Ολοκλήρωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης.
Μέθοδος αβέβαιου συντελεστή

Συνεχίζουμε να εργαζόμαστε για την ολοκλήρωση κλασμάτων. Έχουμε ήδη εξετάσει ολοκληρώματα ορισμένων τύπων κλασμάτων στο μάθημα και αυτό το μάθημα, κατά μία έννοια, μπορεί να θεωρηθεί συνέχεια. Για να κατανοήσετε με επιτυχία το υλικό, απαιτούνται βασικές δεξιότητες ολοκλήρωσης, οπότε αν μόλις ξεκινήσατε να μελετάτε τα ολοκληρώματα, δηλαδή είστε αρχάριοι, τότε πρέπει να ξεκινήσετε με το άρθρο Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.

Παραδόξως, τώρα θα ασχοληθούμε όχι τόσο με την εύρεση ολοκληρωμάτων, αλλά... με την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Από αυτή την άποψη επειγόντωςΠροτείνω να παρακολουθήσετε το μάθημα, δηλαδή, πρέπει να είστε καλά γνώστες των μεθόδων αντικατάστασης (μέθοδος «σχολική» και μέθοδος πρόσθεσης (αφαίρεσης) εξισώσεων συστήματος ανά όρο).

Τι είναι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση; Με απλά λόγια, κλασματική-ορθολογική συνάρτηση είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν πολυώνυμα ή γινόμενα πολυωνύμων. Επιπλέον, τα κλάσματα είναι πιο εξελιγμένα από αυτά που συζητούνται στο άρθρο Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.

Ολοκλήρωση μιας σωστής κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης

Αμέσως ένα παράδειγμα και ένας τυπικός αλγόριθμος για την επίλυση του ολοκληρώματος μιας κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 1

Βήμα 1.Το πρώτο πράγμα που κάνουμε ΠΑΝΤΑ όταν λύνουμε ένα ολοκλήρωμα μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης είναι να διευκρινίζουμε την ακόλουθη ερώτηση: είναι σωστό το κλάσμα;Αυτό το βήμα εκτελείται προφορικά και τώρα θα εξηγήσω πώς:

Αρχικά κοιτάμε τον αριθμητή και ανακαλύπτουμε ανώτερο πτυχίοπολυώνυμος:

Η κύρια δύναμη του αριθμητή είναι δύο.

Τώρα κοιτάμε τον παρονομαστή και ανακαλύπτουμε ανώτερο πτυχίοπαρονομαστής. Ο προφανής τρόπος είναι να ανοίξετε τις αγκύλες και να φέρετε παρόμοιους όρους, αλλά μπορείτε να το κάνετε πιο απλά, μέσα καθεβρείτε τον υψηλότερο βαθμό σε αγκύλες

και πολλαπλασιάζουμε νοερά: - έτσι, ο υψηλότερος βαθμός του παρονομαστή είναι ίσος με τρία. Είναι προφανές ότι αν ανοίξουμε πραγματικά τις αγκύλες, δεν θα πάρουμε βαθμό μεγαλύτερο από τρεις.

συμπέρασμα: Κύριος βαθμός αριθμητή ΑΥΣΤΗΡΑείναι μικρότερη από την υψηλότερη ισχύ του παρονομαστή, που σημαίνει ότι το κλάσμα είναι σωστό.

Αν σε αυτό το παράδειγμα ο αριθμητής περιείχε το πολυώνυμο 3, 4, 5 κ.λπ. μοίρες, τότε το κλάσμα θα ήταν λανθασμένος.

Τώρα θα εξετάσουμε μόνο τις σωστές κλασματικές ορθολογικές συναρτήσεις. Η περίπτωση που ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον βαθμό του παρονομαστή θα συζητηθεί στο τέλος του μαθήματος.

Βήμα 2.Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή. Ας δούμε τον παρονομαστή μας:

Σε γενικές γραμμές, αυτό είναι ήδη προϊόν παραγόντων, αλλά, ωστόσο, αναρωτιόμαστε: είναι δυνατόν να επεκτείνουμε κάτι άλλο; Το αντικείμενο του βασανισμού θα είναι αναμφίβολα το τετράγωνο τριώνυμο. Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

Η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι το τριώνυμο μπορεί πραγματικά να παραγοντοποιηθεί:

Γενικός κανόνας: ΟΛΑ στον παρονομαστή ΜΠΟΡΟΥΝ να συνυπολογιστούν - συντελεστές

Ας αρχίσουμε να διαμορφώνουμε μια λύση:

Βήμα 3.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε ένα άθροισμα απλών (στοιχειωδών) κλασμάτων. Τώρα θα είναι πιο ξεκάθαρο.

Ας δούμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης:

Και, ξέρετε, με κάποιο τρόπο αναδύεται μια διαισθητική σκέψη ότι θα ήταν ωραίο να μετατρέψουμε το μεγάλο μας κλάσμα σε πολλά μικρά. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Γεννιέται το ερώτημα, είναι δυνατόν να γίνει αυτό; Ας αναπνεύσουμε με ανακούφιση, λέει το αντίστοιχο θεώρημα της μαθηματικής ανάλυσης – ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ. Μια τέτοια αποσύνθεση υπάρχει και είναι μοναδική.

Υπάρχει μόνο ένα πιάσιμο, οι πιθανότητες είναι ΑντίοΔεν ξέρουμε, εξ ου και το όνομα - η μέθοδος των αόριστων συντελεστών.

Όπως μαντέψατε, οι επόμενες κινήσεις του σώματος είναι τέτοιες, μην γελάτε! θα έχει ως στόχο απλώς την ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ τους - για να μάθετε με τι ισούνται.

Προσοχή, θα σας εξηγήσω αναλυτικά μόνο μια φορά!

Λοιπόν, ας αρχίσουμε να χορεύουμε από:

Στην αριστερή πλευρά μειώνουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή:

Τώρα μπορούμε με ασφάλεια να απαλλαγούμε από τους παρονομαστές (καθώς είναι οι ίδιοι):

Στην αριστερή πλευρά ανοίγουμε τις αγκύλες, αλλά μην αγγίξετε προς το παρόν τους άγνωστους συντελεστές:

Ταυτόχρονα επαναλαμβάνουμε τον σχολικό κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των πολυωνύμων. Όταν ήμουν δάσκαλος, έμαθα να προφέρω αυτόν τον κανόνα με ίσιο πρόσωπο: Για να πολλαπλασιάσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου.

Από την άποψη μιας ξεκάθαρης εξήγησης, είναι καλύτερο να βάλετε τους συντελεστές σε παρενθέσεις (αν και προσωπικά δεν το κάνω ποτέ για να εξοικονομήσω χρόνο):

Συνθέτουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Αρχικά ψάχνουμε για ανώτερα πτυχία:

Και γράφουμε τους αντίστοιχους συντελεστές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος:

Θυμηθείτε καλά το ακόλουθο σημείο. Τι θα συνέβαινε αν δεν υπήρχαν καθόλου s στη δεξιά πλευρά; Ας πούμε, θα επιδεικνυόταν απλά χωρίς κανένα τετράγωνο; Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση του συστήματος θα ήταν απαραίτητο να βάλουμε ένα μηδέν στα δεξιά: . Γιατί μηδέν; Αλλά επειδή στη δεξιά πλευρά μπορείτε πάντα να αντιστοιχίσετε αυτό το ίδιο τετράγωνο με μηδέν: Αν στη δεξιά πλευρά δεν υπάρχουν μεταβλητές ή/και ελεύθερος όρος, τότε βάζουμε μηδενικά στις δεξιές πλευρές των αντίστοιχων εξισώσεων του συστήματος.

Γράφουμε τους αντίστοιχους συντελεστές στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:

Και τέλος, μεταλλικό νερό, επιλέγουμε δωρεάν μέλη.

Ε...έκανα πλάκα. Τα αστεία στην άκρη - τα μαθηματικά είναι μια σοβαρή επιστήμη. Στην ομάδα του ινστιτούτου μας, κανείς δεν γέλασε όταν η επίκουρη καθηγήτρια είπε ότι θα σκορπίσει τους όρους στην αριθμητική γραμμή και θα διάλεγε τους μεγαλύτερους. Ας σοβαρευτούμε. Αν και... όποιος ζει για να δει το τέλος αυτού του μαθήματος, θα χαμογελά ακόμα ήσυχα.

Το σύστημα είναι έτοιμο:

Λύνουμε το σύστημα:

(1) Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε και την αντικαθιστούμε στη 2η και 3η εξίσωση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, ήταν δυνατό να εκφραστεί (ή άλλο γράμμα) από άλλη εξίσωση, αλλά σε αυτή την περίπτωση συμφέρει να εκφραστεί από την 1η εξίσωση, αφού υπάρχει τις μικρότερες πιθανότητες.

(2) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη 2η και 3η εξίσωση.

(3) Προσθέτουμε τη 2η και 3η εξίσωση όρο προς όρο, λαμβάνοντας την ισότητα , από την οποία προκύπτει ότι

(4) Αντικαθιστούμε στη δεύτερη (ή τρίτη) εξίσωση, από όπου βρίσκουμε ότι

(5) Αντικαταστήστε και στην πρώτη εξίσωση, λαμβάνοντας .

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες με τις μεθόδους επίλυσης του συστήματος, εξασκήστε τις στην τάξη. Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;

Μετά την επίλυση του συστήματος, είναι πάντα χρήσιμο να ελέγξετε - να αντικαταστήσετε τις τιμές που βρέθηκαν κάθεεξίσωση του συστήματος, με αποτέλεσμα όλα να «συγκλίνουν».

Σχεδόν έτοιμο. Βρέθηκαν οι συντελεστές και:

Η τελική εργασία θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

Όπως μπορείτε να δείτε, η κύρια δυσκολία της εργασίας ήταν να συνθέσετε (σωστά!) και να λύσετε (σωστά!) ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Και στο τελικό στάδιο, όλα δεν είναι τόσο δύσκολα: χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος και ολοκληρώνουμε. Σημειώστε ότι κάτω από καθένα από τα τρία ολοκληρώματα έχουμε μια "δωρεάν" σύνθετη συνάρτηση· μίλησα για τα χαρακτηριστικά της ενσωμάτωσής της στο μάθημα Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα.

Έλεγχος: Διαφοροποιήστε την απάντηση:

Έχει ληφθεί η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, πράγμα που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.
Κατά την επαλήθευση, έπρεπε να μειώσουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή, και αυτό δεν είναι τυχαίο. Η μέθοδος των αόριστων συντελεστών και η αναγωγή μιας έκφρασης σε κοινό παρονομαστή είναι αμοιβαία αντίστροφες ενέργειες.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας επιστρέψουμε στο κλάσμα από το πρώτο παράδειγμα: . Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι στον παρονομαστή όλοι οι παράγοντες είναι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ. Τίθεται το ερώτημα, τι πρέπει να κάνουμε εάν, για παράδειγμα, δοθεί το ακόλουθο κλάσμα: ? Εδώ έχουμε βαθμούς στον παρονομαστή ή, μαθηματικά, πολλαπλάσια. Επιπλέον, υπάρχει ένα τετραγωνικό τριώνυμο που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί (είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η διάκριση της εξίσωσης είναι αρνητικό, επομένως το τριώνυμο δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί). Τι να κάνω? Η επέκταση σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων θα μοιάζει κάπως με άγνωστους συντελεστές στην κορυφή ή κάτι άλλο;

Παράδειγμα 3

Εισαγάγετε μια συνάρτηση

Βήμα 1.Ελέγχοντας αν έχουμε σωστό κλάσμα
Κύριος αριθμητής: 2
Ανώτατος βαθμός παρονομαστή: 8
, που σημαίνει ότι το κλάσμα είναι σωστό.

Βήμα 2.Είναι δυνατόν να συνυπολογίσουμε κάτι στον παρονομαστή; Προφανώς όχι, όλα έχουν ήδη διαμορφωθεί. Το τετράγωνο τριώνυμο δεν μπορεί να επεκταθεί σε προϊόν για τους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω. Κουκούλα. Λιγότερη δουλειά.

Βήμα 3.Ας φανταστούμε μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων.
Σε αυτήν την περίπτωση, η επέκταση έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας δούμε τον παρονομαστή μας:
Κατά την αποσύνθεση μιας κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων, μπορούν να διακριθούν τρία θεμελιώδη σημεία:

1) Εάν ο παρονομαστής περιέχει έναν παράγοντα «μοναχικό» στην πρώτη δύναμη (στην περίπτωσή μας), τότε βάζουμε έναν αόριστο συντελεστή στην κορυφή (στην περίπτωσή μας). Τα παραδείγματα Νο. 1, 2 αποτελούνταν μόνο από τέτοιους «μοναχικούς» παράγοντες.

2) Αν ο παρονομαστής έχει πολλαπλούςπολλαπλασιαστή, τότε πρέπει να τον αποσυνθέσεις ως εξής:
- δηλαδή, περάστε διαδοχικά όλες τις μοίρες του "Χ" από την πρώτη έως την nη μοίρα. Στο παράδειγμά μας υπάρχουν δύο πολλαπλοί παράγοντες: και , ρίξτε μια άλλη ματιά στην επέκταση που έδωσα και βεβαιωθείτε ότι επεκτείνονται ακριβώς σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα.

3) Εάν ο παρονομαστής περιέχει ένα αδιάσπαστο πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού (στην περίπτωσή μας), τότε κατά την αποσύνθεση στον αριθμητή πρέπει να γράψετε μια γραμμική συνάρτηση με απροσδιόριστους συντελεστές (στην περίπτωσή μας με απροσδιόριστους συντελεστές και ).

Μάλιστα, υπάρχει και άλλη 4η περίπτωση, αλλά θα το σιωπήσω, αφού στην πράξη είναι εξαιρετικά σπάνιο.

Παράδειγμα 4

Εισαγάγετε μια συνάρτηση ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων με άγνωστους συντελεστές.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Ακολουθήστε τον αλγόριθμο αυστηρά!

Εάν κατανοείτε τις αρχές με τις οποίες πρέπει να επεκτείνετε μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση σε άθροισμα, μπορείτε να μασήσετε σχεδόν οποιοδήποτε ολοκλήρωμα του υπό εξέταση τύπου.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Βήμα 1.Προφανώς το κλάσμα είναι σωστό:

Βήμα 2.Είναι δυνατόν να συνυπολογίσουμε κάτι στον παρονομαστή; Μπορώ. Εδώ είναι το άθροισμα των κύβων . Υπολογίστε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού

Βήμα 3.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:

Λάβετε υπόψη ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί (ελέγξτε ότι η διάκριση είναι αρνητική), οπότε στο επάνω μέρος βάζουμε μια γραμμική συνάρτηση με άγνωστους συντελεστές και όχι μόνο ένα γράμμα.

Φέρνουμε το κλάσμα σε κοινό παρονομαστή:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

(1) Εκφράζουμε από την πρώτη εξίσωση και την αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος).

(2) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη δεύτερη εξίσωση.

(3) Προσθέτουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος όρο προς όρο.

Όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί είναι, κατ' αρχήν, προφορικοί, καθώς το σύστημα είναι απλό.

(1) Καταγράφουμε το άθροισμα των κλασμάτων σύμφωνα με τους συντελεστές που βρέθηκαν.

(2) Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος. Τι έγινε στο δεύτερο ολοκλήρωμα; Μπορείτε να εξοικειωθείτε με αυτή τη μέθοδο στην τελευταία παράγραφο του μαθήματος. Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.

(3) Για άλλη μια φορά χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της γραμμικότητας. Στο τρίτο ολοκλήρωμα αρχίζουμε να απομονώνουμε το πλήρες τετράγωνο (προτελευταία παράγραφος του μαθήματος Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων).

(4) Παίρνουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα, στο τρίτο επιλέγουμε το πλήρες τετράγωνο.

(5) Πάρτε το τρίτο ολοκλήρωμα. Ετοιμος.

Δίνεται η παραγωγή τύπων για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων των απλούστερων, στοιχειωδών, κλασμάτων τεσσάρων τύπων. Πιο πολύπλοκα ολοκληρώματα, από κλάσματα του τέταρτου τύπου, υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής. Εξετάζεται ένα παράδειγμα ολοκλήρωσης ενός κλάσματος του τέταρτου τύπου.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων
Μέθοδοι υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων

Όπως είναι γνωστό, οποιαδήποτε ορθολογική συνάρτηση κάποιας μεταβλητής x μπορεί να αποσυντεθεί σε ένα πολυώνυμο και στα απλούστερα, στοιχειώδη κλάσματα. Υπάρχουν τέσσερις τύποι απλών κλασμάτων:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Εδώ τα a, A, B, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί. Εξίσωση x 2 + bx + c = 0δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Ολοκλήρωση κλασμάτων των δύο πρώτων τύπων

Η ολοκλήρωση των δύο πρώτων κλασμάτων γίνεται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων:
,
, n ≠ - 1 .

1. Ολοκλήρωση κλασμάτων του πρώτου τύπου

Ένα κλάσμα του πρώτου τύπου ανάγεται σε ολοκλήρωμα πίνακα με αντικατάσταση t = x - a:
.

2. Ολοκλήρωση κλασμάτων δεύτερου τύπου

Το κλάσμα του δεύτερου τύπου ανάγεται σε ολοκλήρωμα πίνακα με την ίδια αντικατάσταση t = x - a:

.

3. Ολοκλήρωση κλασμάτων τρίτου τύπου

Ας εξετάσουμε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τρίτου τύπου:
.
Θα το υπολογίσουμε σε δύο βήματα.

3.1. Βήμα 1. Επιλέξτε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή

Ας απομονώσουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή του κλάσματος. Ας συμβολίσουμε: u = x 2 + βχ + γ. Ας διαφοροποιήσουμε: u′ = 2 x + β. Επειτα
;
.
Αλλά
.
Παραλείψαμε το σύμβολο συντελεστή επειδή .

Επειτα:
,
Οπου
.

3.2. Βήμα 2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα με A = 0, B = 1

Τώρα υπολογίζουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα:
.

Φέρνουμε τον παρονομαστή του κλάσματος στο άθροισμα των τετραγώνων:
,
Οπου .
Πιστεύουμε ότι η εξίσωση x 2 + bx + c = 0δεν έχει ρίζες. Να γιατί .

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση
,
.
.

Ετσι,
.

Έτσι, βρήκαμε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τρίτου τύπου:

,
Οπου .

4. Ολοκλήρωση κλασμάτων τέταρτου τύπου

Και τέλος, θεωρήστε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τέταρτου τύπου:
.
Το υπολογίζουμε σε τρία βήματα.

4.1) Επιλέξτε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή:
.

4.2) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα
.

4.3) Υπολογίστε ολοκληρώματα
,
χρησιμοποιώντας τον τύπο μείωσης:
.

4.1. Βήμα 1. Απομόνωση της παραγώγου του παρονομαστή στον αριθμητή

Ας απομονώσουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή, όπως κάναμε στο . Ας συμβολίσουμε u = x 2 + βχ + γ. Ας διαφοροποιήσουμε: u′ = 2 x + β. Επειτα
.

.
Αλλά
.

Τέλος έχουμε:
.

4.2. Βήμα 2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα με n = 1

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα
.
Ο υπολογισμός του περιγράφεται στο .

4.3. Βήμα 3. Παραγωγή του τύπου αναγωγής

Τώρα εξετάστε το ολοκλήρωμα
.

Μειώνουμε το τετραγωνικό τριώνυμο στο άθροισμα των τετραγώνων:
.
Εδώ .
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση.
.
.

Πραγματοποιούμε μετατροπές και ενσωματώνουμε σε μέρη.

.

Πολλαπλασιάστε με 2 (n - 1):
.
Ας επιστρέψουμε στο x και I n.
,
;
;
.

Έτσι, για το I n έχουμε τον τύπο αναγωγής:
.
Εφαρμόζοντας με συνέπεια αυτόν τον τύπο, ανάγουμε το ολοκλήρωμα I n σε I 1 .

Παράδειγμα

Υπολογίστε ολοκλήρωμα

1. Ας απομονώσουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή.
;
;

.
Εδώ
.

2. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα του απλούστερου κλάσματος.

.

3. Εφαρμόζουμε τον τύπο μείωσης:

για το ολοκλήρωμα.
Στην περίπτωσή μας b = 1 , γ = 1 , 4 c - b 2 = 3. Γράφουμε αυτόν τον τύπο για n = 2 και n = 3 :
;
.
Από εδώ

.

Τέλος έχουμε:

.
Βρείτε τον συντελεστή για .
.

Δείτε επίσης:

Το πρόβλημα της εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος μιας κλασματικά ορθολογικής συνάρτησης καταλήγει στην ολοκλήρωση απλών κλασμάτων. Επομένως, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε πρώτα με την ενότητα της θεωρίας της αποσύνθεσης των κλασμάτων στα απλούστερα.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Λύση.

Δεδομένου ότι ο βαθμός του αριθμητή του ολοκληρώματος είναι ίσος με τον βαθμό του παρονομαστή, επιλέγουμε πρώτα ολόκληρο το μέρος διαιρώντας το πολυώνυμο με το πολυώνυμο με μια στήλη:

Να γιατί, .

Η αποσύνθεση του προκύπτοντος ορθού ορθολογικού κλάσματος σε απλούστερα κλάσματα έχει τη μορφή . Ως εκ τούτου,

Το ολοκλήρωμα που προκύπτει είναι το ολοκλήρωμα του απλούστερου κλάσματος του τρίτου τύπου. Κοιτάζοντας λίγο μπροστά, σημειώνουμε ότι μπορείτε να το πάρετε υποβάλλοντάς το κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Επειδή , Οτι . Να γιατί

Ως εκ τούτου,

Τώρα ας προχωρήσουμε στην περιγραφή μεθόδων για την ενοποίηση απλών κλασμάτων καθενός από τους τέσσερις τύπους.

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων πρώτου τύπου

Η μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης είναι ιδανική για την επίλυση αυτού του προβλήματος:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το σύνολο των αντιπαραγώγων μιας συνάρτησης

Λύση.

Ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του αντιπαραγώγου, τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τον κανόνα ολοκλήρωσης.

Αρχή σελίδας

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων του δεύτερου τύπου

Η μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης είναι επίσης κατάλληλη για την επίλυση αυτού του προβλήματος:

Παράδειγμα.

Λύση.

Αρχή σελίδας

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων τρίτου τύπου

Αρχικά παρουσιάζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα ως άθροισμα:

Παίρνουμε το πρώτο ολοκλήρωμα υποβάλλοντάς το στο διαφορικό πρόσημο:

Να γιατί,

Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή του ολοκληρώματος που προκύπτει:

Ως εκ τούτου,

Ο τύπος για την ολοκλήρωση απλών κλασμάτων του τρίτου τύπου έχει τη μορφή:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα .

Λύση.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο που προκύπτει:

Αν δεν είχαμε αυτόν τον τύπο, τι θα κάναμε:

Αρχή σελίδας

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων τέταρτου τύπου

Το πρώτο βήμα είναι να το βάλετε κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Το δεύτερο βήμα είναι να βρείτε ένα ολοκλήρωμα της φόρμας . Ολοκληρώματα αυτού του τύπου βρίσκονται χρησιμοποιώντας τύπους επανάληψης. (Βλ. ενότητα για την ενσωμάτωση με χρήση τύπων επανάληψης.) Ο ακόλουθος επαναλαμβανόμενος τύπος είναι κατάλληλος για την περίπτωσή μας:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση.

Για αυτόν τον τύπο ολοκλήρωσης χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αντικατάστασης. Ας εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή (δείτε την ενότητα για την ολοκλήρωση των παράλογων συναρτήσεων):

Μετά την αντικατάσταση έχουμε:

Καταλήξαμε να βρούμε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τέταρτου τύπου. Στην περίπτωσή μας έχουμε συντελεστές M = 0, p = 0, q = 1, N = 1Και n=3. Εφαρμόζουμε τον επαναλαμβανόμενο τύπο:

Μετά την αντίστροφη αντικατάσταση παίρνουμε το αποτέλεσμα:

Ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων

1.Ολοκληρώματα της φόρμας

υπολογίζονται μετατρέποντας το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε άθροισμα χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Για παράδειγμα, 2. Ολοκληρώματα της φόρμας

, Οπου Μή n– ένας περιττός θετικός αριθμός, που υπολογίζεται με την υπαγωγή του στο διαφορικό πρόσημο. Για παράδειγμα,

3.Ολοκληρώματα της φόρμας

, Οπου ΜΚαι n– οι άρτιοι θετικοί αριθμοί υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τύπους για τη μείωση του βαθμού: Για παράδειγμα,

4.Ολοκληρώματα

όπου υπολογίζονται αλλάζοντας τη μεταβλητή: ή Για παράδειγμα,

5. Τα ολοκληρώματα της μορφής ανάγονται σε ολοκληρώματα ορθολογικών κλασμάτων χρησιμοποιώντας μια καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση τότε (αφού

=[μετά τη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με ]= ;

Για παράδειγμα,

Πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση καθολικής υποκατάστασης οδηγεί συχνά σε δυσκίνητους υπολογισμούς.

§5. Ένταξη των πιο απλών παραλογισμών

Ας εξετάσουμε μεθόδους για την ενσωμάτωση των απλούστερων τύπων παραλογισμού. 1.

Οι συναρτήσεις αυτού του τύπου ενσωματώνονται με τον ίδιο τρόπο όπως τα απλούστερα ορθολογικά κλάσματα του 3ου τύπου: στον παρονομαστή, ένα πλήρες τετράγωνο απομονώνεται από το τετράγωνο τριώνυμο και εισάγεται μια νέα μεταβλητή. Παράδειγμα.

(κάτω από το ολοκληρωτικό πρόσημο – ορθολογική συνάρτηση ορισμάτων). Τα ολοκληρώματα αυτού του τύπου υπολογίζονται με χρήση αντικατάστασης. Συγκεκριμένα, σε ολοκληρώματα της μορφής συμβολίζουμε . Εάν το ολοκλήρωμα περιέχει ρίζες διαφορετικών βαθμών:

, στη συνέχεια υποδηλώστε πού n– ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών m,k. Παράδειγμα 1.

Παράδειγμα 2.

- ακατάλληλο ορθολογικό κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος:

–

3.Ολοκληρώματα της φόρμας υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις:

45 Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα- μια προσθετική μονοτονική κανονικοποιημένη συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο ζευγών, το πρώτο συστατικό του οποίου είναι μια ολοκληρωμένη συνάρτηση ή συνάρτηση και το δεύτερο είναι ένας τομέας στο σύνολο καθορισμού αυτής της συνάρτησης (λειτουργική).

Ορισμός

Αφήστε το να οριστεί στις . Ας το χωρίσουμε σε μέρη με πολλά αυθαίρετα σημεία. Στη συνέχεια, λένε ότι το τμήμα έχει χωριστεί.Στη συνέχεια, επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο , ,

Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων καθώς η κατάταξη του διαμερίσματος τείνει στο μηδέν, εάν υπάρχει ανεξάρτητα από την κατάτμηση και την επιλογή των σημείων, δηλαδή

Εάν υπάρχει το καθορισμένο όριο, τότε η συνάρτηση λέγεται ότι είναι ενσωματώσιμη Riemann.

Ονομασίες

· - κατώτερο όριο.

· - ανώτατο όριο.

· - συνάρτηση ολοκλήρωσης.

· - μήκος του μερικού τμήματος.

· - αναπόσπαστο άθροισμα της συνάρτησης στο αντίστοιχο διαμέρισμα.

· - μέγιστο μήκος μερικού τμήματος.

Ιδιότητες

Εάν μια συνάρτηση είναι ενσωματώσιμη σε Riemann, τότε περιορίζεται σε αυτήν.

Γεωμετρική σημασία

Ορισμένο ολοκλήρωμα ως το εμβαδόν ενός σχήματος

Το οριστικό ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του σχήματος που περιορίζεται από τον άξονα της τετμημένης, τις ευθείες γραμμές και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Θεώρημα Newton-Leibniz

[επεξεργασία]

(ανακατεύθυνση από το "Newton-Leibniz Formula")

Τύπος Newton-Leibnizή κύριο θεώρημα ανάλυσηςδίνει μια σχέση μεταξύ δύο πράξεων: λήψη ορισμένου ολοκληρώματος και υπολογισμός της αντιπαράγωγης.

Απόδειξη

Έστω μια ολοκληρωμένη συνάρτηση να δίνεται σε ένα διάστημα. Ας ξεκινήσουμε σημειώνοντας ότι

δηλαδή δεν έχει σημασία ποιο γράμμα (ή) βρίσκεται κάτω από το πρόσημο στο οριστικό ολοκλήρωμα πάνω από το τμήμα.

Ας ορίσουμε μια αυθαίρετη τιμή και ας ορίσουμε μια νέα συνάρτηση . Ορίζεται για όλες τις τιμές του , γιατί γνωρίζουμε ότι αν υπάρχει ολοκλήρωμα του on , τότε υπάρχει και ολοκλήρωμα του on , όπου . Ας θυμηθούμε ότι θεωρούμε εξ ορισμού

(1)

σημειώσε ότι

Ας δείξουμε ότι είναι συνεχής στο διάστημα . Στην πραγματικότητα, ας ; Επειτα

και αν, τότε

Έτσι, είναι συνεχής ανεξάρτητα από το αν έχει ή δεν έχει ασυνέχειες. είναι σημαντικό να είναι ενσωματώσιμο στο .

Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα. Το εμβαδόν του μεταβλητού σχήματος είναι . Η προσαύξησή του είναι ίση με το εμβαδόν του σχήματος , το οποίο, λόγω της οριοθέτησής του, προφανώς τείνει στο μηδέν, ανεξάρτητα από το αν είναι σημείο συνέχειας ή ασυνέχειας, για παράδειγμα σημείο.

Έστω τώρα η συνάρτηση όχι μόνο ενσωματώσιμη στο , αλλά συνεχής στο σημείο . Ας αποδείξουμε ότι τότε η παράγωγος σε αυτό το σημείο είναι ίση με

(2)

Μάλιστα για το υποδεικνυόμενο σημείο

(1) , (3)

Βάζουμε , και αφού είναι σταθερό σε σχέση με το ,ΤΟ . Περαιτέρω, λόγω της συνέχειας σε ένα σημείο, για οποιονδήποτε μπορεί να ορίσει έτσι ώστε για .

που αποδεικνύει ότι η αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας είναι o(1) για .

Το πέρασμα στο όριο στο (3) στο δείχνει την ύπαρξη της παραγώγου του στο σημείο και την εγκυρότητα της ισότητας (2). Όταν μιλάμε εδώ για δεξιά και αριστερά παράγωγα, αντίστοιχα.

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο , τότε, με βάση όσα αποδείχθηκαν παραπάνω, η αντίστοιχη συνάρτηση

(4)

έχει παράγωγο ίσο με . Επομένως, η συνάρτηση είναι ένα αντιπαράγωγο για το .

Αυτό το συμπέρασμα ονομάζεται μερικές φορές ολοκληρωτικό θεώρημα μεταβλητού άνω ορίου ή θεώρημα Barrow.

Έχουμε αποδείξει ότι μια αυθαίρετη συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα έχει μια αντιπαράγωγο σε αυτό το διάστημα που ορίζεται από την ισότητα (4). Αυτό αποδεικνύει την ύπαρξη ενός αντιπαραγώγου για οποιαδήποτε συνάρτηση συνεχή σε ένα διάστημα.

Ας υπάρχει τώρα ένα αυθαίρετο αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης στο . Ξέρουμε ότι, όπου είναι κάποια σταθερά. Υποθέτοντας σε αυτή την ισότητα και λαμβάνοντας υπόψη ότι, λαμβάνουμε .

Ετσι, . Αλλά

Ακατάλληλο ολοκλήρωμα

[επεξεργασία]

Υλικό από τη Wikipedia - την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ορισμένο ολοκλήρωμαπου ονομάζεται όχι το δικό σου, εάν πληρούται τουλάχιστον μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

· Το όριο a ή b (ή και τα δύο όρια) είναι άπειρα.

· Η συνάρτηση f(x) έχει ένα ή περισσότερα σημεία διακοπής εντός του τμήματος.

[επεξεργασία]Ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους

. Επειτα:

1. Αν και το ολοκλήρωμα λέγεται . Σε αυτήν την περίπτωση ονομάζεται συγκλίνουσα.

, ή απλά αποκλίνουσες.

Αφήνω να είναι καθορισμένο και συνεχές στο σύνολο από και . Επειτα:

1. Αν , τότε χρησιμοποιείται ο συμβολισμός και το ολοκλήρωμα λέγεται ακατάλληλο ολοκλήρωμα Riemann πρώτου είδους. Σε αυτήν την περίπτωση ονομάζεται συγκλίνουσα.

2. Αν δεν υπάρχει πεπερασμένο (ή ), τότε το ολοκλήρωμα λέγεται ότι αποκλίνει σε , ή απλά αποκλίνουσες.

Εάν μια συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, τότε μπορεί να υπάρχει ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης με δύο άπειρα όρια ολοκλήρωσης, που ορίζονται από τον τύπο:

, όπου c είναι ένας αυθαίρετος αριθμός.

[επεξεργασία] Γεωμετρική έννοια ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους

Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα εκφράζει την περιοχή ενός άπειρα μακριού καμπυλωμένου τραπεζοειδούς.

[επεξεργασία] Παραδείγματα

[επεξεργασία]Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους

Αφήστε το να οριστεί στο , να υποστεί μια άπειρη ασυνέχεια στο σημείο x=a και . Επειτα:

1. Αν , τότε χρησιμοποιείται ο συμβολισμός και το ολοκλήρωμα λέγεται

ονομάζεται αποκλίνουσα προς , ή απλά αποκλίνουσες.

Ας οριστεί στις , υφίσταται μια άπειρη ασυνέχεια στο x=b και . Επειτα:

1. Αν , τότε χρησιμοποιείται ο συμβολισμός και το ολοκλήρωμα λέγεται ακατάλληλο ολοκλήρωμα Riemann του δεύτερου είδους. Στην περίπτωση αυτή, το ολοκλήρωμα ονομάζεται συγκλίνον.

2. Εάν ή , τότε ο προσδιορισμός παραμένει ο ίδιος, και ονομάζεται αποκλίνουσα προς , ή απλά αποκλίνουσες.

Εάν η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχεια σε ένα εσωτερικό σημείο του τμήματος, τότε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους καθορίζεται από τον τύπο:

[επεξεργασία] Γεωμετρική έννοια ακατάλληλων ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους

Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα εκφράζει την περιοχή ενός απείρως ψηλού καμπυλωμένου τραπεζοειδούς

[επεξεργασία] Παράδειγμα

[επεξεργασία]Μεμονωμένη περίπτωση

Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και να έχει ασυνέχεια στα σημεία.

Τότε μπορούμε να βρούμε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα

[επεξεργασία] Κριτήριο Cauchy

1. Αφήστε το να οριστεί σε ένα σύνολο από και .

Επειτα συγκλίνει

2. Αφήστε να οριστεί στο και .

Επειτα συγκλίνει

[επεξεργασία]Απόλυτη σύγκλιση

Αναπόσπαστο που ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα, Αν συγκλίνει.
Αν το ολοκλήρωμα συγκλίνει απόλυτα, τότε συγκλίνει.

[επεξεργασία]Σύγκλιση υπό όρους

Το ολοκλήρωμα λέγεται υπό όρους συγκλίνουσα, αν συγκλίνει, αλλά αποκλίνει.

48 12. Λανθασμένα ολοκληρώματα.

Όταν εξετάζουμε οριστικά ολοκληρώματα, υποθέσαμε ότι η περιοχή ολοκλήρωσης είναι περιορισμένη (πιο συγκεκριμένα, είναι ένα τμήμα [ ένα ,σι ]); Για την ύπαρξη ορισμένου ολοκληρώματος, το ολοκλήρωμα πρέπει να περιορίζεται σε [ ένα ,σι ]. Θα ονομάσουμε καθορισμένα ολοκληρώματα για τα οποία πληρούνται και οι δύο αυτές προϋποθέσεις (περιοχή τόσο του τομέα ολοκλήρωσης όσο και του ολοκληρώματος) τα δικά; ολοκληρώματα για τα οποία παραβιάζονται αυτές οι απαιτήσεις (δηλαδή, είτε το ολοκλήρωμα είτε ο τομέας ενοποίησης είναι απεριόριστος ή και τα δύο) όχι το δικό σου. Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τα ακατάλληλα ολοκληρώματα.

12.1. Ακατάλληλα ολοκληρώματα σε απεριόριστο διάστημα (ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους).

12.1.1. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος σε άπειρο διάστημα. Παραδείγματα.
12.1.2. Τύπος Newton-Leibniz για ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα.
12.1.3. Κριτήρια σύγκρισης για μη αρνητικές συναρτήσεις.

12.1.3.1. Σημάδι σύγκρισης.
12.1.3.2. Ένα σημάδι σύγκρισης στην ακραία του μορφή.

12.1.4. Απόλυτη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων σε ένα άπειρο διάστημα.
12.1.5. Δοκιμές για σύγκλιση Abel και Dirichlet.

12.2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα αδέσμευτων συναρτήσεων (ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους).

12.2.1. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος απεριόριστης συνάρτησης.

12.2.1.1. Η μοναδικότητα βρίσκεται στο αριστερό άκρο του διαστήματος ολοκλήρωσης.
12.2.1.2. Εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz.
12.2.1.3. Μοναδικότητα στο δεξιό άκρο του διαστήματος ολοκλήρωσης.
12.2.1.4. Μοναδικότητα στο εσωτερικό σημείο του διαστήματος ολοκλήρωσης.
12.2.1.5. Διάφορα χαρακτηριστικά στο διάστημα ολοκλήρωσης.

12.2.2. Κριτήρια σύγκρισης για μη αρνητικές συναρτήσεις.

12.2.2.1. Σημάδι σύγκρισης.
12.2.2.2. Ένα σημάδι σύγκρισης στην ακραία του μορφή.

12.2.3. Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων ασυνεχών συναρτήσεων.
12.2.4. Δοκιμές για σύγκλιση Abel και Dirichlet.

12.1. Ακατάλληλα ολοκληρώματα σε απεριόριστο διάστημα

(ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους).

12.1.1. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος σε άπειρο διάστημα. Αφήστε τη λειτουργία φά (Χ ) ορίζεται στον ημιάξονα και μπορεί να ολοκληρωθεί σε οποιοδήποτε διάστημα [ από, υπονοώντας σε καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις την ύπαρξη και το όριο των αντίστοιχων ορίων. Τώρα οι λύσεις στα παραδείγματα φαίνονται πιο απλές: .

12.1.3. Κριτήρια σύγκρισης για μη αρνητικές συναρτήσεις. Σε αυτή την ενότητα θα υποθέσουμε ότι όλα τα ολοκληρώματα είναι μη αρνητικά σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Μέχρι τώρα, προσδιορίζαμε τη σύγκλιση του ολοκληρώματος υπολογίζοντάς το: εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο του αντιπαραγώγου με την αντίστοιχη τάση ( ή ), τότε το ολοκλήρωμα συγκλίνει, διαφορετικά αποκλίνει. Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, ωστόσο, είναι σημαντικό να διαπιστωθεί πρώτα το ίδιο το γεγονός της σύγκλισης και μόνο στη συνέχεια να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (εξάλλου, το αντιπαράγωγο συχνά δεν εκφράζεται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων). Ας διατυπώσουμε και αποδείξουμε έναν αριθμό θεωρημάτων που μας επιτρέπουν να καθορίσουμε τη σύγκλιση και την απόκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων χωρίς να τα υπολογίσουμε.
12.1.3.1. Σήμα σύγκρισης. Αφήστε τις συναρτήσεις φά (Χ ) Και σολ (Χ ) αναπόσπαστο

Παράδειγμα.

Λύση.

Να γιατί, .

Επειδή , Οτι . Να γιατί

Ως εκ τούτου,

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων πρώτου τύπου

Η μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης είναι ιδανική για την επίλυση αυτού του προβλήματος:

Παράδειγμα.

Λύση.

Αρχή σελίδας

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων του δεύτερου τύπου

Η μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης είναι επίσης κατάλληλη για την επίλυση αυτού του προβλήματος:

Παράδειγμα.

Λύση.

Αρχή σελίδας

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων τρίτου τύπου

Αρχικά παρουσιάζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα ως άθροισμα:

Παίρνουμε το πρώτο ολοκλήρωμα υποβάλλοντάς το στο διαφορικό πρόσημο:

Να γιατί,

Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή του ολοκληρώματος που προκύπτει:

Ως εκ τούτου,

Ο τύπος για την ολοκλήρωση απλών κλασμάτων του τρίτου τύπου έχει τη μορφή:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα .

Λύση.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο που προκύπτει:

Αν δεν είχαμε αυτόν τον τύπο, τι θα κάναμε:

9. Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων τέταρτου τύπου

Το πρώτο βήμα είναι να το βάλετε κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Το δεύτερο βήμα είναι να βρείτε ένα ολοκλήρωμα της φόρμας . Ολοκληρώματα αυτού του τύπου βρίσκονται χρησιμοποιώντας τύπους επανάληψης. (Δείτε την κατάτμηση με χρήση τύπων επανάληψης). Ο ακόλουθος επαναλαμβανόμενος τύπος είναι κατάλληλος για την περίπτωσή μας:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση.

Μετά την αντικατάσταση έχουμε:

Μετά την αντίστροφη αντικατάσταση παίρνουμε το αποτέλεσμα:

10. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Πολλά προβλήματα καταλήγουν στην εύρεση ολοκληρωμάτων υπερβατικών συναρτήσεων που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Σε αυτό το άρθρο θα ομαδοποιήσουμε τους πιο συνηθισμένους τύπους ολοκληρωμάτων και θα χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα για να εξετάσουμε μεθόδους για την ολοκλήρωσή τους.

Ας ξεκινήσουμε ενσωματώνοντας ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Από τον πίνακα των αντιπαραγώγων σημειώνουμε αμέσως ότι Και .

Η μέθοδος υπαγωγής του διαφορικού πρόσημου σάς επιτρέπει να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα των συναρτήσεων εφαπτομένης και συνεφαπτομένης:

Αρχή σελίδας

Ας δούμε την πρώτη περίπτωση, η δεύτερη είναι απολύτως παρόμοια.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης:

Φτάσαμε στο πρόβλημα της ενσωμάτωσης μιας παράλογης συνάρτησης. Η μέθοδος αντικατάστασης θα μας βοηθήσει επίσης εδώ:

Το μόνο που μένει είναι να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση και t = sinx:

Αρχή σελίδας

Μπορείτε να μάθετε περισσότερα σχετικά με τις αρχές εύρεσης τους στην ενότητα ενσωμάτωση χρησιμοποιώντας επαναλαμβανόμενους τύπους. Εάν μελετήσετε την παραγωγή αυτών των τύπων, μπορείτε εύκολα να πάρετε ολοκληρώματα της φόρμας , Οπου ΜΚαι n- ακέραιοι αριθμοί.

Αρχή σελίδας

Η μεγαλύτερη δημιουργικότητα έρχεται όταν το ολοκλήρωμα περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις με διαφορετικά ορίσματα.

Εδώ έρχονται να σώσουν οι βασικοί τύποι της τριγωνομετρίας. Γράψτε τα λοιπόν σε ένα ξεχωριστό κομμάτι χαρτί και κρατήστε τα μπροστά στα μάτια σας.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το σύνολο των αντιπαραγώγων μιας συνάρτησης .

Λύση.

Οι τύποι αναγωγής δίνουν Και .

Να γιατί

Ο παρονομαστής είναι ο τύπος για το ημίτονο του αθροίσματος, επομένως,

Φτάνουμε στο άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων.

Αρχή σελίδας

Τα ολοκληρώματα που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν μερικές φορές να αναχθούν σε κλασματικές ορθολογικές εκφράσεις χρησιμοποιώντας τυπική τριγωνομετρική υποκατάσταση.

Ας γράψουμε τριγωνομετρικούς τύπους που εκφράζουν ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη μέσω της εφαπτομένης του μισού ορίσματος:

Κατά την ολοκλήρωση, θα χρειαστούμε επίσης τη διαφορική έκφραση dxμέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας.

Επειδή , Οτι

Δηλαδή, όπου.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα .

Λύση.

Ας χρησιμοποιήσουμε τυπική τριγωνομετρική αντικατάσταση:

Ετσι, .

Η διάσπαση του ολοκληρώματος σε απλά κλάσματα οδηγεί στο άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων:

Το μόνο που μένει είναι να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση:

11. Οι τύποι επανάληψης είναι τύποι που εκφράζουν nΤο ου μέλος της ακολουθίας μέσω των προηγούμενων μελών. Συχνά χρησιμοποιούνται κατά την εύρεση ολοκληρωμάτων.

Δεν στοχεύουμε να απαριθμήσουμε όλους τους τύπους επανάληψης, αλλά θέλουμε να δώσουμε την αρχή της παραγωγής τους. Η εξαγωγή αυτών των τύπων βασίζεται στον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος και στην εφαρμογή της μεθόδου ολοκλήρωσης ανά μέρη.

Για παράδειγμα, το αόριστο ολοκλήρωμα μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο επανάληψης .

Παραγωγή του τύπου:

Χρησιμοποιώντας τύπους τριγωνομετρίας, μπορούμε να γράψουμε:

Βρίσκουμε το ολοκλήρωμα που προκύπτει χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης ανά μέρη. Ως συνάρτηση u(x)Ας πάρουμε cosx, ως εκ τούτου, .

Να γιατί,

Επιστρέφουμε στο αρχικό ολοκλήρωμα:

Αυτό είναι,

Αυτό έπρεπε να φανεί.

Οι ακόλουθοι τύποι επανάληψης προέρχονται με παρόμοιο τρόπο:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Λύση.

Χρησιμοποιούμε τον επαναλαμβανόμενο τύπο από την τέταρτη παράγραφο (στο παράδειγμά μας n=3):

Αφού από τον πίνακα των αντιπαραγώγων έχουμε , Οτι

Όλα τα παραπάνω στις προηγούμενες παραγράφους μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε τους βασικούς κανόνες για την ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων.

1. Εάν ένα ορθολογικό κλάσμα είναι ακατάλληλο, τότε αναπαρίσταται ως το άθροισμα ενός πολυωνύμου και ενός σωστού ρητού κλάσματος (βλ. παράγραφο 2).

Αυτό μειώνει την ολοκλήρωση ενός ακατάλληλου ρητού κλάσματος στην ολοκλήρωση ενός πολυωνύμου και ενός κατάλληλου ορθολογικού κλάσματος.

2. Συνυπολογίστε τον παρονομαστή του κατάλληλου κλάσματος.

3. Ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα αποσυντίθεται στο άθροισμα απλών κλασμάτων. Αυτό μειώνει την ολοκλήρωση ενός ορθού λογικού κλάσματος στην ολοκλήρωση απλών κλασμάτων.

Ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Βρείτε .

Λύση. Κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ένα ακατάλληλο ορθολογικό κλάσμα. Επιλέγοντας ολόκληρο το μέρος, παίρνουμε

Ως εκ τούτου,

Σημειώνοντας ότι, ας επεκτείνουμε το σωστό ορθολογικό κλάσμα

σε απλά κλάσματα:

(βλ. τύπο (18)). Να γιατί