Prvi nivo
Rješavanje jednačina, nejednačina, sistema korištenjem grafova funkcija. Vizuelni vodič (2019)
Mnogi zadaci koje smo navikli da računamo isključivo algebarski mogu se riješiti mnogo lakše i brže korištenjem grafova funkcija. Kažete "kako?" nacrtati nešto, a šta nacrtati? Vjerujte mi, ponekad je to praktičnije i lakše. Hajde da počnemo? Počnimo s jednačinama!
Grafičko rješenje jednačina
Grafičko rješenje linearnih jednadžbi
Kao što već znate, graf linearne jednačine je prava linija, otuda i naziv ovog tipa. Linearne jednadžbe je prilično lako algebarski riješiti - sve nepoznanice prenosimo na jednu stranu jednačine, sve što znamo na drugu, i voila! Našli smo korijen. Sada ću vam pokazati kako se to radi grafički.
Dakle, imate jednačinu:
Kako to riješiti?
Opcija 1, a najčešći je premještanje nepoznatih na jednu stranu, a poznatih na drugu, dobijamo:
Sada gradimo. šta si dobio?
Šta mislite šta je korijen naše jednačine? Tako je, koordinate presečne tačke grafova su:
Naš odgovor je
To je sva mudrost grafičkog rješenja. Kao što možete lako provjeriti, korijen naše jednadžbe je broj!
Kao što sam već rekao, ovo je najčešća opcija, bliska algebarskom rješenju, ali je možete riješiti i na drugi način. Da bismo razmotrili alternativno rješenje, vratimo se našoj jednadžbi:
Ovaj put nećemo ništa pomicati s jedne strane na drugu, već ćemo direktno konstruirati grafove, jer oni sada postoje:
Izgrađen? da vidimo!
Koje je rješenje ovog puta? Tako je. Ista stvar - koordinate presječne točke grafova:
I, opet, naš odgovor je.
Kao što vidite, sa linearnim jednadžbama sve je krajnje jednostavno. Vrijeme je da pogledamo nešto složenije... Na primjer, grafičko rješenje kvadratnih jednačina.
Grafičko rješenje kvadratnih jednadžbi
Dakle, krenimo sada s rješavanjem kvadratne jednačine. Recimo da morate pronaći korijene ove jednadžbe:
Naravno, sada možete početi računati preko diskriminanta, ili prema Vietinoj teoremi, ali mnogi ljudi iz nervnog razloga griješe pri množenju ili kvadriranju, pogotovo ako je primjer s velikim brojevima, a, kao što znate, pobijedili ste nemam kalkulator za ispit... Zato pokušajmo da se malo opustimo i crtamo dok rješavamo ovu jednačinu.
Rješenja ove jednačine mogu se grafički pronaći na različite načine. Pogledajmo različite opcije, a vi možete odabrati koja vam se najviše sviđa.
Metoda 1. Direktno
Jednostavno gradimo parabolu koristeći ovu jednačinu:
Da biste to učinili brzo, dat ću vam jedan mali savjet: Pogodno je započeti konstrukciju određivanjem vrha parabole. Sljedeće formule pomoći će u određivanju koordinata vrha parabole:
Reći ćete „Stop! Formula za je vrlo slična formuli za pronalaženje diskriminanta,” da, jeste, a to je veliki nedostatak “direktne” konstrukcije parabole kako bi se pronašli njeni korijeni. Ipak, hajde da izbrojimo do kraja, a onda ću vam pokazati kako da to uradite mnogo (mnogo!) lakše!
Jeste li brojali? Koje koordinate ste dobili za vrh parabole? Hajde da to zajedno shvatimo:
Potpuno isti odgovor? Dobro urađeno! I sada već znamo koordinate vrha, ali za konstruiranje parabole potrebno nam je više... tačaka. Šta mislite, koliko minimalnih bodova nam treba? U redu, .
Znate da je parabola simetrična oko svog vrha, na primjer:
U skladu s tim, potrebne su nam još dvije točke na lijevoj ili desnoj grani parabole, a u budućnosti ćemo te točke simetrično odražavati na suprotnoj strani:
Vratimo se našoj paraboli. Za naš slučaj, tačka. Trebaju nam još dva boda, pa možemo uzeti pozitivne ili negativne? Koje tačke su vam najpogodnije? Meni je zgodnije da radim sa pozitivnim, pa ću izračunati na i.
Sada imamo tri tačke, možemo lako konstruisati našu parabolu reflektujući poslednje dve tačke u odnosu na njen vrh:
Šta mislite šta je rješenje jednačine? Tako je, tačke u kojima, to jest, i. Jer.
A ako to kažemo, to znači da i ona mora biti jednaka, ili.
Samo? Završili smo rješavanje jednadžbe s vama na složen grafički način, ili će ih biti još!
Naravno, možete provjeriti naš odgovor algebarski - možete izračunati korijene pomoću Vietine teoreme ili diskriminanta. šta si dobio? Isto? Evo vidiš! Pogledajmo sada jedno vrlo jednostavno grafičko rješenje, siguran sam da će vam se jako svidjeti!
Metoda 2. Podijeljeno na nekoliko funkcija
Uzmimo našu istu jednačinu: , ali ćemo je napisati malo drugačije, naime:
Možemo li to ovako napisati? Možemo, pošto je transformacija ekvivalentna. Pogledajmo dalje.
Konstruirajmo dvije funkcije odvojeno:
- - graf je jednostavna parabola, koju možete lako konstruirati čak i bez definiranja vrha koristeći formule i crtanje tablice za određivanje drugih tačaka.
- - graf je ravna linija, koju možete isto tako lako konstruirati procjenom vrijednosti u svojoj glavi, čak i bez pribjegavanja kalkulatoru.
Izgrađen? Hajde da uporedimo sa onim što sam dobio:
Šta mislite koji su korijeni jednadžbe u ovom slučaju? Tačno! Koordinate dobivene presjekom dva grafika, odnosno:
Prema tome, rješenje ove jednačine je:
Šta kažeš? Slažem se, ova metoda rješenja je mnogo lakša od prethodne, pa čak i lakša od traženja korijena kroz diskriminator! Ako je tako, pokušajte riješiti sljedeću jednačinu koristeći ovu metodu:
šta si dobio? Uporedimo naše grafikone:
Grafikoni pokazuju da su odgovori:
Jeste li uspjeli? Dobro urađeno! Pogledajmo sada malo složenije jednadžbe, odnosno rješavanje mješovitih jednadžbi, odnosno jednadžbi koje sadrže funkcije različitih tipova.
Grafičko rješenje mješovitih jednačina
Sada pokušajmo riješiti sljedeće:
Naravno, možete sve dovesti do zajedničkog nazivnika, pronaći korijene rezultirajuće jednadžbe, a da ne zaboravite uzeti u obzir ODZ, ali opet ćemo pokušati to riješiti grafički, kao što smo radili u svim prethodnim slučajevima.
Ovaj put napravimo sljedeća 2 grafikona:
- - graf je hiperbola
- - grafik je ravna linija, koju možete lako konstruirati procjenom vrijednosti u svojoj glavi, čak i bez pribjegavanja kalkulatoru.
Shvatili ste? Sada počnite da gradite.
Evo šta sam dobio:
Gledajući ovu sliku, recite mi koji su korijeni naše jednačine?
Tako je i. Evo potvrde:
Pokušajte ubaciti naše korijene u jednadžbu. Desilo se?
Tako je! Slažem se, grafičko rješavanje takvih jednačina je zadovoljstvo!
Pokušajte sami grafički riješiti jednačinu:
Dat ću vam savjet: pomaknite dio jednadžbe na desnu stranu tako da najjednostavnije funkcije za konstruiranje budu na obje strane. Jeste li shvatili nagoveštaj? Poduzmite akciju!
Sada da vidimo šta ste dobili:
odnosno:
- - kubna parabola.
- - obična prava linija.
Pa, napravimo:
Kao što ste davno napisali, korijen ove jednačine je - .
Nakon što ste radili kroz tako veliki broj primjera, siguran sam da ste shvatili koliko je jednostavno i brzo grafički riješiti jednadžbe. Vrijeme je da shvatimo kako riješiti sisteme na ovaj način.
Grafičko rješenje sistema
Grafičko rješavanje sistema se u suštini ne razlikuje od grafičkog rješavanja jednačina. Napravićemo i dva grafika, a njihove presečne tačke će biti koreni ovog sistema. Jedan graf je jedna jednačina, drugi graf je druga jednačina. Sve je krajnje jednostavno!
Počnimo od najjednostavnije stvari - rješavanja sistema linearnih jednadžbi.
Rješavanje sistema linearnih jednačina
Recimo da imamo sledeći sistem:
Prvo, transformirajmo ga tako da na lijevoj strani bude sve što je povezano, a na desnoj strani - sve što je povezano. Drugim riječima, zapišimo ove jednadžbe kao funkciju u našem uobičajenom obliku:
Sada samo gradimo dvije ravne linije. Koje je rješenje u našem slučaju? Tačno! Tačka njihovog ukrštanja! I ovde treba da budete veoma, veoma oprezni! Razmislite o tome, zašto? Dozvolite mi da vam dam nagoveštaj: mi imamo posla sa sistemom: u sistemu postoji i jedno i drugo, i... Razumete?
Tako je! Prilikom rješavanja sistema moramo gledati na obje koordinate, a ne samo kao kod rješavanja jednačina! Još jedna važna stvar je da ih ispravno zapišemo i da ne brkamo gdje imamo značenje i gdje je značenje! Jeste li to zapisali? Sada uporedimo sve po redu:
I odgovori: i. Uradite provjeru - zamijenite pronađene korijene u sistem i uvjerite se da li smo ga grafički riješili ispravno?
Rješavanje sistema nelinearnih jednačina
Šta ako, umjesto jedne prave, imamo kvadratnu jednačinu? Uredu je! Vi samo gradite parabolu umjesto prave linije! Ne vjerujem? Pokušajte riješiti sljedeći sistem:
Šta je naš sljedeći korak? Tako je, zapišite to kako bi nam bilo zgodno da gradimo grafikone:
A sada je sve stvar malih stvari - brzo ga napravite i evo vašeg rješenja! Gradimo:
Da li su grafikoni ispali isti? Sada označite rješenja sistema na slici i tačno zapišite utvrđene odgovore!
Sve sam uradio? Uporedite sa mojim beleškama:
Je li sve u redu? Dobro urađeno! Ove vrste zadataka već rješavate kao orasi! Ako je tako, hajde da vam damo komplikovaniji sistem:
Šta mi radimo? Tačno! Pišemo sistem tako da je pogodan za izgradnju:
Daću vam mali nagoveštaj, pošto sistem izgleda veoma komplikovano! Kada konstruišete grafove, gradite ih „više“, i što je najvažnije, nemojte biti iznenađeni brojem presečnih tačaka.
Dakle, idemo! Izdahnuo? Sada počnite da gradite!
Pa kako? Beautiful? Koliko ste raskrsnica dobili? Imam tri! Uporedimo naše grafikone:
Također? Sada pažljivo zapišite sva rješenja našeg sistema:
Sada ponovo pogledajte sistem:
Možete li zamisliti da ste ovo riješili za samo 15 minuta? Slažete se, matematika je i dalje jednostavna, pogotovo kada gledate izraz ne bojite se pogriješiti, već samo uzmite i riješite! Ti si veliki momak!
Grafičko rješenje nejednačina
Grafičko rješenje linearnih nejednačina
Nakon posljednjeg primjera, možete sve! Sada izdahnite - u poređenju sa prethodnim odeljcima, ovaj će biti veoma, veoma lak!
Počećemo, kao i obično, sa grafičkim rešenjem linearne nejednakosti. Na primjer, ovaj:
Prvo, izvršimo najjednostavnije transformacije - otvorimo zagrade savršenih kvadrata i predstavimo slične pojmove:
Nejednakost nije striktna, stoga nije uključena u interval, a rješenje će biti sve tačke koje su desno, od više, više i tako dalje:
odgovor:
To je sve! Lako? Riješimo jednostavnu nejednakost s dvije varijable:
Nacrtajmo funkciju u koordinatnom sistemu.
Jeste li dobili takav raspored? Pogledajmo sada pažljivo kakvu tu nejednakost imamo? Manje? To znači da farbamo preko svega što je lijevo od naše prave linije. Šta ako ih ima više? Tako je, onda bismo slikali preko svega što je desno od naše prave linije. To je jednostavno.
Sva rješenja ove nejednakosti osjenčana su narančastom bojom. To je to, nejednakost sa dvije varijable je riješena. To znači da su koordinate bilo koje tačke iz zasjenjenog područja rješenja.
Grafičko rješenje kvadratnih nejednačina
Sada ćemo razumjeti kako grafički riješiti kvadratne nejednačine.
Ali prije nego što pređemo na posao, pogledajmo neki materijal u vezi s kvadratnom funkcijom.
Za šta je odgovoran diskriminant? Tako je, za položaj grafa u odnosu na osu (ako se ne sjećate ovoga, onda svakako pročitajte teoriju o kvadratnim funkcijama).
U svakom slučaju, evo malog podsjetnika za vas:
Sada kada smo osvježili sav materijal u sjećanju, pređimo na posao – grafički riješimo nejednačinu.
Odmah ću vam reći da postoje dvije opcije za rješavanje.
Opcija 1
Zapisujemo našu parabolu kao funkciju:
Koristeći formule, određujemo koordinate vrha parabole (potpuno isto kao i kod rješavanja kvadratnih jednadžbi):
Jeste li brojali? šta si dobio?
Sada uzmimo još dvije različite točke i izračunajmo za njih:
Počnimo da gradimo jednu granu parabole:
Mi simetrično odražavamo naše tačke na drugu granu parabole:
Vratimo se sada našoj nejednakosti.
Trebamo da bude manji od nule, odnosno:
Budući da je u našoj nejednakosti znak striktno manji od, isključujemo krajnje tačke - „izbijanje“.
odgovor:
Dug put, zar ne? Sada ću vam pokazati jednostavniju verziju grafičkog rješenja koristeći primjer iste nejednakosti:
Opcija 2
Vraćamo se na našu nejednakost i označavamo intervale koji su nam potrebni:
Slažem se, mnogo je brže.
Zapišimo sada odgovor:
Razmotrimo još jedno rješenje koje pojednostavljuje algebarski dio, ali glavna stvar je da se ne zbunite.
Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:
Pokušajte sami riješiti sljedeću kvadratnu nejednakost na bilo koji način: .
Jeste li uspjeli?
Pogledajte kako je ispao moj grafikon:
odgovor: .
Grafičko rješenje mješovitih nejednačina
Sada pređimo na složenije nejednakosti!
kako vam se sviđa ovo:
Jezivo je, zar ne? Iskreno, nemam pojma kako to algebarski riješiti... Ali nije neophodno. Grafički u tome nema ništa komplikovano! Oči se boje, ali ruke rade!
Prva stvar s kojom ćemo početi je konstruiranjem dva grafikona:
Neću pisati tabelu za svaku od njih - siguran sam da to možete sami napraviti savršeno (vau, ima toliko primjera za rješavanje!).
Jeste li ga ofarbali? Sada napravite dva grafikona.
Hajde da uporedimo naše crteže?
Je li tako i sa vama? Odlično! Sada uredimo točke presjeka i koristimo boju da odredimo koji graf bismo trebali imati veći u teoriji, tj. Pogledajte šta se desilo na kraju:
Sada pogledajmo gdje je naš odabrani graf viši od grafa? Slobodno uzmite olovku i obojite ovo područje! Ona će biti rješenje naše kompleksne nejednakosti!
U kojim intervalima duž ose se nalazimo više od? U redu, . Ovo je odgovor!
Pa, sada se možete nositi sa bilo kojom jednačinom, bilo kojim sistemom, a još više sa bilo kojom nejednakošću!
UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
Algoritam za rješavanje jednadžbi pomoću grafova funkcija:
- Hajde da to izrazimo kroz
- Definirajmo tip funkcije
- Napravimo grafove rezultirajućih funkcija
- Nađimo tačke preseka grafova
- Napišimo tačno odgovor (uzimajući u obzir znake ODZ i nejednakosti)
- Provjerimo odgovor (zamijenimo korijene u jednadžbu ili sistem)
Za više informacija o konstruisanju grafova funkcija pogledajte temu “”.
Jednačine s parametrima s pravom se smatraju jednim od najtežih problema u školskoj matematici. Upravo ti zadaci iz godine u godinu završavaju na listi zadataka tipa B i C na jedinstvenom državnom ispitu Jedinstvenog državnog ispita. Međutim, među velikim brojem jednačina s parametrima, postoje one koje se lako mogu riješiti grafički. Razmotrimo ovu metodu na primjeru rješavanja nekoliko problema.
Pronađite zbroj cjelobrojnih vrijednosti broja a za koji je jednadžba |x 2 – 2x – 3| = a ima četiri korijena.
Rješenje.
Da bismo odgovorili na pitanje problema, napravimo grafove funkcija na jednoj koordinatnoj ravni
y = |x 2 – 2x – 3| i y = a.
Grafikon prve funkcije y = |x 2 – 2x – 3| dobiće se iz grafika parabole y = x 2 – 2x – 3 simetričnim prikazom u odnosu na x-osu onaj dio grafika koji je ispod Ox-ose. Dio grafikona koji se nalazi iznad x-ose ostat će nepromijenjen.
Uradimo to korak po korak. Graf funkcije y = x 2 – 2x – 3 je parabola čiji su ogranci usmjereni prema gore. Da bismo izgradili njegov graf, nalazimo koordinate vrha. Ovo se može uraditi pomoću formule x 0 = -b/2a. Dakle, x 0 = 2/2 = 1. Da bismo pronašli koordinatu vrha parabole duž ordinatne ose, zamenimo rezultujuću vrednost za x 0 u jednadžbu dotične funkcije. Dobijamo da je y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. To znači da vrh parabole ima koordinate (1; -4).
Zatim morate pronaći točke presjeka grana parabole s koordinatnim osama. U tačkama preseka grana parabole sa apscisnom osom, vrednost funkcije je nula. Stoga rješavamo kvadratnu jednačinu x 2 – 2x – 3 = 0. Njeni korijeni će biti tražene tačke. Prema Vietinoj teoremi imamo x 1 = -1, x 2 = 3.
U tačkama preseka grana parabole sa ordinatnom osom, vrednost argumenta je nula. Dakle, tačka y = -3 je tačka preseka grana parabole sa y-osom. Dobijeni grafikon je prikazan na slici 1.
Da bismo dobili grafik funkcije y = |x 2 – 2x – 3|, prikažimo dio grafika koji se nalazi ispod apscise simetrično u odnosu na osu x. Dobijeni grafikon je prikazan na slici 2.
Grafikon funkcije y = a je prava paralelna sa apscisnom osom. To je prikazano na slici 3. Koristeći sliku, nalazimo da grafovi imaju četiri zajedničke tačke (i jednačina ima četiri korijena) ako a pripada intervalu (0; 4).
Cjelobrojne vrijednosti broja a iz rezultirajućeg intervala: 1; 2; 3. Da odgovorimo na pitanje zadatka, pronađimo zbir ovih brojeva: 1 + 2 + 3 = 6.
Odgovor: 6.
Pronađite aritmetičku sredinu cjelobrojnih vrijednosti broja a za koje je jednadžba |x 2 – 4|x| – 1| = a ima šest korijena.
Počnimo crtanjem funkcije y = |x 2 – 4|x| – 1|. Da bismo to učinili, koristimo jednakost a 2 = |a| 2 i odaberite cijeli kvadrat u submodularnom izrazu napisanom na desnoj strani funkcije:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.
Tada će originalna funkcija imati oblik y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
Da bismo konstruirali graf ove funkcije, konstruiramo sekvencijalne grafove funkcija:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabola sa vrhom u tački sa koordinatama (2; -5); (Sl. 1).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – dio parabole konstruisan u koraku 1, koji se nalazi desno od ordinatne ose, simetrično je prikazan lijevo od ose Oy; (Sl. 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – dio grafika konstruisan u tački 2, koji se nalazi ispod x-ose, prikazuje se simetrično u odnosu na x-osu prema gore. (Sl. 3).
Pogledajmo rezultirajuće crteže:
Grafikon funkcije y = a je prava paralelna sa apscisnom osom.
Koristeći sliku, zaključujemo da grafovi funkcija imaju šest zajedničkih tačaka (jednačina ima šest korijena) ako a pripada intervalu (1; 5).
To se može vidjeti na sljedećoj slici:
Nađimo aritmetičku sredinu cjelobrojnih vrijednosti parametra a:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Odgovor: 3.
blog.site, prilikom kopiranja materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe Ojačati sposobnost građenja grafova različitih funkcija; Razvijati sposobnost grafičkog rješavanja kvadratnih jednadžbi. Brdsk 2009 Opštinska obrazovna ustanova - Ekonomski licej Opšti čas na temu „Kvadratna funkcija“, nastavnica algebre 8. razreda Fedoseeva T.M.
Crtanje grafika kvadratne funkcije Odredite smjer grananja: a>0 grana se prema gore; a 0 grana gore; a"> 0 grana gore; a"> 0 grana gore; a" title="Grafikon kvadratne funkcije Odredite smjer grananja: a>0 grana prema gore; a"> title="Crtanje grafika kvadratne funkcije Odredite smjer grananja: a>0 grana se prema gore; a"> !}
0 grana su usmjerene prema gore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke: (0: -3), (3; 0) i simetrične prema njima u odnosu na x os = 1 Konstruiramo parabolu. Find the point" title=" Napravimo graf funkcije y=x 2 -2x-3 koristeći algoritam: 1) a=1>0 grana su usmjerene prema gore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke: (0: -3), (3; 0) i simetrične prema njima u odnosu na x os = 1 Konstruiramo parabolu. Pronalaženje tačke" class="link_thumb"> 3 !} Napravimo graf funkcije y=x 2 -2x-3 koristeći algoritam: 1) a=1>0 grana su usmjerene prema gore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke: (0: -3), (3; 0) i simetrične prema njima u odnosu na x os = 1 Konstruiramo parabolu. Nalazimo tačke preseka sa OX osom: x 1 = -1; x 2 =3 1 način za rješavanje jednačine x 2 -2x-3=0 y x Riješiti jednačinu x 2 +2x-3=0 0 grana su usmjerene prema gore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke: (0: -3), (3; 0) i simetrične prema njima u odnosu na x os = 1 Konstruiramo parabolu. Nalazimo tačku "> 0, grane su usmerene nagore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke : (0: -3) , (3; 0) i simetrično u odnosu na osu = 1 Konstruišemo parabolu x 2 +2x-3=0"> 0 grana su usmjerene prema gore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke: (0: -3), (3; 0) i simetrične prema njima u odnosu na x os = 1 Konstruiramo parabolu. Find the point" title=" Napravimo graf funkcije y=x 2 -2x-3 koristeći algoritam: 1) a=1>0 grana su usmjerene prema gore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke: (0: -3), (3; 0) i simetrične prema njima u odnosu na x os = 1 Konstruiramo parabolu. Pronalaženje tačke"> title="Napravimo graf funkcije y=x 2 -2x-3 koristeći algoritam: 1) a=1>0 grana su usmjerene prema gore; 2) vrh y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – osa parabole Kontrolne tačke: (0: -3), (3; 0) i simetrične prema njima u odnosu na x os = 1 Konstruiramo parabolu. Pronalaženje tačke"> !}
Drugi metod: a). Jednačinu x 2 -2x-3=0 podijelit ćemo na dijelove x 2 = 2x+3 Napisaćemo dvije funkcije y= x 2; y=2x+3 Gradimo grafove ovih funkcija u jednom koordinatnom sistemu. Apscise presječnih tačaka su korijeni jednadžbe. 0 1 x y Riješite jednačinu x 2 +2x-3=0
Treći metod: x 2 -3 = 2x y = x 2 -3; y=2x Gradimo grafove ovih funkcija u jednom koordinatnom sistemu. Apscise presječnih tačaka su korijeni jednadžbe. 0 1 x y Riješite jednačinu x 2 +2x-3=0
Jedan od načina rješavanja jednačina je grafički. Zasniva se na konstruisanju grafova funkcija i određivanju njihovih presečnih tačaka. Razmotrimo grafičku metodu za rješavanje kvadratne jednačine a*x^2+b*x+c=0.
Prvo rješenje
Hajde da transformišemo jednačinu a*x^2+b*x+c=0 u oblik a*x^2 =-b*x-c. Gradimo grafove dvije funkcije y= a*x^2 (parabola) i y=-b*x-c (prava). Tražimo raskrsnice. Apscise presječnih tačaka će biti rješenje jednačine.
Pokažimo na primjeru: riješiti jednačinu x^2-2*x-3=0.
Hajde da ga transformišemo u x^2 =2*x+3. Konstruišemo grafove funkcija y= x^2 i y=2*x+3 u jednom koordinatnom sistemu.
Grafovi se sijeku u dvije tačke. Njihove apscise će biti korijeni naše jednadžbe.
Rješenje po formuli
Da bismo bili uvjerljiviji, hajde da analitički provjerimo ovo rješenje. Rešimo kvadratnu jednačinu koristeći formulu:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
znači, rješenja su ista.
Grafička metoda rješavanja jednačina također ima svoj nedostatak uz pomoć nje nije uvijek moguće dobiti tačno rješenje jednačine. Pokušajmo riješiti jednačinu x^2=3+x.
Konstruirajmo parabolu y=x^2 i pravu liniju y=3+x u jednom koordinatnom sistemu.
Opet smo dobili sličan crtež. Prava linija i parabola seku se u dve tačke. Ali ne možemo reći tačne vrijednosti apscisa ovih tačaka, samo približne: x≈-1,3 x≈2,3.
Ako smo zadovoljni odgovorima takve tačnosti, onda možemo koristiti ovu metodu, ali to se rijetko događa. Obično su potrebna tačna rješenja. Stoga se grafička metoda rijetko koristi, i to uglavnom za provjeru postojećih rješenja.
Trebate pomoć oko studija?
Prethodna tema:
Grafičko rješenje jednačina
Heyday, 2009
Uvod
Potreba za rješavanjem kvadratnih jednačina u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišta i sa vojnim iskopavanjima, kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Babilonci su bili u stanju da reše kvadratne jednačine oko 2000. godine pre nove ere. Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa modernim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila.
Formule za rješavanje kvadratnih jednačina u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama.
Ali opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina, sa svim mogućim kombinacijama koeficijenata b i c, formulisao je u Evropi tek 1544. godine M. Stiefel.
Godine 1591 Francois Viet uvedene formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi.
U starom Babilonu su mogli riješiti neke vrste kvadratnih jednačina.
Diofant Aleksandrijski I Euclid , Al-Khwarizmi I Omar Khayyam rješavanje jednadžbi geometrijskim i grafičkim metodama.
U 7. razredu smo učili funkcije y = C, y = kx , y = kx + m , y = x 2 ,y = – x 2 , u 8. razredu - y = √ x , y = |x |, y = sjekira 2 + bx + c , y = k / x. U udžbeniku algebre za 9. razred vidio sam funkcije koje mi još nisu bile poznate: y = x 3 , y = x 4 ,y = x 2n, y = x - 2n, y = 3 √x , ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 i drugi. Postoje pravila za konstruisanje grafova ovih funkcija. Pitao sam se da li postoje druge funkcije koje poštuju ova pravila.
Moj posao je proučavanje grafova funkcija i grafički rješavanje jednadžbi.
1. Koje su funkcije?
Graf funkcije je skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednostima argumenata, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.
Linearna funkcija je data jednadžbom y = kx + b, Gdje k I b- neki brojevi. Grafikon ove funkcije je prava linija.
Inverzna proporcionalna funkcija y = k / x, gdje je k¹ 0. Graf ove funkcije naziva se hiperbola.
Funkcija ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 , Gdje A , b I r- neki brojevi. Graf ove funkcije je kružnica polumjera r sa centrom u tački A ( A , b).
Kvadratna funkcija y = sjekira 2 + bx + c Gdje A, b , With– neki brojevi i A¹ 0. Grafikon ove funkcije je parabola.
Jednačina y 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Grafikon ove jednačine će biti kriva koja se zove strofoid.
Jednačina ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . Graf ove jednačine naziva se Bernulijeva lemniskata.Jednačina. Graf ove jednadžbe naziva se astroid.
Curve (x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2). Ova kriva se naziva kardioida.
Funkcije: y = x 3 – kubna parabola, y = x 4 , y = 1/ x 2 .
2. Pojam jednadžbe i njeno grafičko rješenje
Jednačina– izraz koji sadrži varijablu.
Riješite jednačinu- to znači pronaći sve njegove korijene, ili dokazati da oni ne postoje.
Korijen jednadžbe je broj koji, kada se zameni u jednačinu, daje tačnu numeričku jednakost.
Grafičko rješavanje jednačina omogućava vam da pronađete tačnu ili približnu vrijednost korijena, omogućava vam da pronađete broj korijena jednadžbe.
Prilikom konstruiranja grafova i rješavanja jednadžbi koriste se svojstva funkcije, zbog čega se metoda često naziva funkcionalno-grafičkom.
Da bismo riješili jednačinu, "podijelimo" je na dva dijela, uvedemo dvije funkcije, izgradimo njihove grafove i pronađemo koordinate tačaka presjeka grafova. Apscise ovih tačaka su korijeni jednadžbe.
3. Algoritam za crtanje grafa funkcije
Poznavanje grafa funkcije y = f ( x ) , možete graditi grafove funkcija y = f ( x + m ) ,y = f ( x )+ l I y = f ( x + m )+ l. Svi ovi grafovi se dobijaju iz grafa funkcije y = f ( x ) koristeći paralelnu transformaciju prijenosa: to │ m │ jedinice skale desno ili lijevo duž x-ose i dalje │ l │ jedinice razmjera gore ili dolje duž ose y .
4. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe
Koristeći kvadratnu funkciju kao primjer, razmotrit ćemo grafičko rješenje kvadratne jednadžbe. Graf kvadratne funkcije je parabola.
Šta su stari Grci znali o paraboli?
Savremeni matematički simbolizam nastao je u 16. veku.
Drevni grčki matematičari nisu imali ni koordinatnu metodu ni koncept funkcije. Ipak, detaljno su proučavali svojstva parabole. Genijalnost drevnih matematičara je jednostavno nevjerojatna - na kraju krajeva, mogli su koristiti samo crteže i verbalne opise zavisnosti.
Najpotpunije je istražio parabolu, hiperbolu i elipsu Apolonije iz Perge, koji je živio u 3. vijeku prije nove ere. On je tim krivuljama dao imena i pokazao koje uslove ispunjavaju tačke koje leže na ovoj ili onoj krivulji (na kraju krajeva, nije bilo formula!).
Postoji algoritam za konstruisanje parabole:
Pronađite koordinate vrha parabole A (x 0 ; y 0): x 0 =- b /2 a ;
Y 0 = ax o 2 + in 0 + c;
Naći os simetrije parabole (prava x = x 0);
Sastavljamo tablicu vrijednosti za izgradnju kontrolnih tačaka;
Konstruišemo rezultirajuće tačke i konstruišemo tačke koje su im simetrične u odnosu na os simetrije.
1. Koristeći algoritam, konstruisaćemo parabolu y = x 2 – 2 x – 3 . Apscise tačaka preseka sa osom x i postoje korijeni kvadratne jednadžbe x 2 – 2 x – 3 = 0.
Postoji pet načina da se ova jednačina riješi grafički.
2. Podijelimo jednačinu na dvije funkcije: y = x 2 I y = 2 x + 3
3. Podijelimo jednačinu na dvije funkcije: y = x 2 –3 I y =2 x. Korijeni jednadžbe su apscise tačaka presjeka parabole i prave.
4. Transformirajte jednačinu x 2 – 2 x – 3 = 0 izolacijom kompletnog kvadrata u funkcije: y = ( x –1) 2 I y =4. Korijeni jednadžbe su apscise tačaka presjeka parabole i prave.
5. Podijelite obje strane člana jednačine po članu x 2 – 2 x – 3 = 0 on x, dobijamo x – 2 – 3/ x = 0 , podijelimo ovu jednačinu na dvije funkcije: y = x – 2, y = 3/ x . Korijeni jednadžbe su apscise tačaka presjeka prave i hiperbole.
5. Grafičko rješenje stepenskih jednačina n
Primjer 1. Riješite jednačinu x 5 = 3 – 2 x .
y = x 5 , y = 3 – 2 x .
odgovor: x = 1.
Primjer 2. Riješite jednačinu 3 √ x = 10 – x .
Korijeni ove jednadžbe su apscisa točke presjeka grafova dvije funkcije: y = 3 √ x , y = 10 – x .
odgovor: x = 8.
Zaključak
Nakon što smo pogledali grafikone funkcija: y = sjekira 2 + bx + c , y = k / x , u = √ x , y = |x |, y = x 3 , y = x 4 ,y = 3 √x , Primijetio sam da su svi ovi grafovi građeni po pravilu paralelnog prevođenja u odnosu na osi x I y .
Na primjeru rješavanja kvadratne jednačine možemo zaključiti da je grafička metoda primjenjiva i za jednačine stepena n.
Grafičke metode za rješavanje jednačina su lijepe i razumljive, ali ne daju 100% garanciju rješavanja bilo koje jednačine. Apscise presječnih tačaka grafova mogu biti približne.
U 9. razredu i srednjoj školi nastaviću da se upoznajem sa ostalim funkcijama. Zanima me da li se te funkcije pridržavaju pravila paralelnog prijenosa prilikom konstruiranja svojih grafova.
Iduće godine bih takođe želeo da razmotrim pitanja grafičkog rešavanja sistema jednačina i nejednačina.
Književnost
1. Algebra. 7. razred. Dio 1. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
2. Algebra. 8. razred. Dio 1. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
3. Algebra. 9. razred. Dio 1. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
4. Glazer G.I. Istorija matematike u školi. VII–VIII razredi. – M.: Obrazovanje, 1982.
5. Časopis Matematika br. 5 2009; br. 8 2007; br. 23 2008.
6. Web stranice za grafičko rješenje jednačina na Internetu: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; stranica 3–6.htm.
