Integracija frakciono-racionalne funkcije.
Metoda nesigurnih koeficijenata

Nastavljamo da radimo na integraciji razlomaka. U lekciji smo već pogledali integrale nekih vrsta razlomaka, a ova lekcija se u izvesnom smislu može smatrati nastavkom. Za uspješno razumijevanje gradiva potrebne su osnovne vještine integracije, pa ako ste tek počeli proučavati integrale, odnosno početnik ste, onda morate početi sa člankom Neodređeni integral. Primjeri rješenja.

Čudno, sada ćemo se baviti ne toliko pronalaženjem integrala, već... rješavanjem sistema linearnih jednačina. U tom pogledu hitno Preporučujem da prisustvujete času, naime potrebno je dobro poznavati metode zamjene („školska“ metoda i metoda sabiranja (oduzimanja) sistemskih jednačina po članu).

Šta je razlomka racionalna funkcija? Jednostavnim riječima, razlomka-racionalna funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome ili proizvode polinoma. Štaviše, razlomci su sofisticiraniji od onih o kojima se govori u članku Integracija nekih razlomaka.

Integracija pravilne frakciono-racionalne funkcije

Odmah primjer i tipičan algoritam za rješavanje integrala frakciono-racionalne funkcije.

Primjer 1

Korak 1. Prva stvar koju UVIJEK radimo kada rješavamo integral razlomke racionalne funkcije je da razjasnimo sljedeće pitanje: je li razlomak pravilan? Ovaj korak se izvodi usmeno, a sada ću objasniti kako:

Prvo pogledamo brojilac i saznamo viši stepen polinom:

Vodeća snaga brojioca je dva.

Sada gledamo u nazivnik i saznajemo viši stepen nazivnik. Očigledan način je da otvorite zagrade i unesete slične pojmove, ali to možete učiniti jednostavnije, unutra svaki pronađite najviši stepen u zagradama

i mentalno pomnožiti: - dakle, najveći stepen nazivnika je jednak tri. Sasvim je očigledno da ako zaista otvorimo zagrade, nećemo dobiti stepen veći od tri.

Zaključak: Glavni stepen brojioca STROGO je manji od najvećeg stepena nazivnika, što znači da je razlomak pravilan.

Ako je u ovom primjeru brojilac sadržavao polinom 3, 4, 5, itd. stepeni, tada bi razlomak bio pogrešno.

Sada ćemo razmotriti samo ispravne razlomke racionalne funkcije. O slučaju kada je stepen brojioca veći ili jednak stepenu nazivnika biće reči na kraju lekcije.

Korak 2. Hajde da faktorizujemo imenilac. Pogledajmo naš imenilac:

Uopšteno govoreći, to je već proizvod faktora, ali se, ipak, pitamo: da li je moguće proširiti nešto drugo? Predmet mučenja će nesumnjivo biti kvadratni trinom. Rješavanje kvadratne jednadžbe:

Diskriminant je veći od nule, što znači da se trinom zaista može faktorizirati:

Opšte pravilo: SVE što se MOŽE rastaviti u imenilac - čini ga

Počnimo formulirati rješenje:

Korak 3. Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, proširujemo integrand u zbir prostih (elementarnih) razlomaka. Sada će biti jasnije.

Pogledajmo našu integrand funkciju:

I, znate, nekako se pojavi intuitivna misao da bi bilo lijepo naš veliki dio pretvoriti u nekoliko malih. Na primjer, ovako:

Postavlja se pitanje da li je to uopšte moguće uraditi? Odahnimo, odgovara odgovarajuća teorema matematičke analize – MOGUĆE JE. Takva dekompozicija postoji i jedinstvena je.

Postoji samo jedna kvaka, šanse su ćao Ne znamo, otuda i naziv – metoda neodređenih koeficijenata.

Kao što pogađate, naknadni pokreti tijela su takvi, nemojte se kikotati! će biti usmjereno samo na njihovo PREPOZNAVANJE – da saznamo čemu su jednaki.

Budite oprezni, objasniću detaljno samo jednom!

Dakle, krenimo plesati od:

Na lijevoj strani svodimo izraz na zajednički nazivnik:

Sada se možemo sigurno riješiti nazivnika (pošto su isti):

Na lijevoj strani otvaramo zagrade, ali za sada ne dirajte nepoznate koeficijente:

Istovremeno ponavljamo školsko pravilo za množenje polinoma. Kada sam bio učitelj, naučio sam da izgovaram ovo pravilo s pravim licem: Da biste polinom pomnožili polinomom, morate svaki član jednog polinoma pomnožiti sa svakim članom drugog polinoma.

Sa stanovišta jasnog objašnjenja, bolje je koeficijente staviti u zagrade (iako ja lično to nikada ne radim da bih uštedio vrijeme):

Sastavljamo sistem linearnih jednačina.
Prvo tražimo više diplome:

I upisujemo odgovarajuće koeficijente u prvu jednačinu sistema:

Dobro zapamtite sljedeću tačku. Šta bi se dogodilo da s na desnoj strani uopće nema? Recimo, da li bi se samo pokazao bez kvadrata? U ovom slučaju, u jednačini sistema bilo bi potrebno staviti nulu desno: . Zašto nula? Ali zato što na desnoj strani uvijek možete dodijeliti ovom istom kvadratu nulu: Ako na desnoj strani nema varijabli i/ili slobodnog člana, onda stavljamo nule na desnu stranu odgovarajućih jednačina sistema.

Zapisujemo odgovarajuće koeficijente u drugu jednačinu sistema:

I na kraju, mineralnu vodu, biramo besplatne članove.

Eh... malo sam se šalio. Šalu na stranu - matematika je ozbiljna nauka. U našoj institutskoj grupi niko se nije nasmijao kada je docentica rekla da će rasuti pojmove duž brojevne prave i izabrati najveće. Hajde da se uozbiljimo. Mada... ko doživi kraj ove lekcije ipak će se tiho osmehnuti.

Sistem je spreman:

Rešavamo sistem:

(1) Iz prve jednačine izražavamo je i zamjenjujemo u 2. i 3. jednačinu sistema. U stvari, bilo je moguće izraziti (ili neko drugo slovo) iz druge jednačine, ali u ovom slučaju je korisno izraziti iz 1. jednačine, jer postoji najmanji izgledi.

(2) Slične članove predstavljamo u 2. i 3. jednadžbi.

(3) Sabiramo 2. i 3. jednadžbe član po član, dajući jednakost , iz koje slijedi da

(4) Zamjenjujemo u drugu (ili treću) jednačinu, odakle to nalazimo

(5) Zamijenite i u prvu jednačinu, dobivajući .

Ako imate bilo kakvih poteškoća s metodama rješavanja sistema, vježbajte ih na času. Kako riješiti sistem linearnih jednačina?

Nakon rješavanja sistema uvijek je korisno provjeriti - zamijeniti pronađene vrijednosti svaki jednačina sistema, kao rezultat bi sve trebalo „konvergirati“.

Skoro sam tu. Pronađeni su koeficijenti i:

Završeni posao bi trebao izgledati otprilike ovako:

Kao što vidite, glavna poteškoća zadatka bila je sastaviti (tačno!) i riješiti (tačno!) sistem linearnih jednačina. I u završnoj fazi, sve nije tako teško: koristimo svojstva linearnosti neodređenog integrala i integriramo. Imajte na umu da pod svakim od tri integrala imamo „slobodnu“ kompleksnu funkciju; govorio sam o karakteristikama njene integracije u lekciji Metoda promjenljive promjene u neodređenom integralu.

Provjera: Razlikujte odgovor:

Dobijena je originalna funkcija integranda, što znači da je integral pravilno pronađen.
Prilikom verifikacije morali smo izraz svesti na zajednički imenilac i to nije slučajno. Metoda neodređenih koeficijenata i svođenje izraza na zajednički nazivnik su međusobno inverzne akcije.

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral.

Vratimo se razlomku iz prvog primjera: . Lako je uočiti da su u nazivniku svi faktori RAZLIČITI. Postavlja se pitanje šta učiniti ako je, na primjer, dat sljedeći razlomak: ? Ovdje imamo stepene u nazivniku, ili, matematički, višestruki. Osim toga, postoji kvadratni trinom koji se ne može faktorizirati (lako je provjeriti da je diskriminanta jednadžbe je negativan, pa se trinom ne može faktorizirati). sta da radim? Proširenje u zbir elementarnih razlomaka izgledat će otprilike ovako sa nepoznatim koeficijentima na vrhu ili nesto drugo?

Primjer 3

Uvesti funkciju

Korak 1. Provjeravamo da li imamo pravi razlomak
Glavni brojilac: 2
Najviši stepen imenioca: 8
, što znači da je razlomak tačan.

Korak 2. Da li je moguće nešto faktorisati u imenilac? Očigledno nije, sve je već raspoređeno. Kvadratni trinom se ne može proširiti u proizvod iz gore navedenih razloga. Hood. Manje posla.

Korak 3. Zamislimo frakciono-racionalnu funkciju kao zbir elementarnih razlomaka.
U ovom slučaju, ekspanzija ima sljedeći oblik:

Pogledajmo naš imenilac:
Prilikom dekompozicije razlomno-racionalne funkcije u zbir elementarnih razlomaka, mogu se razlikovati tri osnovne točke:

1) Ako nazivnik sadrži “usamljeni” faktor na prvi stepen (u našem slučaju), onda na vrh stavljamo neodređeni koeficijent (u našem slučaju). Primjeri br. 1, 2 sastojali su se samo od takvih „usamljenih“ faktora.

2) Ako imenilac ima višestruko množitelja, onda ga trebate razložiti na sljedeći način:
- to jest, uzastopno proći kroz sve stepene "X" od prvog do n-og stepena. U našem primjeru postoje dva višestruka faktora: i , pogledajte još jednom proširenje koje sam dao i uvjerite se da su prošireni točno prema ovom pravilu.

3) Ako nazivnik sadrži nerazložljivi polinom drugog stepena (u našem slučaju), onda kada se dekomponuje u brojiocu treba da napišete linearnu funkciju sa neodređenim koeficijentima (u našem slučaju sa neodređenim koeficijentima i ).

Zapravo, postoji još jedan 4. slučaj, ali ću o tome prećutati, jer je u praksi izuzetno rijedak.

Primjer 4

Uvesti funkciju kao zbir elementarnih razlomaka sa nepoznatim koeficijentima.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Striktno slijedite algoritam!

Ako razumijete principe po kojima trebate proširiti razlomačko-racionalnu funkciju u zbir, možete prožvakati gotovo svaki integral tipa koji se razmatra.

Primjer 5

Pronađite neodređeni integral.

Korak 1. Očigledno je razlomak tačan:

Korak 2. Da li je moguće nešto faktorisati u imenilac? Može. Ovdje je zbir kocki . Faktori nazivnik koristeći skraćenu formulu množenja

Korak 3. Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, proširujemo integrand u zbir elementarnih razlomaka:

Napominjemo da se polinom ne može faktorizirati (provjeriti da je diskriminanta negativna), pa na vrh stavljamo linearnu funkciju s nepoznatim koeficijentima, a ne samo jedno slovo.

Dovodimo razlomak na zajednički nazivnik:

Sastavimo i riješimo sistem:

(1) Izražavamo iz prve jednačine i zamjenjujemo je u drugu jednačinu sistema (ovo je najracionalniji način).

(2) Slične članove predstavljamo u drugoj jednačini.

(3) Drugu i treću jednačinu sistema dodajemo po član.

Svi dalji proračuni su, u principu, usmeni, jer je sistem jednostavan.

(1) Zbir razlomaka zapisujemo u skladu sa pronađenim koeficijentima.

(2) Koristimo svojstva linearnosti neodređenog integrala. Šta se dogodilo u drugom integralu? Možete se upoznati sa ovom metodom u zadnjem pasusu lekcije. Integracija nekih razlomaka.

(3) Još jednom koristimo svojstva linearnosti. U trećem integralu počinjemo izolirati cijeli kvadrat (pretposljednji pasus lekcije Integracija nekih razlomaka).

(4) Uzimamo drugi integral, u trećem biramo ceo kvadrat.

(5) Uzmimo treći integral. Spreman.

Dato je izvođenje formula za izračunavanje integrala najjednostavnijih, elementarnih, razlomaka četiri tipa. Složeniji integrali, od razlomaka četvrtog tipa, izračunavaju se pomoću formule redukcije. Razmatran je primjer integracije razlomka četvrtog tipa.

Sadržaj

Vidi također: Tabela neodređenih integrala
Metode za izračunavanje neodređenih integrala

Kao što je poznato, svaka racionalna funkcija neke varijable x može se razložiti na polinom i najjednostavnije, elementarne razlomke. Postoje četiri vrste prostih razlomaka:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ovdje su a, A, B, b, c realni brojevi. Jednačina x 2 + bx + c = 0 nema prave korene.

Integracija razlomaka prva dva tipa

Integriranje prva dva razlomka vrši se pomoću sljedećih formula iz tablice integrala:
,
, n ≠ - 1 .

1. Integriranje razlomaka prvog tipa

Razlomak prvog tipa svodi se na tablični integral zamjenom t = x - a:
.

2. Integracija razlomaka drugog tipa

Razlomak drugog tipa svodi se na tablični integral istom zamjenom t = x - a:

.

3. Integracija razlomaka trećeg tipa

Razmotrimo integral razlomka trećeg tipa:
.
Izračunat ćemo ga u dva koraka.

3.1. Korak 1. Odaberite izvod nazivnika u brojniku

Izolirajmo izvod nazivnika u brojiocu razlomka. Označimo: u = x 2 + bx + c. Razlikujemo: u′ = 2 x + b. Onda
;
.
Ali
.
Izostavili smo znak modula jer .

onda:
,
Gdje
.

3.2. Korak 2. Izračunajte integral sa A = 0, B = 1

Sada izračunavamo preostali integral:
.

Dovodimo imenilac razlomka na zbir kvadrata:
,
Gdje .
Vjerujemo da je jednadžba x 2 + bx + c = 0 nema korijena. Zbog toga .

Hajde da napravimo zamenu
,
.
.

dakle,
.

Tako smo pronašli integral razlomka trećeg tipa:

,
Gdje .

4. Integracija razlomaka četvrtog tipa

I na kraju, razmotrite integral razlomka četvrtog tipa:
.
Računamo u tri koraka.

4.1) Odaberite izvod nazivnika u brojiocu:
.

4.2) Izračunajte integral
.

4.3) Izračunajte integrale
,
koristeći formulu redukcije:
.

4.1. Korak 1. Izolacija izvoda nazivnika u brojiocu

Izolirajmo derivaciju nazivnika u brojiocu, kao što smo to učinili u . Označimo u = x 2 + bx + c. Razlikujemo: u′ = 2 x + b. Onda
.

.
Ali
.

Konačno imamo:
.

4.2. Korak 2. Izračunajte integral sa n = 1

Izračunajte integral
.
Njegov izračun je prikazan u .

4.3. Korak 3. Izvođenje formule redukcije

Sada razmotrite integral
.

Svodimo kvadratni trinom na zbir kvadrata:
.
Evo.
Hajde da napravimo zamenu.
.
.

Vršimo transformacije i integriramo se u dijelovima.

.

Pomnoži sa 2(n - 1):
.
Vratimo se na x i I n.
,
;
;
.

Dakle, za I n smo dobili formulu redukcije:
.
Dosljedno primjenjujući ovu formulu, smanjujemo integral I n na I 1 .

Primjer

Izračunaj integral

1. Izolirajmo derivaciju nazivnika u brojiocu.
;
;

.
Evo
.

2. Računamo integral najjednostavnijeg razlomka.

.

3. Primjenjujemo formulu redukcije:

za integral.
U našem slučaju b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Zapisujemo ovu formulu za n = 2 i n = 3 :
;
.
Odavde

.

Konačno imamo:

.
Pronađite koeficijent za .
.

Vidi također:

Problem nalaženja neodređenog integrala frakciono racionalne funkcije svodi se na integraciju jednostavnih razlomaka. Stoga preporučujemo da se prvo upoznate s odjeljkom teorije razlaganja razlomaka na najjednostavnije.

Primjer.

Pronađite neodređeni integral.

Rješenje.

Pošto je stepen brojioca integranda jednak stepenu nazivnika, prvo biramo ceo deo tako što podelimo polinom polinomom sa kolonom:

Zbog toga, .

Dekompozicija rezultirajućeg pravilnog racionalnog razlomka na jednostavnije razlomke ima oblik . dakle,

Rezultirajući integral je integral najjednostavnijeg razlomka trećeg tipa. Gledajući malo unaprijed, napominjemo da ga možete uzeti pod znakom diferencijala.

Jer , To . Zbog toga

dakle,

Sada pređimo na opisivanje metoda za integraciju jednostavnih razlomaka svakog od četiri tipa.

Integracija prostih razlomaka prvog tipa

Metoda direktne integracije je idealna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Pronađite skup antiderivata funkcije

Rješenje.

Nađimo neodređeni integral koristeći svojstva antiderivata, tablicu antiderivata i pravilo integracije.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka drugog tipa

Metoda direktne integracije je također pogodna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Rješenje.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka trećeg tipa

Prvo predstavljamo neodređeni integral kao zbir:

Prvi integral uzimamo tako što ga podnesemo pod diferencijalni predznak:

Zbog toga,

Transformirajmo imenilac rezultujućeg integrala:

dakle,

Formula za integraciju jednostavnih razlomaka trećeg tipa ima oblik:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Rješenje.

Koristimo rezultirajuću formulu:

Da nemamo ovu formulu, šta bismo radili:

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka četvrtog tipa

Prvi korak je da ga stavite pod diferencijalni znak:

Drugi korak je pronalaženje integrala forme . Integrali ovog tipa nalaze se pomoću formula recidiva. (Pogledajte odjeljak o integraciji pomoću formula za ponavljanje.) Sljedeća rekurentna formula je prikladna za naš slučaj:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral

Rješenje.

Za ovaj tip integrala koristimo metodu supstitucije. Hajde da uvedemo novu varijablu (pogledajte odjeljak o integraciji iracionalnih funkcija):

Nakon zamjene imamo:

Došli smo do pronalaženja integrala razlomka četvrtog tipa. U našem slučaju imamo koeficijente M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 I n=3. Primjenjujemo rekurentnu formulu:

Nakon obrnute zamjene dobivamo rezultat:

Integracija trigonometrijskih funkcija

1.Integrali oblika

izračunavaju se transformacijom proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir koristeći formule:

Na primjer, 2.Integrali oblika

, Gdje m ili n– neparan pozitivan broj, izračunat tako što se podnese pod diferencijalni predznak. Na primjer,

3.Integrali oblika

, Gdje m I n– čak i pozitivni brojevi se izračunavaju pomoću formula za smanjenje stepena: Na primjer,

4.Integrali

gdje se izračunavaju promjenom varijable: ili Na primjer,

5. Integrali oblika se svode na integrale racionalnih razlomaka upotrebom univerzalne trigonometrijske zamjene tada (pošto

=[nakon dijeljenja brojnika i nazivnika sa ]= ;

Na primjer,

Treba napomenuti da korištenje univerzalne zamjene često dovodi do glomaznih proračuna.

§5. Integracija najjednostavnijih iracionalnosti

Razmotrimo metode za integraciju najjednostavnijih tipova iracionalnosti. 1.

Funkcije ovog tipa integriraju se na isti način kao i najjednostavniji racionalni razlomci 3. tipa: u nazivniku se iz kvadratnog trinoma izoluje potpuni kvadrat i uvodi nova varijabla. Primjer.

(pod predznakom integrala – racionalna funkcija argumenata). Integrali ovog tipa se izračunavaju zamjenom. Konkretno, u integralima oblika koji označavamo . Ako integrand sadrži korijene različitih stupnjeva:

, a zatim označiti gdje n– najmanji zajednički umnožak brojeva m,k. Primjer 1.

Primjer 2.

-nepravilan racionalni razlomak, odaberite cijeli dio:

–

3.Integrali oblika izračunavaju se korištenjem trigonometrijskih supstitucija:

45 Definitivni integral

Definitivni integral- aditivni monotoni normalizirani funkcional definiran na skupu parova, čija je prva komponenta integrabilna funkcija ili funkcionalna, a druga je domena u skupu specificiranja ove funkcije (funkcional).

Definicija

Neka se definira na . Podijelimo ga na dijelove sa nekoliko proizvoljnih tačaka. Zatim kažu da je segment particioniran. Zatim izaberite proizvoljnu tačku , ,

Definitivni integral funkcije na intervalu je granica integralnih suma pošto rang particije teži nuli, ako postoji nezavisno od particije i izbora tačaka, tj.

Ako navedena granica postoji, onda se kaže da je funkcija Riemannova integrabilna.

Oznake

· - donja granica.

· - gornja granica.

· - funkcija integranda.

· - dužina parcijalnog segmenta.

· - integralni zbir funkcije na odgovarajućoj particiji.

· - maksimalna dužina djelomičnog segmenta.

Svojstva

Ako je funkcija Riemann integrabilna na , onda je ograničena na nju.

Geometrijsko značenje

Određeni integral kao površina figure

Definitivni integral je numerički jednak površini figure ograničene apscisnom osom, ravnim linijama i grafikom funkcije.

Newton-Leibnizova teorema

[uredi]

(preusmjereno sa "Newton-Leibniz Formule")

Newton-Leibnizova formula ili glavna teorema analize daje odnos između dvije operacije: uzimanja određenog integrala i izračunavanja antiderivata.

Dokaz

Neka je integrabilna funkcija data na intervalu. Počnimo tako što ćemo to primetiti

odnosno nije bitno koje je slovo (ili) pod znakom u određenom integralu nad segmentom.

Postavimo proizvoljnu vrijednost i definiramo novu funkciju . Definiran je za sve vrijednosti , jer znamo da ako postoji integral od na , onda postoji i integral od na , gdje je . Podsjetimo da razmatramo po definiciji

(1)

primeti, to

Pokažimo da je kontinuirano na intervalu . U stvari, neka ; Onda

i ako , onda

Dakle, ona je kontinuirana bez obzira da li ima ili nema diskontinuitet; važno je da je integrabilan na .

Na slici je prikazan grafikon. Površina promjenljive figure je . Njegov prirast je jednak površini figure , koji zbog svoje omeđenosti očigledno teži nuli u, bez obzira da li je u pitanju tačka kontinuiteta ili diskontinuiteta, na primer tačka.

Neka sada funkcija ne samo da je integrabilna na , već kontinuirana u točki . Dokažimo da je tada derivacija u ovoj tački jednaka

(2)

Zapravo, za naznačenu tačku

(1) , (3)

Stavili smo , i pošto je konstantno u odnosu na ,TO . Nadalje, zbog kontinuiteta u točki, za bilo koji može odrediti takav da za .

što dokazuje da je lijeva strana ove nejednakosti o(1) za .

Prelazak na granicu u (3) na pokazuje postojanje izvoda od u tački i valjanost jednakosti (2). Kada je ovdje riječ o desnim i lijevim derivatima, respektivno.

Ako je funkcija kontinuirana na , onda, na osnovu onoga što je gore dokazano, odgovarajuća funkcija

(4)

ima derivaciju jednaku . Dakle, funkcija je antiderivat za .

Ovaj zaključak se ponekad naziva teorem integralnog varijabli gornje granice ili Barrowov teorem.

Dokazali smo da proizvoljna funkcija kontinuirana na intervalu ima antiderivat na ovom intervalu definisanu jednakošću (4). Ovo dokazuje postojanje antiderivata za bilo koju funkciju kontinuiranu na intervalu.

Neka sada postoji proizvoljan antiderivat funkcije na . Znamo da je , gdje je neka konstanta. Uz pretpostavku u ovoj jednakosti i uzimajući u obzir da , dobivamo .

Dakle, . Ali

Nepravilan integral

[uredi]

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Definitivni integral pozvao ne svoju, ako je ispunjen barem jedan od sljedećih uslova:

· Granica a ili b (ili oba ograničenja) su beskonačna;

· Funkcija f(x) ima jednu ili više tačaka prekida unutar segmenta.

[uredi]Nepravilni integrali prve vrste

. onda:

1. Ako a integral se zove . U ovom slučaju naziva se konvergentnim.

, ili jednostavno divergentno.

Neka je definiran i kontinuiran na skupu iz i . onda:

1. Ako , tada se koristi notacija a integral se zove nepravilan Rimanov integral prve vrste. U ovom slučaju naziva se konvergentnim.

2. Ako nema konačnih ( ili ), tada se kaže da integral divergira , ili jednostavno divergentno.

Ako je funkcija definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, onda može postojati nepravilan integral ove funkcije s dvije beskonačne granice integracije, definirane formulom:

, gdje je c proizvoljan broj.

[uredi] Geometrijsko značenje nepravilnog integrala prve vrste

Nepravilan integral izražava površinu beskonačno dugog zakrivljenog trapeza.

[uredi] Primjeri

[uredi]Nepravilni integrali druge vrste

Neka se definira na , pretrpjeti beskonačan diskontinuitet u točki x=a i . onda:

1. Ako , tada se koristi notacija a integral se zove

naziva se divergentnim na , ili jednostavno divergentno.

Neka se definira na , trpi beskonačan diskontinuitet na x=b i . onda:

1. Ako , tada se koristi notacija a integral se zove nepravilan Rimanov integral druge vrste. U ovom slučaju, integral se naziva konvergentan.

2. Ako ili , tada oznaka ostaje ista, i naziva se divergentnim na , ili jednostavno divergentno.

Ako funkcija pretrpi diskontinuitet u unutrašnjoj točki segmenta , tada je nepravilan integral druge vrste određen formulom:

[uredi] Geometrijsko značenje nepravih integrala druge vrste

Nepravilan integral izražava površinu beskonačno visokog zakrivljenog trapeza

[uredi] Primjer

[uredi]Izolovani slučaj

Neka je funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i ima diskontinuitet u tačkama.

Tada možemo pronaći nepravilan integral

[uredi] Cauchyjev kriterij

1. Neka je definiran na skupu iz i .

Onda konvergira

2. Neka se definira na i .

Onda konvergira

[uredi]Apsolutna konvergencija

Integral pozvao apsolutno konvergentno, Ako konvergira.
Ako integral konvergira apsolutno, onda konvergira.

[uredi]Uslovna konvergencija

Integral se zove uslovno konvergentan, ako se konvergira, ali se razilazi.

48 12. Nepravilni integrali.

Kada se razmatraju definitivni integrali, pretpostavili smo da je oblast integracije ograničena (tačnije, to je segment [ a ,b ]); Za postojanje određenog integrala, integrand mora biti ograničen na [ a ,b ]. Nazvat ćemo definitivne integrale za koje su oba ova uslova zadovoljena (ograničenost i domene integracije i integranda) vlastiti; integrali za koje su ovi zahtjevi prekršeni (tj. ili integrand ili domen integracije je neograničen, ili oboje) ne svoju. U ovom dijelu ćemo proučavati nepravilne integrale.

12.1. Nepravilni integrali nad neograničenim intervalom (nepravilni integrali prve vrste).

12.1.1. Definicija nepravilnog integrala na beskonačnom intervalu. Primjeri.
12.1.2. Newton-Leibnizova formula za nepravilan integral.
12.1.3. Kriteriji poređenja za nenegativne funkcije.

12.1.3.1. Znak poređenja.
12.1.3.2. Znak poređenja u svom ekstremnom obliku.

12.1.4. Apsolutna konvergencija nepravilnih integrala na beskonačnom intervalu.
12.1.5. Testovi za Abelovu i Dirichletovu konvergenciju.

12.2. Nepravilni integrali neograničenih funkcija (nepravilni integrali druge vrste).

12.2.1. Definicija nepravilnog integrala neograničene funkcije.

12.2.1.1. Singularnost je na lijevom kraju intervala integracije.
12.2.1.2. Primjena Newton-Leibnizove formule.
12.2.1.3. Singularnost na desnom kraju intervala integracije.
12.2.1.4. Singularnost u unutrašnjoj tački intervala integracije.
12.2.1.5. Nekoliko karakteristika na intervalu integracije.

12.2.2. Kriteriji poređenja za nenegativne funkcije.

12.2.2.1. Znak poređenja.
12.2.2.2. Znak poređenja u svom ekstremnom obliku.

12.2.3. Apsolutna i uslovna konvergencija nepravilnih integrala diskontinuiranih funkcija.
12.2.4. Testovi za Abelovu i Dirichletovu konvergenciju.

12.1. Nepravilni integrali nad neograničenim intervalom

(nepravilni integrali prve vrste).

12.1.1. Definicija nepravilnog integrala na beskonačnom intervalu. Neka funkcija f (x ) je definiran na poluosi i integrabilan je u bilo kojem intervalu [ iz, implicirajući u svakom od ovih slučajeva postojanje i konačnost odgovarajućih granica. Sada rješenja primjera izgledaju jednostavnije: .

12.1.3. Kriteriji poređenja za nenegativne funkcije. U ovom dijelu ćemo pretpostaviti da su svi integrandi nenegativni u cijeloj domeni definicije. Do sada smo konvergenciju integrala određivali tako što smo ga izračunali: ako postoji konačna granica antiderivata sa odgovarajućom tendencijom ( ili ), tada integral konvergira, inače divergira. Prilikom rješavanja praktičnih problema, međutim, važno je prvo utvrditi samu činjenicu konvergencije, pa tek onda izračunati integral (osim toga, antiderivat se često ne izražava elementarnim funkcijama). Hajde da formulišemo i dokažemo niz teorema koje nam omogućavaju da utvrdimo konvergenciju i divergenciju nepravilnih integrala nenegativnih funkcija bez njihovog izračunavanja.
12.1.3.1. Znak za poređenje. Neka funkcije f (x ) I g (x ) integral

Primjer.

Rješenje.

Pošto je stepen brojioca integranda jednak stepenu nazivnika, prvo biramo ceo deo tako što podelimo polinom polinomom sa kolonom:

Zbog toga, .

Dekompozicija rezultirajućeg pravilnog racionalnog razlomka na jednostavnije razlomke ima oblik . dakle,

Rezultirajući integral je integral najjednostavnijeg razlomka trećeg tipa. Gledajući malo unaprijed, napominjemo da ga možete uzeti pod znakom diferencijala.

Jer , To . Zbog toga

dakle,

Sada pređimo na opisivanje metoda za integraciju jednostavnih razlomaka svakog od četiri tipa.

Integracija prostih razlomaka prvog tipa

Metoda direktne integracije je idealna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Rješenje.

Nađimo neodređeni integral koristeći svojstva antiderivata, tablicu antiderivata i pravilo integracije.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka drugog tipa

Metoda direktne integracije je također pogodna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Rješenje.

Vrh stranice

Integracija prostih razlomaka trećeg tipa

Prvo predstavljamo neodređeni integral kao zbir:

Prvi integral uzimamo tako što ga podnesemo pod diferencijalni predznak:

Zbog toga,

Transformirajmo imenilac rezultujućeg integrala:

dakle,

Formula za integraciju jednostavnih razlomaka trećeg tipa ima oblik:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Rješenje.

Koristimo rezultirajuću formulu:

Da nemamo ovu formulu, šta bismo radili:

9. Integracija prostih razlomaka četvrtog tipa

Prvi korak je da ga stavite pod diferencijalni znak:

Drugi korak je pronalaženje integrala forme . Integrali ovog tipa nalaze se pomoću formula recidiva. (Pogledajte particioniranje pomoću formula ponavljanja). Sljedeća rekurentna formula je prikladna za naš slučaj:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral

Rješenje.

Za ovaj tip integrala koristimo metodu supstitucije. Hajde da uvedemo novu varijablu (pogledajte odjeljak o integraciji iracionalnih funkcija):

Nakon zamjene imamo:

Došli smo do pronalaženja integrala razlomka četvrtog tipa. U našem slučaju imamo koeficijente M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 I n=3. Primjenjujemo rekurentnu formulu:

Nakon obrnute zamjene dobivamo rezultat:

10. Integracija trigonometrijskih funkcija.

Mnogi problemi se svode na pronalaženje integrala transcendentalnih funkcija koje sadrže trigonometrijske funkcije. U ovom članku ćemo grupisati najčešće tipove integranda i koristiti primjere za razmatranje metoda za njihovu integraciju.

Počnimo sa integracijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Iz tabele antiderivata to odmah konstatujemo I .

Metoda poduzimanja diferencijalnog predznaka omogućava vam da izračunate neodređene integrale tangentne i kotangensne funkcije:

Vrh stranice

Pogledajmo prvi slučaj, drugi je apsolutno sličan.

Koristimo metodu zamjene:

Došli smo do problema integracije iracionalne funkcije. Ovdje će nam pomoći i metoda zamjene:

Ostaje samo izvršiti obrnutu zamjenu i t = sinx:

Vrh stranice

Možete saznati više o principima njihovog pronalaženja u odjeljku integracija pomoću rekurentnih formula. Ako proučavate izvođenje ovih formula, lako možete uzeti integrale oblika , Gdje m I n- cijeli brojevi.

Vrh stranice

Najviše kreativnosti dolazi kada integrand sadrži trigonometrijske funkcije s različitim argumentima.

Tu u pomoć priskaču osnovne formule trigonometrije. Zato ih zapišite na poseban papir i držite ih pred očima.

Primjer.

Pronađite skup antiderivata funkcije .

Rješenje.

Formule redukcije daju I .

Zbog toga

Nazivnik je formula za sinus zbroja, dakle,

Dolazimo do zbira tri integrala.

Vrh stranice

Integrandi koji sadrže trigonometrijske funkcije mogu se ponekad svesti na frakcione racionalne izraze koristeći standardnu trigonometrijsku supstituciju.

Napišimo trigonometrijske formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangentu kroz tangentu polovice argumenta:

Prilikom integracije biće nam potreban i diferencijalni izraz dx kroz tangentu poluugla.

Jer , To

To je, , gdje.

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Rješenje.

Koristimo standardnu trigonometrijsku supstituciju:

dakle, .

Dekomponovanje integrala na jednostavne razlomke vodi nas do sume dva integrala:

Sve što ostaje je izvršiti obrnutu zamjenu:

11. Formule ponavljanja su formule koje izražavaju n th član niza kroz prethodne članove. Često se koriste pri pronalaženju integrala.

Ne želimo da navedemo sve formule recidiva, već želimo da damo princip njihovog izvođenja. Izvođenje ovih formula zasniva se na transformaciji integranda i primeni metode integracije po delovima.

Na primjer, neodređeni integral može se uzeti pomoću formule recidiva .

Derivacija formule:

Koristeći trigonometrijske formule, možemo napisati:

Dobijeni integral nalazimo metodom integracije po dijelovima. Kao funkcija u(x) hajde da uzmemo cosx, dakle, .

Zbog toga,

Vraćamo se na originalni integral:

To je,

To je ono što je trebalo pokazati.

Sljedeće formule ponavljanja su izvedene na sličan način:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral.

Rješenje.

Koristimo rekurentnu formulu iz četvrtog paragrafa (u našem primjeru n=3):

Pošto iz tabele antiderivata imamo , To

Sve navedeno u prethodnim paragrafima nam omogućava da formulišemo osnovna pravila za integraciju racionalnih razlomaka.

1. Ako je racionalni razlomak nepravilan, onda se predstavlja kao zbir polinoma i pravilnog racionalnog razlomka (vidi paragraf 2).

Ovo svodi integraciju nepravilnog racionalnog razlomka na integraciju polinoma i pravilnog racionalnog razlomka.

2. Faktori imenilac pravog razlomka.

3. Pravi racionalni razlomak se razlaže na zbir prostih razlomaka. Ovo svodi integraciju pravilnog racionalnog razlomka na integraciju jednostavnih razlomaka.

Pogledajmo primjere.

Primjer 1. Pronađite .

Rješenje. Ispod integrala je nepravilan racionalni razlomak. Odabirom cijelog dijela, dobijamo

dakle,

Uzimajući u obzir da , Hajde da proširimo pravi racionalni razlomak

na proste razlomke:

(vidi formulu (18)). Zbog toga