih varijabli xi, xst. Koeficijent Cj odražava promjenu vrijednosti yt kada se trenutna i sve prethodne vrijednosti varijable xjt promijene za jedan.

Multiplikatori impulsa (množitelj uticaja, kratkoročni množitelj) - u dinamičkom modelu sa autoregresivno raspoređenim kašnjenjima - vrijednosti koje pokazuju utjecaj jednokratnih (impulsnih) promjena vrijednosti egzogenih varijabli chi, xst na trenutne i sljedeće vrijednosti varijable jr

Unakrsne kovarijanse su koeficijenti korelacije između vrijednosti različitih komponenti vektorske serije u podudarnim ili divergentnim vremenskim točkama.

Funkcija unakrsne kovarijanse je niz unakrsnih korelacija dviju komponenti stacionarnog vektorskog niza.

Modeli sa autoregresivnim distribuiranim modelima kašnjenja (ADL) su modeli u kojima je trenutna vrijednost objašnjene varijable zbir linearne funkcije nekoliko zaostalih vrijednosti ove varijable, linearne kombinacije struje i nekoliko zaostalih vrijednosti objašnjenih varijabli i slučajna greška.

Prijenosna funkcija je matrična funkcija koja utvrđuje učinak promjena jedinica u egzogenim varijablama na endogene varijable.

Proces generiranja podataka (DGP) je vjerojatnostni model koji generiše vidljive statističke podatke. Proces generisanja podataka obično je nepoznat istraživaču koji analizira podatke. Izuzetak su situacije kada istraživač sam bira proces generisanja podataka i dobija veštačke statističke podatke simulacijom odabranog procesa generisanja podataka.

Statistički model (SM) je model odabran za evaluaciju, čija struktura se pretpostavlja da odgovara procesu generisanja podataka. Izbor statističkog modela vrši se na osnovu postojeće ekonomske teorije, analize dostupnih statističkih podataka i analize rezultata ranijih studija.

Stacionarni vektorski (AG-dimenzionalni) niz (K-dimenzionalni stacionarni vremenski niz) - niz slučajnih vektora dimenzije K, koji imaju iste vektore matematičkih očekivanja i iste matrice kovarijanse, za koje postoje unakrsne korelacije (unakrsne korelacije) između vrijednost k-te komponente serije u trenutku t i vrijednost 1. komponente serije u trenutku (t + s) zavise samo od s.

Za odeljak 9

Hipoteza jediničnog korijena (UR - hipoteza jediničnog korijena) - hipoteza formulirana unutar ARMA(^, q) modela: a(L)Xt = b(L)cr Hipoteza da autoregresivni polinom a(L) ARMA modela ima najmanje jedan korijen jednak 1. U ovom slučaju se obično pretpostavlja da polinom a(L) nema korijen čiji je modul manji od 1.

Diferencijacija – prelazak sa serije nivoa Xt na seriju razlika Xt Xt_v Konzistentna diferencijacija serije omogućava da se eliminiše stohastički trend prisutan u originalnoj seriji.

Integrisana reda k serije - serija Xn koja nije stacionarna ili stacionarna u odnosu na deterministički trend (tj. nije TS-serija) i za koju je serija dobijena kao rezultat ^-struke diferencijacije serije Xn stacionarna , ali serija dobijena kao rezultat (k 1)-struke diferencijacije serije Xr nije HY-serija.

Kointegracioni odnos je dugoročan odnos između nekoliko integrisanih serija, koji karakteriše ravnotežno stanje sistema ovih serija.

Model ispravljanja grešaka je kombinacija kratkoročnih i dugoročnih modela dinamičke regresije u prisustvu kointegracijskog odnosa između integriranih serija.

Operator diferencijacije - operator A, transformira niz nivoa Xt u niz razlika:

Prekomjerno diferencirane vremenske serije - serija dobivena kao rezultat diferencijacije G5-serije. Dosljedna diferencijacija serije GO pomaže eliminirati deterministički polinomski trend. Međutim, diferencijacija T-serije ima neke nepoželjne posljedice pri odabiru modela iz statističkih podataka i korištenju odabranog modela u svrhu predviđanja budućih vrijednosti serije.

Razlika stacionarna, LU-serija (DS - diferencijalna stacionarna vremenska serija) - integrisani nizovi raznih redova k = 1,2, ... Svode se na stacionarni niz jednostrukim ili višestrukim diferencijacijom, ali se ne mogu svesti na stacionarni niz oduzimanjem determinističkog trenda.

Niz tipa ARIMA(p, A, q) (ARIMA - autoregresivni integrisani pokretni prosek) je vremenska serija koja se, kao rezultat ^-struke diferencijacije, svodi na stacionarni niz ARMA(p, q).

Serija stacionarna u odnosu na deterministički trend, G5-serija

(TS - trend-stacionarne vremenske serije) - serije koje postaju stacionarne nakon što se od njih oduzme deterministički trend. Klasa takvih serija uključuje i stacionarne serije bez determinističkog trenda.

Slučajno hodanje, proces slučajnog hoda - slučajni proces čiji koraci formiraju proces bijelog šuma: AXt st, pa Xt = Xt_ x + êg

Slučajno hodanje sa pomakom, nasumično hodanje sa pomakom (nasumično hodanje sa pomakom) je slučajni proces, čiji su priraštaji zbir konstante i procesa belog šuma: AXt = Xt Xt_ x = a + st, tako da je Xt = Xt_x + a + npr. Konstanta a karakterizira drift putanja slučajnog hoda koji je stalno prisutan tokom prijelaza u sljedeći trenutak u vremenu, na koji je nasumična komponenta superponirana.

Stohastički trend - vremenska serija Zt za koju

Z, = êh + ê2 + ... + et. Vrijednost slučajnog hoda u trenutku t je t

Xt = H0 + ^ ê8, pa Xt H0 = êh + ê2 + ... + êg Drugim riječima, model

stohastički trend - proces nasumičnog hoda, „izlazi iz početka koordinata“ (za njega X0 = 0).

Šok inovacija je jednokratna (impulsna) promjena u inovaciji.

Slutsky efekt je učinak formiranja lažne periodičnosti pri diferenciranju serije koja je stacionarna u odnosu na deterministički trend. Na primjer, ako je originalni niz zbir determinističkog linearnog trenda i bijelog šuma, tada diferencirani niz nema deterministički trend, već se ispostavlja da je autokoreliran.

^-hipoteza (TS hipoteza) - hipoteza da je vremenska serija koja se razmatra stacionarna ili stacionarna u odnosu na deterministički trend.

Za odeljak 10

Dugoročna odstupanja - za seriju sa nultim matematičkim očekivanjima definirana je kao granica

Var(ux +... + it)

G-jus T T-+OD

Dickey-Fuller testovi su grupa statističkih kriterija za testiranje hipoteze jediničnog korijena u okviru modela koji pretpostavljaju nulto ili različito od nule matematičko očekivanje vremenske serije, kao i moguće prisustvo determinističkog trenda u seriji.

Prilikom primjene Dickey-Fuller kriterija najčešće se evaluiraju statistički modeli

pAxt = a + (3t + cpxt_x + +ê*> t = P + h---,T,

Axt =a + cpxt_x + ^0jAxt_j +£*, t = /7 + 1,..., G,

Axt = cpxt_x + ]T 6j Axt_j +êp t = p +1,..., T.

/-statistike/vrijednosti dobijene tokom evaluacije ovih statističkih modela za testiranje hipoteze H0: cp = O upoređuju se sa kritičnim vrijednostima /crit, u zavisnosti od izbora statističkog modela. Hipoteza jediničnog korijena se odbacuje ako je f< /крит.

Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test (KPSS test) je kriterijum za razlikovanje DS i G5-serije, u kojem se ha-hipoteza uzima kao nulta jedinica.

Leybourneov test je kriterij za testiranje hipoteze jediničnog korijena, čija je statistika jednaka maksimalnoj od dvije vrijednosti Dickey-Fullerove statistike dobivene iz originalne serije i iz vremenski obrnute serije.

Perronov test - kriterij za testiranje nulte hipoteze da serija pripada DS klasi, generalizirajući Dickey-Fullerov postupak na situacije u kojima tokom perioda posmatranja dolazi do strukturnih promjena u modelu u nekom trenutku vremena Tb u obliku bilo kojeg pomeranje nivoa (model „kolapsa”) ili promena nagiba trenda (model „promena rasta”), ili kombinacija ove dve promene. Pretpostavlja se da je trenutak Tb određen egzogeno - u smislu da se ne bira na osnovu vizuelnog pregleda grafa serije, već je povezan sa trenutkom poznate velike promene ekonomske situacije, koja značajno utiče na ponašanje dotične serije.

Hipoteza jediničnog korena se odbacuje ako je posmatrana vrednost statistike ta testa ispod kritičnog nivoa, tj. Ako

Asimptotske distribucije i kritične vrijednosti za statistiku ta9 koju je prvobitno dao Perron vrijede za modele s inovacijama.

Phillips-Perronov test - kriterij koji svodi testiranje hipoteze da serija xt pripada klasi DS-serije na testiranje hipoteze R0: av = O u okviru statističkog modela

SM: kxt=a + f3t + (pxt_x+un t = 2,...,T,

gdje se, kao u Dickey-Fullerovom kriteriju, parametri an p mogu uzeti jednakim nuli.

Međutim, za razliku od Dickey-Fullerovog kriterija, šira klasa vremenskih serija je dozvoljena za razmatranje.

Kriterijum se zasniva na G-statistici za testiranje hipoteze H0:<р = О, но использует вариант этой статистики Zn скорректированный на возможную автокоррелированность и гетероскедастичность ряда иг

Schmidt-Phillipsov test - kriterij za testiranje hipoteze jediničnog korijena unutar modela

gdje je wt = jSwt_x + st; t - 2,G;

y/ - parametar koji predstavlja nivo; £ je parametar koji predstavlja trend.

DF-GLS kriterij (DF-GLS test) je kriterij koji je asimptotski moćniji od Dickey-Fullerovog kriterija.

Kurtoza je koeficijent distribucije vrhunca.

Model aditivnog outlier-a je model u kojem, nakon prolaska kroz datum prekida Tb, yt serija odmah počinje da oscilira oko novog nivoa (ili nove linije trenda).

Inovacijski outlier model je model u kojem, nakon prolaska kroz datum prekida Tv, proces yt tek postepeno dostiže novi nivo (ili novu liniju trenda), oko koje trajektorija serije počinje oscilirati.

Multivarijantni postupak za testiranje hipoteze jediničnog korijena (Dolado, Jenkinson, Sosvilla-Rivero) - formalizirani postupak za korištenje Dickey-Fullerovih kriterija uz sekvencijalnu provjeru mogućnosti redukcije originalnog statističkog modela, kojim se model smatra

PAxt = a + fit + (pxt_x + ^0jAxt-j +£7> t = P + h---9T.

Preduvjet za korištenje formalizirane multivarijantne procedure je mala snaga jediničnih korijenskih testova. Stoga, multivarijantna procedura uključuje ponovljene testove hipoteze jediničnog korijena u jednostavnijim modelima s manje parametara za procjenu. Ovo povećava vjerovatnoću ispravnog odbacivanja hipoteze jediničnog korijena, ali je praćeno gubitkom kontrole nad nivoom značaja procedure.

Generalizirani Perronov test - bezuvjetni kriterij koji su predložili Zivot i Andrews (vezano za inovativne emisije), u kojem se datiranje tačke promjene režima provodi u „automatskom režimu“, pretraživanjem svih mogućih opcija datiranja i izračunavanjem za svako datiranje opcija / -statistics ta za testiranje hipoteze jediničnog korijena; Za procijenjeni datum se uzima onaj za koji je vrijednost ta minimalna.

Cochrane postupak, test omjera varijanse - postupak za razlikovanje TS i /)5-serije, na osnovu specifičnog ponašanja ovih

serije relacije VRk = -, gdje je Vk = -D(Xt -Xt_k).

Standardno Brownovo kretanje je slučajni proces W(r) s kontinuiranim vremenom, koji je kontinuirani analog diskretnog slučajnog hoda. Ovo je proces za koji:

inkrementi (W(r2) W(r()),(W(rk) W(rk_x)) su kolektivno nezavisni ako je 0< rx < г2 < ... < гк и W(s) W(r) ~ N(0, s г) при s >G;

realizacije procesa W(r) su kontinuirane sa vjerovatnoćom 1.

Veličina prozora je broj autokovarijanci uzorka serije koji se koristi u Newey-West estimatoru za dugoročnu varijansu serije. Nedovoljna širina prozora dovodi do odstupanja od nominalne veličine kriterijuma (nivoa značajnosti). Istovremeno, povećanje širine prozora kako bi se izbjegla odstupanja od nominalne veličine kriterija dovodi do smanjenja snage kriterija.

Dvodimenzionalni Gausov bijeli šum je niz nezavisnih, identično raspoređenih slučajnih vektora koji imaju dvodimenzionalnu normalnu distribuciju sa nultim matematičkim očekivanjem.

Deterministička kointegracija (stohastička kointegracija) je postojanje za grupu integrisanih nizova njihove linearne kombinacije, poništavajući stohastičke i determinističke trendove. Niz predstavljen ovom linearnom kombinacijom je stacionaran.

Identifikacija kointegrirajućih vektora je odabir osnove za kointegrirajući prostor, koji se sastoji od kointegrirajućih vektora koji imaju razumnu ekonomsku interpretaciju.

Kointegrirajući prostor je skup svih mogućih kointegrirajućih vektora za kointegrirajući sistem nizova.

Kointegrisane vremenske serije, kointegrisane vremenske serije u užem smislu, je grupa vremenskih serija za koje postoji netrivijalna linearna kombinacija ovih serija, a to je stacionarni niz.

Kointegrirajući vektor je vektor koeficijenata netrivijalne linearne kombinacije nekoliko serija, koji je stacionarni niz.

Test maksimalne svojstvene vrijednosti je kriterij koji se, u Johansenovom postupku za procjenu kointegracijskog ranga g sistema integriranih (red 1) nizova, koristi za testiranje hipoteze H0: r = r* u odnosu na alternativnu hipotezu HA: r = r* + 1.

Test praćenja je kriterijum koji se, u Johansenovom postupku za procenu kointegracijskog ranga g sistema integrisanih (red 1) nizova, koristi za testiranje hipoteze H0: r = r* u odnosu na alternativnu hipotezu HA: r > g* .

Uobičajeni trendovi su grupa serija koje kontrolišu stohastičku nestacionarnost sistema kointegrisanih serija.

Grangerova kauzalnost je činjenica poboljšanja kvaliteta prognoze vrijednosti yt varijable Y u trenutku t na osnovu ukupnosti svih prošlih vrijednosti ove varijable, uzimajući u obzir prošle vrijednosti neke druge varijable.

Pet situacija u Johansenovoj proceduri - pet situacija od kojih zavise kritične vrednosti statistike kriterijuma omjera verovatnoće koja se koristi u Johansenovoj proceduri za procenu kointegracijskog ranga sistema integrisanih (red 1) serija:

H2(d): nema determinističkih trendova u podacima, ni konstanta ni trend nisu uključeni u SE;

H*(g): nema determinističkih trendova u podacima,

CE uključuje konstantu, ali ne uključuje trend;

Hx (g): podaci imaju deterministički linearni trend, CE uključuje konstantu, ali ne uključuje trend;

N*(r) postoji deterministički linearni trend u podacima, konstantni i linearni trend su uključeni u SE;

N(g): podaci imaju deterministički kvadratni trend, CE uključuje konstantan i linearni trend.

(Ovdje je CE kointegracijska jednačina.)

Za fiksni rang r, navedenih 5 situacija čine lanac ugniježđenih hipoteza:

H2(g) sa H*(g) sa I, (g) sa Ng) sa H(g).

Ovo omogućava da se, koristeći kriterijum omjera vjerovatnoće, testira ispunjenje hipoteze koja se nalazi lijevo u ovom lancu u okviru hipoteze koja se nalazi odmah desno.

Kointegrirajući rang je maksimalni broj linearno nezavisnih kointegrirajućih vektora za datu grupu serija, rang kointegrirajućeg prostora.

Stohastička kointegracija je postojanje za grupu integrisanih nizova linearne kombinacije koja poništava stohastički trend. Serija predstavljena ovom linearnom kombinacijom ne sadrži stohastički trend, ali može imati deterministički trend.

Phillipsov trokutasti sistem je reprezentacija TV sistema kointegrisanih serija sa kointegracionim rangom r u obliku sistema jednačina, od kojih prvi r opisuje zavisnost r odabranih varijabli od preostalih (N r) varijabli (opći trendovi) , a preostale jednačine opisuju modele za generiranje općih trendova.

TV-dimenzionalni Gausov bijeli šum (N-dimenzionalni Gausov bijeli šum) je niz nezavisnih, identično raspoređenih slučajnih vektora koji imaju TV-dimenzionalnu normalnu distribuciju sa nultim matematičkim očekivanjem.

asimptotski optimalno

- koncept koji kaže da je procjena nepristrasna u granici. Neka je niz slučajnih varijabli na prostoru vjerovatnoće, gdje je R jedna od mjera porodice...
Mathematical Encyclopedia
- koncept koji potvrđuje nepristrasnost kriterija u granicama...
Mathematical Encyclopedia
- rješenje diferencijalnog sistema koje je stabilno po Ljapunovu i privlači sva druga rješenja sa dovoljno bliskim početnim vrijednostima...
Mathematical Encyclopedia
- koncept koji proširuje ideju efikasne procjene na slučaj velikih uzoraka. Nedvosmislena definicija A. e. O. nema. Na primjer, u klasici opciji govorimo o asimptotici...
Mathematical Encyclopedia
- poželjno, svrsishodno...
Referentni komercijalni rječnik
- 1. najbolji, najpovoljniji, najprikladniji određenim uslovima i zadacima 2...
Veliki ekonomski rječnik
- najpovoljniji, najbolji mogući...
Velika sovjetska enciklopedija
- najbolji, najprikladniji za određene uslove i zadatke...
Moderna enciklopedija
- najbolji, najprikladniji za određene uslove i zadatke...
Veliki enciklopedijski rečnik
- ...
- ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- ...
Pravopisni rječnik-priručnik

"asimptotski optimalan" u knjigama

Optimalni vizualni kontrast (OVC)

Iz knjige Boja i kontrast. Tehnologija i kreativni izbor autor Železnjakov Valentin Nikolajevič

Optimalni vizualni kontrast (OVC) Zamislite crno odijelo obasjano suncem i bijelu košulju obasjanu mjesecom. Ako instrumentom izmjerimo njihovu svjetlinu, ispada da je pod ovim uvjetima crno odijelo višestruko svjetlije od bijele košulje, a ipak znamo da

Koja je optimalna skala?

Iz knjige Twitonomics. Sve što trebate znati o ekonomiji, ukratko i konkretno od Compton Nicka

Koja je optimalna skala? Autor koncepta optimalne skale je njemačko-britanski filozof Fric Šumaher, autor knjige „Manje je bolje: Ekonomija kao ljudska suština.“ On je rekao da kapitalistička sklonost ka „gigantizmu“ nije samo

8.4.2. Optimalni put rasta

Iz knjige Ekonomska teorija: Udžbenik autor Makhovikova Galina Afanasjevna

8.4.2. Optimalni put rasta Pretpostavimo da cijene resursa ostaju nepromijenjene, dok budžet preduzeća stalno raste. Povezivanjem tangentnih tačaka izokvanti sa izokostama dobijamo liniju 0G - „put razvoja“ (puta rasta). Ova linija pokazuje stopu rasta omjera

Najbolja opcija

Iz knjige SSSR: od propasti do svjetske sile. Sovjetski proboj od Boffa Giuseppea

Optimalna opcija U vatri bitaka 1928. rođen je prvi petogodišnji plan. Počevši od 1926. godine, dvije institucije, Gosplan i VSNKh, pripremale su različite nacrte planova jedan za drugim. Njihov razvoj pratile su kontinuirane rasprave. Kao jedna šema

OPTIMALNA OPCIJA

Iz knjige Ruski rok. Mala enciklopedija autor Bushueva Svetlana

Optimalno

Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (OP) autora TSB

Optimalan red

Iz knjige CSS3 za web dizajnere od Siderholma Dan

Optimalni redosled Kada koristite prefikse pretraživača, važno je voditi računa o redosledu po kojem su svojstva navedena. Možda ćete primijetiti da su u prethodnom primjeru prvo napisana svojstva prefiksa, nakon čega slijedi svojstvo bez prefiksa. Zašto staviti original

Optimalna osoba

Iz knjige Computerra Magazin br.40 od 31.10.2006 autor Computerra magazine

Optimalna osoba Autor: Vladimir Guriev Neke teme koje su bile popularne prije četrdesetak godina danas izgledaju toliko marginalno da se o njima gotovo i ne razgovara ozbiljno. U isto vrijeme - sudeći po tonu članaka u popularnim časopisima - djelovali su relevantno i čak

Najbolja opcija

Iz knjige Staljinov prvi udar 1941. [Zbirka] autor Kremlev Sergey

Optimalna opcija Analiza mogućih scenarija razvoja događaja neminovno navodi na razmišljanje o izboru optimalne opcije. Ne može se reći da razne “ljetne” opcije, odnosno alternative vezane za maj-juni-juli 1941. godine, ulijevaju optimizam. Ne, oni

Najbolja opcija

Iz knjige Velika patriotska alternativa autor Isaev Aleksej Valerijevič

Optimalna opcija Analiza mogućih scenarija razvoja događaja neminovno navodi na razmišljanje o izboru optimalne opcije. Ne može se reći da različite “ljetne” opcije, odnosno alternative vezane za maj – jun – juli 1941., ulijevaju optimizam. Ne, oni

Optimalna kontrola

Iz knjige Samopoštovanje kod djece i adolescenata. Knjiga za roditelje od Eyestad Gyru

Optimalna kontrola Šta znači držati umjereno čvrsto? To morate sami utvrditi na osnovu poznavanja vlastitog djeteta i uslova sredine u kojoj živite. U većini slučajeva roditelji tinejdžera pokušavaju da zaštite svoju djecu od pušenja, pijenja alkohola,

Optimalan način

Iz knjige Perfekcionistički paradoks od Ben-Shahar Tal

Optimalni put Stalno smo bombardirani savršenstvom. Adonis krasi naslovnicu Men’s Healtha, Elena The Beautiful krasi naslovnicu Voguea; žene i muškarci na velikom ekranu, za sat-dva, rješavaju svoje sukobe, glume idealan zaplet, prepuštaju se idealnoj ljubavi. Svi smo čuli

Optimalan pristup

Iz knjige Vještak br. 07 (2013) autorski stručni časopis

Optimalan pristup Sergej Kostjajev, kandidat političkih nauka, viši istraživač na INION RAS Ministarstvo odbrane SAD potrošilo je milijardu dolara na nefunkcionalni kompjuterski program Foto: EPA Od 1. marta potrošnja Pentagona će verovatno biti smanjena za 43 milijarde

Najbolja opcija

Iz knjige Two Seasons autor Arsenjev L

Optimalna opcija - Recite mi, da li je pametno igrati na nekoliko frontova odjednom? - pitali su novinari Bazilevič i Lobanovski na samom početku sezone '75. "To je nerazumno, naravno", odgovorili su. - Ali neophodno je. Vjerujemo da je imperativ razlikovati značaj

Optimalna kontrola

Iz knjige Upravljanje ličnim (porodičnim) finansijama. Sistemski pristup autor Steinbock Mikhail

Optimalna kontrola >> Kod optimalne kontrole sve troškove dijelimo u dvije velike grupe: – „obični“ – redovni troškovi, – jednokratni ili nestandardni troškovi Optimalna kontrola se može koristiti tek nakon višemjesečne detaljne kontrole.

Asimptotičko ponašanje (ili asimptotika) funkcije u blizini određene tačke a (konačne ili beskonačne) shvata se kao priroda promene funkcije dok njen argument x teži ovoj tački. Obično pokušavaju da to ponašanje predstave pomoću druge, jednostavnije i proučavane funkcije, koja u blizini tačke a sa dovoljnom tačnošću opisuje promjenu funkcije koja nas zanima ili procjenjuje njeno ponašanje s jedne ili druge strane. S tim u vezi, javlja se problem poređenja prirode promjene dvije funkcije u blizini tačke a, povezane sa razmatranjem njihovog količnika. Posebno su zanimljivi slučajevi kada su za x a obje funkcije ili beskonačno male (beskonačno velike) ili beskonačno velike (beskonačno velike). 10.1. Poređenje infinitezimalnih funkcija Glavna svrha poređenja b.m. funkcije se sastoji u poređenju prirode njihovog približavanja nuli na x a, ili brzine njihovog približavanja nuli. Neka b.m. za x a funkcije a(i) i P(x) su različite od nule u nekom probušenom susjedstvu (a) tačke a, au tački a jednake su nuli ili nisu definirane. Definicija 10.1. Funkcije a(x) i 0(x) nazivaju se b.m. istog reda za a i napišite og(a:) = u O (/?(«)) (simbol O se čita „O veliki“), ako na x a postoji konačna granica omjera a različita od nule (x)//?( i), tj. Očigledno, tada, prema (7.24), Βi € R\(0) i vrijedi notacija X^a0[a(x)). Simbol O ima svojstvo tranzitivnosti, tj. ako - u stvari, uzimajući u obzir definiciju 10.1 i svojstvo proizvoda funkcija (vidi (7.23)) koji imaju konačne (u ovom slučaju različite od nule) granice, dobijamo ASIMPTOTSKO PONAŠANJE FUNKCIJA. Poređenje infinitezimalnih Definicija 10.2 Funkcija a(x) poziva bm višeg reda malenosti u poređenju sa (3(x) (ili u odnosu na /3(x)) za x a i piše) (simbol o se čita kao mali ako granica omjera a postoji i jednaka je nuli. U ovom slučaju se također kaže da je funkcija nižeg reda malenosti u odnosu na a(x) za x a, a riječ malenkost se obično izostavlja (kao u slučaju višeg reda u definiciji 10.2).To znači da ako je lim (onda funkcija /)(x) prema definiciji 10.2, b.m. viši red u poređenju sa a(x) za x a i a(i) su b.m. nižeg reda u odnosu na /3(x) za x a, jer u ovom slučaju lijTi (fi(x)/ot(x)) . Dakle, prema teoremi 7.3 možemo pisati o vezi između funkcije, njene granice i b.m. funkcije iz (10.3) slijedi da je ot) funkcija, b.m. at. Dakle, a(x), tj. vrijednosti |a(z)| za x blizu a, vrijednosti \0(x)\ su mnogo manje. Drugim riječima, funkcija a(x) teži nuli brže od funkcije /?(x). Teorema 10.1. Proizvod bilo kojeg b.m. za x a funkcije a(x) i P(x)) se razlikuju od nule u nekom probušenom okruženju tačke a, postoje za x-¥a b.m. funkcija višeg reda u poređenju sa svakim od faktora. Zaista, prema definiciji 10,2 b.m. višeg reda (uzimajući u obzir definiciju 7.10 b.m. funkcije), jednakosti znače valjanost teoreme. Jednačine koje sadrže simbole O i o ponekad se nazivaju asimptotske procjene. Definicija 10.3. Funkcije ot(x) i /3(x) nazivaju se neuporedivim b.m. za x -¥ a, ako ne postoji ni konačna ni beskonačna granica njihovog odnosa, tj. ako je $ lim a(x)/0(x) (p £ kao i $ lim 0(x)/a(x)). Primjer 10.1. A. Funkcije a(x) = x i /?(x) = sin2ar po definiciji 10.1 - b.m. istog reda pri x 0, budući da je uzimajući u obzir (b. Funkcija a(x) = 1 -coss, po definiciji 10.2, b.m višeg reda u poređenju sa 0(x) = x na x 0, pošto je sa uzimajući u obzir c. Funkcija a(zz) = \/x je nižeg reda u poređenju sa fl(x) = x za x 0, pošto g. Funkcije a(s) = = x prema definiciji 10.3 su neuporedive b.m. na x 0, budući da granično ASIMPTOTSKO PONAŠANJE FUNKCIJA Poređenje infinitezimalnih funkcija ne postoji (ni konačne ni beskonačne – vidi primjer 7.5). višeg reda u odnosu na xn~1) tj. yapa = ao(a:n"*1), budući da je lim (xL/xn"1) = Ako je neophodan tačniji uporedni opis ponašanja b.m. funkcije za x - a jedna od njih se bira kao neka vrsta standarda i naziva se glavna. Naravno, izbor glavnog b.m. donekle proizvoljno (pokušavaju izabrati jednostavniji: x za x -*0; x-1 za x -41; 1/x za x ->oo, itd.). Od stepeni 0k(x) glavni b.m. funkcije /)(x) sa različitim eksponentima k > 0 (jer k ^ 0 0k(x) nije b.m.) čine vezu za poređenje za procjenu složenijeg b.m. funkcije a(z). Definicija 10.4. Funkcija a(z) naziva se b.m. k-tog reda malenosti u odnosu na (3(x) za x a, a broj k je reda male veličine ako su funkcije a(z) i /Zk(x) istog reda za x a), tj. ako se riječ "malost" obično izostavi u ovom slučaju. Napomena: 1) red k jedne b.m. funkcije u odnosu na drugu može biti bilo koji pozitivan broj; 2) ako je red funkcije a(x) u odnosu na /3( x) jednako k, tada je red funkcije P(x) u odnosu na a(x) jednak 1/k; 3) ne uvijek za bm funkciju a(x), čak i uporediv sa svim potencijama /? *(x), možete specificirati određeni red k. Primjer 10.2. A. Funkcija cosx, prema definiciji 10.4, - b.m. reda k = 2 u odnosu na 0(x) = x za x 0, budući da se uzima u obzir b. Pogledajmo funkcije. Pokažimo da za bilo koji Indeed, prema (7.32). Dakle, b.m. za x -»+0 funkcija a1/1 je uporediva sa xk za bilo koje k > 0, ali za ovu funkciju nije moguće naznačiti red male u odnosu na x. # Odredite redoslijed jednog b.m. funkcije u odnosu na drugu nije uvijek lako. Možemo preporučiti sledeću proceduru: 1) zapisati relaciju a(x)/0k(x) pod znakom granice 2) analizirati napisanu relaciju i pokušati je pojednostaviti; 3) na osnovu poznatih rezultata napraviti pretpostavku o mogućoj vrednosti k) pri kojoj će postojati konačna granica različita od nule; 4) provjeriti pretpostavku izračunavanjem granice. Primjer 10.3. Odredimo red b.m. funkcije tgx - sin x u odnosu na x za x -» 0, tj. Nađimo broj k > O takav da imamo ASIMPTOTSKO PONAŠANJE FUNKCIJA. Poređenje infinitezimalnih funkcija. U ovoj fazi, znajući da za x 0, prema (7.35) i (7.36), (sinx)/x 1 i cosx -> 1, i uzimajući u obzir (7.23) i (7.33), možemo odrediti taj uslov ( 10.7) će se ispuniti pri k = 3. Zaista, direktno izračunavanje granice pri k = 3 daje vrijednost A = 1/2: Imajte na umu da za k > 3 dobijamo beskonačnu granicu, a na granici će biti jednaka na nulu.

Teza

Stoga je jedan od načina razvoja testiranja statističkih hipoteza bio put „empirijske“ konstrukcije kriterijuma, kada se konstruisana statistika kriterijuma zasniva na određenom principu, genijalnoj ideji ili zdravom razumu, ali njegova optimalnost nije garantovano. Kako bi se opravdala upotreba takve statistike pri testiranju hipoteza na određenu klasu alternativa, najčešće metodom...

1. Prateće informacije
- 1. 1. Informacije iz teorije C/- i V-statistike
- 1. 2. Definicija i proračun Bahadur efikasnosti
- 1. 3. O velikim devijacijama II- i V-statistike
2. Baringhouse-Hentzeov kriterij simetrije
- 2. 1. Uvod
- 2. 2. Statistika
- 2. 3. Statistika
3. Kriterijumi eksponencijalnosti
- 3. 1. Uvod
- 3. 2. Statistika I
- 3. 3. Statistika br
4. Kriterijumi normalnosti
- 4. 1. Uvod
- 4. 2. Statistika B^
- 4. 3. Statistika V^n
- 4. 4. Statistika V|)P
5. Kriterijumi za slaganje sa Cauchyjevim zakonom
- 5. 1. Uvod
- 5. 2. Statistika
- 5. 3. Statistika

Asimptotska svojstva simetrije i kriterijumi slaganja zasnovani na karakterizaciji (esej, rad, diploma, test)

Ova disertacija konstruiše i proučava kriterijume dobrote uklapanja i simetrije na osnovu karakterizacionih svojstava distribucija, a takođe izračunava njihovu asimptotičku relativnu efikasnost za brojne alternative.

Izgradnja statističkih kriterijuma i proučavanje njihovih asimptotičkih svojstava jedan je od najvažnijih problema matematičke statistike. Prilikom testiranja jednostavne hipoteze protiv jednostavne alternative, problem se rješava korištenjem Neyman-Pearsonove leme, koja, kao što je poznato, daje optimalni (najmoćniji) kriterij u klasi svih kriterija datog nivoa. Ovo je test omjera vjerovatnoće.

Međutim, za teže i praktičnije probleme testiranja hipoteza koji uključuju ili testiranje složenih hipoteza ili razmatranje složenih alternativa, jednolično najmoćniji testovi rijetko postoje, a uloga testa omjera vjerovatnoće se značajno mijenja. Statistika omjera vjerovatnoće se obično ne može eksplicitno izračunati, gubi svojstvo optimalnosti, a njegova distribucija je nestabilna na promjene u statističkom modelu. Štaviše, statističar često uopšte ne može da odredi vrstu alternative, bez koje konstrukcija parametarskih kriterijuma postaje besmislena.

Tipični primjeri takve statistike su statistika znakova, Pearsonova x2 statistika (1900), statistika Kolmogorova (1933), koja mjeri ujednačenu udaljenost između empirijske i prave funkcije distribucije, Kendallov koeficijent korelacije ranga (1938) ili Bikel- Rosenblatt statistika (1973), zasnovana na kvadratnom riziku procjene nuklearne gustoće. Trenutno matematička statistika ima na desetine „empirijskih“ statistika za testiranje hipoteza o slaganju, simetriji, homogenosti, slučajnosti i nezavisnosti, a u literaturi se stalno predlaže sve više statistika ovog tipa. Ogromna literatura posvećena je proučavanju njihovih tačnih i graničnih distribucija, procjenama stope konvergencije, velikim devijacijama, asimptotičkim proširenjima itd.

Da bi se opravdala upotreba takve statistike pri testiranju hipoteza u odnosu na određenu klasu alternativa, njihova se snaga najčešće izračunava pomoću statističkog modeliranja. Međutim, za bilo koji konzistentan kriterij, snaga teži jedinstvu kako se veličina uzorka povećava, te stoga nije uvijek informativna. Dublja analiza komparativnih svojstava statistike može se izvršiti na osnovu koncepta asimptotske relativne efikasnosti (ARE). Različite pristupe izračunavanju AOE predložili su E. Pitman, J. Hodges i E. Lehman, R. Bahadur, G. Chernov i W. Kallenberg sredinom 20. stoljeća, a rezultati razvoja teorije AOE sredinom 20. stoljeća Devedesete su sažete u monografiji. Općeprihvaćeno je mišljenje da sintezu novih kriterija treba pratiti ne samo analizu njihovih svojstava, već i proračun AOE kako bi se ocijenio njihov kvalitet i dale informirane preporuke za njihovu primjenu u praksi.

Ovaj rad koristi ideju konstruisanja kriterijuma zasnovanih na karakterizaciji distribucija svojstvom ekvidistributivnosti. Teorija karakterizacije potiče iz rada D. Polya, objavljenog 1923. godine. Zatim je razvijena u radovima I. Martsinkeviča, S. N. Bernsteina, E. Lukacha, Yu. V. Linnika, A.A. Singer, J. Darmois, V.P. Skitovich, S.R. Pao, A.M. Kagan, J. Galambos, S. Kotz, L. B. Klebanov i mnogi drugi matematičari. Literatura o ovoj temi je velika, a trenutno postoji nekoliko monografija posvećenih karakterizaciji, na primjer, , , , , , , .

Ideja konstruisanja statističkih kriterijuma zasnovanih na karakterizaciji svojstvom ekvidistribucije pripada Yu. V. Linniku. Na kraju svog opsežnog rada napisao je: „. može se postaviti pitanje konstruisanja kriterijuma za slaganje uzorka sa kompleksnom hipotezom, na osnovu identične raspodele dve odgovarajuće statistike gi (xi> .xr) i g2(x, ¦¦¦xr) i na taj način redukuje pitanje kriterija homogenosti.”

Vratimo se klasičnoj Polyinoj teoremi da na konkretnom primjeru objasnimo kako ovaj pristup može funkcionirati. U svom najjednostavnijem obliku, ova teorema je formulirana na sljedeći način.

Polyin teorem. Neka su X i Y dva nezavisna i identično raspoređena centrirana s. V. Zatim s. V. (X + Y)//2 i X su identično raspoređeni ako i samo ako je zakon raspodjele X normalan.

Pretpostavimo da imamo uzorak centriranih nezavisnih opservacija Xi, ., Xn i želimo da testiramo (kompleksnu) nultu hipotezu da je distribucija ovog uzorka normalna sa srednjom 0 i nekom varijansom. Koristeći naš uzorak, konstruirajmo uobičajenu empirijsku funkciju raspodjele (d.f.) n

Fn (t) = n-^VD

Gn(t) = n~2? VD + Xj< iv^}, t <= R1. i, j=l

Na osnovu Glivenko-Cantellijeve teoreme, koja vrijedi i za V-statističke empirijske d.f. , za velike n funkcija Fn(t) jednoliko se približava d.f. F (t) = P (X< t), а функция Gn (t) равномерно сближается с G (t) = ЦХ + У < tV2). Поскольку при нулевой гипотезе F = G, то Fn (t) близка к Gn (t), и критерий значимости можно основывать на подходящем функционале Тп от разности Fn (t) — Gn (t). Напротив, при альтернативе (то есть при нарушении нормальности) по теореме Пойа F ф G, что приводит к большим значениям Тп и позволяет отвергнуть нулевую гипотезу, обеспечивая состоятельность критерия.

Međutim, ovaj dizajn, zasnovan na ideji Yu. V. Linnika, nije dobio gotovo nikakav razvoj, možda zbog tehničkih poteškoća u konstruisanju i analizi rezultujućih kriterijuma. Drugi razlog je vjerovatno taj što su karakterizacije distribucija svojstvom ekvidistribucije rijetke i daleke.

Znamo za samo nekoliko radova koji su u jednom ili drugom stepenu posvećeni razvoju ideje Yu. V. Linnika. To su radovi Baringhousea i Henzea i Mulierea i Nikitina, o kojima će biti riječi u nastavku. Postoje i radovi u kojima se kriteriji dobrote uklapanja za specifične distribucije također konstruiraju na osnovu karakterizacija, ali ne i na osnovu ekvidistribucije, na primjer, , , , , , , , .

Najčešća upotreba u literaturi je karakterizacija eksponencijalne distribucije koristeći različite varijante svojstva bez memorije , , , , , , .

Treba napomenuti da se u gotovo svim ovim radovima (osim možda) AOE kriterija koji se razmatraju ne izračunavaju niti raspravljaju. U ovoj tezi ne samo da proučavamo asimptotička svojstva poznatih i naših predloženih kriterija baziranih na karakterizaciji, već i izračunavamo njihov lokalni egzaktni (ili približni) AOE prema Bahaduru.

Hajde da sada definišemo koncept AOE. Neka su (Tn) i (1^) dva slijeda statistike konstruirane iz uzorka X,., Xn sa raspodjelom Pd, gdje je u € 0 C R1, a nulta hipoteza Ho je testirana: 9 € u C protiv alternative A: u € ©-x = ©-6o. Neka je Mm (a, P,0) minimalna veličina uzorka X[,., Xn, za koju sekvenca (Tn) sa datim nivoom značajnosti, a > 0 dostiže snagu /3< 1 при альтернативном значении параметра в € (c)1- Аналогично вводится в). Относительной эффективностью критерия, основанного на статистике Тп, по отношению к критерию, основанному на Уп, называется величина равная обратному отношению указанных выборочных объемов:

Budući da se relativna efikasnost kao funkcija tri argumenta ne može eksplicitno izračunati čak ni za najjednostavniju statistiku, uobičajeno je uzeti u obzir granice:

Ptet, y (a,/?, 0), Ntet, y (a,/3,0).

U prvom slučaju dobija se AOE prema Bahaduru, druga granica određuje AOE prema Hodges-Lehmanu, a treća vodi do određivanja AOE prema Pitmanu. Budući da su u praktičnim primjenama najzanimljiviji slučajevi niskog nivoa značaja, velikih moći i bliskih alternativa, sve tri definicije izgledaju razumno i prirodno.

U ovom radu, da bismo uporedili kriterijume, koristićemo AOE prema Bahaduru. Postoji nekoliko razloga za to. Prvo, Pitmanova efikasnost je pogodna uglavnom za asimptotski normalne statistike, i pod ovim uslovom se poklapa sa lokalnom Bach-Dur efikasnošću , . Uzimamo u obzir ne samo asimptotski normalnu statistiku, već i statistiku kvadratnog tipa, za koju se granična raspodjela pod nultom hipotezom oštro razlikuje od normalne, tako da Pitmanova efikasnost nije primjenjiva. Drugo, Hodges-Lehman AOE nije pogodan za proučavanje dvostranih kriterija, jer se svi ispostavljaju asimptotski optimalni, a za jednostrane kriterije ovaj AOE se obično lokalno poklapa sa Bahadur AOE. Treće, nedavno je napravljen značajan napredak u oblasti velikih odstupanja za statistiku testova, što je ključno pri izračunavanju Bahadur AOE. Mislimo na velika odstupanja U- i V-statistike opisane u novijim radovima i.

Pređimo sada na pregled sadržaja disertacije. Prvo poglavlje je pomoćne prirode. U njemu su iznesene potrebne teorijske i tehničke informacije iz teorije 11-statistike, teorije velikih devijacija i teorije asimptotske efikasnosti prema Bahaduru.

Poglavlje 2 posvećeno je konstrukciji i proučavanju kriterijuma za testiranje hipoteze simetrije. Baringhouse i Henze su predložili ideju izgradnje kriterija simetrije na osnovu sljedeće elementarne karakterizacije.

Neka su X i Y n.o.s.v.s koji imaju kontinuiranu d.f. Tada |X| i |max (X, Y)| identično raspoređeni ako i samo ako su X i Y simetrično raspoređeni oko nule.

Koristimo ovu karakterizaciju da konstruišemo nove kriterijume simetrije. Podsjetimo se da je nekoliko klasičnih kriterija simetrije (vidi Poglavlje 4) zasnovano na karakterizaciji simetrije još jednostavnijim svojstvom ekvidistribucije X i -X.

Vratimo se na Baringhouse-Hentzeovu karakterizaciju. Neka zapažanja X, ., Xn imaju kontinuiranu d.f.<7. Рассмотрим проверку гипотезы симметрии:

H0: OD = 1 —<3(-:г) V я (Е Я1. Это сложная гипотеза, поскольку вид С? не уточняется. В качестве альтернатив мы рассмотрим параметрическую альтернативу сдвига, т. е. G (x-0) = F (x — в), в >0-kosa alternativa, tj. d(x-b) = 2f(x)F ($x), c > 0-Leman alternativa, tj. G(x-, 6) = F1+ e (x), 6 > 0 i alternativa zagađenja , tj. G(x-6) = (1 - 6) F(x) + 6Fr+1(x), u > 0, r > 0, gdje su F (x) i f (x) d.f. i gustina neke simetrične distribucije.

U skladu sa gornjom karakterizacijom, empirijski df se konstruiše na osnovu |Xj|,., Xn, n

Hn (t) = n~2 J2 Tmax (X^Xk)<г}. На основе этих функций составляются статистики: лоо ):

Neka je X uY nenegativan i nedegenerisan n.o.s.v.s koji ima d.f. diferencijabilnu na nuli. F, i neka je 0< а < 1. Тогда X и min (^, —) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. экспоненциального закона.

Pored konstruisanja samog kriterijuma slaganja i proučavanja njegovih asimptotičkih svojstava, od interesa je izračunati AOE novog kriterijuma i proučavati njegovu zavisnost od parametra a.

Druga generalizacija ove karakterizacije pripada Des. Formuliramo ga na osnovu novijih radova:

Neka su Xi, ., Xm, m ^ 2 nenegativni i nedegenerisani i.s. r.v.s koji imaju d.f. diferenciran na nuli. F. Tada su statistike X i m minpfi, ., Xm) identično raspoređene ako i samo ako je F d.f. eksponencijalni zakon.

Neka su Xx,., Xn nezavisna opažanja koja imaju d.f. Na osnovu gore formulisanih karakterizacija, možemo testirati eksponencijalnu hipotezu Ho, koja se sastoji u činjenici da je (7 je d.f. eksponencijalnog zakona. P, protiv alternative H, koja se sastoji u činjenici da je C f? pod slabim dodatnim uslovima.

U skladu sa ovim karakterizacijama, konstruiše se empirijski df. p = pVD< О (°-0−3) 1 и -статистические ф.р. п-2 ± (* ^ < 4} + ^{тш (?, < «}), 1 П

Predlažemo da se kriterijumi za proveru eksponencijalnosti zasnivaju na statistici: pkp = - c&bdquo-(*)] aop(1).

Kao alternative biramo standardne alternative koje se koriste u literaturi o eksponencijalnom testiranju: Weibullova alternativa sa d(x) = (β + 1)xx(-x1+β), x ^ 0- Makehama alternativa sa d(x) = ( 1 + 0(1 - exp (-x))) exp (-x - 0(exp (-x) - 1 + x)), x ^ 0 - alternativa linearnosti funkcije stope otkaza sa d (x) = (1 + bx) exp[—x—^bx2], x^O.

Za dvije gore predložene statistike, granične distribucije pod nultom hipotezom su zapisane:

Teorema 3.2.1 Za statistiku Uε za n -* oo vrijedi relacija: gdje je Dz(a) definisan u (3.2.2). Teorema 3.3.1 Za statistiku n kao n -> oo vrijedi relacija

U0,(t + 1)2A1(t)), gdje je D4 (t) definirano u (3.3.6).

Budući da obje statistike zavise od parametara a i m, utvrđujemo pri kojim vrijednostima parametara AOE prema Bahaduru dostiže svoj maksimum i nalazimo te vrijednosti. Osim toga, konstruiramo alternativu u kojoj se maksimum postiže u tački i φ ½.

Četvrto poglavlje je posvećeno testiranju hipoteze normalnosti. Postoje mnoge karakteristike normalnog zakona kao jednog od centralnih zakona teorije vjerovatnoće i matematičke statistike, te dvije monografije posvećene isključivo ovom pitanju. Razmotrit ćemo malo pojednostavljenu verziju dobro poznate karakterizacije i:

Neka su Xr, X2, ., Xm centrirani n.o.s.v.s koji imaju d.f. o konstante a, a-2,., am su takve da je 0< а* < 1 и = 1. Тогда статистики Х и одинаково распределены тогда и только тогда, когда F (x) = Ф (х/а), то есть F — ф.р. нормального закона с нулевым средним и некоторой дисперсией, а > 0.

Neka je X, ., Xn uzorak sa d.f. G. Na osnovu ove karakterizacije možemo testirati glavnu hipotezu R0, a to je da je G d.f. normalni zakon Fa (x) = F (x/a), protiv alternative Hi, a to je da je G φ Fa. Konstruiše se uobičajeni empirijski df. Gn i V-statistički d.f. n^

Bm, n (t) = n~t (E 1 + - +< *}),

1.¿-t=1 s

U nastavku, simbol a znači sumiranje svih permutacija indeksa. Kriterijumi za testiranje normalnosti mogu se zasnivati na sljedećim statistikama:

B, n = G dGn (t), J -00 oo

BmAt)-Gn (t)]dGn (t), oo

Bin = G)