Το πρόβλημα της εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος μιας κλασματικά ορθολογικής συνάρτησης καταλήγει στην ολοκλήρωση απλών κλασμάτων. Επομένως, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε πρώτα με την ενότητα της θεωρίας της αποσύνθεσης των κλασμάτων στα απλούστερα.

Παράδειγμα.

Λύση.

Δεδομένου ότι ο βαθμός του αριθμητή του ολοκληρώματος είναι ίσος με τον βαθμό του παρονομαστή, επιλέγουμε πρώτα ολόκληρο το μέρος διαιρώντας το πολυώνυμο με το πολυώνυμο με μια στήλη:

Να γιατί, .

Η αποσύνθεση του προκύπτοντος ορθού ορθολογικού κλάσματος σε απλούστερα κλάσματα έχει τη μορφή . Ως εκ τούτου,

Το ολοκλήρωμα που προκύπτει είναι το ολοκλήρωμα του απλούστερου κλάσματος του τρίτου τύπου. Κοιτάζοντας λίγο μπροστά, σημειώνουμε ότι μπορείτε να το πάρετε υποβάλλοντάς το κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Επειδή , Οτι . Να γιατί

Ως εκ τούτου,

Τώρα ας προχωρήσουμε στην περιγραφή μεθόδων για την ενοποίηση απλών κλασμάτων καθενός από τους τέσσερις τύπους.

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων πρώτου τύπου

Η μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης είναι ιδανική για την επίλυση αυτού του προβλήματος:

Παράδειγμα.

Λύση.

Ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του αντιπαραγώγου, τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τον κανόνα ολοκλήρωσης.

Αρχή σελίδας

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων του δεύτερου τύπου

Η μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης είναι επίσης κατάλληλη για την επίλυση αυτού του προβλήματος:

Παράδειγμα.

Λύση.

Αρχή σελίδας

Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων τρίτου τύπου

Αρχικά παρουσιάζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα ως άθροισμα:

Παίρνουμε το πρώτο ολοκλήρωμα υποβάλλοντάς το στο διαφορικό πρόσημο:

Να γιατί,

Ας μετατρέψουμε τον παρονομαστή του ολοκληρώματος που προκύπτει:

Ως εκ τούτου,

Ο τύπος για την ολοκλήρωση απλών κλασμάτων του τρίτου τύπου έχει τη μορφή:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα .

Λύση.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο που προκύπτει:

Αν δεν είχαμε αυτόν τον τύπο, τι θα κάναμε:

9. Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων τέταρτου τύπου

Το πρώτο βήμα είναι να το βάλετε κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Το δεύτερο βήμα είναι να βρείτε ένα ολοκλήρωμα της φόρμας . Ολοκληρώματα αυτού του τύπου βρίσκονται χρησιμοποιώντας τύπους επανάληψης. (Δείτε την κατάτμηση με χρήση τύπων επανάληψης). Ο ακόλουθος επαναλαμβανόμενος τύπος είναι κατάλληλος για την περίπτωσή μας:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση.

Για αυτόν τον τύπο ολοκλήρωσης χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αντικατάστασης. Ας εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή (δείτε την ενότητα για την ολοκλήρωση των παράλογων συναρτήσεων):

Μετά την αντικατάσταση έχουμε:

Καταλήξαμε να βρούμε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τέταρτου τύπου. Στην περίπτωσή μας έχουμε συντελεστές M = 0, p = 0, q = 1, N = 1Και n=3. Εφαρμόζουμε τον επαναλαμβανόμενο τύπο:

Μετά την αντίστροφη αντικατάσταση παίρνουμε το αποτέλεσμα:

10. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Πολλά προβλήματα καταλήγουν στην εύρεση ολοκληρωμάτων υπερβατικών συναρτήσεων που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Σε αυτό το άρθρο θα ομαδοποιήσουμε τους πιο συνηθισμένους τύπους ολοκληρωμάτων και θα χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα για να εξετάσουμε μεθόδους για την ολοκλήρωσή τους.

Ας ξεκινήσουμε ενσωματώνοντας ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Από τον πίνακα των αντιπαραγώγων σημειώνουμε αμέσως ότι Και .

Η μέθοδος υπαγωγής του διαφορικού πρόσημου σάς επιτρέπει να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα των συναρτήσεων εφαπτομένης και συνεφαπτομένης:

Αρχή σελίδας

Ας δούμε την πρώτη περίπτωση, η δεύτερη είναι απολύτως παρόμοια.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης:

Φτάσαμε στο πρόβλημα της ενσωμάτωσης μιας παράλογης συνάρτησης. Η μέθοδος αντικατάστασης θα μας βοηθήσει επίσης εδώ:

Το μόνο που μένει είναι να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση και t = sinx:

Αρχή σελίδας

Μπορείτε να μάθετε περισσότερα σχετικά με τις αρχές εύρεσης τους στην ενότητα ενσωμάτωση χρησιμοποιώντας επαναλαμβανόμενους τύπους. Εάν μελετήσετε την παραγωγή αυτών των τύπων, μπορείτε εύκολα να πάρετε ολοκληρώματα της φόρμας , Οπου ΜΚαι n- ακέραιοι αριθμοί.

Αρχή σελίδας

Αρχή σελίδας

Η μεγαλύτερη δημιουργικότητα έρχεται όταν το ολοκλήρωμα περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις με διαφορετικά ορίσματα.

Εδώ έρχονται να σώσουν οι βασικοί τύποι της τριγωνομετρίας. Γράψτε τα λοιπόν σε ένα ξεχωριστό κομμάτι χαρτί και κρατήστε τα μπροστά στα μάτια σας.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το σύνολο των αντιπαραγώγων μιας συνάρτησης .

Λύση.

Οι τύποι αναγωγής δίνουν Και .

Να γιατί

Ο παρονομαστής είναι ο τύπος για το ημίτονο του αθροίσματος, επομένως,

Φτάνουμε στο άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων.

Αρχή σελίδας

Τα ολοκληρώματα που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν μερικές φορές να αναχθούν σε κλασματικές ορθολογικές εκφράσεις χρησιμοποιώντας τυπική τριγωνομετρική υποκατάσταση.

Ας γράψουμε τριγωνομετρικούς τύπους που εκφράζουν ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη μέσω της εφαπτομένης του μισού ορίσματος:

Κατά την ολοκλήρωση, θα χρειαστούμε επίσης τη διαφορική έκφραση dxμέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας.

Επειδή , Οτι

Δηλαδή, όπου.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα .

Λύση.

Ας χρησιμοποιήσουμε τυπική τριγωνομετρική αντικατάσταση:

Ετσι, .

Η διάσπαση του ολοκληρώματος σε απλά κλάσματα οδηγεί στο άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων:

Το μόνο που μένει είναι να πραγματοποιηθεί η αντίστροφη αντικατάσταση:

11. Οι τύποι επανάληψης είναι τύποι που εκφράζουν nΤο ου μέλος της ακολουθίας μέσω των προηγούμενων μελών. Συχνά χρησιμοποιούνται κατά την εύρεση ολοκληρωμάτων.

Δεν στοχεύουμε να απαριθμήσουμε όλους τους τύπους επανάληψης, αλλά θέλουμε να δώσουμε την αρχή της παραγωγής τους. Η εξαγωγή αυτών των τύπων βασίζεται στον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος και στην εφαρμογή της μεθόδου ολοκλήρωσης ανά μέρη.

Για παράδειγμα, το αόριστο ολοκλήρωμα μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο επανάληψης .

Παραγωγή του τύπου:

Χρησιμοποιώντας τύπους τριγωνομετρίας, μπορούμε να γράψουμε:

Βρίσκουμε το ολοκλήρωμα που προκύπτει χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης ανά μέρη. Ως συνάρτηση u(x)Ας πάρουμε cosx, ως εκ τούτου, .

Να γιατί,

Επιστρέφουμε στο αρχικό ολοκλήρωμα:

Αυτό είναι,

Αυτό έπρεπε να φανεί.

Οι ακόλουθοι τύποι επανάληψης προέρχονται με παρόμοιο τρόπο:

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Λύση.

Χρησιμοποιούμε τον επαναλαμβανόμενο τύπο από την τέταρτη παράγραφο (στο παράδειγμά μας n=3):

Αφού από τον πίνακα των αντιπαραγώγων έχουμε , Οτι

Όλα τα παραπάνω στις προηγούμενες παραγράφους μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε τους βασικούς κανόνες για την ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων.

1. Εάν ένα ορθολογικό κλάσμα είναι ακατάλληλο, τότε αναπαρίσταται ως το άθροισμα ενός πολυωνύμου και ενός σωστού ρητού κλάσματος (βλ. παράγραφο 2).

Αυτό μειώνει την ολοκλήρωση ενός ακατάλληλου ρητού κλάσματος στην ολοκλήρωση ενός πολυωνύμου και ενός κατάλληλου ορθολογικού κλάσματος.

2. Συνυπολογίστε τον παρονομαστή του κατάλληλου κλάσματος.

3. Ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα αποσυντίθεται στο άθροισμα απλών κλασμάτων. Αυτό μειώνει την ολοκλήρωση ενός ορθού λογικού κλάσματος στην ολοκλήρωση απλών κλασμάτων.

Ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Βρείτε .

Λύση. Κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ένα ακατάλληλο ορθολογικό κλάσμα. Επιλέγοντας ολόκληρο το μέρος, παίρνουμε

Ως εκ τούτου,

Σημειώνοντας ότι, ας επεκτείνουμε το σωστό ορθολογικό κλάσμα

σε απλά κλάσματα:

(βλ. τύπο (18)). Να γιατί

Έτσι, επιτέλους έχουμε

Παράδειγμα 2. Βρείτε

Λύση. Κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα.

Επεκτείνοντάς το σε απλά κλάσματα (βλ. τύπο (16)), παίρνουμε

Ολοκλήρωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης.
Μέθοδος αβέβαιου συντελεστή

Συνεχίζουμε να εργαζόμαστε για την ολοκλήρωση κλασμάτων. Έχουμε ήδη εξετάσει ολοκληρώματα ορισμένων τύπων κλασμάτων στο μάθημα και αυτό το μάθημα, κατά μία έννοια, μπορεί να θεωρηθεί ως συνέχεια. Για να κατανοήσετε με επιτυχία το υλικό, απαιτούνται βασικές δεξιότητες ολοκλήρωσης, οπότε αν μόλις ξεκινήσατε να μελετάτε τα ολοκληρώματα, δηλαδή είστε αρχάριοι, τότε πρέπει να ξεκινήσετε με το άρθρο Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.

Παραδόξως, τώρα θα ασχοληθούμε όχι τόσο με την εύρεση ολοκληρωμάτων, αλλά... με την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Από αυτή την άποψη επειγόντωςΠροτείνω να παρακολουθήσετε το μάθημα, δηλαδή, πρέπει να είστε καλά γνώστες των μεθόδων αντικατάστασης (μέθοδος «σχολική» και μέθοδος πρόσθεσης (αφαίρεσης) εξισώσεων συστήματος ανά όρο).

Τι είναι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση; Με απλά λόγια, κλασματική-ορθολογική συνάρτηση είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν πολυώνυμα ή γινόμενα πολυωνύμων. Επιπλέον, τα κλάσματα είναι πιο εξελιγμένα από αυτά που συζητούνται στο άρθρο Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.

Ολοκλήρωση μιας σωστής κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης

Αμέσως ένα παράδειγμα και ένας τυπικός αλγόριθμος για την επίλυση του ολοκληρώματος μιας κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 1

Βήμα 1.Το πρώτο πράγμα που κάνουμε ΠΑΝΤΑ όταν λύνουμε ένα ολοκλήρωμα μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης είναι να διευκρινίζουμε την ακόλουθη ερώτηση: είναι σωστό το κλάσμα;Αυτό το βήμα εκτελείται προφορικά και τώρα θα εξηγήσω πώς:

Αρχικά κοιτάμε τον αριθμητή και ανακαλύπτουμε ανώτερο πτυχίοπολυώνυμος:

Η κύρια δύναμη του αριθμητή είναι δύο.

Τώρα κοιτάμε τον παρονομαστή και ανακαλύπτουμε ανώτερο πτυχίοπαρονομαστής. Ο προφανής τρόπος είναι να ανοίξετε τις αγκύλες και να φέρετε παρόμοιους όρους, αλλά μπορείτε να το κάνετε πιο απλά, μέσα καθεβρείτε τον υψηλότερο βαθμό σε αγκύλες

και πολλαπλασιάζουμε νοερά: - έτσι, ο υψηλότερος βαθμός του παρονομαστή είναι ίσος με τρία. Είναι προφανές ότι αν ανοίξουμε πραγματικά τις αγκύλες, δεν θα πάρουμε βαθμό μεγαλύτερο από τρεις.

συμπέρασμα: Κύριος βαθμός αριθμητή ΑΥΣΤΗΡΑείναι μικρότερη από την υψηλότερη ισχύ του παρονομαστή, που σημαίνει ότι το κλάσμα είναι σωστό.

Αν σε αυτό το παράδειγμα ο αριθμητής περιείχε το πολυώνυμο 3, 4, 5 κ.λπ. μοίρες, τότε το κλάσμα θα ήταν λανθασμένος.

Τώρα θα εξετάσουμε μόνο τις σωστές κλασματικές ορθολογικές συναρτήσεις. Η περίπτωση που ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον βαθμό του παρονομαστή θα συζητηθεί στο τέλος του μαθήματος.

Βήμα 2.Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή. Ας δούμε τον παρονομαστή μας:

Σε γενικές γραμμές, αυτό είναι ήδη προϊόν παραγόντων, αλλά, ωστόσο, αναρωτιόμαστε: είναι δυνατόν να επεκτείνουμε κάτι άλλο; Το αντικείμενο του βασανισμού θα είναι αναμφίβολα το τετράγωνο τριώνυμο. Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

Η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι το τριώνυμο μπορεί πραγματικά να παραγοντοποιηθεί:

Γενικός κανόνας: ΟΛΑ ΤΙ ΜΠΟΡΟΥΝ να συνυπολογιστούν στον παρονομαστή - συνυπολογίστε το

Ας αρχίσουμε να διαμορφώνουμε μια λύση:

Βήμα 3.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε ένα άθροισμα απλών (στοιχειωδών) κλασμάτων. Τώρα θα είναι πιο ξεκάθαρο.

Ας δούμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης:

Και, ξέρετε, με κάποιο τρόπο αναδύεται μια διαισθητική σκέψη ότι θα ήταν ωραίο να μετατρέψουμε το μεγάλο μας κλάσμα σε πολλά μικρά. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Γεννιέται το ερώτημα, είναι δυνατόν να γίνει αυτό; Ας αναπνεύσουμε με ανακούφιση, λέει το αντίστοιχο θεώρημα της μαθηματικής ανάλυσης – ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ. Μια τέτοια αποσύνθεση υπάρχει και είναι μοναδική.

Υπάρχει μόνο ένα πιάσιμο, οι πιθανότητες είναι ΑντίοΔεν ξέρουμε, εξ ου και το όνομα - η μέθοδος των αόριστων συντελεστών.

Όπως μαντέψατε, οι επόμενες κινήσεις του σώματος είναι τέτοιες, μην γελάτε! θα έχει ως στόχο απλώς την ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ τους - για να μάθετε με τι ισούνται.

Προσοχή, θα σας εξηγήσω αναλυτικά μόνο μια φορά!

Λοιπόν, ας αρχίσουμε να χορεύουμε από:

Στην αριστερή πλευρά μειώνουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή:

Τώρα μπορούμε με ασφάλεια να απαλλαγούμε από τους παρονομαστές (καθώς είναι οι ίδιοι):

Στην αριστερή πλευρά ανοίγουμε τις αγκύλες, αλλά μην αγγίξετε προς το παρόν τους άγνωστους συντελεστές:

Ταυτόχρονα επαναλαμβάνουμε τον σχολικό κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των πολυωνύμων. Όταν ήμουν δάσκαλος, έμαθα να προφέρω αυτόν τον κανόνα με ίσιο πρόσωπο: Για να πολλαπλασιάσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου.

Από την άποψη μιας ξεκάθαρης εξήγησης, είναι καλύτερο να βάλετε τους συντελεστές σε παρενθέσεις (αν και προσωπικά δεν το κάνω ποτέ για να εξοικονομήσω χρόνο):

Συνθέτουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Αρχικά ψάχνουμε για ανώτερα πτυχία:

Και γράφουμε τους αντίστοιχους συντελεστές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος:

Θυμηθείτε καλά το ακόλουθο σημείο. Τι θα συνέβαινε αν δεν υπήρχαν καθόλου s στη δεξιά πλευρά; Ας πούμε, θα επιδεικνυόταν απλά χωρίς κανένα τετράγωνο; Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση του συστήματος θα ήταν απαραίτητο να βάλουμε ένα μηδέν στα δεξιά: . Γιατί μηδέν; Αλλά επειδή στη δεξιά πλευρά μπορείτε πάντα να αντιστοιχίσετε αυτό το ίδιο τετράγωνο με μηδέν: Αν στη δεξιά πλευρά δεν υπάρχουν μεταβλητές ή/και ελεύθερος όρος, τότε βάζουμε μηδενικά στις δεξιές πλευρές των αντίστοιχων εξισώσεων του συστήματος.

Γράφουμε τους αντίστοιχους συντελεστές στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:

Και τέλος, μεταλλικό νερό, επιλέγουμε δωρεάν μέλη.

Ε...έκανα πλάκα. Τα αστεία στην άκρη - τα μαθηματικά είναι μια σοβαρή επιστήμη. Στην ομάδα του ινστιτούτου μας, κανείς δεν γέλασε όταν η επίκουρη καθηγήτρια είπε ότι θα σκορπίσει τους όρους στην αριθμητική γραμμή και θα διάλεγε τους μεγαλύτερους. Ας σοβαρευτούμε. Αν και... όποιος ζει για να δει το τέλος αυτού του μαθήματος, θα χαμογελά ακόμα ήσυχα.

Το σύστημα είναι έτοιμο:

Λύνουμε το σύστημα:

(1) Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε και την αντικαθιστούμε στη 2η και 3η εξίσωση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, ήταν δυνατό να εκφραστεί (ή άλλο γράμμα) από άλλη εξίσωση, αλλά σε αυτή την περίπτωση συμφέρει να εκφραστεί από την 1η εξίσωση, αφού υπάρχει τις μικρότερες πιθανότητες.

(2) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη 2η και 3η εξίσωση.

(3) Προσθέτουμε τη 2η και 3η εξίσωση όρο προς όρο, λαμβάνοντας την ισότητα , από την οποία προκύπτει ότι

(4) Αντικαθιστούμε στη δεύτερη (ή τρίτη) εξίσωση, από όπου βρίσκουμε ότι

(5) Αντικαταστήστε και στην πρώτη εξίσωση, λαμβάνοντας .

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες με τις μεθόδους επίλυσης του συστήματος, εξασκήστε τις στην τάξη. Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;

Μετά την επίλυση του συστήματος, είναι πάντα χρήσιμο να ελέγξετε - να αντικαταστήσετε τις τιμές που βρέθηκαν κάθεεξίσωση του συστήματος, με αποτέλεσμα όλα να «συγκλίνουν».

Σχεδόν έτοιμο. Βρέθηκαν οι συντελεστές και:

Η τελική εργασία θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

Όπως μπορείτε να δείτε, η κύρια δυσκολία της εργασίας ήταν να συνθέσετε (σωστά!) και να λύσετε (σωστά!) ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Και στο τελικό στάδιο, όλα δεν είναι τόσο δύσκολα: χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος και ολοκληρώνουμε. Σημειώστε ότι κάτω από καθένα από τα τρία ολοκληρώματα έχουμε μια "δωρεάν" σύνθετη συνάρτηση· μίλησα για τα χαρακτηριστικά της ενσωμάτωσής της στο μάθημα Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα.

Έλεγχος: Διαφοροποιήστε την απάντηση:

Έχει ληφθεί η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, πράγμα που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.
Κατά την επαλήθευση, έπρεπε να μειώσουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή, και αυτό δεν είναι τυχαίο. Η μέθοδος των αόριστων συντελεστών και η αναγωγή μιας έκφρασης σε κοινό παρονομαστή είναι αμοιβαία αντίστροφες ενέργειες.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας επιστρέψουμε στο κλάσμα από το πρώτο παράδειγμα: . Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι στον παρονομαστή όλοι οι παράγοντες είναι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ. Τίθεται το ερώτημα, τι πρέπει να κάνουμε εάν, για παράδειγμα, δοθεί το ακόλουθο κλάσμα: ? Εδώ έχουμε βαθμούς στον παρονομαστή ή, μαθηματικά, πολλαπλάσια. Επιπλέον, υπάρχει ένα τετραγωνικό τριώνυμο που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί (είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η διάκριση της εξίσωσης είναι αρνητικό, επομένως το τριώνυμο δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί). Τι να κάνω? Η επέκταση σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων θα μοιάζει κάπως με άγνωστους συντελεστές στην κορυφή ή κάτι άλλο;

Παράδειγμα 3

Εισαγάγετε μια συνάρτηση

Βήμα 1.Ελέγχοντας αν έχουμε σωστό κλάσμα
Κύριος αριθμητής: 2
Ανώτατος βαθμός παρονομαστή: 8
, που σημαίνει ότι το κλάσμα είναι σωστό.

Βήμα 2.Είναι δυνατόν να συνυπολογίσουμε κάτι στον παρονομαστή; Προφανώς όχι, όλα έχουν ήδη διαμορφωθεί. Το τετράγωνο τριώνυμο δεν μπορεί να επεκταθεί σε προϊόν για τους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω. Κουκούλα. Λιγότερη δουλειά.

Βήμα 3.Ας φανταστούμε μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων.
Σε αυτήν την περίπτωση, η επέκταση έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας δούμε τον παρονομαστή μας:
Κατά την αποσύνθεση μιας κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων, μπορούν να διακριθούν τρία θεμελιώδη σημεία:

1) Εάν ο παρονομαστής περιέχει έναν παράγοντα «μοναχικό» στην πρώτη δύναμη (στην περίπτωσή μας), τότε βάζουμε έναν αόριστο συντελεστή στην κορυφή (στην περίπτωσή μας). Τα παραδείγματα Νο. 1, 2 αποτελούνταν μόνο από τέτοιους «μοναχικούς» παράγοντες.

2) Αν ο παρονομαστής έχει πολλαπλούςπολλαπλασιαστή, τότε πρέπει να τον αποσυνθέσεις ως εξής:
- δηλαδή, περάστε διαδοχικά όλες τις μοίρες του "Χ" από την πρώτη έως την nη μοίρα. Στο παράδειγμά μας υπάρχουν δύο πολλαπλοί παράγοντες: και , ρίξτε μια άλλη ματιά στην επέκταση που έδωσα και βεβαιωθείτε ότι επεκτείνονται ακριβώς σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα.

3) Εάν ο παρονομαστής περιέχει ένα αδιάσπαστο πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού (στην περίπτωσή μας), τότε κατά την αποσύνθεση στον αριθμητή πρέπει να γράψετε μια γραμμική συνάρτηση με απροσδιόριστους συντελεστές (στην περίπτωσή μας με απροσδιόριστους συντελεστές και ).

Μάλιστα, υπάρχει και άλλη 4η περίπτωση, αλλά θα το σιωπήσω, αφού στην πράξη είναι εξαιρετικά σπάνιο.

Παράδειγμα 4

Εισαγάγετε μια συνάρτηση ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων με άγνωστους συντελεστές.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Ακολουθήστε τον αλγόριθμο αυστηρά!

Εάν κατανοείτε τις αρχές με τις οποίες πρέπει να επεκτείνετε μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση σε άθροισμα, μπορείτε να μασήσετε σχεδόν οποιοδήποτε ολοκλήρωμα του υπό εξέταση τύπου.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Βήμα 1.Προφανώς το κλάσμα είναι σωστό:

Βήμα 2.Είναι δυνατόν να συνυπολογίσουμε κάτι στον παρονομαστή; Μπορώ. Εδώ είναι το άθροισμα των κύβων . Υπολογίστε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού

Βήμα 3.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:

Λάβετε υπόψη ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί (ελέγξτε ότι η διάκριση είναι αρνητική), οπότε στο επάνω μέρος βάζουμε μια γραμμική συνάρτηση με άγνωστους συντελεστές και όχι μόνο ένα γράμμα.

Φέρνουμε το κλάσμα σε κοινό παρονομαστή:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

(1) Εκφράζουμε από την πρώτη εξίσωση και την αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος).

(2) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη δεύτερη εξίσωση.

(3) Προσθέτουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος όρο προς όρο.

Όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί είναι, κατ' αρχήν, προφορικοί, καθώς το σύστημα είναι απλό.

(1) Καταγράφουμε το άθροισμα των κλασμάτων σύμφωνα με τους συντελεστές που βρέθηκαν.

(2) Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος. Τι έγινε στο δεύτερο ολοκλήρωμα; Μπορείτε να εξοικειωθείτε με αυτή τη μέθοδο στην τελευταία παράγραφο του μαθήματος. Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.

(3) Για άλλη μια φορά χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της γραμμικότητας. Στο τρίτο ολοκλήρωμα αρχίζουμε να απομονώνουμε το πλήρες τετράγωνο (προτελευταία παράγραφος του μαθήματος Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων).

(4) Παίρνουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα, στο τρίτο επιλέγουμε το πλήρες τετράγωνο.

(5) Πάρτε το τρίτο ολοκλήρωμα. Ετοιμος.

Εξετάζονται παραδείγματα ολοκλήρωσης ορθολογικών συναρτήσεων (κλασμάτων) με λεπτομερείς λύσεις.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης

Εδώ παρέχουμε λεπτομερείς λύσεις σε τρία παραδείγματα ολοκλήρωσης των ακόλουθων ορθολογικών κλασμάτων:
, , .

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
.

Εδώ, κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει μια ορθολογική συνάρτηση, αφού το ολοκλήρωμα είναι ένα κλάσμα πολυωνύμων. Βαθμός πολυωνύμου παρονομαστή ( 3 ) είναι μικρότερο από το βαθμό του πολυωνύμου αριθμητή ( 4 ). Επομένως, πρώτα πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος.

1. Ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος. Διαιρέστε το x 4 από x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Από εδώ
.

2. Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσετε την κυβική εξίσωση:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Ας αντικαταστήσουμε το x = 1 :
.

1 . Διαιρέστε με x - 1 :

Από εδώ
.
Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
.
Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: , .
Επειτα
.

3. Ας αναλύσουμε το κλάσμα στην απλούστερη μορφή του.

.

Βρήκαμε λοιπόν:
.
Ας ενσωματωθούμε.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
.

Εδώ ο αριθμητής του κλάσματος είναι πολυώνυμο βαθμού μηδέν ( 1 = x 0). Ο παρονομαστής είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Επειδή η 0 < 3 , τότε το κλάσμα είναι σωστό. Ας το αναλύσουμε σε απλά κλάσματα.

1. Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσετε την εξίσωση τρίτου βαθμού:
.
Ας υποθέσουμε ότι έχει τουλάχιστον μία ολόκληρη ρίζα. Τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 3 (μέλος χωρίς x). Δηλαδή, ολόκληρη η ρίζα μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς:
1, 3, -1, -3 .
Ας αντικαταστήσουμε το x = 1 :
.

Έτσι, βρήκαμε μια ρίζα x = 1 . Διαιρέστε το x 3 + 2 x - 3στο x - 1 :

Ετσι,
.

Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
Χ 2 + x + 3 = 0.
Βρείτε τη διάκριση: D = 1 2 - 4 3 = -11. Αφού ο Δ< 0 , τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Έτσι, λάβαμε την παραγοντοποίηση του παρονομαστή:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Ας αντικαταστήσουμε το x = 1 . Τότε x - 1 = 0 ,
.

Ας αντικαταστήσουμε (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Ας εξισωθούν με (2.1) συντελεστές για x 2 :
;
0 = Α + Β;
.

.

3. Ας ενσωματωθούμε.
(2.2) .
Για να υπολογίσουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα, επιλέγουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή και ανάγουμε τον παρονομαστή στο άθροισμα των τετραγώνων.

;
;
.

Υπολογίστε το I 2 .


.
Δεδομένου ότι η εξίσωση x 2 + x + 3 = 0δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε το x 2 + x + 3 > 0. Επομένως, το σύμβολο συντελεστή μπορεί να παραλειφθεί.

Παραδίδουμε σε (2.2) :
.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
.

Εδώ κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ένα κλάσμα πολυωνύμων. Επομένως, το ολοκλήρωμα είναι μια λογική συνάρτηση. Ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι ίσος με 3 . Ο βαθμός του πολυωνύμου του παρονομαστή του κλάσματος είναι ίσος με 4 . Επειδή η 3 < 4 , τότε το κλάσμα είναι σωστό. Επομένως, μπορεί να αποσυντεθεί σε απλά κλάσματα. Αλλά για να γίνει αυτό πρέπει να παραγοντοποιήσετε τον παρονομαστή.

1. Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να λύσετε την εξίσωση τέταρτου βαθμού:
.
Ας υποθέσουμε ότι έχει τουλάχιστον μία ολόκληρη ρίζα. Τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 2 (μέλος χωρίς x). Δηλαδή, ολόκληρη η ρίζα μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς:
1, 2, -1, -2 .
Ας αντικαταστήσουμε το x = -1 :
.

Έτσι, βρήκαμε μια ρίζα x = -1 . Διαιρέστε με x - (-1) = x + 1:


Ετσι,
.

Τώρα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση τρίτου βαθμού:
.
Αν υποθέσουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει ακέραια ρίζα, τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 2 (μέλος χωρίς x). Δηλαδή, ολόκληρη η ρίζα μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς:
1, 2, -1, -2 .
Ας αντικαταστήσουμε το x = -1 :
.

Έτσι, βρήκαμε μια άλλη ρίζα x = -1 . Θα ήταν δυνατό, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, να διαιρέσουμε το πολυώνυμο με , αλλά θα ομαδοποιήσουμε τους όρους:
.

Δεδομένου ότι η εξίσωση x 2 + 2 = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε παίρνουμε την παραγοντοποίηση του παρονομαστή:
.

2. Ας αναλύσουμε το κλάσμα στην απλούστερη μορφή του. Αναζητούμε μια επέκταση στη μορφή:
.
Απαλλαγούμε από τον παρονομαστή του κλάσματος, πολλαπλασιάζουμε με (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Ας αντικαταστήσουμε το x = -1 . Τότε x + 1 = 0 ,
.

Ας διαφοροποιηθούμε (3.1) :

;

.
Ας αντικαταστήσουμε το x = -1 και λάβετε υπόψη ότι x + 1 = 0 :
;
; .

Ας αντικαταστήσουμε (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Ας εξισωθούν με (3.1) συντελεστές για x 3 :
;
1 = B + C;
.

Έτσι, βρήκαμε την αποσύνθεση σε απλά κλάσματα:
.

3. Ας ενσωματωθούμε.


.

Δείτε επίσης:

Το κλάσμα λέγεται σωστός, εάν ο υψηλότερος βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον υψηλότερο βαθμό του παρονομαστή. Το ολοκλήρωμα ενός ορθού ρητού κλάσματος έχει τη μορφή:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ο τύπος για την ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων εξαρτάται από τις ρίζες του πολυωνύμου στον παρονομαστή. Αν το πολυώνυμο $ax^2+bx+c $ έχει:

1. Μόνο σύνθετες ρίζες, τότε είναι απαραίτητο να εξαγάγετε ένα πλήρες τετράγωνο από αυτό: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Διαφορετικές πραγματικές ρίζες $ x_1 $ και $ x_2 $, τότε πρέπει να επεκτείνετε το ολοκλήρωμα και να βρείτε τους αόριστους συντελεστές $ A $ και $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Μία πολλαπλή ρίζα $ x_1 $, στη συνέχεια επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα και βρίσκουμε τους αόριστους συντελεστές $ A $ και $ B $ για τον ακόλουθο τύπο: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Αν το κλάσμα είναι λανθασμένος, δηλαδή, ο υψηλότερος βαθμός στον αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον υψηλότερο βαθμό του παρονομαστή, τότε πρώτα πρέπει να μειωθεί σε σωστόςσχηματίζουν διαιρώντας το πολυώνυμο από τον αριθμητή με το πολυώνυμο από τον παρονομαστή. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος για την ολοκλήρωση ενός ορθολογικού κλάσματος έχει τη μορφή:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1

Βρείτε το ολοκλήρωμα του ορθολογικού κλάσματος: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Λύση

Το κλάσμα είναι σωστό και το πολυώνυμο έχει μόνο μιγαδικές ρίζες. Επομένως, επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Διπλώνουμε ένα πλήρες τετράγωνο και το τοποθετούμε κάτω από το διαφορικό σύμβολο $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των ολοκληρωμάτων παίρνουμε: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. Θα δώσουμε λεπτομερή λύση. Θα μπορείτε να δείτε την πρόοδο του υπολογισμού και να λάβετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε τον βαθμό σας από τον δάσκαλό σας έγκαιρα!

Απάντηση

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Παράδειγμα 2

Εκτελέστε ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Λύση

Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Γράφουμε τις ρίζες: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Λαμβάνοντας υπόψη τις λαμβανόμενες ρίζες, μετατρέπουμε το ολοκλήρωμα: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Εκτελούμε την επέκταση ενός λογικού κλάσματος: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Εξισώνουμε τους αριθμητές και βρίσκουμε τους συντελεστές $ A $ και $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \αρχή(περιπτώσεις) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(περιπτώσεις) $$ $$ \αρχή (περιπτώσεις) Α = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end (περιπτώσεις) $$ Αντικαθιστούμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στο ολοκλήρωμα και το λύνουμε: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Απάντηση

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$