Problem nalaženja neodređenog integrala frakciono racionalne funkcije svodi se na integraciju jednostavnih razlomaka. Stoga preporučujemo da se prvo upoznate s odjeljkom teorije razlaganja razlomaka na najjednostavnije.

Primjer.

Rješenje.

Pošto je stepen brojioca integranda jednak stepenu nazivnika, prvo biramo ceo deo tako što podelimo polinom polinomom sa kolonom:

Zbog toga, .

Dekompozicija rezultirajućeg pravilnog racionalnog razlomka na jednostavnije razlomke ima oblik . dakle,

Rezultirajući integral je integral najjednostavnijeg razlomka trećeg tipa. Gledajući malo unaprijed, napominjemo da ga možete uzeti pod znakom diferencijala.

Jer , To . Zbog toga

dakle,

Sada pređimo na opisivanje metoda za integraciju jednostavnih razlomaka svakog od četiri tipa.

Integracija prostih razlomaka prvog tipa

Metoda direktne integracije je idealna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Rješenje.

Nađimo neodređeni integral koristeći svojstva antiderivata, tablicu antiderivata i pravilo integracije.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka drugog tipa

Metoda direktne integracije je također pogodna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Rješenje.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka trećeg tipa

Prvo predstavljamo neodređeni integral kao zbir:

Prvi integral uzimamo tako što ga podnesemo pod diferencijalni predznak:

Zbog toga,

Transformirajmo imenilac rezultujućeg integrala:

dakle,

Formula za integraciju jednostavnih razlomaka trećeg tipa ima oblik:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Rješenje.

Koristimo rezultirajuću formulu:

Da nemamo ovu formulu, šta bismo radili:

9. Integracija prostih razlomaka četvrtog tipa

Prvi korak je da ga stavite pod diferencijalni znak:

Drugi korak je pronalaženje integrala forme . Integrali ovog tipa nalaze se pomoću formula recidiva. (Pogledajte particioniranje pomoću formula ponavljanja). Sljedeća rekurentna formula je prikladna za naš slučaj:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral

Rješenje.

Za ovaj tip integrala koristimo metodu supstitucije. Hajde da uvedemo novu varijablu (pogledajte odjeljak o integraciji iracionalnih funkcija):

Nakon zamjene imamo:

Došli smo do pronalaženja integrala razlomka četvrtog tipa. U našem slučaju imamo koeficijente M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 I n=3. Primjenjujemo rekurentnu formulu:

Nakon obrnute zamjene dobivamo rezultat:

10. Integracija trigonometrijskih funkcija.

Mnogi problemi se svode na pronalaženje integrala transcendentalnih funkcija koje sadrže trigonometrijske funkcije. U ovom članku ćemo grupisati najčešće tipove integranda i koristiti primjere za razmatranje metoda za njihovu integraciju.

Počnimo sa integracijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Iz tabele antiderivata to odmah konstatujemo I .

Metoda poduzimanja diferencijalnog predznaka omogućava vam da izračunate neodređene integrale tangentne i kotangensne funkcije:

Vrh stranice

Pogledajmo prvi slučaj, drugi je apsolutno sličan.

Koristimo metodu zamjene:

Došli smo do problema integracije iracionalne funkcije. Ovdje će nam pomoći i metoda zamjene:

Ostaje samo izvršiti obrnutu zamjenu i t = sinx:

Vrh stranice

Možete saznati više o principima njihovog pronalaženja u odjeljku integracija pomoću rekurentnih formula. Ako proučavate izvođenje ovih formula, lako možete uzeti integrale oblika , Gdje m I n- cijeli brojevi.

Vrh stranice

Vrh stranice

Najviše kreativnosti dolazi kada integrand sadrži trigonometrijske funkcije s različitim argumentima.

Tu u pomoć priskaču osnovne formule trigonometrije. Zato ih zapišite na poseban papir i držite ih pred očima.

Primjer.

Pronađite skup antiderivata funkcije .

Rješenje.

Formule redukcije daju I .

Zbog toga

Nazivnik je formula za sinus zbroja, dakle,

Dolazimo do zbira tri integrala.

Vrh stranice

Integrandi koji sadrže trigonometrijske funkcije mogu se ponekad svesti na frakcione racionalne izraze koristeći standardnu ​​trigonometrijsku supstituciju.

Napišimo trigonometrijske formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangentu kroz tangentu polovice argumenta:

Prilikom integracije biće nam potreban i diferencijalni izraz dx kroz tangentu poluugla.

Jer , To

To je, , gdje.

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Rješenje.

Koristimo standardnu ​​trigonometrijsku supstituciju:

dakle, .

Dekomponovanje integrala na jednostavne razlomke vodi nas do sume dva integrala:

Sve što ostaje je izvršiti obrnutu zamjenu:

11. Formule ponavljanja su formule koje izražavaju n th član niza kroz prethodne članove. Često se koriste pri pronalaženju integrala.

Ne želimo da navedemo sve formule recidiva, već želimo da damo princip njihovog izvođenja. Izvođenje ovih formula zasniva se na transformaciji integranda i primeni metode integracije po delovima.

Na primjer, neodređeni integral može se uzeti pomoću formule recidiva .

Derivacija formule:

Koristeći trigonometrijske formule, možemo napisati:

Dobijeni integral nalazimo metodom integracije po dijelovima. Kao funkcija u(x) hajde da uzmemo cosx, dakle, .

Zbog toga,

Vraćamo se na originalni integral:

To je,

To je ono što je trebalo pokazati.

Sljedeće formule ponavljanja su izvedene na sličan način:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral.

Rješenje.

Koristimo rekurentnu formulu iz četvrtog paragrafa (u našem primjeru n=3):

Pošto iz tabele antiderivata imamo , To

Sve navedeno u prethodnim paragrafima nam omogućava da formulišemo osnovna pravila za integraciju racionalnih razlomaka.

1. Ako je racionalni razlomak nepravilan, onda se predstavlja kao zbir polinoma i pravilnog racionalnog razlomka (vidi paragraf 2).

Ovo svodi integraciju nepravilnog racionalnog razlomka na integraciju polinoma i pravilnog racionalnog razlomka.

2. Faktori imenilac pravog razlomka.

3. Pravi racionalni razlomak se razlaže na zbir prostih razlomaka. Ovo svodi integraciju pravilnog racionalnog razlomka na integraciju jednostavnih razlomaka.

Pogledajmo primjere.

Primjer 1. Pronađite .

Rješenje. Ispod integrala je nepravilan racionalni razlomak. Odabirom cijelog dijela, dobijamo

dakle,

Uzimajući u obzir da , Hajde da proširimo pravi racionalni razlomak

na proste razlomke:

(vidi formulu (18)). Zbog toga

Dakle, konačno imamo

Primjer 2. Pronađite

Rješenje. Ispod integrala je pravi racionalni razlomak.

Proširujući ga na jednostavne razlomke (vidi formulu (16)), dobijamo

Integracija frakciono-racionalne funkcije.
Metoda nesigurnih koeficijenata

Nastavljamo da radimo na integraciji razlomaka. U lekciji smo već pogledali integrale nekih vrsta razlomaka, a ova lekcija se u izvesnom smislu može smatrati nastavkom. Za uspješno razumijevanje gradiva potrebne su osnovne vještine integracije, pa ako ste tek počeli proučavati integrale, odnosno početnik ste, onda morate početi sa člankom Neodređeni integral. Primjeri rješenja.

Čudno, sada ćemo se baviti ne toliko pronalaženjem integrala, već... rješavanjem sistema linearnih jednačina. U tom pogledu hitno Preporučujem da prisustvujete času, naime potrebno je dobro poznavati metode zamjene („školska“ metoda i metoda sabiranja (oduzimanja) sistemskih jednačina po članu).

Šta je razlomka racionalna funkcija? Jednostavnim riječima, razlomka-racionalna funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome ili proizvode polinoma. Štaviše, razlomci su sofisticiraniji od onih o kojima se govori u članku Integracija nekih razlomaka.

Integracija pravilne frakciono-racionalne funkcije

Odmah primjer i tipičan algoritam za rješavanje integrala frakciono-racionalne funkcije.

Primjer 1

Korak 1. Prva stvar koju UVIJEK radimo kada rješavamo integral razlomke racionalne funkcije je da razjasnimo sljedeće pitanje: je li razlomak pravilan? Ovaj korak se izvodi usmeno, a sada ću objasniti kako:

Prvo pogledamo brojilac i saznamo viši stepen polinom:

Vodeća snaga brojioca je dva.

Sada gledamo u nazivnik i saznajemo viši stepen nazivnik. Očigledan način je da otvorite zagrade i unesete slične pojmove, ali to možete učiniti jednostavnije, unutra svaki pronađite najviši stepen u zagradama

i mentalno pomnožiti: - dakle, najveći stepen nazivnika je jednak tri. Sasvim je očigledno da ako zaista otvorimo zagrade, nećemo dobiti stepen veći od tri.

Zaključak: Glavni stepen brojioca STROGO je manji od najvećeg stepena nazivnika, što znači da je razlomak pravilan.

Ako je u ovom primjeru brojilac sadržavao polinom 3, 4, 5, itd. stepeni, tada bi razlomak bio pogrešno.

Sada ćemo razmotriti samo ispravne razlomke racionalne funkcije. O slučaju kada je stepen brojioca veći ili jednak stepenu nazivnika biće reči na kraju lekcije.

Korak 2. Hajde da faktorizujemo imenilac. Pogledajmo naš imenilac:

Uopšteno govoreći, to je već proizvod faktora, ali se, ipak, pitamo: da li je moguće proširiti nešto drugo? Predmet mučenja će nesumnjivo biti kvadratni trinom. Rješavanje kvadratne jednadžbe:

Diskriminant je veći od nule, što znači da se trinom zaista može faktorizirati:

Opšte pravilo: SVE što se MOŽE rastaviti u imenilac - čini ga

Počnimo formulirati rješenje:

Korak 3. Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, proširujemo integrand u zbir prostih (elementarnih) razlomaka. Sada će biti jasnije.

Pogledajmo našu integrand funkciju:

I, znate, nekako se pojavi intuitivna misao da bi bilo lijepo naš veliki dio pretvoriti u nekoliko malih. Na primjer, ovako:

Postavlja se pitanje da li je to uopšte moguće uraditi? Odahnimo, odgovara odgovarajuća teorema matematičke analize – MOGUĆE JE. Takva dekompozicija postoji i jedinstvena je.

Postoji samo jedna kvaka, šanse su ćao Ne znamo, otuda i naziv – metoda neodređenih koeficijenata.

Kao što pogađate, naknadni pokreti tijela su takvi, nemojte se kikotati! će biti usmjereno samo na njihovo PREPOZNAVANJE – da saznamo čemu su jednaki.

Budite oprezni, objasniću detaljno samo jednom!

Dakle, krenimo plesati od:

Na lijevoj strani svodimo izraz na zajednički nazivnik:

Sada se možemo sigurno riješiti nazivnika (pošto su isti):

Na lijevoj strani otvaramo zagrade, ali za sada ne dirajte nepoznate koeficijente:

Istovremeno ponavljamo školsko pravilo za množenje polinoma. Kada sam bio učitelj, naučio sam da izgovaram ovo pravilo s pravim licem: Da biste polinom pomnožili polinomom, morate svaki član jednog polinoma pomnožiti sa svakim članom drugog polinoma.

Sa stanovišta jasnog objašnjenja, bolje je koeficijente staviti u zagrade (iako ja lično to nikada ne radim da bih uštedio vrijeme):

Sastavljamo sistem linearnih jednačina.
Prvo tražimo više diplome:

I upisujemo odgovarajuće koeficijente u prvu jednačinu sistema:

Dobro zapamtite sljedeću tačku. Šta bi se dogodilo da s na desnoj strani uopće nema? Recimo, da li bi se samo pokazao bez kvadrata? U ovom slučaju, u jednačini sistema bilo bi potrebno staviti nulu desno: . Zašto nula? Ali zato što na desnoj strani uvijek možete dodijeliti ovom istom kvadratu nulu: Ako na desnoj strani nema varijabli i/ili slobodnog člana, onda stavljamo nule na desnu stranu odgovarajućih jednačina sistema.

Zapisujemo odgovarajuće koeficijente u drugu jednačinu sistema:

I na kraju, mineralnu vodu, biramo besplatne članove.

Eh... malo sam se šalio. Šalu na stranu - matematika je ozbiljna nauka. U našoj institutskoj grupi niko se nije nasmijao kada je docentica rekla da će rasuti pojmove duž brojevne prave i izabrati najveće. Hajde da se uozbiljimo. Mada... ko doživi kraj ove lekcije ipak će se tiho osmehnuti.

Sistem je spreman:

Rešavamo sistem:

(1) Iz prve jednačine izražavamo je i zamjenjujemo u 2. i 3. jednačinu sistema. U stvari, bilo je moguće izraziti (ili neko drugo slovo) iz druge jednačine, ali u ovom slučaju je korisno izraziti iz 1. jednačine, jer postoji najmanji izgledi.

(2) Slične članove predstavljamo u 2. i 3. jednadžbi.

(3) Sabiramo 2. i 3. jednadžbe član po član, dajući jednakost , iz koje slijedi da

(4) Zamjenjujemo u drugu (ili treću) jednačinu, odakle to nalazimo

(5) Zamijenite i u prvu jednačinu, dobivajući .

Ako imate bilo kakvih poteškoća s metodama rješavanja sistema, vježbajte ih na času. Kako riješiti sistem linearnih jednačina?

Nakon rješavanja sistema uvijek je korisno provjeriti - zamijeniti pronađene vrijednosti svaki jednačina sistema, kao rezultat bi sve trebalo „konvergirati“.

Skoro sam tu. Pronađeni su koeficijenti i:

Završeni posao bi trebao izgledati otprilike ovako:

Kao što vidite, glavna poteškoća zadatka bila je sastaviti (tačno!) i riješiti (tačno!) sistem linearnih jednačina. I u završnoj fazi, sve nije tako teško: koristimo svojstva linearnosti neodređenog integrala i integriramo. Imajte na umu da pod svakim od tri integrala imamo „slobodnu“ kompleksnu funkciju; govorio sam o karakteristikama njene integracije u lekciji Metoda promjenljive promjene u neodređenom integralu.

Provjera: Razlikujte odgovor:

Dobijena je originalna funkcija integranda, što znači da je integral pravilno pronađen.
Prilikom verifikacije morali smo izraz svesti na zajednički imenilac i to nije slučajno. Metoda neodređenih koeficijenata i svođenje izraza na zajednički nazivnik su međusobno inverzne akcije.

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral.

Vratimo se razlomku iz prvog primjera: . Lako je uočiti da su u nazivniku svi faktori RAZLIČITI. Postavlja se pitanje šta učiniti ako je, na primjer, dat sljedeći razlomak: ? Ovdje imamo stepene u nazivniku, ili, matematički, višestruki. Osim toga, postoji kvadratni trinom koji se ne može faktorizirati (lako je provjeriti da je diskriminanta jednadžbe je negativan, pa se trinom ne može faktorizirati). sta da radim? Proširenje u zbir elementarnih razlomaka izgledat će otprilike ovako sa nepoznatim koeficijentima na vrhu ili nesto drugo?

Primjer 3

Uvesti funkciju

Korak 1. Provjeravamo da li imamo pravi razlomak
Glavni brojilac: 2
Najviši stepen imenioca: 8
, što znači da je razlomak tačan.

Korak 2. Da li je moguće nešto faktorisati u imenilac? Očigledno nije, sve je već raspoređeno. Kvadratni trinom se ne može proširiti u proizvod iz gore navedenih razloga. Hood. Manje posla.

Korak 3. Zamislimo frakciono-racionalnu funkciju kao zbir elementarnih razlomaka.
U ovom slučaju, ekspanzija ima sljedeći oblik:

Pogledajmo naš imenilac:
Prilikom dekompozicije razlomno-racionalne funkcije u zbir elementarnih razlomaka, mogu se razlikovati tri osnovne točke:

1) Ako nazivnik sadrži “usamljeni” faktor na prvi stepen (u našem slučaju), onda na vrh stavljamo neodređeni koeficijent (u našem slučaju). Primjeri br. 1, 2 sastojali su se samo od takvih „usamljenih“ faktora.

2) Ako imenilac ima višestruko množitelja, onda ga trebate razložiti na sljedeći način:
- to jest, uzastopno proći kroz sve stepene "X" od prvog do n-og stepena. U našem primjeru postoje dva višestruka faktora: i , pogledajte još jednom proširenje koje sam dao i uvjerite se da su prošireni točno prema ovom pravilu.

3) Ako nazivnik sadrži nerazložljivi polinom drugog stepena (u našem slučaju), onda kada se dekomponuje u brojiocu treba da napišete linearnu funkciju sa neodređenim koeficijentima (u našem slučaju sa neodređenim koeficijentima i ).

Zapravo, postoji još jedan 4. slučaj, ali ću o tome prećutati, jer je u praksi izuzetno rijedak.

Primjer 4

Uvesti funkciju kao zbir elementarnih razlomaka sa nepoznatim koeficijentima.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Striktno slijedite algoritam!

Ako razumijete principe po kojima trebate proširiti razlomačko-racionalnu funkciju u zbir, možete prožvakati gotovo svaki integral tipa koji se razmatra.

Primjer 5

Pronađite neodređeni integral.

Korak 1. Očigledno je razlomak tačan:

Korak 2. Da li je moguće nešto faktorisati u imenilac? Može. Ovdje je zbir kocki . Faktori nazivnik koristeći skraćenu formulu množenja

Korak 3. Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, proširujemo integrand u zbir elementarnih razlomaka:

Napominjemo da se polinom ne može faktorizirati (provjeriti da je diskriminanta negativna), pa na vrh stavljamo linearnu funkciju s nepoznatim koeficijentima, a ne samo jedno slovo.

Dovodimo razlomak na zajednički nazivnik:

Sastavimo i riješimo sistem:

(1) Izražavamo iz prve jednačine i zamjenjujemo je u drugu jednačinu sistema (ovo je najracionalniji način).

(2) Slične članove predstavljamo u drugoj jednačini.

(3) Drugu i treću jednačinu sistema dodajemo po član.

Svi dalji proračuni su, u principu, usmeni, jer je sistem jednostavan.

(1) Zbir razlomaka zapisujemo u skladu sa pronađenim koeficijentima.

(2) Koristimo svojstva linearnosti neodređenog integrala. Šta se dogodilo u drugom integralu? Možete se upoznati sa ovom metodom u zadnjem pasusu lekcije. Integracija nekih razlomaka.

(3) Još jednom koristimo svojstva linearnosti. U trećem integralu počinjemo izolirati cijeli kvadrat (pretposljednji pasus lekcije Integracija nekih razlomaka).

(4) Uzimamo drugi integral, u trećem biramo ceo kvadrat.

(5) Uzmimo treći integral. Spreman.

Razmatraju se primjeri integracije racionalnih funkcija (razlomaka) sa detaljnim rješenjima.

Sadržaj

Vidi također: Korijeni kvadratne jednadžbe

Ovdje pružamo detaljna rješenja za tri primjera integracije sljedećih racionalnih razlomaka:
, , .

Primjer 1

Izračunaj integral:
.

Ovdje se pod predznakom integrala nalazi racionalna funkcija, pošto je integrand razlomak polinoma. Stepen polinoma nazivnika ( 3 ) je manji od stepena brojevnog polinoma ( 4 ). Stoga, prvo morate odabrati cijeli dio razlomka.

1. Odaberimo cijeli dio razlomka. Podijelite x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Odavde
.

2. Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti kubnu jednačinu:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamenimo x = 1 :
.

1 . Podijeli sa x - 1 :

Odavde
.
Rješavanje kvadratne jednadžbe.
.
Korijeni jednadžbe su: , .
Onda
.

3. Razložimo razlomak u njegov najjednostavniji oblik.

.

Tako smo pronašli:
.
Hajde da se integrišemo.

Primjer 2

Izračunaj integral:
.

Ovdje je brojilac razlomka polinom stepena nula ( 1 = x 0). Imenilac je polinom trećeg stepena. Zbog 0 < 3 , onda je razlomak tačan. Podijelimo ga na jednostavne razlomke.

1. Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu trećeg stepena:
.
Pretpostavimo da ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja 3 (član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 3, -1, -3 .
Zamenimo x = 1 :
.

Dakle, našli smo jedan korijen x = 1 . Podijelite x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

dakle,
.

Rješavanje kvadratne jednadžbe:
x 2 + x + 3 = 0.
Naći diskriminanta: D = 1 2 - 4 3 = -11. Od D< 0 , tada jednadžba nema pravi korijen. Tako smo dobili faktorizaciju nazivnika:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Zamenimo x = 1 . Onda x - 1 = 0 ,
.

Zamenimo unutra (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Hajde da se izjednačimo sa (2.1) koeficijenti za x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Hajde da se integrišemo.
(2.2) .
Da bismo izračunali drugi integral, biramo izvod nazivnika u brojniku i imenilac svedemo na zbir kvadrata.

;
;
.

Izračunaj I 2 .


.
Budući da je jednačina x 2 + x + 3 = 0 nema pravih korijena, tada x 2 + x + 3 > 0. Stoga se znak modula može izostaviti.

Mi dostavljamo na (2.2) :
.

Primjer 3

Izračunaj integral:
.

Ovdje se pod predznakom integrala nalazi dio polinoma. Dakle, integrand je racionalna funkcija. Stepen polinoma u brojiocu je jednak 3 . Stepen polinoma nazivnika razlomka je jednak 4 . Zbog 3 < 4 , onda je razlomak tačan. Stoga se može razložiti na jednostavne razlomke. Ali da biste to uradili, morate rastaviti imenilac na faktore.

1. Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu četvrtog stepena:
.
Pretpostavimo da ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja 2 (član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamenimo x = -1 :
.

Dakle, našli smo jedan korijen x = -1 . Podijeli sa x - (-1) = x + 1:


dakle,
.

Sada treba da rešimo jednačinu trećeg stepena:
.
Ako pretpostavimo da ova jednadžba ima cjelobrojni korijen, onda je ona djelitelj broja 2 (član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamenimo x = -1 :
.

Dakle, našli smo još jedan korijen x = -1 . Bilo bi moguće, kao iu prethodnom slučaju, polinom podijeliti sa , ali ćemo grupisati pojmove:
.

Budući da je jednačina x 2 + 2 = 0 nema pravih korijena, tada dobijamo faktorizaciju nazivnika:
.

2. Razložimo razlomak u njegov najjednostavniji oblik. Tražimo proširenje u obliku:
.
Riješimo se nazivnika razlomka, pomnožimo sa (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Zamenimo x = -1 . Tada je x + 1 = 0 ,
.

Hajde da razlikujemo (3.1) :

;

.
Zamenimo x = -1 i uzeti u obzir da je x + 1 = 0 :
;
; .

Zamenimo unutra (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Hajde da se izjednačimo sa (3.1) koeficijenti za x 3 :
;
1 = B + C;
.

Dakle, pronašli smo dekompoziciju na jednostavne razlomke:
.

3. Hajde da se integrišemo.


.

Vidi također:

Razlomak se zove ispravan, ako je najviši stepen brojioca manji od najvišeg stepena nazivnika. Integral pravilnog racionalnog razlomka ima oblik:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula za integraciju racionalnih razlomaka ovisi o korijenima polinoma u nazivniku. Ako polinom $ ax^2+bx+c $ ima:

1. Samo kompleksni korijeni, onda je iz njega potrebno izdvojiti cijeli kvadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Različiti realni korijeni $ x_1 $ i $ x_2 $, tada trebate proširiti integral i pronaći neodređene koeficijente $ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Jedan višestruki korijen $ x_1 $, zatim proširimo integral i pronađemo neodređene koeficijente $ A $ i $ B $ za sljedeću formulu: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ako je razlomak pogrešno, odnosno, najviši stepen u brojiocu je veći ili jednak najvećem stepenu nazivnika, onda se prvo mora svesti na ispravan oblik dijeljenjem polinoma od brojnika sa polinomom od nazivnika. U ovom slučaju, formula za integraciju racionalnog razlomka ima oblik:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Primjeri rješenja

Primjer 1

Pronađite integral racionalnog razlomka: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Rješenje

Razlomak je pravilan i polinom ima samo kompleksne korijene. Stoga biramo cijeli kvadrat: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Savijamo cijeli kvadrat i stavljamo ga pod diferencijalni znak $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Koristeći tablicu integrala dobijamo: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika!

Odgovori

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Primjer 2

Izvršite integraciju racionalnih razlomaka: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Rješenje

Rešimo kvadratnu jednačinu: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Zapisujemo korijene: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Uzimajući u obzir dobijene korijene, transformiramo integral: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Izvodimo proširenje racionalnog razlomka: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Izjednačavamo brojioce i nalazimo koeficijente $ A $ i $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(slučajevi) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(slučajevi) $$ $$ \begin(slučajevi) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(slučajevi) $$ Pronađene koeficijente zamjenjujemo u integral i rješavamo: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Odgovori

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$