U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. S formulisanjem ovakvog problema prvi put se susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili proučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
Sposobnost rješavanja određenog integrala koristeći dobro poznatu Newton-Leibnizovu formulu;
Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako problem rješavamo grafički. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Pogledajmo različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a prije b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim linijama je lik ograničen? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, date prave linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno sa osom OU, su granične linije figure lijevo i desno. Pa y = 0, to je i x-osa, koja ograničava sliku odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti sa slike s lijeve strane. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koja potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što data funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Idemo dalje na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak izračunavanje površine ravne figure pomoću određenog integrala. Konačno, neka ga pronađu svi oni koji traže smisao u višoj matematici. Nikad ne znaš. U stvarnom životu, morat ćete aproksimirati dacha parcelu pomoću elementarnih funkcija i pronaći njeno područje pomoću određenog integrala.

Da biste uspješno savladali gradivo, morate:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjem nivou. Dakle, lutke prvo treba da pročitaju lekciju Ne.

2) Biti u stanju primijeniti Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose sa određenim integralima Definitivni integral. Primjeri rješenja. Zadatak „izračunati površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja također biti relevantno pitanje. Kao minimum, morate biti u stanju da konstruišete pravu liniju, parabolu i hiperbolu.

Počnimo sa zakrivljenim trapezom. Zakrivljeni trapez je ravna figura ograničena grafikom neke funkcije y = f(x), osa OX i linije x = a; x = b.

Površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu

Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivni integral. Primjeri rješenja rekli smo da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA. To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Razmotrimo definitivni integral

Integrand

definira krivulju na ravnini (može se nacrtati po želji), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

, , , .

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Najvažnija tačka u odluci je konstrukcija crteža. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda– parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Tehnika konstrukcije točka po tačku može se naći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.

Napravimo crtež (imajte na umu da je jednadžba y= 0 određuje os OX):

Zakrivljeni trapez nećemo senčiti, ovde je jasno o kojoj oblasti je reč. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu [-2; 1] graf funkcije y = x 2+2 nalazi se iznad oseOX, Zbog toga:

odgovor: .

Ko ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule

uputiti na predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja. Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure ograničene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os OX.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovineOX?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = e-x, x= 1 i koordinatne ose.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod ose OX , tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:

U ovom slučaju:

Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama y = 2x – x 2 , y = -x.

Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Prilikom konstruisanja crteža u problemima površine, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole y = 2x – x 2 i ravno y = -x. Ovo se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:

To znači da je donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponovimo da se pri tački konstruisanja granice integracije najčešće određuju „automatski“.

A sada radna formula:

Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veće ili jednako neka kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, već bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, dakle od 2 x – x 2 se mora oduzeti – x.

Završeno rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom y = 2x – x 2 na vrhu i ravno y = -x ispod.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:

odgovor: .

Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi primjer br. 3) je poseban slučaj formule

Jer osovina OX dato jednačinom y= 0, i graf funkcije g(x) koji se nalazi ispod ose OX, To

A sada par primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure ograničenu linijama

Prilikom rješavanja problema koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje... Pronađena je površina pogrešne figure.

Primjer 7

Prvo napravimo crtež:

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, ljudi često odlučuju da moraju pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:

1) Na segmentu [-1; 1] iznad ose OX graf se nalazi pravo y = x+1;

2) Na segmentu iznad ose OX lociran je graf hiperbole y = (2/x).

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

odgovor:

Primjer 8

Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Predstavimo jednačine u "školskom" obliku

i napravite crtež tačku po tačku:

Iz crteža je jasno da je naša gornja granica "dobra": b = 1.

Ali koja je donja granica?! Jasno je da ovo nije ceo broj, ali šta je to?

Možda, a=(-1/3)? Ali gdje je garancija da je crtež napravljen sa savršenom preciznošću, može se ispostaviti da je tako a=(-1/4). Šta ako smo pogrešno napravili graf?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo tačke preseka grafova

Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:

dakle, a=(-1/3).

Dalje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Izračuni ovdje nisu najjednostavniji. Na segmentu

, ,

prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Rješenje: Hajde da prikažemo ovu figuru na crtežu.

Da biste napravili crtež tačku po tačku, morate znati izgled sinusoide. Općenito, korisno je znati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke sinusne vrijednosti. Mogu se naći u tabeli vrednosti trigonometrijske funkcije. U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju), moguće je konstruirati šematski crtež, na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.

Ovdje nema problema sa granicama integracije, one proizlaze direktno iz uslova:

– “x” se mijenja od nule do “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:

Na segmentu, graf funkcije y= greh 3 x nalazi se iznad ose OX, Zbog toga:

(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Otkinemo jedan sinus.

(2) Koristimo glavni trigonometrijski identitet u obliku

(3) Promijenimo varijablu t=cos x, tada se: nalazi iznad ose, dakle:

Bilješka: zapazite kako se uzima integral tangentne kocke; ovdje se koristi posljedica osnovnog trigonometrijskog identiteta

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak „izračunati površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo hitniji problem. U tom smislu, korisno je osvježiti svoje pamćenje grafova osnovnih elementarnih funkcija i, u najmanju ruku, moći konstruirati pravu liniju i hiperbolu.

Zakrivljeni trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafikom funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-osa:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.

Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija tačka odluke je konstrukcija crteža. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija tačku po tačku.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad ose, Zbog toga:

odgovor:

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:

U ovom slučaju:

Pažnja! Ove dvije vrste zadataka ne treba miješati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Nađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate završiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. Ovo se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:

To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .

Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..

Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veće ili jednako neke kontinuirane funkcije , tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koja je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Završeno rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom iznad i pravom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Primjer 4

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Rješenje: Prvo, napravimo crtež:

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar" da morate pronaći površinu figure koja je zasjenjena zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala.

Zaista:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;

2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Problem 1(o izračunavanju površine zakrivljenog trapeza).

U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu xOy data je figura (vidi sliku) omeđena osom x, pravim linijama x = a, x = b (a krivolinijskim trapezom. Potrebno je izračunati površinu krivolinijskog trapezoid.
Rješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina poligona i nekih dijelova kruga (sektora, segmenta). Koristeći geometrijska razmatranja, možemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, rezonirajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (osnova zakrivljenog trapeza) na n jednakih dijelova; ova particija se izvodi pomoću tačaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nacrtajmo prave linije kroz ove tačke paralelne sa y-osi. Tada će dati krivolinijski trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbiru površina stupova.

Razmotrimo k-tu kolonu posebno, tj. zakrivljeni trapez čija je osnova segment. Zamenimo ga pravougaonikom sa istom osnovom i visinom jednakom f(x k) (vidi sliku). Površina pravougaonika jednaka je $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, gdje je $\Delta x_k $ dužina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir dobiveni proizvod kao približnu vrijednost površine k-te kolone.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S datog krivolinijskog trapeza je približno jednaka površini S n stepenastog lika sastavljenog od n pravokutnika (vidi sliku):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ovdje, radi uniformnosti notacije, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - dužina segmenta, $\Delta x_1 $ - dužina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se prethodno dogovorili, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Dakle, $S \približno S_n $, a ova približna jednakost je tačnija, što je n veće.
Po definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivolinijskog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju tačke)
Materijalna tačka se kreće pravolinijski. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Pronađite kretanje tačke tokom vremenskog perioda [a; b].
Rješenje. Kada bi kretanje bilo ravnomjerno, onda bi problem bio riješen vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima je zasnovano rješenje prethodnog problema.
1) Podijelite vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Uzmite u obzir vremenski period i pretpostavite da je tokom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost kretanja tačke u određenom vremenskom periodu; ovu približnu vrijednost ćemo označiti kao s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Pronađite približnu vrijednost pomaka s:
$s \približno S_n $ gdje
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Traženi pomak je jednak granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hajde da sumiramo. Rješenja raznih problema svedena su na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih oblasti nauke i tehnologije vode ka istom modelu u procesu rešavanja. To znači da se ovaj matematički model mora posebno proučavati.

Koncept određenog integrala

Dajemo matematički opis modela koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno nenegativnu, kao što je pretpostavljeno u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) podijeliti segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) čine zbir $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

U toku matematičke analize dokazano je da ova granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je zvao određeni integral funkcije y = f(x) nad segmentom [a; b] i označena na sljedeći način:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Brojevi a i b nazivaju se granicama integracije (donja i gornja, respektivno).

Vratimo se zadacima o kojima smo gore govorili. Definicija površine data u Zadatku 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ovdje je S površina zakrivljenog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b, data u zadatku 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton-Leibnizova formula

Prvo, odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivata?

Odgovor se može naći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b izračunava se po formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

S druge strane, koordinata pokretne tačke je antiderivat za brzinu – označimo je s(t); To znači da je pomak s izražen formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobijamo:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
gdje je s(t) antiderivat od v(t).

Sljedeća teorema je dokazana tokom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na intervalu [a; b], onda je formula važeća
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
gdje je F(x) antiderivat od f(x).

Zadata formula se obično naziva Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643-1727) i njemačkog filozofa Gottfried Leibniza (1646-1716), koji su ga primili nezavisno jedan od drugog i gotovo istovremeno.

U praksi, umjesto pisanja F(b) - F(a), oni koriste notaciju $\left. F(x)\right|_a^b $ (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, shodno tome, prepiši Newton-Leibniz formulu u ovom obliku:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b $

Prilikom izračunavanja određenog integrala, prvo pronađite antiderivat, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na osnovu Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Nekretnina 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Izračunavanje površina ravnih figura pomoću određenog integrala

Koristeći integral, možete izračunati površine ne samo zakrivljenih trapeza, već i ravnih figura složenijeg tipa, na primjer, one prikazane na slici. Slika P je ograničena pravim linijama x = a, x = b i grafovima kontinuiranih funkcija y = f(x), y = g(x), a na segmentu [a; b] vrijedi nejednakost $g(x) \leq f(x) $. Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Dakle, površina S figure ograničene pravim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranim na segmentu i takvim da za bilo koje x iz segmenta [a; b] nejednakost $g(x) \leq f(x) $ je zadovoljena, izračunata po formuli
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabela neodređenih integrala (antiderivata) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

Primena integrala za rešavanje primenjenih problema

Obračun površine

Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = f(x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:

Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak br. 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rješenje. Konstruirajmo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena prema gore za jednu jedinicu u odnosu na O y osu (slika 1).

Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1

Zadatak br. 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.

Rješenje. Grafikon ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena u odnosu na osu O y dolje za jednu jedinicu (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y = x 2 – 1

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.

Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola čije su grane usmjerene prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga prava je prava koja seče obje koordinatne ose.

Da bismo konstruisali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa temena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.

Sada pronađimo tačke preseka parabole i prave tako što ćemo rešiti sistem jednačina:

Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.

Dobijamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle .

Dakle, tačke su presečne tačke parabole i prave (slika 1).

Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Konstruirajmo pravu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osa.

Da biste konstruisali parabolu, možete koristiti i njene tačke preseka sa osom 0x, odnosno korenima jednačine 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietinu teoremu, lako je da nađemo njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala prema formuli .

U odnosu na ovaj uslov dobijamo integral:

2 Izračunavanje zapremine tela rotacije

Zapremina tijela dobivena rotacijom krive y = f(x) oko ose O x izračunava se po formuli:

Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:

Zadatak br. 4. Odrediti zapreminu tijela dobivenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivom y = oko ose O x.

Rješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).

Slika 4. Grafikon funkcije y =

Potrebna zapremina je

Zadatak br. 5. Izračunajte zapreminu tela dobijenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y.

Rješenje. Imamo: