U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli moć broja. Danas ćemo pokušati da se krećemo kroz proces pronalaženja njegovog značenja. Naučno gledano, shvatićemo kako pravilno dizati na stepen. Shvatit ćemo kako se ovaj proces izvodi, a ujedno ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata: prirodnih, iracionalnih, racionalnih, cjelobrojnih.

Dakle, pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

Definicija pojma.
Uzdizanje do negativne umjetnosti.
Čitav indikator.
Podizanje broja na iracionalni stepen.

Evo definicije koja tačno odražava značenje: “Postavljanje u eksponencijal je definicija vrijednosti stepena broja.”

Shodno tome, podizanje broja a u čl. r i proces nalaženja vrijednosti stepena a sa eksponentom r su identični koncepti. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost stepena (0,6)6″, onda se može pojednostaviti na izraz „Podignite broj 0,6 na stepen 6.“

Nakon toga možete nastaviti direktno na pravila izgradnje.

Podizanje na negativnu potenciju

Radi jasnoće, obratite pažnju na sljedeći lanac izraza:

110=0,1=1* 10 minus 1 kašika,

1100=0,01=1*10 u minus 2 stepena,

11000=0,0001=1*10 u minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stepena.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračunavanja 10 na bilo koji minus stepen. U tu svrhu dovoljno je jednostavno pomaknuti decimalnu komponentu:

10 do -1 stepen - ispred jedan je 1 nula;
u -3 - tri nule prije jedan;
u -9 ima 9 nula i tako dalje.

Iz ovog dijagrama je također lako razumjeti koliko će biti 10 minus 5 tbsp. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići broj na prirodni stepen

Prisjećajući se definicije, uzimamo u obzir da prirodni broj a u čl. n je jednako proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrujmo: (a*a*…a)n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Prema tome, da bi se a podiglo na n, potrebno je izračunati proizvod sljedećeg oblika: a*a*…a podijeljen sa n puta.

Iz ovoga postaje očigledno da podizanje do prirodne sv. oslanja se na sposobnost množenja(ovaj materijal je obrađen u odjeljku o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Povećajte -2 do 4. st.

Imamo posla sa prirodnim indikatorom. Shodno tome, tok odluke će biti sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sada ostaje samo da pomnožite cijele brojeve: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dobijamo 16.

Odgovor na problem:

(-2) u čl. 4=16.

primjer:

Izračunajte vrijednost: tri zareze dvije sedmine na kvadrat.

Ovaj primjer je jednak sljedećem proizvodu: tri zareze dvije sedme pomnožene sa tri zareze dvije sedme. Podsjećajući kako se množe mješoviti brojevi, završavamo konstrukciju:

3 bod 2 sedme pomnožene same sa sobom;
jednako 23 sedmine pomnoženo sa 23 sedmine;
iznosi 529 četrdeset devetih;
smanjimo i dobijemo 10 trideset devet četrdeset devetih.

odgovor: 10 39/49

Što se tiče pitanja podizanja na iracionalni eksponent, treba napomenuti da se proračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stepena na bilo koju cifru koja bi omogućila dobivanje vrijednosti sa datom tačnošću. Na primjer, trebamo kvadrirati broj P (pi).

Počinjemo sa zaokruživanjem P na stotinke i dobijamo:

P na kvadrat = (3,14)2=9,8596. Međutim, ako smanjimo P na deset hiljaditih, dobićemo P = 3,14159. Tada kvadriranje daje potpuno drugačiji broj: 9,8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim problemima nema potrebe podizati iracionalne brojeve na stepene. U pravilu, odgovor se unosi ili u obliku stvarnog stepena, na primjer, korijen od 6 na stepen od 3, ili, ako izraz dozvoljava, vrši se njegova transformacija: korijen od 5 do 7 stupnjeva = 125 korijen od 5.

Kako podići broj na cijeli broj

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sljedeće slučajeve:

za cijele brojeve;
za nulti indikator;
za pozitivan cijeli broj eksponent.

Budući da se gotovo svi pozitivni cijeli brojevi poklapaju sa masom prirodnih brojeva, postavljanje na pozitivni cijeli broj je isti proces kao i postavljanje u čl. prirodno. Ovaj proces smo opisali u prethodnom paragrafu.

Sada razgovarajmo o izračunavanju st. null. Iznad smo već saznali da se nulti stepen broja a može odrediti za bilo koji ne-nula a (realan), dok a u čl. 0 će biti jednako 1.

Prema tome, podizanje bilo kojeg realnog broja na nulu st. će dati jedan.

Na primjer, 10 u st. 0=1, (-3,65)0=1 i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Da bismo završili podizanje na cijeli broj, ostaje da se odlučimo za opcije za negativne cjelobrojne vrijednosti. Podsjećamo da je čl. iz a sa celobrojnim eksponentom -z će biti definisan kao razlomak. Imenilac razlomka je st. sa pozitivnim cijelim brojem, čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo da razmotrimo primjer konstrukcije.

primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 u kocki s negativnim cijelim eksponentom.

Proces rješenja:

Prema definiciji stepena sa negativnim eksponentom, označavamo: dva minus 3 stepena. jednako jedan prema dva na treći stepen.

Imenilac se izračunava jednostavno: dva kubna;

3 = 2*2*2=8.

odgovor: dva na minus 3. čl. = jedna osmina.

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Kako biste saznali sve o diplomama, za šta su potrebne i kako svoje znanje iskoristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju Jedinstvenog državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao i sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno pokriti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni „brojanjem prstom“. Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? Šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku “eksponencijacije”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također ima manje grešaka u proračunima Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: prebrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska tabla kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti, inače, mere se u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte da izbrojite koliko će kockica dimenzija metar sa metar uklopiti u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko ste dobili? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da kako biste izračunali volumen bazena, morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Napisano je ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki milion koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sedite i „brojite prstom“, onda ste veoma vredna osoba i... glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi bili obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

- prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni stepen- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

— osnova stepena;
- eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

- prirodni broj;
- cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

čak stepen, - broj pozitivno.
Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjajući samo jedan nedostatak koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ima ukupno slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih brojeva).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nisu počeli da ga množe, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je prije čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

odgovori:

Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Kao što znate, u matematici ne postoje samo pozitivni brojevi, već i negativni. Ako upoznavanje s pozitivnim moćima počinje određivanjem površine kvadrata, onda je s negativnim moćima sve nešto složenije.

Ovo bi trebalo da znate:

Podizanje broja na prirodni stepen je množenje broja (u članku ćemo razmotriti koncepte broja i cifre ekvivalentne) samo po sebi u količini kao što je eksponent (u budućnosti ćemo paralelno koristiti i jednostavno riječ eksponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Generalno, to izgleda ovako: m^n = m*m*m*…*m (n puta).
Mora se uzeti u obzir da kada se negativan broj podigne na prirodni stepen, on će postati pozitivan ako je eksponent paran.
Podizanjem broja na eksponent 0 daje se jedinica, pod uslovom da nije jednak nuli. Potenc od nule do nule smatra se nedefinisanim. 17^0 = 1.
Izdvajanje korijena određene snage iz broja je pronalaženje broja koji će, kada se podigne na odgovarajući eksponent, dati željenu vrijednost. Dakle, kubni korijen od 125 je 5, budući da je 5^3 = 125.
Ako želite podići broj na pozitivan razlomak, onda morate podići broj na eksponent nazivnika i iz njega izvući korijen brojnog eksponenta. 6^5/7 = sedmi korijen proizvoda 6*6*6*6*6.
Ako želite podići broj na negativan eksponent, onda morate pronaći inverznu vrijednost datog broja. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Podizanje broja po modulu nula na jedan na negativan stepen

Prvo treba da zapamtimo šta je modul. Ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od vrijednosti koju smo odabrali do ishodišta (nula koordinatne linije). Po definiciji, nikada ne može biti negativan.

Vrijednost veća od nule

Kada je vrijednost cifre između nule i jedan, negativan indikator daje povećanje same cifre. To se događa jer se nazivnik smanjuje dok ostaje pozitivan.

Pogledajmo primjere:

1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Štoviše, što je veći modul indikatora, broj aktivnije raste. Kako imenilac teži nuli, sam razlomak teži plus beskonačnosti.

Vrijednost manja od nule

Pogledajmo sada kako podići na negativan stepen ako je broj manji od nule. Princip je isti kao u prethodnom dijelu, ali ovdje je važan znak indikatora.

Pogledajmo još jednom primjere:

-19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
-29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

U ovom slučaju to vidimo modul nastavlja da raste, ali predznak zavisi od toga da li je indikator paran ili neparan.

Treba napomenuti da ako izgradimo jedinicu, ona će uvijek ostati sama. Ako trebate podići broj minus jedan, onda će se s parnim eksponentom pretvoriti u jedan, a s neparnim će ostati minus jedan.

Povećanje na negativan cijeli broj ako je modul veći od jedan

Za brojeve čiji je modul veći od jedan, ima svoje specifičnosti delovanja. Prije svega, trebate pretvoriti cijeli dio razlomka u brojilac, odnosno pretvoriti ga u nepravilan razlomak. Ako imamo decimalni razlomak, onda ga moramo pretvoriti u običan razlomak. To se radi na sljedeći način:

6 cijelih brojeva 7/17 = 109/17;
2,54 = 254/100.

Pogledajmo sada kako podići broj na negativan stepen pod ovim uslovima. Već iz navedenog možemo pretpostaviti šta možemo očekivati od rezultata proračuna. Pošto se dvostruki razlomak invertuje tokom pojednostavljivanja, modul figure će se smanjivati brže, što je veći modul eksponenta.

Prvo, razmotrimo situaciju kada broj dat u zadatku je pozitivan.

Prije svega, postaje jasno da će konačni rezultat biti veći od nule, jer dijeljenje dva pozitivna uvijek daje pozitivan rezultat. Pogledajmo još jednom primjere kako se to radi:

6 cijelih brojeva 1/20 na minus peti stepen = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kao što vidite, radnje ne predstavljaju nikakve posebne poteškoće, a sve naše početne pretpostavke su se pokazale tačnima.

Sada se okrenimo slučaju negativne znamenke.

Za početak, možemo pretpostaviti da ako je indikator paran, onda će rezultat biti pozitivan, ako je indikator neparan, onda će rezultat biti negativan. Svi naši prethodni proračuni u ovom dijelu sada će se smatrati važećim. Pogledajmo još jednom primjere:

-3 cijeli 1/2 na minus šesti stepen = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
-1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Tako se pokazalo da su sva naša razmišljanja tačna.

Konstrukcija u slučaju negativnog razlomka eksponenta

Ovdje morate imati na umu da takva konstrukcija postoji izdvajanje korena stepena nazivnika iz broja u stepen brojnika. Sva naša prethodna razmišljanja ovog puta ostaju tačna. Objasnimo naše postupke na primjeru:

4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

U ovom slučaju, morate imati na umu da je vađenje korijena visokog nivoa moguće samo u posebno odabranom obliku i, najvjerovatnije, nećete se moći riješiti znaka radikala (kvadratni korijen, kubni korijen, itd.) sa tačnim proračunima.

Ipak, nakon što smo detaljno proučili prethodna poglavlja, ne biste trebali očekivati poteškoće u školskim proračunima.

Treba napomenuti da opis ovog poglavlja takođe uključuje konstrukcija sa namjerno iracionalnim pokazateljem, na primjer, ako je indikator jednak minus PI. Morate se ponašati prema gore opisanim principima. Međutim, proračuni u takvim slučajevima postaju toliko složeni da to mogu učiniti samo moćni elektronski računari.

Zaključak

Akcija koju smo proučavali je jedan od najtežih problema u matematici(posebno u slučaju frakciono-racionalnog ili iracionalnog značenja). Međutim, detaljnim proučavanjem ovih uputstava korak po korak, možete naučiti kako to učiniti potpuno automatski bez ikakvih problema.

Broj podignut na stepen Oni zovu broj koji je pomnožen sam sa sobom nekoliko puta.

Potencija broja sa negativnom vrijednošću (a - n) može se odrediti na sličan način kao što se određuje snaga istog broja s pozitivnim eksponentom (a n) . Međutim, to također zahtijeva dodatnu definiciju. Formula je definisana kao:

a-n = (1/a n)

Svojstva negativnih potencija brojeva su slična potencijama s pozitivnim eksponentom. Prikazana jednačina a m/a n= a m-n može biti pošteno kao

« Nigde, kao u matematici, jasnoća i tačnost zaključka ne dozvoljavaju osobi da se izvuče iz odgovora pričajući oko pitanja».

A. D. Aleksandrov

at n više m , i sa m više n . Pogledajmo primjer: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Prvo morate odrediti broj koji služi kao definicija stepena. b=a(-n) . U ovom primjeru -n je eksponent b - željenu brojčanu vrijednost, a - osnova stepena u obliku prirodne numeričke vrijednosti. Zatim odredite modul, odnosno apsolutnu vrijednost negativnog broja, koji djeluje kao eksponent. Izračunajte stepen datog broja u odnosu na apsolutni broj, kao indikator. Vrijednost stepena se nalazi dijeljenjem jedan s rezultirajućim brojem.

Rice. 1

Razmislite o stepenu broja s negativnim razlomkom eksponenta. Zamislimo da je broj a bilo koji pozitivan broj, brojevi n I m - cijeli brojevi. Prema definiciji a , koji je podignut na stepen - jednaka je jedinici podijeljenoj sa istim brojem pozitivnog stepena (slika 1). Kada je stepen broja razlomak, tada se u takvim slučajevima koriste samo brojevi s pozitivnim eksponentima.

Vrijedi pamćenja da nula nikada ne može biti eksponent broja (pravilo dijeljenja nulom).

Širenje takvog koncepta kao broja postale su takve manipulacije kao što su mjerni proračuni, kao i razvoj matematike kao nauke. Do uvođenja negativnih vrijednosti došlo je zbog razvoja algebre, koja je davala opća rješenja aritmetičkih problema, bez obzira na njihovo specifično značenje i izvorne numeričke podatke. U Indiji, još u 6.-11. veku, negativni brojevi su sistematski korišćeni pri rešavanju problema i tumačeni su na isti način kao i danas. U evropskoj nauci negativni brojevi su počeli da se široko koriste zahvaljujući R. Descartesu, koji je dao geometrijsku interpretaciju negativnih brojeva kao pravca segmenata. Descartes je bio taj koji je predložio označavanje broja podignutog na stepen koji će se prikazati kao dvospratna formula a n .

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Kako biste saznali sve o diplomama, za šta su potrebne i kako svoje znanje iskoristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju Jedinstvenog državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao i sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Primjer iz stvarnog života #3

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Primjer iz stvarnog života #5

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi bili obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

- prirodni broj;
- cijeli broj;