Dualnost u linearnom programiranju. Mehanizam za uspostavljanje ravnoteže Koji je optimalni mehanizam za pronalaženje ravnotežnog rješenja

Osnovne definicije teorije dualiteta.

Svaki problem linearnog programiranja može biti povezan s drugim problemom linearnog programiranja. Kada se jedan od njih riješi, drugi problem se automatski rješava. Takvi problemi se nazivaju uzajamno dualnim. Hajde da pokažemo kako koristiti dati problem (nazvaćemo ga originalnim) da konstruišemo njegov dual.

Razmotrite problem planirane proizvodnje.

F=3 X 1 + 5X 2 + 4X 3 + 5X 4 → maks.
5x 1 +0,4x 2 +2x 3 +0,5x 4 ≤400
5x 2 +x 3 +x 4 ≤300
x 1 +x 3 +x 4 ≤100
x 1 ≥0, x 2 ≥0, x 3 ≥0, x 4 ≥0

Opća pravila za sastavljanje dualnog problema:

Pravo	Dual
Ciljna funkcija (maks.)	Desna strana ograničenja
Desna strana ograničenja	Ciljna funkcija (min)
A - matrica ograničenja	A T - matrica ograničenja
i-to ograničenje: ≤ 0, (≥ 0)	Varijabla y i ≥ 0, (≤ 0)
i-to ograničenje: = 0	Varijabla y i ≠ 0
Varijabla x j ≥ 0 (≤ 0)
Varijabla x j ≠ 0	j-to ograničenje: = 0

max → min

Pravo	Dual
Ciljna funkcija (min)	Desna strana ograničenja
Desna strana ograničenja	Ciljna funkcija (maks.)
A - matrica ograničenja	A T - matrica ograničenja
i-to ograničenje: ≥ 0, (≤ 0)	Varijabla y i ≥ 0, (≤ 0)
i-to ograničenje: = 0	Varijabla y i ≠ 0
Varijabla x j ≥ 0 (≤ 0)	j-to ograničenje: ≤ 0 (≥ 0)
Varijabla x j ≠ 0	j-to ograničenje: = 0

Konstruirajmo njegov dualni problem prema sljedećim pravilima.

Broj varijabli u dualnom problemu jednak je broju nejednakosti u originalnom.
Matrica koeficijenata dualnog problema se transponuje u matricu koeficijenata originalnog.
Stupac slobodnih termina originalnog problema je red koeficijenata za dualnu funkciju cilja. Ciljna funkcija u jednom problemu je maksimizirana, u drugom je minimizirana.
Uslovi za nenegativnost varijabli izvornog problema odgovaraju nejednakostima-ograničenjima duala, usmjerenim u drugom smjeru. I obrnuto, nejednakosti-ograničenja u originalu odgovaraju uslovima nenegativnosti u dualu.

Imajte na umu da su redovi matrice zadatka I stupci matrice zadatka II. Stoga su koeficijenti varijabli y i u zadatku II, shodno tome, koeficijenti i-te nejednakosti u zadatku I.
Rezultirajući model je ekonomsko-matematički model problema dualan direktnom problemu.

Nejednakosti povezane strelicama će biti call conjugate.
Smislena formulacija dvojnog problema: pronaći takav skup cijena (procjena) resursa Y = (y 1, y 2 ..., y m), pri kojem će ukupni troškovi resursa biti minimalni, pod uslovom da su troškovi resursa u proizvodnji svake vrste proizvoda neće biti manji od dobiti (prihoda) od prodaje ovih proizvoda.
Cijene resursa y 1, y 2 ..., y m su u ekonomskoj literaturi dobile različite nazive: računovodstvene, implicitne, sjene. Značenje ovih naziva je da su to uslovne, “lažne” cijene. Za razliku od “eksternih” cijena c 1, c 2 ..., c n za proizvode, poznate, po pravilu, prije početka proizvodnje, cijene resursa c 1, c 2 ..., c n su interne, jer nisu postavljene izvana, već se određuju direktno kao rezultat rješavanja problema, pa se češće nazivaju procjenama resursa.
Veza između direktnog i dualnog problema leži, posebno, u činjenici da se rješenje jednog od njih može dobiti direktno iz rješenja drugog.

Teoreme dualnosti

Dualnost je fundamentalni koncept u teoriji linearnog programiranja. Glavni rezultati teorije dualiteta sadržani su u dvije teoreme koje se nazivaju teoremi dualnosti.

Prva teorema dualnosti.

Ako je jedan od para dualnih problema I i II rješiv, onda je drugi rješiv, a vrijednosti ciljnih funkcija na optimalnim planovima se poklapaju, F(x*) = G(y*), gdje su x *, y * optimalna rješenja problema I i II

Druga teorema dualnosti.

Planovi x * i y * su optimalni u problemima I i II ako i samo ako se, kada ih se zameni u sistem ograničenja zadataka I i II, respektivno, barem jedna od bilo kog para konjugovanih nejednačina pretvori u jednakost.
Ovo fundamentalna teorema dualnosti. Drugim riječima, ako su x * i y * izvodljiva rješenja za direktne i dualne probleme i ako c T x * = b T y *, tada su x * i y * optimalna rješenja za par dualnih problema.

Treća teorema dualnosti. Vrijednosti varijabli y i u optimalnom rješenju dualnog problema su procjene utjecaja slobodnih članova b i sistema ograničenja - nejednakosti direktnog problema na vrijednost ciljne funkcije ovog problema:
Δf(x) = b i y i

Rješavanjem ZLP-a simpleks metodom istovremeno rješavamo i dualni ZLP. Vrijednosti varijabli dualnog problema y i, u optimalnom planu, nazivaju se objektivno određene ili dualne procjene. U primijenjenim problemima, dvostruke procjene y i često se nazivaju skrivenim cijenama u sjeni ili graničnim procjenama resursa.

Svojstvo međusobno dvojnih problema

U jednom zadatku traži se maksimum linearne funkcije, u drugom minimum.
Koeficijenti varijabli u linearnoj funkciji jednog problema su slobodni članovi sistema ograničenja u drugom.
Svaki od problema je dat u standardnom obliku, a u problemu maksimizacije sve nejednakosti oblika ≤ , a u problemu minimizacije sve nejednakosti oblika ≥ .
Matrice koeficijenata za varijable u sistemima ograničenja oba problema su transponovane jedna na drugu:
Broj nejednakosti u sistemu ograničenja jednog problema poklapa se sa brojem varijabli u drugom problemu.
U oba problema su prisutni uslovi nenegativnosti varijabli.

Teorema ravnoteže

Problem 2
Sastavite dvojni problem u zadatak 1. Pronađite ga rješenje po teoremu ravnoteže.
3x 1 +x 2 ≥12
x 1 +2x 2 ≥14
4x 1 +11x 2 ≥68

Teorema ravnoteže . Neka su X*=(x 1 *,...,x n *) i Y*=(y 1 *,...,y n *) prihvatljivi planovi za par dualnih problema u simetričnom obliku. Ovi planovi su optimalni ako i samo ako su ispunjeni sljedeći komplementarni uvjeti zastoja:

Teorema 4 nam omogućava da odredimo optimalno rješenje za jedan od para dualnih problema rješavanjem drugog. Ako se ograničenje jednog problema pri zamjeni optimalnog rješenja pretvori u strogu nejednakost, tada je odgovarajuća dualna varijabla u optimalnom rješenju dualnog problema jednaka 0. Ako je u optimalnom planu jednog problema neka varijabla pozitivna, onda je odgovarajuće ograničenje dualnog problema jednačina.
Hajde da damo ekonomsko tumačenje uslova komplementarne nerigidnosti. Ako u optimalnom rješenju bilo koja sirovina ima ocjenu različitu od 0, tada će biti potpuno potrošena (resurs je oskudan). Ako sirovina nije u potpunosti potrošena (u višku), tada je njena procjena 0. Dakle, nalazimo da su dvojne procjene mjera oskudice sirovina. Procjena pokazuje za koliko će se povećati vrijednost funkcije cilja kada se zalihe odgovarajuće sirovine povećaju za 1 jedinicu. Ako je određena vrsta proizvoda uključena u plan proizvodnje, onda se troškovi njegove proizvodnje poklapaju sa troškom proizvedenog proizvoda. Ako je trošak proizvodnje bilo koje vrste proizvoda veći od cijene proizvoda, onda se proizvod ne proizvodi.
Ako jedan od para dualnih problema sadrži dvije varijable, on se može riješiti grafički, a onda se rješenje dualnog problema može naći pomoću teorema 3 i 4. U ovom slučaju mogu se pojaviti 3 slučaja: oba problema imaju prihvatljiva rješenja, samo jedan ima problem prihvatljivih rješenja, oba problema nemaju izvodljiva rješenja.

Primjer 2
Sastavite dualni problem i pronađite njegovo rješenje koristeći teorem ravnoteže
x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5 ≤4
-2x 1 -2x 2 +2x 3 +2x 4 +x 5 ≥2
x i ≥0, i=1,5
Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → max, ako je rješenje originalnog problema poznato: Zmax=(3;4;0;0;0).
Konstruirajmo dvojni problem. Koordinirajmo znakove nejednakosti s ciljem originalnog problema.

Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → max
Dvostruki problem:

W=4y 1 -2y 2 → min
Nađimo optimalno rješenje dualnog problema koristeći teorem ravnoteže. Zapišimo uslove komplementarne nerigidnosti.
y 1 (4-(x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5))=0
y 2 (-2-(2x 1 -2x 2 -2x 3 -2x 4 -x 5))=0
x 1 (-2y 2 -10)=0
x 2 (y 1 -2y 2 +9)=0
x 3 (-2y 1 -2y 2 +19)=0
x 4 (2y 1 -2y 2 +13)=0
x 5 (-2y 1 -y 2 +11)=0
Zamenimo optimalno rešenje originalnog problema u kompajlirani sistem: x 1 =3, x 2 =4, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =0.
y 1 (4-(4-2 0+2 0-2 0))=0
y 2 (-2-(2 3-2 4-2 0-2 0-0))=0 W(y 1 , y 2 , y 3)=12y 1 +31y 2 +18y 3 → maks. Prema teoremi 3 Zmax=Wmin=100000.
Konačno, Wmin=W(0; 4000/7; 32000/21) = 100000

Tema 4. Teorija igara i modeliranje interakcija.

1. Osnovni pojmovi teorije igara.

2. Vrste ravnoteže: Nashova ravnoteža, Steckelbergova ravnoteža, Pareto-optimalna ravnoteža, ravnoteža dominantnih strategija.

3. Osnovni modeli teorije igara.

Osnovni koncepti teorije igara.

Upotreba matematičkih metoda, koje uključuju teoriju igara, u analizi ekonomskih procesa omogućava da se identifikuju trendovi i odnosi koji ostaju skriveni pri korištenju drugih metoda, pa čak i dobiju vrlo neočekivane rezultate.

Imajte na umu da je teorija igara jedna od najmlađih matematičkih disciplina. Njena pojava kao samostalne grane matematike datira od sredine 1950-ih, kada je objavljena čuvena monografija F. Neumanna i O. Morgensterna „Teorija igara i ekonomsko ponašanje“. Poreklo teorije igara povezano je sa radovima E. Porela (1921.).“

Do sada se teorija igara pretvorila u čitavo matematičko polje, bogato zanimljivim rezultatima i sa velikim brojem praktičnih preporuka i primjena.

Razmotrimo osnovne pretpostavke i koncepte modela igre međuljudskih interakcija.

1. Broj pojedinaca u interakciji je dva. Pojedinci se zovu igrači. Koncept igrača nam omogućava da modeliramo društvene uloge pojedinca: prodavača, kupca, muža, žene itd. Igra je pojednostavljena reprezentacija interakcije dvije osobe koje imaju različite ili slične društvene uloge, na primjer kupac - prodavac, prodavac - prodavac itd.

2. Svaki pojedinac ima fiksni skup opcija ponašanja, ili alternativa. Broj opcija ponašanja za različite igrače možda neće biti isti.

3. Interpersonalna interakcija se smatra ostvarenom ako oba igrača istovremeno biraju opcije za svoje ponašanje i postupaju u skladu s njima. Jedan čin ljudske interakcije naziva se tok igre. Pretpostavlja se da je trajanje čina interakcije nula.

4. Tok igre je određen sa dva cijela broja - odabranim brojem opcije ponašanja (poteza) prvog igrača i odabranim brojem opcije ponašanja (potez) drugog igrača. Maksimalni mogući broj različitih poteza u igri jednak je proizvodu ukupnog broja poteza prvog igrača i ukupnog broja poteza drugog igrača.

5. Svaka interakcija pojedinaca, ili potez igre, dobija svoj serijski broj: 1, 2, 3, itd. Ne treba mešati koncept "poteza igre" (par brojeva) i "broj poteza igre" (jedan broj). Pretpostavlja se da se interakcije dešavaju redovno u pravilnim intervalima, tako da broj okreta u igri pokazuje dužinu vremena u kojem date osobe međusobno komuniciraju.

6. Svaki igrač nastoji da postigne maksimalnu vrijednost nekog ciljnog indikatora, koji se naziva korisnost, ili dobitak. Dakle, igrač ima osobine “ekonomskog čovjeka”. Isplata igrača može biti pozitivna ili negativna. Negativan dobitak se također naziva gubitkom.

7. Svaki potez igre (par alternativa koje su odabrali igrači) odgovara jednom paru pobjeda igrača. Ovisnost dobitaka igrača o potezima koje odaberu opisana je matricom igre, odnosno matricom isplate. Redovi ove matrice odgovaraju alternativama (potezima) prvog igrača, a kolone odgovaraju alternativama (potezima) drugog igrača. Elementi matrice igre su parovi dobitaka koji odgovaraju odgovarajućem redu i koloni (igrač se kreće). Dobitak prvog igrača (prvi broj u ćeliji matrice igre) zavisi ne samo od njegovog poteza (broj reda), već i od poteza drugog igrača (broj kolone). Stoga, prije nego što se interakcija provede, pojedinac ne zna tačan iznos svoje dobiti. Drugim riječima, igračev izbor ponašanja se provodi u uvjetima neizvjesnosti, odnosno igrač ima osobine „institucionalne osobe“.

8. Igračeva strategija je uobičajeni obrazac ponašanja koji igrač slijedi kada bira alternativno ponašanje u određenom vremenskom periodu. Igračeva strategija je određena vjerovatnoćama (ili učestalostima) odabira svih mogućih opcija ponašanja. Drugim riječima, igračeva strategija je vektor čiji je broj koordinata jednak ukupnom broju mogućih alternativa, a i-ta koordinata je jednaka vjerovatnoći (učestalosti) odabira i-te alternative. Jasno je da je zbir vrijednosti svih koordinata datog vektora jednak jedan.

Ako igrač odabere samo jednu opciju ponašanja u vremenskom periodu koji se razmatra, tada se poziva igračeva strategija cisto.

Sve koordinate odgovarajućeg vektora čiste strategije jednake su nuli, osim jedne, koja je jednaka jedan.

Zove se strategija koja nije čista mješovito.

U ovom slučaju, vektor strategije igrača ima najmanje dvije koordinate koje nisu nula. Reaguju na opcije aktivnog ponašanja. Igrač koji slijedi mješovitu strategiju mijenja aktivne opcije ponašanja u skladu sa datim vjerovatnoćama (frekvencijama) izbora. U daljem tekstu, radi jednostavnosti prezentacije, pretpostavićemo da igrač uvijek slijedi neku čistu strategiju, tj. da tokom razmatranog vremenskog perioda uvijek bira jednu opciju ponašanja iz datog skupa alternativa.

Institucionalnu osobu karakteriše varijabilnost njenog ponašanja, koja zavisi od njenog unutrašnjeg stanja, životnog iskustva, spoljašnjeg društvenog okruženja itd. mogućnost da igrač promijeni svoju strategiju. Ako je među igračevim strategijama uvijek postojala objektivno bolja, on bi je uvijek slijedio i mijenjanje strategije bilo bi besmisleno. Ali u stvarnom životu, osoba obično razmatra nekoliko strategija ponašanja. Među njima je nemoguće objektivno izdvojiti najbolje. Model igre međuljudskih interakcija omogućava nam da proučavamo ovu osobinu institucionalnog ponašanja, budući da pokriva niz strategija ponašanja koje se međusobno ne isključuju i odražavaju različite aspekte ponašanja institucionalne osobe. Pogledajmo ove obrasce ponašanja.

Matrica igre

Prvi igrač	Drugi igrač

	6; 15	2; 13	3; 11
	1; 10	5; 14	4; 12
	4; 12	4; 13	3; 13

Razlikovati solidarni I nesolidarnost strategije ponašanja. Prvi su najkarakterističniji za “institucionalnog čovjeka”, a drugi – za “ekonomskog čovjeka”.

Nesolidarnost Strategije ponašanja se odlikuju činjenicom da pojedinac samostalno bira varijantu svog ponašanja, pri čemu ili uopšte ne vodi računa o ponašanju drugog pojedinca, ili na osnovu postojećeg iskustva pretpostavlja moguću varijantu svog ponašanja.

Glavne vrste nesolidarnog ponašanja uključuju sljedeće: iracionalno, oprezan, optimiziranje, devijantno I inovativan.

1) Iracionalno ponašanje. Označimo dvije strategije prvog igrača sa A i B, respektivno. Za strategiju A se kaže da je dominantna u odnosu na strategiju B ako je, za bilo koji potez drugog igrača, isplata prvog igrača koji odgovara strategiji A veća od njegove isplate koja odgovara strategiji B. Dakle, strategija B je objektivno lošija sa poštovanje strategije A.

Ako igrač uvijek može slobodno izabrati strategiju A, onda se strategija B uopće ne smije birati. Ako, ipak, strategiju B odabere prvi igrač, tada se njegovo ponašanje u ovom slučaju naziva iracionalnim. Da bi se identificiralo iracionalno ponašanje igrača, dovoljno je analizirati njegovu matricu isplate: matrica isplate drugog igrača se ne koristi.

Imajte na umu da je termin “iracionalno ponašanje” pozajmljen iz neoklasične teorije. To samo znači da izbor ove strategije svakako nije najbolji u situaciji kada su oba igrača u antagonističkoj konfrontaciji, svojstvenoj “ekonomskom čovjeku”. Ali za „institucionalnu osobu“ koja ulazi u međuljudske interakcije s drugim ljudima, iracionalno ponašanje ne samo da je moguće, već se može pokazati i kao najrazumniji način djelovanja. Primjer za to je igra Zatvorenika Dilema.

2) Oprezno ponašanje. “Institucionalni čovjek”, za razliku od “ekonomskog čovjeka”, nije apsolutno racionalan, tj. ne bira uvijek najbolje ponašanje koje maksimizira dobit. Ograničena racionalnost “institucionalne osobe” izražava se u nemogućnosti da izabere najbolji pravac djelovanja zbog velikog broja alternativa, složenog algoritma za određivanje optimalne alternative, ograničenog vremena donošenja odluka itd. Istovremeno, koncept ograničene racionalnosti pretpostavlja da, s obzirom na svu složenost izbora, osoba može izabrati prilično dobru alternativu.

U igračkom pristupu proučavanju institucija, ograničena racionalnost pojedinca ilustruje se pažljivim ponašanjem igrača.

Strategija opreznog ponašanja- ovo je strategija igrača koja mu garantuje određenu količinu dobitka bez obzira na izbor (potez) drugog igrača. Oprezna strategija se naziva i maksiminska jer se izračunava pronalaženjem maksimalne vrijednosti iz nekoliko minimalnih vrijednosti.

Oprezna strategija prvog igrača definirana je na sljedeći način. U svakom redu matrice njegovih dobitaka nalazi se minimalni element, a zatim se od tih minimalnih elemenata bira maksimum ili maximin prvog igrača. Red matrice igre na kojem se nalazi maksimin prvog igrača odgovara njegovoj opreznoj strategiji. Oprezna strategija drugog igrača je slična. U svakoj koloni matrice njenih dobitaka nalazi se minimalni element, a zatim se iz tih minimalnih elemenata određuje maksimalni element. Kolona matrice igre u kojoj se nalazi maksimin drugog igrača odgovara njegovoj opreznoj strategiji. Svaki igrač može imati nekoliko opreznih strategija, ali sve imaju isto značenje maximina (visoko-nisko strategija), ili zagarantovani dobici. Pažljive strategije postoje u bilo kojoj matričnoj igri. Da bi se identifikovala igračeva oprezna strategija, dovoljno je analizirati njegovu matricu isplate, bez upotrebe matrice isplate drugog igrača. Ova karakteristika je uobičajena za iracionalno i oprezno ponašanje.

3) Optimiziranje ponašanja. U ekonomskoj praksi često nastaju situacije kada ekonomski subjekti (na primjer, prodavac i redovni kupac), u toku dugotrajne međusobne interakcije, pronađu strategije ponašanja koje odgovaraju objema stranama, te ih stoga koriste „ igrači” na duži vremenski period. U igračkom pristupu proučavanju institucija, opisana situacija je modelirana korištenjem koncepta ravnotežnih strategija. Par takvih strategija karakterizira sljedeće svojstvo: ako prvi igrač odstupi od svoje ravnotežne strategije (odabere neku drugu), a drugi nastavi slijediti svoju ravnotežnu strategiju, tada prvi igrač trpi štetu u vidu smanjenja u iznosu dobitaka. Ćelija matrice igre koja se nalazi na raskrsnici reda i kolone koja odgovara paru ravnotežnih strategija naziva se ravnotežna tačka. Matrica igre može imati nekoliko ravnotežnih tačaka, a možda ih uopće nema.

Ponašanje igrača koji prati ravnotežnu strategiju naziva se optimizacija ( minimalno ponašanje ili minmax strategija).

To se razlikuje od maksimiziranja ponašanja. Prvo, igračeva ravnotežna isplata nije maksimum svih mogućih isplata. Ona ne odgovara globalnom maksimumu, već lokalnom optimumu, tako da globalni maksimum funkcije definirane na numeričkom intervalu premašuje svaki njen lokalni maksimum. Drugo, praćenje ravnotežne strategije od strane jednog igrača podrazumijeva postizanje lokalnog maksimuma samo ako drugi igrač održava strategiju ravnoteže. Ako drugi igrač odstupi od ravnotežne strategije, tada mu nastavak korištenja ravnotežne strategije od prvog igrača neće dati maksimizirajući učinak.

Strategije ravnoteže određene su sljedećim pravilom: ćelija matrice igre smatra se ravnotežnom ako je odgovarajuća isplata prvog igrača maksimalna u stupcu, a odgovarajuća isplata drugog igrača je maksimum u redu. Dakle, algoritam za pronalaženje ravnotežnih strategija koristi matrice isplate oba igrača, a ne jednog od njih, kao u slučajevima iracionalnog i opreznog ponašanja.

4) Devijantno ponašanje. Institucionalizacija ravnotežne strategije kao osnovne norme ponašanja nastaje kao rezultat čovjekove generalizacije svog iskustva međuljudskih interakcija, uključujući iskustvo devijantnog ponašanja. Čovjekova svijest o negativnim posljedicama takvog ponašanja, zasnovana na izboru neravnotežnih alternativa, odlučujući je argument pri odabiru strategije optimizacije ponašanja. Dakle, devijantno ponašanje služi kao sastavna komponenta životnog iskustva „institucionalne osobe“, služeći kao empirijsko opravdanje za optimizaciju ponašanja. Iskustvo devijantnog ponašanja daje osobi uvjerenje da će se drugi učesnik u igri uvijek pridržavati strategije ravnoteže. Dakle, takvo iskustvo služi kao dokaz racionalnosti ponašanja drugog igrača i predvidljivosti budućih interakcija s njim.

5) Inovativno ponašanje. Iznad je razmotreno devijantno ponašanje, čija je glavna svrha empirijski potkrijepiti i konsolidirati izvornu strategiju ravnoteže. Međutim, svrha odstupanja od ravnotežne strategije može biti fundamentalno drugačija. Inovativno ponašanje je sistematsko odstupanje od uobičajene strategije ravnoteže kako bi se pronašlo drugo ravnotežno stanje koje je isplativije za inovatora.

U okviru modela igre međuljudskih interakcija, cilj inovativnog ponašanja može se postići ako matrica igre ima drugačiju tačku ravnoteže, u kojoj je isplata igrača inovatora veća nego u početnom ravnotežnom stanju. Ako takva tačka ne postoji, onda će inovativno ponašanje najvjerovatnije biti osuđeno na neuspjeh, a inovator će se vratiti izvornoj strategiji ravnoteže. Štaviše, njegovi gubici od inovacijskog eksperimenta biće jednaki ukupnom efektu odstupanja za čitav period eksperimenta.

U stvarnom životu, pojedinci u interakciji često pristaju da slijede određene strategije ponašanja u budućnosti. U ovom slučaju se naziva ponašanje igrača solidarni.

Glavni razlozi solidarnog ponašanja:

a) korist od solidarnog ponašanja za oba igrača. U okviru modela interakcije igre, ova situacija je ilustrovana matricom igre, u čijoj su jednoj ćeliji isplate oba igrača maksimalne, ali istovremeno nije ravnotežno i ne odgovara paru opreznih strategije igrača. Malo je vjerovatno da će strategije koje odgovaraju ovoj ćeliji izabrati igrači koji implementiraju nesolidarne modele ponašanja. Ali ako se igrači dogovore o izboru odgovarajućih solidarnih strategija, onda će im naknadno biti neisplativo kršenje dogovora i to će se automatski izvršiti;

b) etika solidarnog ponašanja često služi kao „unutrašnji“ mehanizam za osiguranje usklađenosti sa sporazumom. Moralni troškovi u vidu društvene osude koje će pojedinac imati ako prekrši dogovor mogu mu biti važniji od povećanja dobitka koji se u ovom slučaju postiže. Etički faktor igra važnu ulogu u ponašanju „institucionalnog čovjeka“, ali se zapravo ne uzima u obzir u modelu igre međuljudskih interakcija;

c) sprovođenje solidarnog ponašanja služi kao „spoljni“ mehanizam za osiguranje poštovanja sporazuma. Ovaj faktor institucionalnog ponašanja takođe nije adekvatno reflektovan u modelu igre interakcija.

Vrste ravnoteže: Nashova ravnoteža, Steckelbergova ravnoteža, Pareto-optimalna ravnoteža, ravnoteža dominantnih strategija.

U svakoj interakciji mogu postojati različite vrste ravnoteže: ravnoteža dominantne strategije, Nashova ravnoteža, Stackelbergova ravnoteža i Pareto ravnoteža. Dominantna strategija je plan akcije koji učesniku pruža maksimalnu korisnost bez obzira na akcije drugog učesnika. Shodno tome, ravnoteža dominantnih strategija biće presek dominantnih strategija oba učesnika u igri. Nash ekvilibrijum je situacija u kojoj je strategija svakog igrača najbolji odgovor na akcije drugog igrača. Drugim riječima, ova ravnoteža pruža igraču maksimalnu korisnost u zavisnosti od akcija drugog igrača. Stakelbergova ravnoteža nastaje kada postoji vremensko kašnjenje u donošenju odluka učesnika u igri: jedan od njih donosi odluke znajući šta je drugi uradio. Dakle, Stackelbergova ravnoteža odgovara maksimalnoj korisnosti igrača u uslovima neistovremenog donošenja odluka od strane njih. Za razliku od ravnoteže dominantnih strategija i Nashove ravnoteže, ova vrsta ravnoteže uvijek postoji. Konačno, Pareto ravnoteža postoji pod uslovom da je nemoguće povećati korisnost oba igrača u isto vrijeme. Razmotrimo jedan primjer tehnologije za traženje ravnoteže sva četiri tipa.

Dominantna strategija- plan akcije koji učesniku pruža maksimalnu korisnost, bez obzira na postupke drugog učesnika.

Nash equilibrium- situacija u kojoj nijedan od igrača ne može jednostrano povećati svoje dobitke promjenom plana akcije.

Stackelbergova ravnoteža- situacija u kojoj nijedan igrač ne može jednostrano povećati svoje dobitke, a odluke prvi donosi jedan igrač i postaju poznate drugom igraču.

Pareto ravnoteža- situacija kada je nemoguće poboljšati poziciju bilo kojeg od igrača bez pogoršanja pozicije drugog i bez smanjenja ukupnog dobitka igrača.

Neka firma A nastoji da razbije monopol firme B na proizvodnju određenog proizvoda. Firma A odlučuje da li treba da uđe na tržište, a firma B odlučuje da li treba da smanji proizvodnju ako A odluči da uđe. U slučaju konstantne proizvodnje u firmi B, obe firme su gubitnici, ali ako firma B odluči da smanji proizvodnju, onda „deli“ svoj profit sa A.

Ravnoteža dominantnih strategija. Firma A upoređuje svoju isplatu prema oba scenarija (-3 i O ako B odluči započeti rat cijena) i (4 i 0 ako B odluči smanjiti proizvodnju). Ona nema strategiju koja osigurava maksimalan dobitak bez obzira na B-ove akcije: 0 > -3 => "ne ulazi na tržište" ako B napusti proizvodnju na istom nivou, 4 > 0 => "ulazi" ako B smanjuje proizvodnju (vidi čvrste strelice). Iako firma A nema dominantnu strategiju, firma B ima. Ona je zainteresovana za smanjenje proizvodnje bez obzira na A-ove akcije (4 > -2, 10 = 10, vidi isprekidane strelice). Shodno tome, ne postoji ravnoteža dominantnih strategija.

Nash equilibrium. Najbolji odgovor firme A na odluku firme B da napusti proizvodnju je da ne uđe, a na odluku da smanji proizvodnju je da uđe. Najbolji odgovor firme B na odluku firme A da uđe na tržište je smanjenje proizvodnje; kada se odluči da ne uđe, obe strategije su ekvivalentne. Dakle, dvije Nashove ravnoteže (A, A2) nalaze se u tačkama (4, 4) i (0, 10) - A ulazi i B smanjuje output, ili A ne ulazi, a B ne smanjuje output. To je prilično lako provjeriti, jer u ovim trenucima niko od učesnika nije zainteresiran za promjenu strategije.

Stackelbergova ravnoteža. Pretpostavimo da firma A donosi prvu odluku. Ako odluči da uđe na tržište, na kraju će završiti u tački (4, 4): izbor firme B je jasan u ovoj situaciji, 4 > -2. Ako odluči da se suzdrži od ulaska na tržište, onda će rezultat biti dva boda (0, 10): preferencije firme B dozvoljavaju obje opcije. Znajući ovo, firma A maksimizira svoju isplatu u tačkama (4, 4) i (0, 10), upoređujući 4 i 0. Preferencije su nedvosmislene, a prva Stackelbergova ravnoteža StA će biti u tački (4, 4). Slično, Stakelbergova ravnoteža StB, kada firma B prvo odluči, biće u tački (0, 10).

Pareto ravnoteža. Da bismo odredili Pareto optimum, moramo uzastopno isprobati sva četiri ishoda igre, odgovarajući na pitanje: „Da li prelazak na bilo koji drugi ishod igre omogućava istovremeno povećanje korisnosti za oba učesnika?“ Na primjer, od ishoda (-3, -2) možemo prijeći na bilo koji drugi ishod, ispunjavajući navedeni uvjet. Samo iz ishoda (4, 4) ne možemo dalje, a da ne smanjimo korisnost bilo kojeg od igrača, to će biti Pareto ravnoteža, R.

Optimalnim strategijama u teoriji sukoba smatraju se one koje dovode igrače do stabilnih ravnoteža, tj. određene situacije koje zadovoljavaju sve igrače.

Na konceptu se zasniva optimalnost rješenja u teoriji igara stanje ravnoteže:

1) nije korisno ni za jednog od igrača da odstupi od ravnotežne situacije ako svi ostali ostanu u njoj,

2) značenje ekvilibrijuma - kada se igra ponovi mnogo puta, igrači će doći u situaciju ravnoteže, počevši igru u bilo kojoj strateškoj situaciji.

U svakoj interakciji mogu postojati sljedeće vrste ravnoteže:

1. ravnoteža u pažljivim strategijama . Određeno strategijama koje igračima pružaju zagarantovani rezultat;

2. ravnoteža u dominantnim strategijama .

Dominantna strategija je plan akcije koji učesniku obezbeđuje maksimalnu dobit bez obzira na postupke drugog učesnika. Stoga će ravnoteža dominantnih strategija biti presek dominantnih strategija oba učesnika u igri.

Ako optimalne strategije igrača dominiraju svim njihovim drugim strategijama, tada igra ima ravnotežu u dominantnim strategijama. U igri dileme zatvorenika, Nešov ravnotežni skup strategija biće („prepoznaj – priznaj“). Štaviše, važno je napomenuti da je i za igrača A i za igrača B „prepoznati“ dominantna strategija, dok je „ne prepoznati“ dominantna strategija;

3. ravnoteža Nash . Nash equilibrium je vrsta odluke u igri dva ili više igrača u kojoj nijedan učesnik ne može povećati dobitak promjenom svoje odluke jednostrano, kada drugi učesnici ne mijenjaju svoje odluke.

Recimo da je to igra n osobe u normalnom obliku, gdje je skup čistih strategija i skup isplata.

Kada svaki igrač odabere strategiju u profilu strategije, igrač dobiva pobjedu. Štaviše, dobitak zavisi od cjelokupnog profila strategija: ne samo od strategije koju je sam igrač izabrao, već i od strategija drugih ljudi. Profil strategije je Nasheva ravnoteža ako promjena nečije strategije nije korisna ni za jednog igrača, tj.

Igra može imati Nashovu ravnotežu iu čistim i mješovitim strategijama.

Nash je to dokazao ako dozvolimo mješovite strategije, zatim u svakoj utakmici n igrači će imati barem jednu Nashovu ravnotežu.

U Nashovoj ravnotežnoj situaciji, strategija svakog igrača daje mu najbolji odgovor na strategije drugih igrača;

4. Balans Stackelberg. Stackelbergov model– teorijski model oligopolskog tržišta u prisustvu informacione asimetrije. U ovom modelu ponašanje firmi opisuje se dinamičkom igrom sa potpunim savršenim informacijama, u kojoj se ponašanje firmi modelira pomoću statički igrice sa kompletnim informacijama. Glavna karakteristika igre je prisustvo vodeće firme, koja prva određuje obim proizvodnje robe, a preostale firme se njome rukovode u svojim proračunima. Osnovni preduslovi igre:

· industrija proizvodi homogen proizvod: razlike između proizvoda različitih kompanija su zanemarljive, što znači da se kupac pri odabiru kompanije od koje će kupiti vodi samo cijena;

· postoji mali broj firmi koje posluju u industriji;

· firme određuju količinu proizvedenih proizvoda, a cijena za nju se utvrđuje na osnovu potražnje;

· postoji takozvana liderska kompanija, čiji obim proizvodnje koriste druge kompanije.

Dakle, Stackelbergov model se koristi za pronalaženje optimalnog rješenja u dinamičkim igrama i odgovara maksimalnoj isplati igrača, na osnovu uvjeta koji nastaju nakon što je jedan ili više igrača već napravio izbor. Stackelbergova ravnoteža.- situacija u kojoj nijedan igrač ne može jednostrano povećati svoje dobitke, a odluke prvi donosi jedan igrač i postaju poznate drugom igraču. U igri “zatvorenička dilema” Stakelbergova ravnoteža će se postići u kvadratu (1;1) – “priznati krivicu” od strane oba kriminalca;

5. Pareto optimalnost- stanje sistema u kojem se vrijednost svakog pojedinog kriterija koji opisuje stanje sistema ne može poboljšati bez pogoršanja položaja ostalih igrača.

Pareto princip kaže: “Svaka promjena koja ne uzrokuje gubitak, ali koja donosi korist nekim ljudima (po njihovoj vlastitoj procjeni), je poboljšanje.” Time se priznaje pravo na sve promjene koje nikome ne nanose dodatnu štetu.

Skup Pareto optimalnih stanja sistema naziva se “Pareto skup”, “skup Pareto optimalnih alternativa” ili “skup optimalnih alternativa”.

Situacija kada je Pareto efikasnost postignuta je situacija kada su iscrpljene sve koristi od razmene.

Pareto efikasnost je jedan od centralnih koncepata moderne ekonomske nauke. Na osnovu ovog koncepta izgrađene su prva i druga fundamentalna teorema blagostanja.

Jedna od primjena Pareto optimalnosti je Pareto alokacija resursa (rad i kapital) u međunarodnoj ekonomskoj integraciji, tj. ekonomsko ujedinjenje dvije ili više država. Zanimljivo je da je Pareto raspodjela prije i nakon međunarodne ekonomske integracije adekvatno matematički opisana (Dalimov R.T., 2008). Analiza je pokazala da se dodata vrijednost sektora i prihodi od radnih resursa kreću u suprotnom smjeru u skladu sa poznatom jednačinom toplotne provodljivosti, slično plinu ili tekućini u prostoru, što omogućava primjenu metodologije analize. koristi se u fizici u odnosu na ekonomske probleme migracije ekonomskih parametara.

Pareto optimum navodi da dobrobit društva dostiže svoj maksimum, a raspodjela resursa postaje optimalna, ako bilo kakva promjena u ovoj raspodjeli pogorša blagostanje barem jednog subjekta ekonomskog sistema.

Pareto-optimalno stanje na tržištu- situacija u kojoj je nemoguće poboljšati položaj bilo kog učesnika u ekonomskom procesu a da se istovremeno ne smanji blagostanje barem jednog od ostalih.

Prema Pareto kriteriju (kriterijumu za rast društvenog blagostanja), kretanje ka optimumu moguće je samo uz takvu raspodjelu resursa koja povećava blagostanje barem jedne osobe, a da pritom nikome ne nanese štetu.

Za situaciju S* se kaže da Pareto dominira situacijom S ako:

· za svakog igrača njegova isplata je S<=S*

· postoji barem jedan igrač za koga je njegova isplata u situaciji S*>S

U problemu "zarobljeničke dileme" Pareto ravnoteža, kada je nemoguće poboljšati poziciju jednog od igrača bez pogoršanja položaja drugog, odgovara situaciji kvadrata (2;2).

Hajde da razmotrimo primjer 1:

Ravnoteža u dominantnim strategijama br.

Nash equilibrium. (5.5) i (4.4). Budući da je neisplativo da bilo koji od igrača pojedinačno odstupi od odabrane strategije.

Pareto optimum. (5.5). Budući da su dobici igrača pri odabiru ovih strategija veći od dobitaka pri odabiru drugih strategija.

Stackelbergova ravnoteža:

Igrač A pravi prvi potez.

Odabire svoju prvu strategiju. B bira prvu strategiju. A dobija 5.

Bira svoju drugu strategiju. B bira drugu. A dobija 4.

5 > 4 =>

B pravi prvi potez.

Odabire svoju prvu strategiju. A bira prvu strategiju. B dobija 5.

Bira svoju drugu strategiju. I on bira drugu. B dobija 4.

5 > 4 => Stackelbergova ravnoteža (5, 5)

Primjer 2.Modeliranje duopola.

Razmotrimo suštinu ovog modela:

Neka postoji industrija sa dvije firme, od kojih je jedna „firma lider“, druga je „firma sljedbenik“. Neka je cijena proizvoda linearna funkcija ukupne ponude Q:

P(Q) = a − bQ.

Pretpostavimo i da su troškovi preduzeća po jedinici proizvodnje konstantni i jednaki With 1 i With 2 respektivno. Tada će se utvrditi profit prve firme formula

Π 1 = P(Q 1 + Q 2) * Q 1 − c 1 Q 1 ,

i profit je shodno tome drugi

Π 2 = P(Q 1 + Q 2) * Q 2 − c 2 Q 2 .

U skladu sa Stackelbergovim modelom, prva firma - liderska firma - na prvom koraku dodjeljuje svoj output Q 1 . Nakon toga, druga firma - firma sljedbenica - analizom akcija vodeće firme određuje njen učinak. Q 2. Cilj obje firme je da maksimiziraju svoje funkcije plaćanja.

Nashova ravnoteža u ovoj igri određena je indukcijom unazad. Razmotrimo pretposljednju fazu igre - potez druge firme. U ovoj fazi, firma 2 zna obim optimalne proizvodnje prve firme Q 1 * . Zatim problem određivanja optimalnog izlaza Q 2 * svodi se na rješavanje problema pronalaženja maksimalne tačke funkcije plaćanja druge kompanije. Maksimiziranje funkcije Π 2 u odnosu na varijablu Q 2, brojim Q 1 dato, nalazimo da je optimalna proizvodnja druge firme

Ovo je najbolji odgovor kompanije sljedbenika na izbor izdanja vodeće firme. Q 1 * . Vodeća kompanija može maksimizirati svoju funkciju plaćanja, uzimajući u obzir vrstu funkcije Q 2*. Maksimalna tačka funkcije Π 1 u varijabli Q 1 prilikom zamjene Q 2* će biti

Zamjenjujući ovo u izraz za Q 2 * , dobijamo

Dakle, u ravnoteži, vodeća firma proizvodi dvostruko više proizvoda od preduzeća sljedbenika.