Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, trebate razumjeti koliko će tijesta utrošiti na pravljenje korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno da se napravi krov zamka od cigle?

Mjerenje bočne površine konusa jednostavno se ne može uraditi. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Rezultat je ravna figura, možemo pronaći njegovu površinu.

Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise

Uradimo isto sa konusom. Na primjer, "presećimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrise (vidi sliku 1).

Sada "odmotamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Centar ovog sektora je vrh stošca, polumjer sektora jednak je generatrisi stošca, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove stošca. Ovaj sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Rice. 2. Razvoj bočne površine

Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedemo notaciju: neka ugao na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo morati da se nosimo sa uglom na vrhu zahvata u problemima. Za sada, pokušajmo odgovoriti na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, zar se ne bi ispostavilo da bi se preklapanje sam po sebi preklopio? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Pustite da se skeniranje "superponira" samo po sebi. To znači da je dužina luka sweep veća od dužine kruga radijusa. Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je dužina kruga radijusa. A polumjer osnove stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generator , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. Imamo:

Konačno dobijamo: .

Uz bočnu površinu, može se naći i ukupna površina. Da biste to učinili, površina baze se mora dodati površini bočne površine. Ali baza je krug radijusa, čija je površina prema formuli jednaka .

Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatriksa.

Rešimo nekoliko zadataka koristeći date formule.

Rice. 4. Potreban ugao

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).

Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus

Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generator: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, znamo to .

Primjer 2. Aksijalna površina poprečnog presjeka konusa je jednaka , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).

Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, trebate razumjeti koliko će tijesta utrošiti na pravljenje korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno da se napravi krov zamka od cigle?

Mjerenje bočne površine konusa jednostavno se ne može uraditi. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Rezultat je ravna figura, možemo pronaći njegovu površinu.

Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise

Uradimo isto sa konusom. Na primjer, "presećimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrise (vidi sliku 1).

Sada "odmotamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Centar ovog sektora je vrh stošca, polumjer sektora jednak je generatrisi stošca, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove stošca. Ovaj sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Rice. 2. Razvoj bočne površine

Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedemo notaciju: neka ugao na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo morati da se nosimo sa uglom na vrhu zahvata u problemima. Za sada, pokušajmo odgovoriti na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, zar se ne bi ispostavilo da bi se preklapanje sam po sebi preklopio? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Pustite da se skeniranje "superponira" samo po sebi. To znači da je dužina luka sweep veća od dužine kruga radijusa. Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je dužina kruga radijusa. A polumjer osnove stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generator , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. Imamo:

Konačno dobijamo: .

Uz bočnu površinu, može se naći i ukupna površina. Da biste to učinili, površina baze se mora dodati površini bočne površine. Ali baza je krug radijusa, čija je površina prema formuli jednaka .

Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatriksa.

Rešimo nekoliko zadataka koristeći date formule.

Rice. 4. Potreban ugao

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).

Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus

Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generator: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, znamo to .

Primjer 2. Aksijalna površina poprečnog presjeka konusa je jednaka , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).

Površina konusa (ili jednostavno površina konusa) jednaka je zbroju površina baze i bočne površine.

Površina bočne površine konusa izračunava se po formuli: S = πR l, gdje je R polumjer osnove konusa, i l- formiranje konusa.

Budući da je površina osnove stošca jednaka πR 2 (kao površina kruga), površina ukupne površine stošca bit će jednaka: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Dobivanje formule za površinu bočne površine stošca može se objasniti sljedećim obrazloženjem. Neka crtež pokaže razvoj bočne površine konusa. Podijelimo luk AB na što više jednakih dijelova i povežimo sve tačke podjele sa središtem luka, a susjedne jedna s drugom tetivama.

Dobijamo niz jednakih trouglova. Površina svakog trougla je ah / 2 gdje A- dužina osnove trougla, a h- njegova visoka.

Zbir površina svih trouglova će biti: ah / 2 n = anh / 2 gdje n- broj trouglova.

Sa velikim brojem podjela, zbir površina trokuta postaje vrlo blizak području razvoja, odnosno površini bočne površine stošca. Zbir osnova trouglova, tj. an, postaje vrlo blizak dužini luka AB, tj. obodu osnove stošca. Visina svakog trougla postaje veoma bliska poluprečniku luka, tj. generatrisi konusa.

Zanemarujući manje razlike u veličinama ovih veličina, dobijamo formulu za površinu bočne površine stošca (S):

S=C l / 2, gdje je C obim osnove stošca, l- formiranje konusa.

Znajući da je C = 2πR, gdje je R polumjer kružnice osnove stošca, dobijamo: S = πR l.

Bilješka. U formuli S = C l / 2 postoji znak tačne, a ne približne jednakosti, iako bismo na osnovu gornjeg rezonovanja ovu jednakost mogli smatrati približnom. Ali u srednjoj školi je dokazana ta jednakost

S=C l / 2 je tačno, nije približno.

Teorema. Bočna površina stošca jednaka je proizvodu obima baze i polovine generatrise.

Upišimo neku pravilnu piramidu u konus (sl.) i označimo je slovima R I l brojevi koji izražavaju dužinu perimetra osnove i apotema ove piramide.

Tada će njegova bočna površina biti izražena umnoškom 1/2 R l .

Pretpostavimo sada da se broj stranica poligona upisanog u bazu povećava neograničeno. Zatim perimetar R težit će granici uzetoj kao dužina C obima baze i apoteme l imat će za granicu generatricu stošca (pošto ΔSAK slijedi da SA - SK
1 / 2 R l, težit će granici od 1/2 C L. Ova granica se uzima kao veličina bočne površine konusa. Označavajući bočnu površinu stošca slovom S, možemo napisati:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Posljedice.
1) Pošto je C = 2 π R, tada se bočna površina stošca izražava formulom:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) Dobijamo punu površinu stošca ako površini baze dodamo bočnu površinu; dakle, označavajući kompletnu površinu sa T, imaćemo:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Bočna površina krnjeg konusa jednaka je umnošku polovine zbira dužina kružnica baza i generatora.

Upišemo neku pravilnu skraćenu piramidu u krnji stožac (sl.) i označimo je slovima r, r 1 i l brojevi koji u identičnim linearnim jedinicama izražavaju dužine opsega donje i gornje osnove i apotema ove piramide.

Tada je bočna površina upisane piramide jednaka 1/2 ( p + p 1) l

Uz neograničeno povećanje broja bočnih strana upisane piramide, perimetri R I R 1 teži granicama uzetim kao dužine C i C 1 osnovnih kružnica, a apotema l ima za granicu generator L krnjeg konusa. Shodno tome, veličina bočne površine upisane piramide teži granici koja je jednaka (C + C 1) L. Ova granica se uzima kao veličina bočne površine krnjeg konusa. Označavajući bočnu površinu skraćenog konusa slovom S, imamo:

S = 1 / 2 (C + C 1) L

Posljedice.
1) Ako R i R 1 znače polumjere kružnica donje i gornje baze, tada će bočna površina skraćenog konusa biti:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Ako u trapezu OO 1 A 1 A (sl.), od čije rotacije se dobije skraćeni konus, povučemo srednju liniju BC, onda dobijamo:

BC = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

dakle,

S=2 π BC L,

tj. bočna površina krnjeg konusa jednaka je proizvodu obima srednjeg presjeka i generatrikse.

3) Ukupna površina T krnjeg konusa biće izražena na sljedeći način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Evo problema sa čunjevima, stanje se odnosi na njegovu površinu. Konkretno, u nekim problemima se postavlja pitanje promjene površine pri povećanju (smanjenju) visine stošca ili polumjera njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrimo sljedeće zadatke:

27135. Obim osnove stošca je 3, generator je 2. Nađite površinu bočne površine stošca.

Bočna površina stošca jednaka je:

Zamjena podataka:

75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatriksa poveća za 36 puta, a polumjer osnove ostane isti?

Bočna površina konusa:

Generator se povećava 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se obim baze nije promijenio.

To znači da će bočna površina modificiranog konusa imati oblik:

Tako će se povećati za 36 puta.

*Odnos je jednostavan, tako da se ovaj problem može lako riješiti usmeno.

27137. Koliko će se puta smanjiti površina bočne površine stošca ako se polumjer njegove osnove smanji za 1,5 puta?

Bočna površina stošca jednaka je:

Radijus se smanjuje za 1,5 puta, odnosno:

Utvrđeno je da se bočna površina smanjila za 1,5 puta.

27159. Visina stošca je 6, generatriksa je 10 Nađite površinu njegove ukupne površine podijeljenu sa Pi.

Puna površina konusa:

Morate pronaći radijus:

Visina i generatriksa su poznate, koristeći Pitagorinu teoremu izračunavamo radijus:

ovako:

Podijelite rezultat s Pi i zapišite odgovor.

76299. Ukupna površina stošca je 108. Odsjek je nacrtan paralelno s osnovom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu odsječenog konusa.

Presjek prolazi kroz sredinu visine paralelno s bazom. To znači da će polumjer osnove i generatriksa odsječenog konusa biti 2 puta manji od polumjera i generatrike originalnog konusa. Zapišimo površinu odsječenog konusa:

Otkrili smo da će to biti 4 puta manje od površine originala, odnosno 108:4 = 27.

*Budući da su originalni i odrezani konus slična tijela, bilo je moguće koristiti i svojstvo sličnosti:

27167. Poluprečnik osnove stošca je 3, a visina 4. Nađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s Pi.

Formula za ukupnu površinu stošca:

Radijus je poznat, potrebno je pronaći generatricu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

ovako:

Podijelite rezultat s Pi i zapišite odgovor.

Zadatak. Površina bočne površine stošca je četiri puta veća od površine baze. Odredite koliki je kosinus ugla između generatrise konusa i ravni baze.

Površina osnove stošca je:

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije:čas učenja novog gradiva koristeći elemente problemske razvojne nastavne metode.

Ciljevi lekcije:

• edukativni:
  • upoznavanje sa novim matematičkim konceptom;
  • formiranje novih centara za obuku;
  • formiranje praktičnih vještina rješavanja problema.
• razvijanje:
  • razvoj samostalnog mišljenja učenika;
  • razvoj pravilnih govornih vještina školaraca.
• edukativni:
  • razvijanje vještina timskog rada.

Oprema za nastavu: magnetna tabla, kompjuter, platno, multimedijalni projektor, konusni model, prezentacija lekcije, materijali.

Ciljevi časa (za učenike):

• upoznati se sa novim geometrijskim konceptom - konusom;
• izvući formulu za izračunavanje površine konusa;
• naučiti primijeniti stečeno znanje u rješavanju praktičnih zadataka.

Tokom nastave

Faza I. Organizacijski.

Predaja bilježnica sa domaćim testnim radom na obrađenu temu.

Učenici su pozvani da kroz rješavanje zagonetke saznaju temu predstojećeg časa (slajd 1):

Slika 1.

Najavljivanje teme i ciljeva časa učenicima (slajd 2).

Faza II. Objašnjenje novog materijala.

1) Predavanje nastavnika.

Na tabli je tablica sa slikom konusa. Novi materijal je objašnjen uz programski materijal “Stereometrija”. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika konusa. Nastavnik daje definiciju konusa i govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je konus tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trougla u odnosu na nogu. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika skeniranja bočne površine konusa. (slajd 6)

2) Praktični rad.

Ažuriranje osnovnih znanja: ponovite formule za izračunavanje površine kruga, površine sektora, dužine kruga, dužine luka kružnice. (slajdovi 7–10)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka grupa dobija skeniranu bočnu površinu konusa isečenog od papira (sektor kruga sa dodeljenim brojem). Učenici vrše potrebna mjerenja i izračunavaju površinu rezultirajućeg sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za izvođenje radova, pitanja - iskazi problema (slajdovi 11–14). Predstavnik svake grupe zapisuje rezultate proračuna u tabelu pripremljenu na tabli. Učesnici u svakoj grupi zalijepe jedan model konusa po uzorku koji imaju. (slajd 15)

3) Iskaz i rješenje problema.

Kako izračunati površinu bočne površine stošca ako su poznati samo polumjer baze i dužina generatrike stošca? (slajd 16)

Svaka grupa vrši potrebna mjerenja i pokušava da izvede formulu za izračunavanje potrebne površine koristeći dostupne podatke. Kada rade ovaj posao, školarci bi trebali primijetiti da je obim osnove konusa jednak dužini luka sektora - razvoju bočne površine ovog konusa. (slajdovi 17–21) Koristeći potrebne formule, izvodi se željena formula. Argumenti učenika bi trebali izgledati otprilike ovako:

Radijus zahvatanja sektora je jednak l, stepen mera luka – φ. Površina sektora se izračunava po formuli: dužina luka koji omeđuje ovaj sektor jednaka je polumjeru osnove stošca R. Dužina kruga koji leži u osnovi stošca je C = 2πR . Imajte na umu da pošto je površina bočne površine stošca jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada

Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se po formuli S BOD = πRl.

Nakon izračunavanja površine bočne površine konusnog modela pomoću formule koja je nezavisno izvedena, predstavnik svake grupe upisuje rezultat proračuna u tablicu na tabli u skladu s brojevima modela. Rezultati proračuna u svakoj liniji moraju biti jednaki. Na osnovu toga nastavnik utvrđuje tačnost zaključaka svake grupe. Tabela rezultata bi trebala izgledati ovako:

Parametri modela:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

Aproksimacija proračuna povezana je s greškama mjerenja.

Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje izlaz formula za površine bočnih i ukupnih površina konusa (slajdovi 22–26), učenici vode bilješke u sveskama.

Faza III. Konsolidacija proučenog materijala.

1) Studentima se nudi zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.

Pronađite površine potpunih površina čunjeva prikazanih na slikama (slajdovi 27–32).

2) Pitanje: Jesu li površine površina čunjeva koje nastaju rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Hipoteza se provjerava rješavanjem zadataka i zapisuje je učenik na tabli.

Dato:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

VAA", AVV" – tijela rotacije.

Pronađite: S PPK 1, S PPK 2.

Slika 5. (slajd 33)

Rješenje:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Ako je S PPK 1 = S PPK 2, onda a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Jer a, b, c – pozitivnim brojevima (dužine stranica trokuta), jednakost je istinita samo ako a =b.

zaključak: Površine dva konusa jednake su samo ako su stranice trokuta jednake. (slajd 34)

3) Rješavanje zadatka iz udžbenika: br. 565.

Faza IV. Sumiranje lekcije.

Zadaća: st. 55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)

Objava dodijeljenih ocjena.

Zaključci tokom lekcije, ponavljanje glavnih informacija dobijenih tokom lekcije.

Književnost (slajd 36)

1. Geometrija 10-11 - Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i dr., M., "Prosveshchenie", 2008.
2. "Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udalcova, biblioteka „Prvi septembar“, serija „MATEMATIKA“, broj 35, M., Čiste prude, 2010.