Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbira kvadrata sinusa i kosinusa, izraza tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo da pročitaju članak "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih iskoristimo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.
Na osnovu samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednačina jednačina u kojoj je nepoznata pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hajde da razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće ćemo koristiti već poznati trigonometrijski krug.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
krevetac x = a
Svaka trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: svodimo jednačinu na njen najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda pomoću kojih se rješavaju trigonometrijske jednačine.
Zamjena varijable i metoda zamjene
Rješavanje trigonometrijskih jednačina kroz faktorizaciju
Redukcija na homogenu jednačinu
Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na poluugao
Uvođenje pomoćnog ugla
Riješite jednačinu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Koristeći formule redukcije dobijamo:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Zamijenite cos(x + /6) sa y da pojednostavite i dobijete uobičajenu kvadratnu jednačinu:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sada idemo obrnutim redoslijedom
Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobijamo dvije opcije odgovora:
Kako riješiti jednačinu sin x + cos x = 1?
Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:
sin x + cos x – 1 = 0
Upotrijebimo gore navedene identitete da pojednostavimo jednačinu:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Rastavimo na faktore:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Dobijamo dvije jednačine
Jednačina je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njeni članovi relativni na sinus i kosinus iste snage istog ugla. Da biste riješili homogenu jednačinu, postupite na sljedeći način:
a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;
b) izvaditi sve zajedničke faktore iz zagrada;
c) izjednačiti sve faktore i zagrade sa 0;
d) u zagradi se dobija homogena jednačina nižeg stepena, koja se opet deli na sinus ili kosinus višeg stepena;
e) riješiti rezultirajuću jednačinu za tg.
Riješite jednačinu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Podijelite sa cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Zamijenite tan x sa y i dobijete kvadratnu jednačinu:
y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3
Odavde nalazimo dva rješenja originalne jednadžbe:
x 2 = arktan 3 + k
Riješite jednačinu 3sin x – 5cos x = 7
Idemo na x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Pomerimo sve ulevo:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Podijelite sa cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Za razmatranje, uzmimo jednačinu oblika: a sin x + b cos x = c,
gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.
Podijelimo obje strane jednačine sa:
Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1 i zbir kvadrata = 1. Označimo ih kao cos i sin, gdje je - ovo takozvani pomoćni ugao. Tada će jednačina poprimiti oblik:
cos * sin x + sin * cos x = C
ili sin(x + ) = C
Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je
x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je
Treba napomenuti da su oznake cos i sin zamjenjive.
Riješite jednačinu sin 3x – cos 3x = 1
Koeficijenti u ovoj jednačini su:
a = , b = -1, pa podijelite obje strane sa = 2
Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
Rješavanje trigonometrijskih jednačina bilo kojeg nivoa složenosti na kraju se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. I u ovome se trigonometrijski krug opet ispostavlja kao najbolji asistent.
Prisjetimo se definicija kosinusa i sinusa.
Kosinus ugla je apscisa (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.
Sinus ugla je ordinata (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.
Pozitivan smjer kretanja na trigonometrijskom krugu je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rotacija od 0 stepeni (ili 0 radijana) odgovara tački sa koordinatama (1;0)
Koristimo ove definicije za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
1. Riješite jednačinu
Ovu jednačinu zadovoljavaju sve vrijednosti ugla rotacije koje odgovaraju tačkama na kružnici čija je ordinata jednaka .
Označimo tačku sa ordinatom na ordinatnoj osi:
Nacrtajte vodoravnu liniju paralelnu s x-osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobijamo dvije tačke koje leže na kružnici i imaju ordinatu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:
Ako, ostavljajući tačku koja odgovara kutu rotacije po radijanu, obiđemo puni krug, tada ćemo doći do točke koja odgovara kutu rotacije po radijanu i ima istu ordinatu. To jest, ovaj kut rotacije također zadovoljava našu jednačinu. Možemo napraviti onoliko „praznih“ okretaja koliko želimo, vraćajući se na istu tačku, a sve ove vrijednosti uglova će zadovoljiti našu jednadžbu. Broj obrtaja u praznom hodu će biti označen slovom (ili). Budući da možemo napraviti ove okrete iu pozitivnom iu negativnom smjeru, (ili) možemo poprimiti bilo koje cjelobrojne vrijednosti.
To jest, prva serija rješenja originalne jednadžbe ima oblik:
, , - skup cijelih brojeva (1)
Slično, druga serija rješenja ima oblik:
, Gdje , . (2)
Kao što ste mogli pretpostaviti, ova serija rješenja temelji se na tački na kružnici koja odgovara kutu rotacije za .
Ove dvije serije rješenja mogu se kombinirati u jedan unos:
Ako uzmemo (tj. čak) u ovom unosu, onda ćemo dobiti prvu seriju rješenja.
Ako uzmemo (tj. neparno) u ovom unosu, onda ćemo dobiti drugu seriju rješenja.
2. Sada riješimo jednačinu
Pošto je ovo apscisa tačke na jediničnom krugu dobijenom rotacijom kroz ugao, tačku označavamo apscisom na osi:
Nacrtajte okomitu liniju paralelnu osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobićemo dve tačke koje leže na kružnici i imaju apscisu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima. Podsjetimo da kada se krećemo u smjeru kazaljke na satu dobivamo negativan kut rotacije:
Zapišimo dvije serije rješenja:
,
,
(Do željene tačke dolazimo tako što idemo iz glavnog punog kruga, tj.
Kombinirajmo ove dvije serije u jedan unos:
3. Riješite jednačinu
Tangentna linija prolazi kroz tačku sa koordinatama (1,0) jedinične kružnice paralelne sa OY osom
Označimo tačku na njoj ordinatom jednakom 1 (tražimo tangentu čiji su uglovi jednaki 1):
Povežimo ovu tačku sa ishodištem koordinata pravom linijom i označimo tačke preseka linije jediničnim krugom. Točke preseka prave linije i kružnice odgovaraju uglovima rotacije na i :
Budući da točke koje odgovaraju uglovima rotacije koje zadovoljavaju našu jednadžbu leže jedna od druge na udaljenosti od radijana, rješenje možemo napisati na sljedeći način:
4. Riješite jednačinu
Prava kotangensa prolazi kroz tačku sa koordinatama jedinične kružnice paralelne osi.
Označimo tačku sa apscisom -1 na liniji kotangensa:
Povežimo ovu tačku sa ishodištem prave linije i nastavimo je dok se ne ukrsti sa kružnicom. Ova ravna linija će presjeći krug u tačkama koje odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:
Budući da su ove točke odvojene jedna od druge razmakom jednakom , možemo zapisati općenito rješenje ove jednadžbe na sljedeći način:
U navedenim primjerima koji ilustruju rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi korištene su tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Međutim, ako desna strana jednadžbe sadrži vrijednost koja nije tabela, tada vrijednost zamjenjujemo u opšte rješenje jednadžbe:
POSEBNA RJEŠENJA:
Označimo tačke na kružnici čija je ordinata 0:
Označimo jednu tačku na kružnici čija je ordinata 1:
Označimo jednu tačku na krugu čija je ordinata jednaka -1:
Budući da je uobičajeno naznačiti vrijednosti najbliže nuli, rješenje pišemo na sljedeći način:
Označimo tačke na kružnici čija je apscisa jednaka 0:
5.
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka 1:
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka -1:
I malo složeniji primjeri:
1.
Sinus je jednak jedan ako je argument jednak
Argument našeg sinusa je jednak, pa dobijamo:
Podijelimo obje strane jednakosti sa 3:
odgovor:
2.
Kosinus je nula ako je argument kosinusa jednak
Argument našeg kosinusa je jednak , pa dobijamo:
Izrazimo , da bismo to učinili prvo se pomaknemo udesno sa suprotnim predznakom:
Pojednostavimo desnu stranu:
Podijelite obje strane sa -2:
Imajte na umu da se predznak ispred pojma ne mijenja, jer k može poprimiti bilo koju cjelobrojnu vrijednost.
odgovor:
I na kraju, pogledajte video lekciju "Odabir korijena u trigonometrijskoj jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga"
Ovo završava naš razgovor o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Sljedeći put ćemo razgovarati o tome kako odlučiti.
Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.
Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.
Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!
Jednakost koja sadrži nepoznanicu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.
Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.
1. Jednačina `sin x=a`.
Za `|a|>1` nema rješenja.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Jednačina `cos x=a`
Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima. 
3. Jednačina `tg x=a`
Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Jednačina `ctg x=a`
Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.
Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli
za sinus: 
za kosinus: 
Za tangentu i kotangens: 
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina
Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:
- uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
- riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.
Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.
Algebarska metoda.
Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.
Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,
nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizacija.
Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.
Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcija na homogenu jednačinu
Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:
`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).
Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.
Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Prelazak na pola ugla
Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Uvođenje pomoćnog ugla
U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:
Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:
`grijeh (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe
To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.
Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.
Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!
Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.
