Vidjeli smo da derivat ima brojne namjene: izvod je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); derivacija je nagib tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju monotonosti i ekstrema; derivat pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali u stvarnom životu moramo rješavati i inverzne probleme: na primjer, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, susrećemo se i s problemom vraćanja zakona kretanja prema poznatoj brzini. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, njena brzina u trenutku t je data formulom u = tg. Pronađite zakon kretanja.

Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = u"(t). To znači da za rješavanje problema morate odabrati funkcija s = s(t), čiji je izvod jednak tg. Nije teško to pogoditi

Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Otkrili smo da, zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koju funkciju oblika proizvoljna konstanta može poslužiti kao zakon kretanja, jer

Da bismo zadatak učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku, na primjer, u t=0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakosti dobijamo s(0) = 0 + C, tj. S 0 = C. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan:
U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena i izmišljaju se posebne oznake: na primjer, kvadriranje (x 2) i uzimanje kvadratnog korijena sinusa (sinh) i arcsine(arcsin x) itd. Proces nalaženja derivacije date funkcije naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, tj. proces nalaženja funkcije iz date derivacije - integracija.
Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnom životu“: funkcija y - f(x) „rađa“ novu funkciju y"= f"(x) kao funkcija y = f(x). “roditelj” , ali matematičari ga, naravno, ne zovu “roditelj” ili “proizvođač” oni kažu da je ovo, u odnosu na funkciju y"=f"(x), primarna slika, ili, in ukratko, antiderivativ.

Definicija 1. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na datom intervalu X ako za sve x iz X vrijedi jednakost F"(x)=f(x).

U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).

Evo nekoliko primjera:

1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer je za sve x tačna jednakost (x 2)" = 2x.
2) funkcija y - x 3 je antiderivativna za funkciju y-3x 2, jer je za sve x tačna jednakost (x 3)" = 3x 2.
3) Funkcija y-sinh je antiderivativna za funkciju y = cosx, jer je za sve x tačna jednakost (sinx)" = cosx.
4) Funkcija je antiderivativna za funkciju na intervalu jer je za sve x > 0 jednakost tačna
Općenito, poznavajući formule za pronalaženje derivata, nije teško sastaviti tablicu formula za pronalaženje antiderivata.

Nadamo se da razumete kako je ova tabela sastavljena: derivacija funkcije, koja je napisana u drugom stupcu, jednaka je funkciji koja je napisana u odgovarajućem redu prve kolone (provjerite, ne budite lijeni, veoma je korisno). Na primjer, za funkciju y = x 5 antiderivat je, kao što ćete ustanoviti, funkcija (pogledajte četvrti red tabele).

napomene: 1. U nastavku ćemo dokazati teoremu da ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x ) + C. Stoga bi bilo ispravnije dodati pojam C svuda u drugom stupcu tabele, gdje je C proizvoljan realan broj.
2. Radi kratkoće, ponekad umjesto fraze „funkcija y = F(x) je antiderivat funkcije y = f(x)“, kažu da je F(x) antiderivat od f(x) .”

2. Pravila za pronalaženje antiderivata

Pri pronalaženju antiderivata, kao i pri pronalaženju izvoda, ne koriste se samo formule (navedene su u tabeli na str. 196), već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.

Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.

Skrećemo vam pažnju na donekle „lakoću“ ove formulacije. U stvari, treba formulirati teoremu: ako funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju antiderivate na intervalu X, odnosno y-F(x) i y-G(x), tada je zbir funkcija y = f(x)+g(x) ima antiderivat na intervalu X, a taj antiderivat je funkcija y = F(x)+G(x). Ali obično, kada se formulišu pravila (ne teoreme), ostaju samo ključne riječi - to je pogodnije za primjenu pravila u praksi

Primjer 2. Naći antiderivat za funkciju y = 2x + cos x.

Rješenje. Antiderivat za 2x je x"; antiderivat za cox je sin x. To znači da će antiderivat za funkciju y = 2x + cos x biti funkcija y = x 2 + sin x (i općenito bilo koja funkcija oblika Y = x 1 + sinx + C) .
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka antiderivata.

Primjer 3.

Rješenje. a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = 5 sin x antiderivativna funkcija biti funkcija y = -5 cos x.

b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija
c) Antiderivat za x 3 je antideritiv za x, antiderivat za funkciju y = 1 je funkcija y = x. Koristeći prvo i drugo pravilo za pronalaženje antiderivata, nalazimo da je antiderivat za funkciju y = 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentar. Kao što je poznato, izvod proizvoda nije jednak proizvodu derivata (pravilo za razlikovanje proizvoda je složenije) i izvod količnika nije jednak količniku derivata. Stoga ne postoje pravila za pronalaženje antiderivata proizvoda ili antiderivata količnika dvije funkcije. Budi pazljiv!
Dobijmo još jedno pravilo za pronalaženje antiderivata. Znamo da se derivacija funkcije y = f(kx+m) izračunava po formuli

Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 3. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y=f(kx+m) funkcija

Zaista,

To znači da je antiderivat za funkciju y = f(kx+m).
Značenje trećeg pravila je sljedeće. Ako znate da je antiderivat funkcije y = f(x) funkcija y = F(x), a trebate pronaći antiderivat funkcije y = f(kx+m), postupite ovako: uzmite ista funkcija F, ali umjesto argumenta x zamijenite izraz kx+m; osim toga, ne zaboravite napisati “korekcioni faktor” prije znaka funkcije
Primjer 4. Pronađite antiderivate za date funkcije:

Rješenje, a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = sin2x antiderivat biti funkcija
b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija

c) Antiderivat za x 7 znači da će za funkciju y = (4-5x) 7 antiderivat biti funkcija

3. Neodređeni integral

Gore smo već napomenuli da problem nalaženja antiderivata za datu funkciju y = f(x) ima više od jednog rješenja. Razgovarajmo o ovom pitanju detaljnije.

Dokaz. 1. Neka je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz X vrijedi jednakost x"(x) = f(x). pronađite izvod bilo koje funkcije oblika y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Dakle, (F(x)+C) = f(x). To znači da je y = F(x) + C antiderivat za funkciju y = f(x).
Dakle, dokazali smo da ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y=F(x), onda funkcija (f = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata, na primjer, bilo koja funkcija oblika y = F(x) +C je antiderivat.
2. Dokažimo sada da navedeni tip funkcija iscrpljuje cijeli skup antiderivata.

Neka su y=F 1 (x) i y=F(x) dva antiderivata za funkciju Y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz intervala X vrijede sljedeće relacije: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Razmotrimo funkciju y = F 1 (x) -.F(x) i pronađemo njen izvod: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Poznato je da ako je derivacija funkcije na intervalu X identično jednaka nuli, tada je funkcija konstantna na intervalu X (vidjeti teoremu 3 iz § 35). To znači da je F 1 (x) - F (x) = C, tj. Fx) = F(x)+C.

Teorema je dokazana.

Primjer 5. Dat je zakon promjene brzine s vremenom: v = -5sin2t. Naći zakon kretanja s = s(t), ako je poznato da je u trenutku t=0 koordinata tačke bila jednaka broju 1,5 (tj. s(t) = 1,5).

Rješenje. Kako je brzina derivacija koordinate u funkciji vremena, prvo trebamo pronaći antiderivat brzine, tj. antiderivat za funkciju v = -5sin2t. Jedan od takvih antiderivata je funkcija , a skup svih antiderivata ima oblik:

Da bismo pronašli specifičnu vrijednost konstante C, koristimo početne uslove prema kojima je s(0) = 1,5. Zamjenom vrijednosti t=0, S = 1,5 u formulu (1) dobijamo:

Zamjenom pronađene vrijednosti C u formulu (1) dobijamo zakon kretanja koji nas zanima:

Definicija 2. Ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y = F(x) na intervalu X, tada je skup svih antiderivata, tj. skup funkcija oblika y = F(x) + C naziva se neodređenim integralom funkcije y = f(x) i označava se sa:

(čitaj: “neodređeni integral ef od x de x”).
U sljedećem paragrafu ćemo saznati koje je skriveno značenje ove oznake.
Na osnovu tabele antideriva dostupnih u ovom odeljku, sastavićemo tabelu glavnih neodređenih integrala:

Na osnovu gornja tri pravila za pronalaženje antiderivata, možemo formulisati odgovarajuća pravila integracije.

Pravilo 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala ovih funkcija:

Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

Pravilo 3. Ako

Primjer 6. Pronađite neodređene integrale:

Rješenje, a) Koristeći prvo i drugo pravilo integracije, dobijamo:

Sada upotrijebimo 3. i 4. formule integracije:

Kao rezultat dobijamo:

b) Koristeći treće pravilo integracije i formulu 8, dobijamo:

c) Da bismo direktno pronašli dati integral, nemamo ni odgovarajuću formulu ni odgovarajuće pravilo. U takvim slučajevima ponekad pomažu prethodno izvedene identične transformacije izraza sadržanih pod znakom integrala.

Koristimo trigonometrijsku formulu za smanjenje stepena:

Zatim nalazimo redom:

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, Matematika u školi

Antiderivativ

Definicija antiderivativne funkcije

• Funkcija y=F(x) naziva se antiderivatom funkcije y=f(x) u datom intervalu X, ako za svakoga X ∈X jednakost vrijedi: F′(x) = f(x)

Može se čitati na dva načina:

1. f derivat funkcije F
2. F antiderivat funkcije f

Svojstvo antiderivata

• Ako F(x)- antiderivat funkcije f(x) na datom intervalu, tada funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata, a svi ti antiderivati ​​mogu se zapisati u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Geometrijska interpretacija

• Grafovi svih antiderivata date funkcije f(x) se dobijaju iz grafa bilo kojeg antiderivata paralelnim translacijama duž O ose at.

Pravila za izračunavanje antiderivata

1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata. Ako F(x)- antiderivat za f(x), a G(x) je antiderivat za g(x), To F(x) + G(x)- antiderivat za f(x) + g(x).
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije. Ako F(x)- antiderivat za f(x), And k- konstantno, onda k·F(x)- antiderivat za k f(x).
3. Ako F(x)- antiderivat za f(x), And k, b- konstantno, i k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- antiderivat za f(kx + b).

Zapamtite!

Bilo koja funkcija F(x) = x 2 + C , gdje je C proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivat za funkciju f(x) = 2x.

• Na primjer:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Odnos između grafova funkcije i njenog antiderivata:

1. Ako je graf funkcije f(x)>0 F(x) povećava u ovom intervalu.
2. Ako je graf funkcije f(x)<0 na intervalu, zatim graf njegovog antiderivata F(x) opada u ovom intervalu.
3. Ako f(x)=0, zatim graf njegovog antiderivata F(x) u ovom trenutku se mijenja od povećanja do smanjenja (ili obrnuto).

Za označavanje antiderivata koristi se predznak neodređenog integrala, odnosno integrala bez označavanja granica integracije.

Neodređeni integral

Definicija:

• Neodređeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivata date funkcije f(x). Neodređeni integral se označava na sljedeći način: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- naziva se integrand funkcija;
• f(x)dx- naziva se integrand;
• x- naziva se varijabla integracije;
• F(x)- jedan od antiderivata funkcije f(x);
• WITH- proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

1. Derivat neodređenog integrala jednak je integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konstantni faktor integranda može se izvaditi iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral zbira (razlike) funkcija jednak je zbiru (razlici) integrala ovih funkcija: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ako k, b su konstante, a k ≠ 0, onda \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela antiderivata i neodređenih integrala

Funkcija f(x)	Antiderivativ F(x) + C	Neodređeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\nije =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)(1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newton–Leibnizova formula

Neka f(x) ovu funkciju F njegov proizvoljni antiderivat.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Gdje F(x)- antiderivat za f(x)

To jest, integral funkcije f(x) na intervalu jednaka je razlici antiderivata u tačkama b I a.

Područje zakrivljenog trapeza

Krivolinijski trapez je figura ograničena grafom funkcije koja je nenegativna i kontinuirana na intervalu f, Ox os i prave linije x = a I x = b.

Površina zakrivljenog trapeza nalazi se pomoću Newton-Leibnizove formule:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koji je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x).

Pokaži rješenje

Rješenje

Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini ograničenog krivolinijskog trapeza grafikom funkcije y=f(x), prave linije y=0, x=9 i x=5. Iz grafikona utvrđujemo da je navedeni zakrivljeni trapez trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Njegova površina je jednaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=F(x) - jedne od antiderivata neke funkcije f(x) definisane na intervalu (-5; 5). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednačine f(x)=0 na segmentu [-3; 4].

Pokaži rješenje

Rješenje

Prema definiciji antiderivata, vrijedi jednakost: F"(x)=f(x). Dakle, jednačina f(x)=0 može se napisati kao F"(x)=0. Kako je na slici prikazan graf funkcije y=F(x), potrebno je pronaći te tačke u intervalu [-3; 4], u kojoj je derivacija funkcije F(x) jednaka nuli. Iz slike je jasno da će to biti apscise ekstremnih tačaka (maksimuma ili minimuma) grafa F(x). U naznačenom intervalu ih ima tačno 7 (četiri minimalna i tri maksimalna).

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koji je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(5)-F(0), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x).

Pokaži rješenje

Rješenje

Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(5)-F(0), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini ograničenog krivolinijskog trapeza grafom funkcije y=f(x), prave y=0 , x=5 i x=0. Iz grafikona utvrđujemo da je navedeni zakrivljeni trapez trapez sa osnovama jednakim 5 i 3 i visinom 3.

Njegova površina je jednaka \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=F(x) - jedne od antiderivata neke funkcije f(x), definisane na intervalu (-5; 4). Pomoću slike odredite broj rješenja jednačine f (x) = 0 na segmentu (-3; 3).

Pokaži rješenje

Rješenje

Prema definiciji antiderivata, vrijedi jednakost: F"(x)=f(x). Dakle, jednačina f(x)=0 može se napisati kao F"(x)=0. Kako je na slici prikazan graf funkcije y=F(x), potrebno je pronaći te tačke u intervalu [-3; 3], u kojoj je derivacija funkcije F(x) jednaka nuli.

Iz slike je jasno da će to biti apscise ekstremnih tačaka (maksimuma ili minimuma) grafa F(x). U naznačenom intervalu ih ima tačno 5 (dva minimalna i tri maksimalna).

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=-x^3+4.5x^2-7 je jedan od antiderivata funkcije f(x).

Pronađite površinu zasjenjene figure.

Pokaži rješenje

Rješenje

Osjenčana figura je krivolinijski trapez omeđen odozgo grafikom funkcije y=f(x), pravim linijama y=0, x=1 i x=3. Prema Newton-Leibnizovoj formuli, njena površina S jednaka je razlici F(3)-F(1), gdje je F(x) antiderivat funkcije f(x) navedene u uvjetu. Zbog toga S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Vrsta posla: 7
Tema: Antiderivat funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 je jedan od antiderivata funkcije f(x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Lekcija i prezentacija na temu: "Antiderivativna funkcija. Grafikon funkcije"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 11. razred
Algebarski zadaci sa parametrima, razredi 9–11
"Interaktivni zadaci o građenju prostora za 10. i 11. razred"

Antiderivativna funkcija. Uvod

Ljudi, znate kako pronaći derivate funkcija koristeći različite formule i pravila. Danas ćemo proučavati inverznu operaciju izračunavanja derivacije. Koncept derivata se često koristi u stvarnom životu. Da vas podsjetim: derivacija je stopa promjene funkcije u određenoj tački. Procesi koji uključuju kretanje i brzinu su dobro opisani u ovim terminima.

Pogledajmo ovaj problem: „Brzina objekta koji se kreće pravolinijski opisuje se formulom $V=gt$. Potrebno je vratiti zakon kretanja.
Rješenje.
Dobro znamo formulu: $S"=v(t)$, gdje je S zakon kretanja.
Naš zadatak se svodi na pronalaženje funkcije $S=S(t)$ čiji je izvod jednak $gt$. Gledajući pažljivo, možete pogoditi da je $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Provjerimo ispravnost rješenja ovog problema: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Poznavajući derivaciju funkcije, pronašli smo samu funkciju, odnosno izvršili smo inverznu operaciju.
Ali vrijedi obratiti pažnju na ovaj trenutak. Rješenje našeg problema zahtijeva pojašnjenje ako nađenoj funkciji dodamo bilo koji broj (konstantu), tada se vrijednost izvoda neće promijeniti: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Ljudi, obratite pažnju: naš problem ima beskonačan broj rješenja!
Ako problem ne navodi početni ili neki drugi uvjet, ne zaboravite dodati konstantu rješenju. Na primjer, naš zadatak može odrediti položaj našeg tijela na samom početku pokreta. Tada nije teško izračunati konstantu zamjenom nule u rezultirajuću jednačinu, dobivamo vrijednost konstante.

Kako se zove ova operacija?
Inverzna operacija diferencijacije naziva se integracija.
Pronalaženje funkcije iz date derivacije – integracija.
Sama funkcija će se zvati antiderivatom, odnosno slikom iz koje je dobijena derivacija funkcije.
Uobičajeno je da se antiderivat piše velikim slovom $y=F"(x)=f(x)$.

Definicija. Funkcija $y=F(x)$ naziva se antiderivatom funkcije $u=f(x)$ na intervalu X ako za bilo koji $hϵH$ vrijedi jednakost $F'(x)=f(x)$ .

Napravimo tabelu antiderivata za različite funkcije. Treba ga odštampati kao podsjetnik i zapamtiti.

U našoj tabeli nisu navedeni početni uslovi. To znači da svakom izrazu na desnoj strani tabele treba dodati konstantu. Kasnije ćemo pojasniti ovo pravilo.

Pravila za pronalaženje antiderivata

Zapišimo nekoliko pravila koja će nam pomoći u pronalaženju antiderivata. Svi su slični pravilima diferencijacije.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Primjer.
Pronađite antiderivat za funkciju $y=4x^3+cos(x)$.
Rješenje.
Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata, tada treba pronaći antiderivat za svaku od prikazanih funkcija.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Tada će antiderivat originalne funkcije biti: $y=x^4+sin(x)$ ili bilo koja funkcija oblika $y=x^4+sin(x)+C$.

Pravilo 2. Ako je $F(x)$ antideritiv za $f(x)$, onda je $k*F(x)$ antideritiv za funkciju $k*f(x)$.(Koeficijent lako možemo uzeti kao funkciju).

Primjer.
Pronađite antiderivate funkcija:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Rješenje.
a) Antiderivat od $sin(x)$ je minus $cos(x)$. Tada će antiderivat originalne funkcije imati oblik: $y=-8cos(x)$.

B) Antiderivat od $cos(x)$ je $sin(x)$. Tada će antiderivat originalne funkcije imati oblik: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) Antiderivat za $x^2$ je $\frac(x^3)(3)$. Antiderivat za x je $\frac(x^2)(2)$. Antiderivat od 1 je x. Tada će antiderivat originalne funkcije imati oblik: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Pravilo 3. Ako je $u=F(x)$ antiderivat za funkciju $y=f(x)$, tada je antiderivat za funkciju $y=f(kx+m)$ funkcija $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Primjer.
Pronađite antiderivate sljedećih funkcija:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Rješenje.
a) Antiderivat od $cos(x)$ je $sin(x)$. Tada će antiderivat za funkciju $y=cos(7x)$ biti funkcija $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Antiderivat od $sin(x)$ je minus $cos(x)$. Tada će antiderivat za funkciju $y=sin(\frac(x)(2))$ biti funkcija $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Antiderivat za $x^3$ je $\frac(x^4)(4)$, zatim antiderivat originalne funkcije $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Malo pojednostavite izraz na stepen $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Antiderivat eksponencijalne funkcije je sama eksponencijalna funkcija. Antiderivat originalne funkcije bit će $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorema. Ako je $y=F(x)$ antiderivat za funkciju $y=f(x)$ na intervalu X, tada funkcija $y=f(x)$ ima beskonačno mnogo antiderivata, i svi oni imaju oblik $y=F( x)+S$.

Ako je u svim gore navedenim primjerima bilo potrebno pronaći skup svih antiderivata, onda bi svuda trebalo dodati konstantu C.
Za funkciju $y=cos(7x)$ svi antiderivati ​​imaju oblik: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Za funkciju $y=(-2x+3)^3$ svi antiderivati ​​imaju oblik: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Primjer.
S obzirom na zakon promjene brzine tijela tokom vremena $v=-3sin(4t)$, pronađite zakon kretanja $S=S(t)$ ako je u početnom trenutku vremena tijelo imalo koordinatu jednaku 1.75.
Rješenje.
Pošto je $v=S’(t)$, moramo pronaći antiderivat za datu brzinu.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
U ovom zadatku je dat dodatni uslov - početni trenutak vremena. To znači da je $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Tada se zakon kretanja opisuje formulom: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Pronađite antiderivate funkcija:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Pronađite antiderivate sljedećih funkcija:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Prema datom zakonu promjene brzine tijela tokom vremena $v=4cos(6t)$, pronađite zakon kretanja $S=S(t)$ ako je u početnom trenutku vremena tijelo imalo koordinata jednaka 2.

Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka potraje t od početka kretanja tačka je prešla udaljenost s(t). Zatim trenutna brzina v(t) jednak derivaciji funkcije s(t), to je v(t) = s"(t).

U praksi se susrećemo s inverznim problemom: s obzirom na brzinu kretanja tačke v(t) pronađi put kojim je krenula s(t), odnosno pronaći takvu funkciju s(t),čiji je izvod jednak v(t). Funkcija s(t), takav da s"(t) = v(t), naziva se antiderivatom funkcije v(t).

Na primjer, ako v(t) = at, Gdje A je dati broj, a zatim funkcija
s(t) = (kod 2) / 2v(t), jer
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Funkcija F(x) naziva se antiderivatom funkcije f(x) u nekom intervalu, ako je za sve X iz ovog jaza F"(x) = f(x).

Na primjer, funkcija F(x) = sin x je antiderivat funkcije f(x) = cos x, jer (sin x)" = cos x; funkcija F(x) = x 4 /4 je antiderivat funkcije f(x) = x 3, jer (x 4 /4)" = x 3.

Hajde da razmotrimo problem.

Zadatak.

Dokažite da su funkcije x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 antiderivati ​​iste funkcije f(x) = x 2.

Rješenje.

1) Označimo F 1 (x) = x 3 /3, zatim F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Općenito, bilo koja funkcija x 3 /3 + C, gdje je C konstanta, je antiderivat funkcije x 2. Ovo proizilazi iz činjenice da je derivacija konstante nula. Ovaj primjer pokazuje da je za datu funkciju njen antiderivat određen dvosmisleno.

Neka su F 1 (x) i F 2 (x) dva antiderivata iste funkcije f(x).

Tada je F 1 "(x) = f(x) i F" 2 (x) = f(x).

Derivat njihove razlike g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) jednak je nuli, jer je g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Ako je g"(x) = 0 na određenom intervalu, tada je tangenta na graf funkcije y = g(x) u svakoj tački ovog intervala paralelna s osi Ox. Prema tome, graf funkcije y = g(x) je prava paralelna osi Ox, tj. g(x) = C, gdje je C neka konstanta iz jednakosti g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) slijedi da je F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Dakle, ako je funkcija F(x) antiderivat funkcije f(x) na određenom intervalu, tada se svi antiderivati ​​funkcije f(x) zapisuju u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Razmotrimo grafove svih antiderivata date funkcije f(x). Ako je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), tada se bilo koji antiderivat ove funkcije dobija dodavanjem neke konstante F(x): F(x) + C. Grafovi funkcija y = F( x) + C se dobijaju iz grafika y = F(x) pomeranjem duž ose Oy. Odabirom C, možete osigurati da graf antiderivata prolazi kroz datu tačku.

Obratimo pažnju na pravila za pronalaženje antiderivata.

Podsjetimo da se poziva operacija pronalaženja izvoda za datu funkciju diferencijaciju. Poziva se inverzna operacija nalaženja antiderivata za datu funkciju integracija(od latinske reči "vratiti").

Tabela antiderivata za neke funkcije može se kompajlirati pomoću tablice izvedenica. Na primjer, znajući to (cos x)" = -sin x, dobijamo (-cos x)" = sin x, iz čega slijedi da sve antiderivativne funkcije sin x su napisane u formi -cos x + C, Gdje WITH– konstantno.

Pogledajmo neka od značenja antiderivata.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. antiderivat: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcija: e x. antiderivat: e x + C.

5) Funkcija: sin x. antiderivat: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, r ≠ -1, k ≠ 0. antiderivat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0. antiderivat: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. antiderivat: (1/k) sin (kx + b).

Pravila integracije može se dobiti korišćenjem pravila diferencijacije. Pogledajmo neka pravila.

Neka F(x) I G(x)– antiderivati ​​odgovarajućih funkcija f(x) I g(x) u nekom intervalu. onda:

1) funkcija F(x) ± G(x) je antiderivat funkcije f(x) ± g(x);

2) funkcija aF(x) je antiderivat funkcije af(x).

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.