Skoro jednak Klub od 12 stolica Gotovo jednak IRONIČNA PROZA Smrt je stigla jednom siromahu. I bio je pomalo gluv. Tako normalan, ali pomalo gluv... I slabo je vidio. Nisam vidio skoro ništa. - Oh, imamo goste! Molim vas prođite. Smrt kaže: "Čekaj da se raduješ,"

“Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana.
Da bismo to dokazali, moramo to snimiti i pokazati.”

Ova pjesma je svima poznata još od srednje škole, još otkako smo na času geometrije učili poznatu Pitagorinu teoremu: kvadrat dužine hipotenuze pravokutnog trougla jednak je zbiru kvadrata kateta. Iako sam Pitagora nikada nije nosio pantalone - u to vrijeme Grci ih nisu nosili. Ko je Pitagora?
Pitagora sa Samosa iz lat. Pitagora, pitijski emiter (570-490 pne) - starogrčki filozof, matematičar i mistik, tvorac religijske i filozofske škole Pitagorejaca.
Među kontradiktornim učenjima svojih učitelja, Pitagora je tražio živu vezu, sintezu jedne velike celine. Postavio je sebi cilj - pronaći put koji vodi ka svjetlu istine, odnosno doživjeti život u jedinstvu. U tu svrhu Pitagora je obišao čitav antički svijet. Smatrao je da svoje ionako široke vidike treba proširiti proučavanjem svih religija, doktrina i kultova. Živio je među rabinima i naučio mnogo o tajnim tradicijama Mojsija, zakonodavca Izraela. Zatim je posjetio Egipat, gdje je bio iniciran u Adonisove misterije i, nakon što je uspio preći dolinu Eufrata, dugo je ostao kod Kaldejaca da nauči njihovu tajnu mudrost. Pitagora je posjetio Aziju i Afriku, uključujući Hindustan i Babilon. U Babilonu je proučavao znanje magičara.
Zasluga Pitagorejaca bila je promicanje ideja o kvantitativnim zakonima razvoja svijeta, što je doprinijelo razvoju matematičkog, fizičkog, astronomskog i geografskog znanja. Osnova stvari je Broj, učio je Pitagora, poznavati svijet znači poznavati brojeve koji njime upravljaju. Proučavajući brojeve, Pitagorejci su razvili numeričke odnose i pronašli ih u svim područjima ljudske djelatnosti. Pitagora je učio u tajnosti i nije ostavljao za sobom pisana djela. Pitagora je pridavao veliku važnost broju. Njegovi filozofski stavovi su u velikoj mjeri određeni matematičkim konceptima. Rekao je: „Sve je broj“, „sve stvari su brojevi“, ističući tako jednu stranu u poimanju svijeta, odnosno njegovu mjerljivost u numeričkom izrazu. Pitagora je vjerovao da broj kontrolira sve, uključujući moralne i duhovne kvalitete. Učio je (prema Aristotelu): „Pravda... je broj pomnožen sam sa sobom.” Vjerovao je da u svakom objektu, pored njegovih promjenjivih stanja, postoji nepromjenjivo biće, određena nepromjenjiva supstancija. Ovo je broj. Otuda glavna ideja pitagorejstva: broj je osnova svega što postoji. Pitagorejci su u brojevima i matematičkim odnosima vidjeli objašnjenje skrivenog značenja pojava, zakona prirode. Prema Pitagori, predmeti misli su stvarniji od predmeta čulnog znanja, budući da brojevi imaju bezvremensku prirodu, tj. vječni. One su neka vrsta stvarnosti koja stoji iznad stvarnosti stvari. Pitagora kaže da se sva svojstva objekta mogu uništiti ili promijeniti, osim jednog numeričkog svojstva. Ova nekretnina je jedinica. Jedinstvo je postojanje stvari, neuništivih i neraskidivih, nepromjenjivih. Razbijte bilo koji predmet na najmanje čestice - svaka će čestica biti jedna. Tvrdeći da je brojčano biće jedino nepromenljivo biće, Pitagora je došao do zaključka da su svi objekti kopije brojeva.
Jedinica je apsolutni broj Jedinica ima vječnost. Jedinica ne mora biti u bilo kakvom odnosu ni sa čim drugim. Ono postoji samostalno. Dvoje je samo odnos jedan prema jedan. Svi brojevi su samo
numerički odnosi Jedinice, njene modifikacije. A svi oblici bića su samo određene strane beskonačnosti, a samim tim i Jedinice. Prvobitni Jedan sadrži sve brojeve, dakle, sadrži elemente cijelog svijeta. Objekti su stvarne manifestacije apstraktnog postojanja. Pitagora je bio prvi koji je kosmos sa svim stvarima u njemu označio kao red koji se uspostavlja brojem. Ovaj poredak je pristupačan umu i on ga prepoznaje, što vam omogućava da vidite svijet na potpuno nov način.
Proces spoznaje svijeta, prema Pitagori, je proces spoznaje brojeva koji njime upravljaju. Nakon Pitagore, kosmos se počeo posmatrati kao uređen prema broju svemira.
Pitagora je učio da je ljudska duša besmrtna. On je došao na ideju o transmigraciji duša. Vjerovao je da se sve što se dešava u svijetu ponavlja iznova i iznova nakon određenih vremenskih perioda, a duše mrtvih, nakon nekog vremena, naseljavaju druge. Duša, kao broj, predstavlja Jedinicu, tj. duša je u suštini savršena. Ali svako savršenstvo, ukoliko se pokrene, pretvara se u nesavršenstvo, iako nastoji da povrati svoje prijašnje savršeno stanje. Pitagora je odstupanje od Jedinstva nazvao nesavršenošću; stoga se dva smatralo prokletim brojem. Duša u čovjeku je u stanju komparativne nesavršenosti. Sastoji se od tri elementa: razuma, inteligencije, strasti. Ali ako i životinje imaju inteligenciju i strasti, onda je samo čovjek obdaren razumom (razumom). Bilo koja od ove tri strane u osobi može prevladati i tada osoba postaje pretežno ili razumna, ili razumna, ili senzualna. Prema tome, ispada ili filozof, ili obična osoba, ili životinja.
Međutim, da se vratimo na brojke. Da, zaista, brojevi su apstraktna manifestacija osnovnog filozofskog zakona Univerzuma - Jedinstva suprotnosti.
Bilješka. Apstrakcija služi kao osnova za procese generalizacije i formiranja pojmova. To je neophodan uslov za kategorizaciju. Formira generalizirane slike stvarnosti, koje omogućavaju prepoznavanje veza i odnosa objekata koji su značajni za određenu aktivnost.
Jedinstvo suprotnosti univerzuma sastoji se od forme i sadržaja, forma je kvantitativna kategorija, a sadržaj je kvalitativna kategorija. Naravno, brojevi izražavaju kvantitativne i kvalitativne kategorije u apstrakciji. Dakle, sabiranje (oduzimanje) brojeva je kvantitativna komponenta apstrakcije oblika, a množenje (deljenje) je kvalitativna komponenta apstrakcije sadržaja. Brojevi apstrakcije forme i sadržaja su u neraskidivoj vezi Jedinstva suprotnosti.
Pokušajmo izvesti matematičke operacije nad brojevima, uspostavljajući neraskidivu vezu između forme i sadržaja.

Dakle, pogledajmo seriju brojeva.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Sljedećih 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 –(1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 –(1 +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 –(1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 – (1+9= 10) (1) -20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 –(2+1=3) (3) – 22- (2+2= 4 ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) Itd.
Odavde posmatramo cikličnu transformaciju Formi, koja odgovara ciklusu Sadržaja - 1. ciklus - 3-9-6 - 6-9-3 2. ciklus - 3-9- 6 -6-9-3, itd.
6
9 9
3

Ciklusi odražavaju inverziju torusa Univerzuma, gdje su suprotnosti brojeva apstrakcije oblika i sadržaja 3 i 6, gdje 3 određuje kompresiju, a 6 - istezanje. Kompromis za njihovu interakciju je broj 9.
Sljedeći 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9) itd.
Ciklus izgleda ovako 2-(3)-2-(6)- 2- (9)... gdje je 2 sastavni element ciklusa 3-6-9.
Ispod je tablica množenja:
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Ciklus -6,6- 9- 3,3 – 9.
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6=18 (1+8=9)
3x7=21 (2+1=3)
3x8=24 (2+4=6)
3x9=27 (2+7=9)
Ciklus 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0= 9)
4x6=24 (2+4=6)
4x7=28
4x8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4x9=36 (3+6=9)
Ciklus 3.3 – 9 - 6.6 - 9.
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6=30 (3+0=3)
5x7=35
5x8=40 (3+5+4+0= 12 1+2=3)
5x9=45 (4+5=9)
Ciklus -6,6 – 9 - 3,3- 9.
6x1= 6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5=30 (3+0=3)
6x6=36 (3+6=9)
6x7=42 (4+2=6)
6x8=48 (4+8=12 1+2=3)
6x9=54 (5+4=9)
Ciklus – 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7x3=21 (2+1=3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6=42 (4+2=6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9=63 (6+3=9)
Ciklus – 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
8x1= 8
8x2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8x3=24 (2+4=6)
8x4=32
8x5=40 (3+2+4+0 =9)
8x6=48 (4+8=12 1+2=3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8x9=72 (7+2=9)
Ciklus -6,6 – 9 – 3,3 – 9.
9x1=9
9x2= 18 (1+8=9)
9x3= 27 (2+7=9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5=45 (4+5= 9)
9x6=54 (5+4=9)
9x7=63 (6+3=9)
9x8=72 (7+2=9)
9x9=81 (8+1=9).
Ciklus je 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Brojevi kvalitativne kategorije sadržaja - 3-6-9, označavaju jezgro atoma s različitim brojem neutrona, a kvantitativne kategorije označavaju broj elektrona atoma. Hemijski elementi su jezgra čije su mase višekratne 9, a višekratnici 3 i 6 su izotopi.
Bilješka. Izotop (od grčkog "jednak", "isti" i "mjesto") je niz atoma i jezgara istog kemijskog elementa s različitim brojem neutrona u jezgru. Hemijski element je skup atoma sa identičnim nuklearnim nabojem. Izotopi su vrste atoma kemijskog elementa s istim nuklearnim nabojem, ali različitim masenim brojevima.

Svi stvarni objekti su napravljeni od atoma, a atomi su određeni brojevima.
Stoga je prirodno da je Pitagora bio uvjeren da su brojevi stvarni objekti, a ne jednostavni simboli. Broj je određeno stanje materijalnih objekata, suština stvari. I Pitagora je bio u pravu u vezi ovoga.

PITAGOROVE PALTAĆE SU JEDNAKVE NA SVE STRANE

Ova zajedljiva primjedba (koja u cijelosti ima nastavak: da biste je dokazali, morate je ukloniti i pokazati), koju je izmislio neko očito šokiran unutrašnjim sadržajem jedne važne teoreme euklidske geometrije, otkriva što je moguće preciznije polazište od koje lanac potpuno jednostavne misli brzo vodi do dokaza teoreme, kao i do još značajnijih rezultata. Ova teorema, pripisana starogrčkom matematičaru Pitagori sa Samosa (6. stoljeće prije Krista), poznata je gotovo svakom školarcu i zvuči ovako: kvadrat hipotenuze pravokutnog trougla jednak je zbiru kvadrata kateta. Možda će se mnogi složiti da se geometrijska figura, nazvana šifrom "Pitagorine pantalone jednake na sve strane", zove kvadrat. Pa, sa osmehom na licu, dodajmo bezazlenu šalu zarad šta se podrazumevalo pod nastavkom šifrovanog sarkazma. Dakle, "da biste to dokazali, morate to snimiti i pokazati." Jasno je da "ovo" - zamjenica je značila samu teoremu, "ukloniti" - to znači doći u ruke, uzeti imenovanu figuru, "pokazati" - mislila se riječ "dodirnuti", unošenje nekih dijelova figure u kontakt. Općenito, “pitagorine pantalone” je naziv za grafički dizajn koji po izgledu podsjeća na pantalone, koji je dobijen na Euklidovom crtežu tokom njegovog vrlo složenog dokaza Pitagorine teoreme. Kada je pronađen jednostavniji dokaz, možda je neki rimovač sastavio ovu zbrku jezika da ne zaboravi početak pristupa dokazu, a popularna glasina već ju je pronijela svijetom kao praznu izreku. Dakle, ako uzmete kvadrat i stavite manji kvadrat u njega tako da im se centri poklapaju i rotirate manji kvadrat dok njegovi uglovi ne dodirnu stranice većeg kvadrata, tada ćete na većoj figuri pronaći 4 identična pravokutna trokuta istaknuta stranicama manjeg kvadrata. Odavde već leži prava linija put do dokaza poznate teoreme. Neka je stranica manjeg kvadrata označena sa c. Stranica većeg kvadrata je a+b, a tada je njegova površina (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Ista površina se može definirati kao zbir površine manjeg kvadrata i površine 4 identična pravougaona trougla, odnosno kao 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Stavimo znak jednakosti između dva proračuna iste površine: a 2 +2ab+b 2 =2ab+ c 2. Nakon smanjivanja pojmova 2ab dobijamo zaključak: kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata kateta, odnosno a 2 + b 2 =c 2. Neće svi odmah shvatiti korist ove teoreme. Sa praktične tačke gledišta, njegova vrijednost leži u tome što služi kao osnova za mnoge geometrijske proračune, kao što je određivanje udaljenosti između tačaka na koordinatnoj ravni. Neke vrijedne formule su izvedene iz teoreme; njene generalizacije dovode do novih teorema koje premošćuju jaz između proračuna u ravnini i proračuna u prostoru. Posljedice teoreme prodiru u teoriju brojeva, otkrivajući pojedinačne detalje strukture niza brojeva. I još mnogo toga, previše za nabrajanje. Pogled iz ugla dokone radoznalosti demonstrira prezentaciju zabavnih problema teoremom, koji su formulisani na krajnje jasan način, ali su ponekad tvrd orah. Kao primjer, dovoljno je navesti najjednostavniji od njih, takozvano pitanje o Pitagorinim brojevima, koje se svakodnevno postavlja na sljedeći način: da li je moguće izgraditi prostoriju po dužini, širini i dijagonali na podu? istovremeno mjeriti samo u cijelim brojevima, recimo u koracima? I najmanja promjena po ovom pitanju može učiniti zadatak izuzetno teškim. I shodno tome, biće onih koji žele, čisto iz naučnog entuzijazma, da se okušaju u razbijanju sledeće matematičke slagalice. Još jedna promjena u pitanju - i još jedna zagonetka. Često, u toku traženja odgovora na takve probleme, matematika se razvija, stiče nove poglede na stare koncepte, stiče nove sistematske pristupe itd., što znači da Pitagorina teorema, kao i svako drugo vrijedno učenje, nije ništa manje korisna od ovu tačku gledišta. Matematika Pitagorinog vremena nije prepoznavala druge brojeve osim racionalnih (prirodni brojevi ili razlomci s prirodnim brojiocem i nazivnikom). Sve se mjerilo u cijelim količinama ili dijelovima cijelih količina. Zato je toliko razumljiva želja da se sve više rade geometrijske proračune i rješavaju jednadžbe prirodnim brojevima. Ovisnost o njima otvara put u nevjerovatan svijet misterije brojeva, od kojih se neki u geometrijskoj interpretaciji u početku pojavljuju kao prava linija s beskonačnim brojem oznaka. Ponekad ovisnost između nekih brojeva u nizu, “linearna udaljenost” između njih, proporcija odmah upada u oči, a ponekad nam najsloženije mentalne konstrukcije ne dopuštaju da ustanovimo kojim obrascima podliježe distribucija određenih brojeva. Ispada da u novom svijetu, u ovoj „jednodimenzionalnoj geometriji“, stari problemi ostaju na snazi, samo se mijenja njihova formulacija. Na primjer, varijanta zadatka o Pitagorinim brojevima: „Otac od kuće napravi x koraka od x centimetara svaki, a zatim hoda još koraka od y centimetara. Njegov sin hoda iza njega z koraka, po z centimetara. Kolika bi trebala biti veličina njihovih koraka da bi na z-tom koraku dijete krenulo stopama oca?" Iskreno rečeno, treba napomenuti da je pitagorina metoda razvoja misli pomalo teška za matematičara početnika. Ovo je posebna vrsta matematickog razmisljanja,treba se naviknuti na njega.Jedna stvar je zanimljiva.Matematičari vavilonske države (nastala je mnogo prije rođenja Pitagore, skoro hiljadu i po godina prije njega) takođe je očigledno poznavao neke metode traženja brojeva, koji su kasnije postali poznati kao Pitagorini brojevi. Pronađene su klinaste ploče gde su babilonski mudraci zapisivali trojke takvih brojeva koje su identifikovali. Neke trojke su se sastojale od prevelikih brojeva, pa su stoga naši savremenici počeli da Pretpostavimo da su Vavilonci imali neke pametne, a vjerovatno čak i jednostavne metode za njihovo izračunavanje.Nažalost, ništa se ne zna ni o samim metodama ni o njihovom postojanju.

Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanističkim naukama, ostavljajući prirodne nauke analizi, praktičnom pristupu i suhoparnom jeziku formula i brojeva. Matematika se ne može svrstati u humanistički predmet. Ali bez kreativnosti nećete dogurati daleko u "kraljici svih nauka" - ljudi to već dugo znaju. Od Pitagorinog vremena, na primjer.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da je u matematici važno ne samo nagurati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegove osnovne principe. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um od klišea i elementarnih istina - samo u takvim uvjetima se rađaju sva velika otkrića.

Takva otkrića uključuju ono što danas poznajemo kao Pitagorinu teoremu. Uz nju ćemo pokušati pokazati da matematika ne samo da može, već i treba da bude uzbudljiva. I da ova avantura ne odgovara samo štreberima sa debelim naočalama, već i svima koji su jaki umom i jaki duhom.

Iz istorije problema

Strogo govoreći, iako se teorema naziva "Pitagorina teorema", sam Pitagora je nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su mnogo prije njega. Postoje dva polarna gledišta po ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je bio prvi koji je pronašao potpuni dokaz teoreme. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti ko je u pravu, a ko nije. Ono što se zna je da Pitagorin dokaz, ako je ikada postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da poznati dokaz iz Euklidovih elemenata možda pripada Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je također poznato da se problemi o pravokutnom trokutu nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemhata I, na babilonskim glinenim pločama iz vladavine kralja Hamurabija, u staroindijskoj raspravi “Sulva Sutra” i starokineskom djelu “ Zhou-bi suan jin”.

Kao što vidite, Pitagorina teorema je zaokupljala umove matematičara od davnina. To potvrđuje oko 367 različitih dokaza koji danas postoje. U tome se nijedna druga teorema ne može takmičiti s njom. Među poznatim autorima dokaza možemo se prisjetiti Leonarda da Vincija i dvadesetog američkog predsjednika Jamesa Garfielda. Sve ovo govori o izuzetnoj važnosti ove teoreme za matematiku: većina teorema geometrije je izvedena iz nje ili je na neki način povezana s njom.

Dokazi Pitagorine teoreme

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali suština teoreme je u geometriji, pa hajde da prvo razmotrimo one dokaze čuvene teoreme koji se zasnivaju na ovoj nauci.

Dokazi 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorine teoreme za pravougaoni trougao, morate postaviti idealne uslove: neka trougao bude ne samo pravougli, već i jednakokraki. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari prvobitno razmatrali upravo ovakav trokut.

Izjava "Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim katetama" može se ilustrovati sledećim crtežom:

Pogledajte jednakokraki pravougaoni trougao ABC: Na hipotenuzi AC možete konstruisati kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka originalnom ABC. A na stranama AB i BC izgrađen je kvadrat, od kojih svaki sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj crtež je bio osnova brojnih šala i karikatura posvećenih Pitagorinoj teoremi. Najpoznatija je vjerovatno "Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima":

Dokazi 2

Ova metoda kombinuje algebru i geometriju i može se smatrati varijantom drevnog indijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruirajte pravougao trokut sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim konstruirajte dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju dužina dva kraka - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri trokuta slična onima na slici 1. Rezultat su dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu, konstruirana četiri slična trokuta formiraju kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Zbir površina konstruisanih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruisali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površine kvadrata na Sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimanjem površina četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranicom (a+b).

Zapisujući sve ovo, imamo: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Otvorite zagrade, izvršite sve potrebne algebarske proračune i dobijete to a 2 +b 2 = a 2 +b 2. U ovom slučaju, područje upisano na sl. 3. kvadrat se također može izračunati korištenjem tradicionalne formule S=c 2. One. a 2 +b 2 =c 2– dokazali ste Pitagorinu teoremu.

Dokazi 3

Sam drevni indijski dokaz opisan je u 12. veku u raspravi „Kruna znanja“ („Siddhanta Shiromani“), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkim talentima i veštinama zapažanja učenika i sledbenika: „ Pogledaj!”

Ali ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Unutar kvadrata napravite četiri pravokutna trougla kao što je prikazano na crtežu. Označimo stranu velikog kvadrata, također poznatu kao hipotenuza, With. Nazovimo noge trougla A I b. Prema crtežu, stranica unutrašnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu za površinu kvadrata S=c 2 za izračunavanje površine vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost dodavanjem površine unutrašnjeg kvadrata i površina sva četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I ovo vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja, dobit ćete formulu Pitagorine teoreme c 2 =a 2 +b 2. Teorema je dokazana.

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestina stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutrašnji kvadrat sa stranom c konstruiran je na isti način kao u drevnom indijskom dokazu koji je dat gore.

Ako mentalno odsiječete dva zelena pravokutna trokuta sa crteža na slici 1, pomaknete ih na suprotne strane kvadrata sa stranom c i pričvrstite hipotenuze na hipotenuze lila trokuta, dobit ćete figuru koja se zove “mladenčina stolica” (Sl. 2). Radi jasnoće, isto možete učiniti s papirnim kvadratima i trokutima. Pobrinut ćete se da "mladenkina stolica" bude formirana od dva kvadrata: malih sa stranom b i veliki sa stranom a.

Ove konstrukcije omogućile su drevnim kineskim matematičarima i nama, prateći ih, da dođemo do zaključka da c 2 =a 2 +b 2.

Dokazi 5

Ovo je još jedan način da se pomoću geometrije nađe rješenje Pitagorine teoreme. Zove se Garfildova metoda.

Konstruišite pravougao trougao ABC. Moramo to dokazati BC 2 = AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i konstruisati segment CD, što je jednako kraku AB. Spustite okomicu AD linijski segment ED. Segmenti ED I AC su jednaki. Povežite tačke E I IN, i E I WITH i dobijete crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovo pribjegavamo metodi koju smo već isprobali: nalazimo površinu rezultirajuće figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedni s drugima.

Pronađite površinu poligona KREVET može se uraditi sabiranjem površina tri trougla koji ga čine. i jedan od njih, ERU, nije samo pravougaona, već i jednakokračna. Ne zaboravimo ni to AB=CD, AC=ED I BC=SE– ovo će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopterećujemo ga. dakle, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2VS 2.

Istovremeno, očigledno je da KREVET- Ovo je trapez. Stoga izračunavamo njegovu površinu pomoću formule: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Za naše proračune je zgodnije i jasnije predstaviti segment AD kao zbir segmenata AC I CD.

Zapišimo oba načina izračunavanja površine figure, stavljajući znak jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata koji su nam već poznati i gore opisani da pojednostavimo desnu stranu notacije: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sada otvorimo zagrade i transformirajmo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobili smo upravo ono što nam je potrebno: BC 2 = AC 2 + AB 2. Teoremu smo dokazali.

Naravno, ova lista dokaza je daleko od potpune. Pitagorina teorema se također može dokazati korištenjem vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se, na primjer, tekućina izlije u kvadratne i trokutaste zapremine slične onima prikazanim na crtežima. Ulivanjem tekućine možete dokazati jednakost površina i samu teoremu kao rezultat.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Ovo pitanje se malo ili uopšte ne proučava u školskom programu. U međuvremenu, veoma je zanimljiv i od velikog je značaja u geometriji. Pitagorine trojke se koriste za rješavanje mnogih matematičkih problema. Njihovo razumijevanje može vam biti od koristi u daljem obrazovanju.

Dakle, šta su pitagorine trojke? Ovo je naziv za prirodne brojeve skupljene u grupe po tri, od kojih je zbir kvadrata dva jednak trećem broju na kvadratu.

Pitagorine trojke mogu biti:

• primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
• nije primitivno (ako se svaki broj trojke pomnoži sa istim brojem, dobićete novu trojku, koja nije primitivna).

Još prije naše ere, stari Egipćani su bili fascinirani manijom za brojevima pitagorejskih trojki: u problemima su smatrali pravougli trokut sa stranicama od 3, 4 i 5 jedinica. Usput, svaki trougao čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke je po defaultu pravougaonik.

Primjeri pitagorinih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teoreme

Pitagorina teorema se koristi ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorina teorema se široko koristi u problemima različitih nivoa složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se radijus glavnog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Poluprečnik manjih polukrugova može se izraziti i kroz b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima radijus unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorina teorema je samo korisna za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen isprekidanom linijom. Hipotenuza trougla sastoji se od dva poluprečnika: b/4+p. Jedna noga predstavlja poluprečnik b/4, druga b/2-p. Koristeći Pitagorinu teoremu, pišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Hajde da transformišemo ovaj izraz u bp/2=b 2 /4-bp. I onda podijelimo sve pojmove sa b, predstavljamo slične za nabavku 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je trebalo.

Koristeći teoremu, možete izračunati dužinu rogova za zabatni krov. Odredite koliko je visok toranj mobilne komunikacije potreban da bi signal stigao do određenog naseljenog područja. Čak i održivo postaviti božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ova teorema ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često korisna u stvarnom životu.

Pitagorina teorema je u književnosti inspirisala pisce još od antike i nastavlja da to čini i u naše vreme. Na primjer, njemački pisac iz devetnaestog vijeka Adelbert von Chamisso bio je inspiriran da napiše sonet:

Svjetlo istine neće uskoro nestati,
Ali, nakon što je zablistao, malo je vjerovatno da će se raspršiti
I, kao i pre hiljadama godina,
Neće izazvati sumnju ili kontroverzu.

Najmudriji kada dotakne tvoj pogled
Svetlost istine, hvala bogovima;
I sto bikova, zaklanih, lažu -
Povratni poklon od srećnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek je uzbunio pleme bikova
Ovdje se spominje događaj.

Čini im se da će doći vrijeme,
I oni će ponovo biti žrtvovani
Neka sjajna teorema.

(prevod Viktor Toporov)

A u dvadesetom veku, sovjetski pisac Jevgenij Veltistov, u svojoj knjizi „Avanture elektronike“, posvetio je čitavo jedno poglavlje dokazima Pitagorine teoreme. I još pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorina teorema postala temeljni zakon, pa čak i religija za jedan svijet. Živjeti tamo bi bilo mnogo lakše, ali i mnogo dosadnije: na primjer, tamo niko ne razumije značenje riječi „okruglo“ i „puhasto“.

A u knjizi "Avanture elektronike" autor, kroz usta nastavnika matematike Taratara, kaže: "Glavna stvar u matematici je kretanje misli, novih ideja." Upravo taj kreativni let misli dovodi do Pitagorine teoreme - ona nije uzalud ima toliko različitih dokaza. Pomaže vam da pređete granice poznatog i sagledate poznate stvari na novi način.

Zaključak

Ovaj članak je kreiran tako da možete pogledati dalje od školskog nastavnog plana i programa matematike i naučiti ne samo one dokaze Pitagorine teoreme koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7" - 11” (A.V. Pogorelov), ali i druge zanimljive načine dokazivanja čuvene teoreme. I također pogledajte primjere kako se Pitagorina teorema može primijeniti u svakodnevnom životu.

Prvo, ove informacije će vam omogućiti da se kvalificirate za više ocjene na časovima matematike - informacije o ovoj temi iz dodatnih izvora su uvijek visoko cijenjene.

Drugo, htjeli smo vam pomoći da osjetite koliko je matematika zanimljiva. Potvrdite konkretnim primjerima da uvijek ima prostora za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorina teorema i ovaj članak inspirisati da samostalno istražujete i donosite uzbudljiva otkrića u matematici i drugim naukama.

Recite nam u komentarima da li su vam dokazi predstavljeni u članku bili zanimljivi. Da li vam je ova informacija bila korisna u vašim studijama? Napišite nam šta mislite o Pitagorinoj teoremi i ovom članku - rado ćemo o svemu tome razgovarati s vama.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Opis prezentacije po pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

Projekat učenika srednje škole MBOU Bondarskaya na temu: „Pitagora i njegova teorema“ Pripremio: Konstantin Ektov, učenik 7A razreda Rukovodilac: Nadežda Ivanovna Dolotova, nastavnica matematike, 2015.

2 slajd

Opis slajda:

3 slajd

Opis slajda:

Anotacija. Geometrija je veoma interesantna nauka. Sadrži mnoge teoreme koje nisu slične jedna drugoj, ali ponekad toliko potrebne. Veoma sam se zainteresovao za Pitagorinu teoremu. Nažalost, jednu od najvažnijih tvrdnji učimo tek u osmom razredu. Odlučio sam da podignem veo tajne i istražim Pitagorinu teoremu.

4 slajd

Opis slajda:

5 slajd

Opis slajda:

6 slajd

Opis slajda:

Ciljevi: Proučiti Pitagorinu biografiju. Istražite istoriju i dokaz teoreme. Saznajte kako se teorema koristi u umjetnosti. Pronađite istorijske probleme u kojima se koristi Pitagorina teorema. Upoznajte se sa stavom djece različitih vremena prema ovoj teoremi. Kreirajte projekat.

7 slajd

Opis slajda:

Napredak istraživanja Pitagorina biografija. Pitagorine zapovijedi i aforizmi. Pitagorina teorema. Istorija teoreme. Zašto su “pitagorine pantalone jednake u svim pravcima”? Razni dokazi Pitagorine teoreme od strane drugih naučnika. Primjena Pitagorine teoreme. Anketa. Zaključak.

8 slajd

Opis slajda:

Pitagora - ko je on? Pitagora sa Samosa (580 - 500 pne), starogrčki matematičar i idealistički filozof. Rođen na ostrvu Samos. Dobio dobro obrazovanje. Prema legendi, Pitagora je, kako bi se upoznao sa mudrošću istočnjačkih naučnika, otišao u Egipat i tamo živio 22 godine. Pošto je dobro savladao sve egipatske nauke, uključujući i matematiku, preselio se u Babilon, gde je živeo 12 godina i upoznao se sa naučnim saznanjima babilonskih sveštenika. Tradicija pripisuje Pitagorini posjet Indiji. To je vrlo vjerovatno, budući da su Jonija i Indija tada imale trgovinske odnose. Vrativši se u svoju domovinu (oko 530. pne), Pitagora je pokušao da organizuje sopstvenu filozofsku školu. Međutim, iz nepoznatih razloga, ubrzo napušta Samos i naseljava se u Crotone (grčka kolonija u sjevernoj Italiji). Ovde je Pitagora uspeo da organizuje svoju školu, koja je radila skoro trideset godina. Pitagorina škola, ili, kako je još nazivaju, Pitagorina unija, bila je u isto vrijeme i filozofska škola, i politička partija i vjersko bratstvo. Status pitagorejskog saveza bio je veoma oštar. U svojim filozofskim pogledima, Pitagora je bio idealista, branilac interesa robovlasničke aristokracije. Možda je to bio razlog njegovog odlaska sa Samosa, budući da su pristalice demokratskih stavova imale veoma veliki uticaj u Joniji. U društvenim pitanjima, pitagorejci su pod "naredbom" shvatili dominaciju aristokrata. Oni su osudili antičku grčku demokratiju. Pitagorejska filozofija bila je primitivni pokušaj da se opravda vladavina robovlasničke aristokracije. Krajem 5. vijeka. BC e. Talas demokratskog pokreta zahvatio je Grčku i njene kolonije. Demokratija je pobijedila u Crotoneu. Pitagora, zajedno sa svojim učenicima, napušta Kroton i odlazi u Tarent, a zatim u Metapontum. Dolazak Pitagorejaca u Metapontum poklopio se sa izbijanjem tamošnjeg narodnog ustanka. U jednom od noćnih okršaja poginuo je skoro devedesetogodišnji Pitagora. Njegova škola je prestala da postoji. Pitagorini učenici, bježeći od progona, naselili su se širom Grčke i njenih kolonija. Zarađujući za život, organizovali su škole u kojima su predavali uglavnom aritmetiku i geometriju. Podaci o njihovim dostignućima sadržani su u radovima kasnijih naučnika - Platona, Aristotela itd.

Slajd 9

Opis slajda:

Pitagorine zapovesti i aforizmi Misao je iznad svega među ljudima na zemlji. Ne sjedite na žitnoj mjeri (tj. ne živite besposleno). Prilikom odlaska ne osvrći se (tj. prije smrti, ne hvataj se za život). Ne hodajte utabanim putem (odnosno, ne slijedite mišljenje gomile, već mišljenja nekolicine koji razumiju). Ne držite laste u svojoj kući (tj. ne primajte goste koji su pričljivi ili neobuzdani na svom jeziku). Budite sa onima koji nose teret, ne budite sa onima koji bacaju teret (tj. podstičite ljude ne na besposlenost, već na vrlinu, na rad). Po polju života, kao sijač, hodaj ujednačenim i postojanim korakom. Prava otadžbina je tamo gde ima dobrog morala. Nemojte biti član učenog društva: najmudriji, kada formiraju društvo, postaju obični ljudi. Smatrajte brojeve, težinu i mjeru svetim, kao djeca graciozne jednakosti. Izmjerite svoje želje, odmjerite svoje misli, brojite riječi. Nemojte se ničemu čuditi: bogovi su bili iznenađeni.

10 slajd

Opis slajda:

Izjava teoreme. U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta.

11 slajd

Opis slajda:

Dokaz teoreme. Trenutno je u naučnoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno je Pitagorina teorema jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Naravno, svi se mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih su: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi.

12 slajd

Opis slajda:

Dokaz Pitagorine teoreme Dat je pravougli trokut sa katetama a, b i hipotenuzom c. Dokažimo da je c² = a² + b² Dopunićemo trougao do kvadrata sa stranicom a + b. Površina S ovog kvadrata je (a + b)². S druge strane, kvadrat se sastoji od četiri jednaka pravokutna trougla, svaki sa S jednakim ½ a b i kvadratom stranice c. S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² Dakle, (a + b)² = 2 a b + c², odakle je c² = a² + b² c c c c c a b

Slajd 13

Opis slajda:

Istorija Pitagorine teoreme Istorija Pitagorine teoreme je zanimljiva. Iako je ova teorema povezana s Pitagorinim imenom, bila je poznata mnogo prije njega. U vavilonskim tekstovima ova se teorema pojavljuje 1200 godina prije Pitagore. Moguće je da njegovi dokazi tada još nisu bili poznati, a odnos između hipotenuze i kateta je utvrđen empirijski na osnovu mjerenja. Pitagora je očigledno pronašao dokaz za ovu vezu. Sačuvana je drevna legenda da je Pitagora u čast svog otkrića žrtvovao bogovima bika, a prema drugim dokazima čak i stotinu bikova. Tokom narednih vekova pronađeni su razni drugi dokazi Pitagorine teoreme. Trenutno ih ima više od stotinu, ali najpopularnija teorema je konstrukcija kvadrata pomoću zadanog pravokutnog trokuta.

Slajd 14

Opis slajda:

Teorema u staroj Kini "Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5 kada je osnova 3, a visina 4."

15 slajd

Opis slajda:

Teorema u starom Egiptu Kantor (najveći njemački istoričar matematike) vjeruje da je jednakost 3² + 4² = 5² već bila poznata Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. e., za vrijeme kralja Amenemheta (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonaptes, ili "vlagači užeta", gradili su prave uglove koristeći pravokutne trouglove sa stranicama 3, 4 i 5.

16 slajd

Opis slajda:

O teoremi u Babiloniji „Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagore i Pitagorejaca, nije otkriće matematike, već njena sistematizacija i opravdanje. U njihovim rukama, računski recepti zasnovani na nejasnim idejama postali su egzaktna nauka."

Slajd 17

Opis slajda:

Zašto su “pitagorine pantalone jednake u svim pravcima”? Dva milenijuma najčešći dokaz Pitagorine teoreme bio je Euklid. Nalazi se u njegovoj čuvenoj knjizi “Principi”. Euklid je spustio visinu CH iz vrha pravog ugla na hipotenuzu i dokazao da njen nastavak dijeli kvadrat završen na hipotenuzi na dva pravokutnika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na stranicama. Crtež koji se koristi za dokazivanje ove teoreme u šali se naziva "pitagorine pantalone". Dugo se smatrao jednim od simbola matematičke nauke.

18 slajd

Opis slajda:

Studenti srednjeg vijeka smatrali su da je stav drevne djece prema dokazu Pitagorine teoreme veoma težak. Slabi učenici koji su pamtili teoreme, a da ih nisu razumjeli, pa su zbog toga dobili nadimak „magarci“, nisu bili u stanju da savladaju Pitagorinu teoremu, koja im je služila kao nepremostivi most. Zbog crteža koji prate Pitagorinu teoremu, učenici su je nazivali i „vetrenjača“, komponovali pesme poput „Pitagorine pantalone jednake na sve strane“ i crtali crtane filmove.

Slajd 19

Opis slajda:

Dokaz teoreme Najjednostavniji dokaz teoreme dobiva se u slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta. Zapravo, dovoljno je samo pogledati mozaik jednakokračnih pravokutnih trouglova da bismo se uvjerili u valjanost teoreme. Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 originalna trokuta, a kvadrati izgrađeni na stranicama sadrže dva.

20 slajd

Opis slajda:

“Nevjestina stolica” Na slici su kvadrati izgrađeni na nogama postavljeni u stepenice, jedan do drugog. Ova figura, koja se pojavljuje u dokazima koji datiraju najkasnije do 9. stoljeća nove ere. e., Hindusi su je nazvali „nevestina stolica“.

21 slajd

Opis slajda:

Primena Pitagorine teoreme Trenutno je opšte poznato da uspeh razvoja mnogih oblasti nauke i tehnologije zavisi od razvoja različitih oblasti matematike. Važan uslov za povećanje efikasnosti proizvodnje je široko uvođenje matematičkih metoda u tehnologiju i nacionalnu ekonomiju, što podrazumeva stvaranje novih, efikasnih metoda kvalitativnog i kvantitativnog istraživanja koje omogućavaju rešavanje problema koje postavlja praksa.

22 slajd

Opis slajda:

Primena teoreme u građevinarstvu U gotičkim i romaničkim građevinama gornji delovi prozora su podeljeni kamenim rebrima, koji ne samo da igraju ulogu ukrasa, već i doprinose čvrstoći prozora.

Slajd 23

Opis slajda:

24 slajd

Opis slajda:

Istorijski zadaci Za osiguranje jarbola potrebno je postaviti 4 kabla. Jedan kraj svakog kabla treba pričvrstiti na visini od 12 m, a drugi na tlu na udaljenosti od 5 m od jarbola. Da li je 50 m kabla dovoljno za pričvršćivanje jarbola?