Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti korisno ne samo na časovima matematike, već i van škole.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost navedite dvije veličine koje su međusobno zavisne jedna od druge.

Zavisnost može biti direktna i inverzna. Prema tome, odnosi između veličina su opisani direktnom i obrnutom proporcionalnošću.

Direktna proporcionalnost– to je takav odnos između dvije veličine u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. One. njihov stav se ne menja.

Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su više ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vaš ranac biti teži za nošenje. One. Količina truda uloženog u pripremu ispita direktno je proporcionalna dobijenim ocjenama. A broj stvari spakovanih u ranac je direktno proporcionalan njegovoj težini.

Inverzna proporcionalnost– ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje zavisne vrijednosti za nekoliko puta (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).

Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na pijaci. Jabuke na tezgi i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutoj proporciji. One. Što više jabuka kupite, to će vam ostati manje novca.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Opseg su svi realni brojevi osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne siječe koordinatne ose.
7. Nema nule.
8. Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Problemi inverzne proporcionalnosti

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Oni nisu previše komplikovani, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je inverzna proporcionalnost i kako to znanje može biti korisno u vašem svakodnevnom životu.

Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu trebati da pređe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo početi tako što ćemo zapisati formulu koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas uvelike podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na putu i brzina kojom se kreće u obrnutoj proporciji.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je, prema uslovu, 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost koristeći formulu S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje je potrebno od nas prema uslovima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina su zaista obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od prvobitne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na putu.

Rješenje ovog problema se također može napisati kao proporcija. Dakle, prvo napravimo ovaj dijagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice pokazuju obrnuto proporcionalni odnos. Također predlažu da se pri sastavljanju proporcije desna strana zapisa mora okrenuti: 60/120 = x/6. Gdje dobijamo x = 60 * 6/120 = 3 sata.

Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadatu količinu posla mogu obaviti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Zapišimo uslove problema u obliku vizuelnog dijagrama:

↓ 6 radnika – 4 sata

↓ 3 radnika – x ​​h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijemo x = 6 * 4/3 = 8 sati.Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će potrošiti 2 puta više vremena na sav posao.

Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i napuni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev, bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak, smanjimo sve količine koje su nam date prema uslovima problema na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Budući da uvjet podrazumijeva da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina protoka vode manja. Proporcionalnost je inverzna. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda pravimo proporciju: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrima u sekundi, a odgovor koji smo dobili svedemo na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak br. 4. Mala privatna štamparija štampa vizit karte. Zaposleni u štampariji radi brzinom od 42 vizit karte na sat i radi ceo dan - 8 sati. Ako je radio brže i odštampao 48 vizitkarti za sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?

Pratimo dokazani put i pravimo dijagram prema uslovima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 vizit karte/sat – 8 sati

↓ 48 vizitkarti/h – x h

Imamo obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više vizitkarti odštampa zaposleni u štampariji po satu, isto toliko puta manje vremena će mu trebati da završi isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.

Dakle, pošto je posao završio za 7 sati, radnik štamparije je mogao da ide kući sat ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ovi problemi inverzne proporcionalnosti zaista jednostavni. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A najvažnije je da vam znanje o obrnuto proporcionalnoj zavisnosti količina zaista može biti korisno više puta.

Ne samo na časovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremite za put, u kupovinu, odlučite da zaradite malo više novca tokom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverznih i direktno proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na društvenim mrežama kako bi i vaši prijatelji i drugovi mogli igrati.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

I. Direktno proporcionalne veličine.

Neka vrijednost y zavisi od veličine X. Ako pri povećanju X nekoliko puta veći at povećava za isti iznos, onda takve vrijednosti X I at nazivaju se direktno proporcionalnim.

Primjeri.

1 . Količina kupljene robe i nabavna cijena (uz fiksnu cijenu za jednu jedinicu robe - 1 komad ili 1 kg itd.) Koliko je puta više robe kupljeno, to su više puta više platili.

2 . Prijeđeni put i vrijeme provedeno na njemu (pri konstantnoj brzini). Koliko puta je duži put, koliko puta će više vremena trebati da se završi.

3 . Zapremina tijela i njegova masa. ( Ako je jedna lubenica 2 puta veća od druge, tada će njena masa biti 2 puta veća)

II. Svojstvo direktne proporcionalnosti veličina.

Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.

Zadatak 1. Za džem od malina smo uzeli 12 kg maline i 8 kg Sahara. Koliko šećera će vam trebati ako ga uzmete? 9 kg maline?

Rješenje.

Razmišljamo ovako: neka bude potrebno x kgšećer za 9 kg maline Masa malina i masa šećera su direktno proporcionalne količine: koliko je puta manje malina, toliko je potrebno i šećera. Dakle, omjer uzetih malina (po težini) ( 12:9 ) će biti jednak omjeru uzetog šećera ( 8:x). Dobijamo proporciju:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. odgovor: on 9 kg maline treba uzeti 6 kg Sahara.

Rješenje problema Moglo bi se uraditi ovako:

Pusti 9 kg maline treba uzeti x kg Sahara.

(Strelice na slici su usmjerene u jednom smjeru, a gore ili dolje nije bitno. Značenje: koliko je puta broj 12 više broja 9 , isti broj puta 8 više broja X, tj. ovdje postoji direktna veza).

odgovor: on 9 kg Moram uzeti malo malina 6 kg Sahara.

Zadatak 2. Auto za 3 sata prešao udaljenost 264 km. Koliko će mu trebati da putuje? 440 km, ako vozi istom brzinom?

Rješenje.

Neka za x sati auto će preći put 440 km.

odgovor: auto će proći 440 km za 5 sati.

Osnovni ciljevi:

• uvesti pojam direktne i inverzno proporcionalne zavisnosti veličina;
• naučiti kako riješiti probleme koristeći ove ovisnosti;
• promovirati razvoj vještina rješavanja problema;
• učvrstiti vještinu rješavanja jednačina korištenjem proporcija;
• ponovite korake s običnim i decimalnim razlomcima;
• razvijati logičko mišljenje učenika.

TOKOM NASTAVE

I. Samoopredjeljenje za aktivnost(Organiziranje vremena)

- Momci! Danas ćemo se u lekciji upoznati sa problemima koji se rješavaju korištenjem proporcija.

II. Ažuriranje znanja i evidentiranje poteškoća u aktivnostima

2.1. Usmeni rad (3 min)

– Pronađite značenje izraza i saznajte riječ šifrovanu u odgovorima.

14 – s; 0,1 – i; 7 – l; 0,2 – a; 17 – u; 25 – do

– Rezultirajuća riječ je snaga. Dobro urađeno!
– Moto naše današnje lekcije: Moć je u znanju! Tražim - to znači da učim!
– Napravite proporciju od dobijenih brojeva. (14:7 = 0,2:0,1 itd.)

2.2. Razmotrimo odnos između veličina koje poznajemo (7 min)

– udaljenost koju automobil pređe konstantnom brzinom i vrijeme njegovog kretanja: S = v t ( sa povećanjem brzine (vremena), rastojanje se povećava);
– brzina vozila i vrijeme provedeno na putu: v=S:t(kako se vrijeme putovanja stazom povećava, brzina se smanjuje);
– trošak robe kupljene po jednoj cijeni i njena količina: C = a · n (sa povećanjem (smanjenjem) cijene, cijena nabavke raste (opada));
– cijena proizvoda i njegova količina: a = C: n (sa povećanjem količine cijena opada)
– površina pravougaonika i njegova dužina (širina): S = a · b (sa povećanjem dužine (širine), površina se povećava;
– dužina i širina pravougaonika: a = S: b (kako se dužina povećava, širina se smanjuje;
– broj radnika koji obavljaju neki posao sa istom produktivnošću rada, i vrijeme potrebno da se taj posao završi: t = A: n (sa povećanjem broja radnika smanjuje se vrijeme utrošeno na obavljanje posla) itd. .

Dobili smo zavisnosti u kojima se, sa povećanjem jedne veličine nekoliko puta, druga odmah povećava za isti iznos (primeri su prikazani strelicama) i zavisnosti u kojima se, sa povećanjem jedne veličine nekoliko puta, druga veličina smanjuje za isti broj puta.
Takve zavisnosti se nazivaju direktna i inverzna proporcionalnost.
Direktno proporcionalna zavisnost– odnos u kojem kako se jedna vrijednost povećava (smanjuje) nekoliko puta, druga vrijednost se povećava (smanjuje) za isti iznos.
Obrnuto proporcionalni odnos– odnos u kojem kako se jedna vrijednost povećava (smanjuje) nekoliko puta, druga vrijednost se smanjuje (povećava) za isti iznos.

III. Postavljanje zadatka za učenje

– Sa kojim problemom se suočavamo? (Naučite razlikovati direktnu i inverznu ovisnost)
- Ovo - cilj naša lekcija. Sada formulirajte tema lekcija. (Direktan i obrnuto proporcionalan odnos).
- Dobro urađeno! Zapišite temu lekcije u svoje sveske. (Nastavnik zapisuje temu na tabli.)

IV. „Otkriće“ novih znanja(10 min)

Pogledajmo problem br. 199.

1. Štampač štampa 27 stranica za 4,5 minuta. Koliko će vremena trebati da se odštampa 300 stranica?

27 strana – 4,5 min.
300 stranica - x?

2. U kutiji se nalazi 48 pakovanja čaja, po 250 g. Koliko pakovanja ovog čaja od 150g ćete dobiti?

48 pakovanja – 250 g.
X? – 150 g.

3. Automobil je prešao 310 km, koristeći 25 litara benzina. Koliko daleko automobil može preći s punim rezervoarom od 40L?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Jedan od zupčanika kvačila ima 32 zuba, a drugi 40. Koliko će okretaja napraviti drugi zupčanik dok prvi napravi 215 okretaja?

32 zuba – 315 rev.
40 zuba – x?

Za sastavljanje proporcije potreban je jedan smjer strelica; za to se, u obrnutoj proporcionalnosti, jedan omjer zamjenjuje obrnutim.

Na tabli učenici pronalaze značenje količina, a na licu mjesta učenici rješavaju jedan zadatak po svom izboru.

– Formulirajte pravilo za rješavanje zadataka s direktnom i obrnuto proporcionalnom ovisnošću.

Na tabli se pojavljuje tabela:

V. Primarna konsolidacija u vanjskom govoru(10 min)

Zadaci radnog lista:

1. Od 21 kg sjemena pamuka dobijeno je 5,1 kg ulja. Koliko će se ulja dobiti iz 7 kg sjemena pamuka?
2. Za izgradnju stadiona, 5 buldožera je očistilo teren za 210 minuta. Koliko bi trebalo 7 buldožera da se očisti ovo mjesto?

VI. Samostalan rad sa samotestiranjem prema standardu(5 minuta)

Dva učenika samostalno rade zadatak br. 225 na skrivenim tablama, a ostali - u sveskama. Zatim provjeravaju rad algoritma i upoređuju ga s rješenjem na ploči. Greške se ispravljaju i utvrđuju njihovi uzroci. Ako je zadatak tačno obavljen, učenici pored sebe stavljaju znak „+“.
Studenti koji prave greške u samostalnom radu mogu koristiti konsultante.

VII. Uključivanje u sistem znanja i ponavljanje№ 271, № 270.

U odboru radi šest ljudi. Nakon 3-4 minuta učenici koji rade za tablom iznose svoja rješenja, a ostali provjeravaju zadatke i učestvuju u njihovoj diskusiji.

VIII. Razmišljanje o aktivnosti (sažetak lekcije)

– Šta ste novo naučili na lekciji?
-Šta su ponovili?
– Koji je algoritam za rješavanje problema proporcija?
– Jesmo li postigli cilj?
– Kako ocjenjujete svoj rad?

Primjer

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, itd.

Faktor proporcionalnosti

Konstantni odnos proporcionalnih veličina se naziva faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko je jedinica jedne veličine po jedinici druge.

Direktna proporcionalnost

Direktna proporcionalnost- funkcionalna zavisnost, u kojoj određena veličina zavisi od druge veličine na način da njihov odnos ostaje konstantan. Drugim riječima, ove varijable se mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dvaput promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija mijenja dvaput u istom smjeru.

Matematički, direktna proporcionalnost se piše kao formula:

f(x) = ax,a = const

Inverzna proporcionalnost

Inverzna proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj povećanje nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, inverzna proporcionalnost se piše kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Wikimedia fondacija. 2010.

• Njutnov drugi zakon
• Kulonova barijera

Pogledajte šta je “Direktna proporcionalnost” u drugim rječnicima:

direktnu proporcionalnost- - [A.S. Goldberg. Englesko-ruski energetski rječnik. 2006] Energetske teme u opštem EN direktnom omjeru ... Vodič za tehnički prevodilac

direktnu proporcionalnost- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. direktna proporcionalnost vok. direkte Proportionalität, f rus. direktna proporcionalnost, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPOCIONALNOST- (od latinskog proportionalis proporcionalan, proporcionalan). Proporcionalnost. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Čudinov A.N., 1910. PROPORCIONALNOST lat. proporcionalis, proporcionalan. Proporcionalnost. Objašnjenje 25000 ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika

PROPOCIONALNOST- PROPOCIONALNOST, proporcionalnost, množina. ne, žensko (knjiga). 1. apstraktno imenica do proporcionalnog. Proporcionalnost delova. Proporcionalnost tijela. 2. Takav odnos između količina kada su proporcionalne (vidi proporcionalno ... Ushakov's Explantatory Dictionary

Proporcionalnost- Dvije međusobno zavisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako odnos njihovih vrijednosti ostane nepromijenjen Sadržaj 1 Primjer 2 Koeficijent proporcionalnosti ... Wikipedia

PROPOCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, i, žensko. 1. vidi proporcionalno. 2. U matematici: takav odnos između veličina u kojem povećanje jedne od njih povlači promjenu druge za isti iznos. Prava linija (sa rezom sa povećanjem za jednu vrijednost ... ... Ozhegov's Explantatory Dictionary

proporcionalnost- I; i. 1. do Proporcionalno (1 vrijednost); proporcionalnost. P. dijelovi. P. fizika. P. zastupljenost u parlamentu. 2. Math. Zavisnost između proporcionalno promjenjivih veličina. Faktor proporcionalnosti. Direktna linija (u kojoj sa...... enciklopedijski rječnik