Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *U daljem tekstu “KU”. Prijatelji, čini se da u matematici ne može biti ništa jednostavnije od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka na zahtjev Yandex daje mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:

Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ovu informaciju, a ovo je ljeto, a šta će biti tokom školske godine - zahtjeva će biti duplo više. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su davno završili školu i spremaju se za Jedinstveni državni ispit traže ove informacije, a i školarci se trude da osvježe svoje pamćenje.

Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji vam govore kako da rešite ovu jednačinu, odlučio sam da dam svoj doprinos i objavim materijal. Prvo, želim da posjetitelji dolaze na moju stranicu na osnovu ovog zahtjeva; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi tema “KU”, dat ću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednačina je jednačina oblika:

gdje su koeficijenti a,bi c su proizvoljni brojevi, sa a≠0.

U školskom kursu gradivo se daje u sledećem obliku - jednačine su podeljene u tri razreda:

1. Imaju dva korijena.

2. *Imajte samo jedan korijen.

3. Nemaju korijene. Ovdje je posebno vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule morate znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.

3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednačinu:

S tim u vezi, kada je diskriminanta jednaka nuli, školski kurs kaže da se dobija jedan korijen, ovdje je jednak devet. Sve je tačno, tako je, ali...

Ova ideja je donekle netačna. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, dobijate dva jednaka korijena, a da budemo matematički precizni, onda bi odgovor trebao pisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete to zapisati i reći da postoji jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne može uzeti, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Ovo pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c – dati brojevi, sa a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe sa “y” jednakom nuli, nalazimo točke presjeka parabole sa x osom. Mogu postojati dvije od ovih tačaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminanta je negativna). Detalji o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1: Riješi 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = –12

*Moguće je odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednačine sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračun će biti lakši.

Primjer 2: Odluči se x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Otkrili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odluči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Znate li išta o kompleksnim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici; ovo je tema za veliki poseban članak.

Koncept kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi – ovo je JEDAN BROJ, a ne dodatak.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednačinu:

Dobijamo dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent “b” ili “c” jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Oni se mogu lako riješiti bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednačina postaje:

Pretvorimo:

primjer:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednačina postaje:

Transformirajmo i faktorizirajmo:

*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja vam omogućavaju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a + b+ c = 0, To

- ako za koeficijente jednačine Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a+ c =b, To

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbir kvota je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, što znači

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost važi a+ c =b, Sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednačini ax 2 + bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ako je u jednačini ax 2 – bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako u jednadžbi ax 2 + bx – c = 0 koeficijent “b” je jednako (a 2 – 1), i koeficijent “c” je numerički jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednačini ax 2 – bx – c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 – 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietin teorem.

Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuskom matematičaru Francois Vieti. Koristeći Vietin teorem, možemo izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukupno, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Osim toga, Vietin teorem. Pogodno je po tome što se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajen način (preko diskriminanta) mogu provjeriti rezultirajući korijeni. Preporučujem da to radite uvijek.

NAČIN TRANSPORTA

Ovom metodom koeficijent “a” se množi slobodnim pojmom, kao da mu je “bačen”, zbog čega se naziva metodom "transfera". Ova metoda se koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietine teoreme i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Ako A± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Koristeći Vietinu teoremu u jednačini (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se podijeliti sa 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobijamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Šta je obrazloženje? Pogledaj šta se dešava.

Diskriminante jednačina (1) i (2) su jednake:

Ako pogledate korijene jednadžbi, dobit ćete samo različite nazivnike, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu x 2:

Drugi (modificirani) ima korijene koji su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako prebacimo trojku, rezultat ćemo podijeliti sa 3, itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie i Jedinstveni državni ispit.

Reći ću vam ukratko o njegovoj važnosti - MORATE MOĆI DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanata napamet. Mnogi problemi uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita svode se na rješavanje kvadratne jednačine (uključujući i geometrijske).

Nešto vredno pažnje!

1. Oblik pisanja jednačine može biti „implicitan“. Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (da se ne zbunite prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Hajde da radimo sa kvadratne jednačine. Ovo su veoma popularne jednačine! U svom najopštijem obliku, kvadratna jednadžba izgleda ovako:

Na primjer:

Evo A =1; b = 3; c = -4

Evo A =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo A =-3; b = 6; c = -18

Pa razumes...

Kako riješiti kvadratne jednačine? Ako imate pred sobom kvadratnu jednačinu u ovom obliku, onda je sve jednostavno. Zapamtite magičnu reč diskriminatorno . Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz „rješavamo putem diskriminanta“ ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer nema potrebe očekivati ​​trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korena je jedan diskriminatorno. Kao što vidite, da bismo pronašli X, koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Ovo je formula koju izračunavamo. Hajde da zamenimo sa svojim znakovima! Na primjer, za prvu jednačinu A =1; b = 3; c= -4. Evo mi to zapisujemo:

Primjer je skoro riješen:

To je sve.

Koji su slučajevi mogući kada se koristi ova formula? Postoje samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se korijen može izvući iz njega. Drugo je pitanje da li je korijen dobro ili loše izvađen. Važno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali ovo igra ulogu u nejednakostima, gdje ćemo to pitanje detaljnije proučiti.

3. Diskriminant je negativan. Ne može se uzeti kvadratni korijen negativnog broja. Pa, ok. To znači da nema rješenja.

Sve je vrlo jednostavno. I šta, mislite da je nemoguće pogrešiti? Pa da, kako...
Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ono što ovdje pomaže je detaljno snimanje formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi sa proračunima, uradi to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će oko 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će se naglo smanjiti. Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se da je neverovatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Pokušati. Pa, ili biraj. Šta je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo zapisujete. To će se riješiti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom minusa se može riješiti lako i bez grešaka!

dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg smo zapamtili. Ili su naučili, što je takođe dobro. Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znate li kako? pažljivo zamijenite ih u korijen formulu i pažljivo prebrojati rezultat. Shvaćate da je ključna riječ ovdje pažljivo?

Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Ovo nepotpune kvadratne jednadžbe . Mogu se riješiti i diskriminatorom. Samo treba ispravno shvatiti čemu su oni ovdje jednaki. a, b i c.

Jeste li shvatili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? Uopšte ga nema! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto toga u formulu zamijenite nulu c, i uspjet ćemo. Isto je i sa drugim primjerom. Samo što mi ovdje nemamo nulu With, A b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo jednostavnije. Bez ikakve diskriminacije. Razmotrimo prvu nepotpunu jednačinu. Šta možete učiniti na lijevoj strani? Možete izvaditi X iz zagrada! Hajde da ga izvadimo.

I šta od ovoga? I činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x = 0, ili x = 4

Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su pogodna. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo tačan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od korištenja diskriminanta.

Druga jednačina se također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 na desnu stranu. Dobijamo:

Ostaje samo da izvučete korijen iz 9, i to je to. Ispostaviće se:

Takođe dva korena . x = +3 i x = -3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada, ili jednostavnim pomicanjem broja udesno i zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta vaditi iz zagrada...

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka. Isti oni koji su zbog nepažnje... za koje kasnije postaje bolno i uvredljivo...

Prvi sastanak. Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe i dovedite je u standardni oblik. Šta to znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c. Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

I opet, ne žurite! Minus ispred X na kvadrat može vas zaista uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami. Sada bi trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijene! Prema Vietinoj teoremi. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravam poslednja stvar jednačina. One. onaj koji smo koristili da zapišemo formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je laka. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti slobodan član, tj. u našem slučaju -2. Imajte na umu, ne 2, već -2! Besplatan član sa tvojim znakom . Ako ne uspije, znači da su već negdje zeznuli. Potražite grešku. Ako radi, morate dodati korijene. Poslednja i konačna provera. Koeficijent bi trebao biti b With suprotno poznat. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Biće sve manje i manje grešaka.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu sa zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u prethodnom odeljku. Kada radite sa razlomcima, greške se iz nekog razloga stalno uvlače...

Inače, obećao sam da ću pojednostaviti zao primjer s gomilom minusa. Molim te! Evo ga.

Da nas ne bi zbunili minusi, pomnožimo jednačinu sa -1. Dobijamo:

To je sve! Rešavanje je zadovoljstvo!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent je jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti korištenjem Vietine teoreme. Učini to!

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Nastavljamo da savladavamo jednačine. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednačinama. Zadnji pogled lijevo - frakcione jednačine. Ili se zovu i mnogo uglednije - frakcione racionalne jednadžbe. To je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, već razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Dozvolite mi da vas podsjetim da ako su imenioci samo brojevi, ovo su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcione jednačine? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga, jednadžba se najčešće pretvara u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo šta da radimo... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, kao što je 5=5 ili netačan izraz, kao što je 7=2. Ali to se retko dešava. Ovo ću spomenuti u nastavku.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Veoma jednostavno. Primjena istih identičnih transformacija.

Moramo pomnožiti cijelu jednačinu istim izrazom. Tako da su svi imenioci smanjeni! Sve će odmah postati lakše. Dozvolite mi da objasnim na primjeru. Trebamo riješiti jednačinu:

Kako su vas učili u osnovnoj školi? Sve pomeramo na jednu stranu, dovodimo do zajedničkog imenioca itd. Zaboravi kao ružan san! To je ono što trebate učiniti kada dodajete ili oduzimate razlomke. Ili radite sa nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo obje strane izrazom koji će nam dati priliku da sve imenioce svedemo (tj., u suštini, zajedničkim nazivnikom). A koji je to izraz?

Na lijevoj strani, smanjenje nazivnika zahtijeva množenje sa x+2. A na desnoj strani je potrebno množenje sa 2. To znači da se jednačina mora pomnožiti sa 2(x+2). pomnožiti:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću ga detaljno opisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagradu (x + 2)! Dakle, pišem u celosti:

Na lijevoj strani se u potpunosti skuplja (x+2), a desno 2. Što se i tražilo! Nakon smanjenja dobijamo linearno jednadžba:

I svako može riješiti ovu jednačinu! x = 2.

Hajde da riješimo još jedan primjer, malo složeniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1, možemo napisati:

I opet se oslobađamo onoga što nam se baš i ne sviđa - razlomaka.

Vidimo da da bismo smanjili nazivnik sa X, trebamo pomnožiti razlomak sa (x – 2). I nekoliko nam nije prepreka. Pa, pomnožimo. Sve lijevoj strani i sve desna strana:

Opet zagrade (x – 2) Ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom kao da je jedan broj! To se uvijek mora raditi, inače se ništa neće smanjiti.

Sa osjećajem dubokog zadovoljstva smanjujemo (x – 2) i dobijamo jednačinu bez razlomaka, sa ravnalom!

Sada otvorimo zagrade:

Donosimo slične, pomeramo sve na lijevu stranu i dobijamo:

Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus ispred nije dobar. Uvijek ga se možete riješiti množenjem ili dijeljenjem sa -1. Ali ako pažljivo pogledate primjer, primijetit ćete da je najbolje podijeliti ovu jednačinu sa -2! U jednom naletu minus će nestati, a šanse će postati privlačnije! Podijelite sa -2. Na lijevoj strani - član po član, a na desnoj - jednostavno podijelite nulu sa -2, nulu i dobijemo:

Rješavamo preko diskriminanta i provjeravamo pomoću Vietine teoreme. Dobijamo x = 1 i x = 3. Dva korena.

Kao što vidite, u prvom slučaju jednačina je nakon transformacije postala linearna, ali ovdje postaje kvadratna. Dešava se da se nakon uklanjanja razlomaka svi X-ovi smanjuju. Nešto ostaje, kao 5=5. To znači da x može biti bilo šta. Šta god da je, i dalje će biti smanjeno. I ispostavilo se da je to čista istina, 5=5. Ali, nakon što se riješimo razlomaka, može se ispostaviti da je potpuno netačno, na primjer 2=7. A to znači to nema rješenja! Bilo koji X se ispostavi da je netačan.

Realizovano glavno rešenje frakcione jednačine? To je jednostavno i logično. Mijenjamo originalni izraz tako da nestane sve što nam se ne sviđa. Ili se meša. U ovom slučaju to su razlomci. Isto ćemo učiniti sa svim vrstama složenih primjera s logaritmima, sinusima i drugim užasima. Mi Uvijek Otarasimo se svega ovoga.

Međutim, moramo promijeniti originalni izraz u smjeru koji nam je potreban prema pravilima, da... čije je savladavanje priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike. Tako da savladavamo.

Sada ćemo naučiti kako zaobići jedan od glavne zasjede na Jedinstvenom državnom ispitu! Ali prvo da vidimo da li upadate u to ili ne?

Pogledajmo jednostavan primjer:

Stvar je već poznata, množimo obe strane sa (x – 2), dobijamo:

Podsjećam, sa zagradama (x – 2) Radimo kao sa jednim, integralnim izrazom!

Ovdje više nisam pisao jednu u imeniocima, nedostojanstveno je... I nisam crtao zagrade u imeniocima, osim x – 2 nema ništa, ne morate crtati. skratimo:

Otvorite zagrade, pomaknite sve ulijevo i dajte slične:

Riješimo, provjerimo, dobijemo dva korijena. x = 2 I x = 3. Odlično.

Pretpostavimo da zadatak kaže da se zapiše korijen, ili njihov zbir, ako postoji više od jednog korijena. Šta ćemo pisati?

Ako odlučite da je odgovor 5, vi upali u zasedu. I zadatak vam neće biti pripisan. Uzalud su radili... Tačan odgovor je 3.

Sta je bilo?! A ti pokušaš da izvršiš proveru. Zamijenite vrijednosti nepoznatog u original primjer. I ako na x = 3 sve će divno rasti, dobijamo 9 = 9, onda kada x = 2 To će biti deljenje sa nulom! Ono što apsolutno ne možete učiniti. Sredstva x = 2 nije rješenje i ne uzima se u obzir u odgovoru. Ovo je takozvani vanjski ili dodatni korijen. Jednostavno ga odbacujemo. Konačni korijen je jedan. x = 3.

Kako to?! – čujem ogorčene uzvike. Učili su nas da se jednačina može pomnožiti izrazom! Ovo je identična transformacija!

Da, identično. Pod malim uslovom - izraz kojim množimo (delimo) - različito od nule. A x – 2 at x = 2 jednako nuli! Dakle, sve je pošteno.

I šta sad mogu učiniti?! Ne množite izrazom? Trebam li provjeriti svaki put? Opet je nejasno!

Mirno! Ne paničite!

U ovoj teškoj situaciji tri magična slova će nas spasiti. Znam šta misliš. Tačno! Ovo ODZ . Područje prihvatljivih vrijednosti.

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode za rješavanje kvadratnih jednačina // Mladi naučnik. 2016. br. 6.1. str. 17-20..02.2019.).



Naš projekt je o načinima rješavanja kvadratnih jednadžbi. Cilj projekta: naučiti rješavati kvadratne jednačine na načine koji nisu uključeni u školski program. Zadatak: pronađite sve moguće načine rješavanja kvadratnih jednadžbi i naučite kako ih sami koristiti i upoznajte svoje kolege iz razreda s ovim metodama.

Šta su „kvadratne jednačine“?

Kvadratna jednadžba- jednačina oblika sjekira2 + bx + c = 0, Gdje a, b, c- neki brojevi ( a ≠ 0), x- nepoznato.

Brojevi a, b, c nazivaju se koeficijenti kvadratne jednačine.

• a se naziva prvi koeficijent;
• b se naziva drugi koeficijent;
• c - slobodan član.

Ko je prvi "izmislio" kvadratne jednačine?

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednačina bile su poznate prije 4000 godina u starom Babilonu. Otkriće drevnih babilonskih glinenih ploča, koje datiraju negdje između 1800. i 1600. godine prije Krista, pruža najraniji dokaz proučavanja kvadratnih jednačina. Iste tablete sadrže metode za rješavanje određenih vrsta kvadratnih jednadžbi.

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela i iskopnih radova vojnog karaktera, kao i kao i sa razvojem same astronomije i matematike.

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni. Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Babilonski matematičari iz oko 4. veka pre nove ere. koristio je metodu komplementa kvadrata za rješavanje jednadžbi s pozitivnim korijenima. Oko 300. pne Euklid je došao do općenitije metode geometrijskog rješenja. Prvi matematičar koji je pronašao rješenja jednadžbi s negativnim korijenima u obliku algebarske formule bio je indijski naučnik Brahmagupta(Indija, 7. vek nove ere).

Brahmagupta je postavio opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficijenti u ovoj jednačini također mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učen čovjek zasjeniti svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.

U algebarskoj raspravi Al-Khwarizmi data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. ax2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ax2 = c.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegao upotrebu negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimajući. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-mukabal. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khorezmi, kao i svi matematičari do 17. stoljeća, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnoj praksi to nije bitno u zadacima. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Forme za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu Al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abakusa", napisanoj 1202. godine. italijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz ove knjige korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 14.-17. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulisano je u Evropi 1544. godine. M. Stiefel.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. zahvaljujući naporima Girard, Descartes, Newton i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

Pogledajmo nekoliko načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Standardne metode za rješavanje kvadratnih jednačina iz školskog programa:

1. Faktoriranje lijeve strane jednačine.
2. Metoda za odabir cijelog kvadrata.
3. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule.
4. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe.
5. Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Zaustavimo se detaljnije na rješenju reduciranih i nereduciranih kvadratnih jednadžbi koristeći Vietin teorem.

Podsjetimo da je za rješavanje gornje kvadratne jednadžbe dovoljno pronaći dva broja čiji je proizvod jednak slobodnom članu, a čiji je zbir jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka.

Primjer.x 2 -5x+6=0

Morate pronaći brojeve čiji je proizvod 6, a zbir 5. Ovi brojevi će biti 3 i 2.

Odgovor: x 1 =2, x 2 =3.

Ali ovu metodu možete koristiti i za jednačine s prvim koeficijentom koji nije jednak jedan.

Primjer.3x 2 +2x-5=0

Uzmite prvi koeficijent i pomnožite ga slobodnim članom: x 2 +2x-15=0

Korijeni ove jednadžbe bit će brojevi čiji je proizvod jednak -15, a zbir jednak -2. Ovi brojevi su 5 i 3. Da biste pronašli korijene originalne jednačine, podijelite rezultirajuće korijene s prvim koeficijentom.

Odgovor: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rješavanje jednadžbi metodom "baci".

Razmotrimo kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0, gdje je a≠0.

Množenjem obe strane sa a dobijamo jednačinu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka je ax = y, odakle je x = y/a; tada dolazimo do jednačine y 2 + by + ac = 0, ekvivalentne datoj. Njegove korijene za 1 i 2 nalazimo koristeći Vietin teorem.

Konačno dobijamo x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Kod ove metode koeficijent a se množi slobodnim terminom, kao da mu je „bačen“, zbog čega se naziva „metoda bacanja“. Ova metoda se koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietine teoreme i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Primjer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Bacimo” koeficijent 2 na slobodni član i izvršimo zamjenu i dobijemo jednačinu y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinoj inverznoj teoremi

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine.

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ako je a+ b + c = 0 (tj. zbir koeficijenata jednačine je nula), tada je x 1 = 1.

2. Ako je a - b + c = 0, ili b = a + c, onda je x 1 = - 1.

Primjer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Pošto je a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), onda je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Primjer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jer a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), zatim x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Postoje i druga svojstva koeficijenata kvadratne jednačine. ali je njihova upotreba složenija.

8. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma.

Slika 1. Nomogram

Ovo je stara i trenutno zaboravljena metoda rješavanja kvadratnih jednačina, smještena na 83. strani zbirke: Bradis V.M. Matematičke tabele sa četiri cifre. - M., Prosveta, 1990.

Tabela XXII. Nomogram za rješavanje jednačine z 2 + pz + q = 0. Ovaj nomogram omogućava, bez rješavanja kvadratne jednačine, da se iz njenih koeficijenata odrede korijeni jednadžbe.

Krivolinijska skala nomograma se gradi prema formulama (slika 1):

Believing OS = p, ED = q, OE = a(sve u cm), sa Sl. 1 sličnosti trouglova SAN I CDF dobijamo proporciju

što, nakon zamjena i pojednostavljenja, daje jednačinu z 2 + pz + q = 0, i pismo z označava oznaku bilo koje tačke na zakrivljenoj skali.

Rice. 2 Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma

Primjeri.

1) Za jednačinu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korijene z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odgovor:8.0; 1.0.

2) Pomoću nomograma rješavamo jednačinu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podelite koeficijente ove jednačine sa 2, dobijamo jednačinu z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0.5.

9. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjer.X 2 + 10x = 39.

U originalu je ovaj problem formuliran na sljedeći način: "Kvadrat i deset korijena jednaki su 39."

Posmatrajmo kvadrat sa stranicom x, na njegovim stranicama su konstruirani pravokutnici tako da je druga strana svakog od njih 2,5, pa je površina svakog 2,5x. Rezultirajuća figura se zatim dopunjava novom kvadratu ABCD, gradeći četiri jednaka kvadrata u uglovima, stranica svakog od njih je 2,5, a površina 6,25

Rice. 3 Grafička metoda za rješavanje jednačine x 2 + 10x = 39

Površina S kvadrata ABCD može se predstaviti kao zbir površina: prvobitnog kvadrata x 2, četiri pravougaonika (4∙2,5x = 10x) i četiri dodatna kvadrata (6,25∙4 = 25), tj. S = x 2 + 10x = 25. Zamenivši x 2 + 10x brojem 39, dobijamo da je S = 39 + 25 = 64, što znači da je stranica kvadrata ABCD, tj. segment AB = 8. Za traženu stranu x originalnog kvadrata dobijamo

10. Rješavanje jednadžbi pomoću Bezoutove teoreme.

Bezoutova teorema. Ostatak dijeljenja polinoma P(x) sa binomom x - α jednak je P(α) (to jest, vrijednost P(x) na x = α).

Ako je broj α korijen polinoma P(x), tada je ovaj polinom djeljiv sa x -α bez ostatka.

Primjer.x²-4x+3=0

R(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Podijelite P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ili x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

zaključak: Sposobnost brzog i racionalnog rješavanja kvadratnih jednadžbi je od suštinskog značaja za rješavanje složenijih jednačina, kao što su razlomke racionalnih jednačina, jednadžbe veće snage, bikvadratne jednačine i, u srednjoj školi, trigonometrijske, eksponencijalne i logaritamske jednačine. Nakon što smo proučili sve pronađene metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi, možemo savjetovati kolege iz razreda da, osim standardnih metoda, rješavaju metodom prijenosa (6) i rješavaju jednadžbe koristeći svojstvo koeficijenata (7), jer su pristupačnije do razumevanja.

književnost:

1. Bradis V.M. Matematičke tabele sa četiri cifre. - M., Prosveta, 1990.
2. Algebra 8. razred: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ur. S. A. Telyakovsky 15. izd., revidirano. - M.: Obrazovanje, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Istorija matematike u školi. Priručnik za nastavnike. / Ed. V.N. Mlađi. - M.: Prosveta, 1964.

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Koristeći diskriminant, rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe; za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednačine nazivaju potpunim? Ovo jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili potpunu kvadratnu jednačinu, moramo izračunati diskriminanta D.

D = b 2 – 4ac.

U zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, zapisaćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminanta nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednačinu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednačinu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednačinu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpune kvadratne jednadžbe koristeći dijagram na slici 1.

Koristeći ove formule možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo treba biti oprezan jednačina je napisana kao polinom standardnog oblika

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, u pisanju jednačine x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno odlučiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednačina ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi rješenje za primjer 2 iznad).

Dakle, ako jednačina nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednačina mora napisati kao polinom standardnog oblika (monom sa najvećim eksponentom treba da bude prvi, tj. A x 2 , zatim sa manje – bx a zatim slobodan član With.

Prilikom rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Hajde da se upoznamo sa ovim formulama. Ako u potpunoj kvadratnoj jednadžbi drugi član ima paran koeficijent (b = 2k), onda možete riješiti jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se redukovanom ako je koeficijent at x 2 je jednako jedan i jednačina poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva jednadžba se može dati za rješenje, ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednačine sa koeficijentom A, stoji na x 2 .

Na slici 3 prikazan je dijagram za rješavanje redukovanog kvadrata
jednačine. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednačinu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rešimo ovu jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi sa 3 i izvršivši podjelu, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednačinu koristeći formule za redukovanu kvadratnu jednačinu
jednadžbe na slici 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidite, prilikom rješavanja ove jednačine koristeći različite formule, dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito savladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednačinu.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Sa ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednačinu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenje diskriminanta
- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).

Štaviše, odgovor se prikazuje kao tačan, a ne približan.
Na primjer, za jednačinu \(81x^2-16x-1=0\) odgovor je prikazan u sljedećem obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a ne ovako: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u opšteobrazovnim školama prilikom priprema za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odluči se

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednačina
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kao
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.

Definicija.
Kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je slobodni član.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a\neq 0\), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.

Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent od x 2 jednak 1 zadata kvadratna jednačina. Na primjer, date kvadratne jednadžbe su jednačine
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednačine -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Razmotrimo rješavanje jednadžbi svakog od ovih tipova.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), pomaknite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pošto je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako je \(-\frac(c)(a)>0\), tada jednačina ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) da riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +bx=0 sa \(b \neq 0 \) činimo njenu lijevu stranu i dobijemo jednačinu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \levo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno. \)

To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako riješiti kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Rešimo kvadratnu jednadžbu u opštem obliku i kao rezultat dobijemo formulu za korene. Ova formula se zatim može koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0

Podijelivši obje strane sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformirajmo ovu jednačinu odabirom kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći diskriminantnu notaciju, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)

Očigledno je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili nema korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminanta pozitivna ili jednaka nuli, onda koristite formulu korijena; ako je diskriminanta negativna, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbir korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\left\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)