drugi broj: b=

Hiljadu separator Bez razmaka "´

rezultat:

Najveći zajednički djelitelj gcd( a,b)=6

Najmanji zajednički višekratnik LCM( a,b)=468

Naziva se najveći prirodni broj koji se bez ostatka može podijeliti brojevima a i b najveći zajednički djelitelj(GCD) ovih brojeva. Označava se sa gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ili hcf(a,b).

Najmanji zajednički višekratnik LCM od dva cijela broja a i b je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa a i b bez ostatka. Označava se LCM(a,b) ili lcm(a,b).

Pozivaju se cijeli brojevi a i b uzajamno prime, ako nemaju zajedničke djelitelje osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

Neka su data dva pozitivna broja a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, tj. pronađite takav broj λ , koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vreme. Hajde da opišemo algoritam.

1) U ovom članku riječ broj će se shvatiti kao cijeli broj.

Neka a 1 ≥ a 2 i neka

Gdje m 1 , a 3 su neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak od podjele a 1 per a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Pretvarajmo se to λ deli a 1 i a 2 onda λ deli m 1 a 2 i λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Navod 2 iz članka „Djeljivost brojeva. Test djeljivosti”). Iz toga slijedi da je svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3. I obrnuto je tačno ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3 onda m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 je također djeljiv sa λ . Stoga zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1, onda možemo reći da je rješenje zadatka nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveden na jednostavniji problem nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a 3 ≠0, onda možemo podijeliti a 2 per a 3. Onda

,

Gdje m 1 i a 4 su neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak od podjele a 2 per a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim rasuđivanjem dolazimo do zaključka da su zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 se poklapa sa zajedničkim djeliteljima brojeva a 2 i a 3, kao i sa zajedničkim djeliteljima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... su brojevi koji se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim u nekom koraku n, ostatak divizije a n uključeno a n+1 će biti jednako nuli ( a n+2 =0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevi a 1 i a 2 je također djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1 . Vrijedi i obrnuto, zajednički djelitelji brojeva a n i a n+1 su također djelitelji brojeva a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj brojeva a n i a n+1 je broj a n+1 , jer a n i a n+1 su djeljivi sa a n+1 (zapamtite to a n+2 =0). Dakle a n+1 je također djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da broj a n+1 je najveći djelitelj brojeva a n i a n+1 , od najvećeg djelitelja a n+1 je sam po sebi a n+1 . Ako a n+1 se može predstaviti kao proizvod cijelih brojeva, tada su ovi brojevi također zajednički djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n+1 se poziva najveći zajednički djelitelj brojevi a 1 i a 2 .

Brojevi a 1 i a 2 mogu biti pozitivni ili negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva jednak nuli, tada će najveći zajednički djelitelj ovih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj nula brojeva je nedefiniran.

Gornji algoritam se zove Euklidski algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dva cijela broja.

Primjer pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja

Pronađite najveći zajednički djelitelj dva broja 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj brojeva 630 i 434 14. Imajte na umu da su brojevi 2 i 7 također djelitelji brojeva 630 i 434.

Koprosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Tada se ovi brojevi pozivaju koprosti brojevi, bez zajedničkog djelitelja.

Teorema 1. Ako a 1 i a 2 međusobno prosta broja, i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidski algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uslova teoreme slijedi da je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 i stoga a n i a n+1 je 1. To jest a n+1 =1.

Pomnožimo sve ove jednakosti sa λ , Onda

.

Neka je zajednički djelitelj a 1 λ I a 2 da δ . Onda δ je uključen kao množilac u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (vidi "Djeljivost brojeva", izjava 2). Dalje δ je uključen kao množilac u a 2 λ I m 2 a 3 λ , i stoga je faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Rezonujući na ovaj način, u to smo uvjereni δ je uključen kao množilac u a n−1 λ I m n−1 a n λ , a samim tim i u a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jer a n+1 =1, onda δ je uključen kao množilac u λ . Stoga broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teoreme 1.

Posljedica 1. Neka a I c Prosti brojevi su relativno b. Zatim njihov proizvod ac je prost broj u odnosu na b.

Zaista. Iz teoreme 1 ac I b imaju iste zajedničke djelitelje kao c I b. Ali brojevi c I b relativno jednostavno, tj. imaju jedan zajednički djelitelj 1. Tada ac I b također imaju jedan zajednički djelitelj 1. Dakle ac I b obostrano jednostavno.

Posljedica 2. Neka a I b koprosti brojevi i neka b deli ak. Onda b deli i k.

Zaista. Od uslova odobrenja ak I b imaju zajednički djelitelj b. Na osnovu teoreme 1, b mora biti zajednički djelitelj b I k. Dakle b deli k.

Korolar 1 se može generalizovati.

Posljedica 3. 1. Neka brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m su prosti u odnosu na broj b. Onda a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, proizvod ovih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom nizu prost u odnosu svakog broja u drugom nizu. Zatim proizvod

Morate pronaći brojeve koji su djeljivi sa svakim od ovih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1, tada ima oblik sa 1 gdje s neki broj. Ako q je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, onda

Gdje s 1 je neki cijeli broj. Onda

je najmanji zajednički višekratnici brojeva a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 su relativno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog slijedi da je bilo koji višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε I a 3 i nazad. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε I a 3 da ε 1 . Zatim, višestruki brojevi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i a 4 . Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 da ε 2. Tako smo saznali da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m se poklapaju sa višekratnicima određenog broja ε n, koji se naziva najmanji zajednički višekratnik datih brojeva.

U posebnom slučaju kada su brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m su relativno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2, kao što je gore prikazano, ima oblik (3). Sledeće, pošto a 3 prost u odnosu na brojeve a 1 , a 2 onda a 3 prost broj a 1 · a 2 (Korolar 1). Označava najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a 1 · a 2 · a 3. Rezonujući na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je jednako njihovom proizvodu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Izjava 2. Bilo koji broj koji je djeljiv sa svakim koprostim brojevima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv njihovim umnoškom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Ali mnogi prirodni brojevi su također djeljivi sa drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cjelinom (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelje brojeva. Delitelj prirodnog broja a- je prirodan broj koji dijeli dati broj a bez traga. Zove se prirodan broj koji ima više od dva djelitelja kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b- ovo je broj kojim su oba data broja podijeljena bez ostatka a I b.

Uobičajeni višestruki nekoliko brojeva je broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, in u ovom slučaju ovo je 90. Ovaj broj se zove najmanjizajednički višestruk (CMM).

LCM je uvijek prirodan broj koji mora biti veći od najvećeg broja za koji je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

komutativnost:

asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, onda:

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štaviše, skup zajedničkih višekratnika m, n poklapa se sa skupom višekratnika LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teoretskih funkcija brojeva.

dakle, Čebiševljeva funkcija. i:

Ovo slijedi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegovu vezu sa LCM:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k- razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući prosti broj nije u proširenju).

Zatim NOC ( a,b) se izračunava po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore uključene u barem jednu od dekompozicija brojeva a, b, i uzima se najveći od dva eksponenta ovog množitelja.

Primjer:

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračunavanja LCM-a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastavljaju brojeve na proste faktore;

- prenesite najveću dekompoziciju (proizvod faktora najvećeg broja datih) na faktore željenog proizvoda, a zatim dodajte faktore iz dekompozicije drugih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se u njemu ne pojavljuju manje puta;

— rezultirajući proizvod prostih faktora će biti LCM datih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višestruki jedan od drugog ili nemaju iste faktore u ekspanziji, tada je njihov LCM jednak proizvodu ovih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjuju se faktorom 3 (broj 21), rezultirajući proizvod (84) će biti najmanji broj koji je djeljiv sa 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 su dopunjeni faktorom 5 od broja 25, rezultirajući proizvod 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je sa svim datim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući proizvod (150, 250, 300...) koji je višekratnik svih datih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti brojevi, pa je njihov LCM jednak proizvodu datih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate sve ove brojeve pomnožiti zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak (LCM) nekoliko brojeva trebate:

1) predstavljaju svaki broj kao proizvod njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapisati sve proste djelioce (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) izabrati najveći stepen svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) pomnožite ove moći.

Primjer. Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Rješenje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Materijal predstavljen u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju ćemo posvetiti rješavanju primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM od tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pažnju na izračunavanje LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD

Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD nam omogućava da izračunamo najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pogledajmo primjere pronalaženja LCM-a pomoću date formule.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.

Rješenje.

U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo vezu između LCM i GCD, izraženu formulom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva koristeći napisanu formulu.

Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

odgovor:

LCM(126, 70)=630 .

Primjer.

Čemu je LCM(68, 34) jednako?

Rješenje.

Jer 68 je djeljivo sa 34, tada je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

odgovor:

LCM(68, 34)=68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore

Drugi način za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako sastavite proizvod od svih prostih faktora datih brojeva, a zatim iz ovog proizvoda isključite sve uobičajene proste faktore prisutne u dekompozicijama datih brojeva, tada će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku datih brojeva .

Navedeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, GCD(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD pomoću proširenja brojeva u proste faktore).

Dajemo primjer. Javite nam da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo proizvod od svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve faktore prisutne u proširenju broja 75 i proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku 75 i 210, tj. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Primjer.

Faktorite brojeve 441 i 700 u proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Rješenje.

Razložimo brojeve 441 i 700 u proste faktore:

Dobijamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.

Sada napravimo proizvod od svih faktora koji su uključeni u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. dakle, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

odgovor:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM koristeći faktorizaciju brojeva u proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako se faktori koji nedostaju iz proširenja broja b dodaju faktorima iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihove dekompozicije na proste faktore su sljedeće: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo proizvod 2·3·5·5·7, čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Rješenje.

Prvo dobijamo dekompozicije brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik od 84 i 648 je 4,536.

odgovor:

LCM(84, 648)=4,536 .

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetimo se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Rješenje.

U ovom primjeru, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo nađemo m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Da bismo to uradili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1 , odakle GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. To jest, m 2 =1 260.

Sada pronalazimo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz GCD(1 260, 54), koji takođe određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, od čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.

Ostaje samo pronaći m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Da bismo to uradili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dakle, GCM(3,780, 250)=10, odakle je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. To jest, m 4 =94,500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.

odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

U mnogim slučajevima, zgodno je pronaći najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju morate se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje rezultujućim faktorima, i tako dalje.

Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću faktorizacije.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Rješenje.

Prvo, dobijamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se sa njegovom dekompozicijom na proste faktore) i 143=11·13.

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Dekompozicija broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u dekompoziciji prvog broja 84. Zatim, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebe za dodavanjem množitelja ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.

Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOK je jedan od glavnih, posebno se često koristi u. Tema se izučava u srednjoj školi i nije posebno teško razumjeti gradivo; osoba koja je upoznata sa potencijama i tablicom množenja neće imati poteškoća da identifikuje potrebne brojeve i otkrije rezultat.

Definicija

Zajednički višekratnik je broj koji se može u potpunosti podijeliti na dva broja u isto vrijeme (a i b). Najčešće se ovaj broj dobije množenjem originalnih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv sa oba broja odjednom, bez odstupanja.

NOC je skraćeno ime usvojeno za oznaku, sakupljeno od prvih slova.

Načini da dobijete broj

Metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna za pronalaženje LCM-a, mnogo je prikladnija za jednostavne jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Uobičajeno je da se dijeli na faktore; što je veći broj, to će biti više faktora.

Primjer #1

Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste proste, jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je prilično jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.

Primjer br. 2

Druga verzija zadatka je mnogo teža. Dati su brojevi 300 i 1260, a pronalaženje LOC-a je obavezno. Da biste riješili problem, pretpostavljaju se sljedeće radnje:

Dekompozicija prvog i drugog broja na jednostavne faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je završena.

Druga faza uključuje rad sa već dobijenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora učestvovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki faktor, najveći broj pojavljivanja se uzima iz originalnih brojeva. LCM je opšti broj, tako da se u njemu moraju ponavljati faktori brojeva, svaki pojedinačni, čak i oni koji su prisutni u jednoj kopiji. Oba početna broja sadrže brojeve 2, 3 i 5, različitih stepena, 7 je prisutan samo u jednom slučaju.

Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj od predstavljenih potencija u jednadžbi. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor; ako je ispravno popunjen, zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, onda odgovor definitivno neće biti tačan, jer je 300 * 1260 = 378.000.

pregled:

6300 / 300 = 21 - tačno;

6300 / 1260 = 5 - tačno.

Ispravnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a sa oba početna broja; ako je broj u oba slučaja cijeli broj, onda je odgovor tačan.

Šta NOC znači u matematici?

Kao što znate, ne postoji nijedna beskorisna funkcija u matematici, ova nije izuzetak. Najčešća svrha ovog broja je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Ono što se obično uči u 5-6 razredima srednje škole. Takođe je i zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti prisutni u zadatku. Takav izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet i tako dalje. Što više brojeva, to je više akcija u zadatku, ali složenost se ne povećava.

Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, morate pronaći njihov zajednički LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje faktorizaciju, bez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Da bi se sastavio izraz potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su dati 2, 5, 3 - za sve ove brojeve potrebno je odrediti maksimalni stepen.

Pažnja: svi faktori moraju biti dovedeni do tačke potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponovani na nivo jednocifrenih brojeva.

pregled:

1) 3000 / 250 = 12 - tačno;

2) 3000 / 600 = 5 - tačno;

3) 3000 / 1500 = 2 - tačno.

Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti genijalnog nivoa, sve je jednostavno i jasno.

Drugi način

U matematici je mnogo stvari povezano, mnoge stvari se mogu riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda se može koristiti u slučaju jednostavnih dvocifrenih i jednocifrenih brojeva. Sastavlja se tabela u koju se unosi množitelj okomito, množitelj horizontalno, a proizvod je naznačen u ćelijama kolone koja se sijeku. Možete prikazati tablicu pomoću linije, uzeti broj i zapisati rezultate množenja ovog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 bodova, drugi i sljedeći brojevi prolaze kroz isti proces izračunavanja. Sve se dešava dok se ne pronađe zajednički višekratnik.

S obzirom na brojeve 30, 35, 42, morate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:

1) Višestruki od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, itd.

2) Višestruki od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, itd.

3) Višekratnici 42: 84, 126, 168, 210, 252, itd.

Primjetno je da se svi brojevi dosta razlikuju, jedini zajednički broj među njima je 210, tako da će to biti NOC. Među procesima koji su uključeni u ovaj proračun postoji i najveći zajednički djelitelj, koji se računa po sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali prilično značajna, LCM uključuje izračunavanje broja koji je podijeljen svim datim početnim vrijednostima, a GCD uključuje izračunavanje najveće vrijednosti kojom se dijele originalni brojevi.

Razmotrimo rješavanje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm.. Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj oboje čine cijeli broj koraka.

Rješenje. Cijeli put kroz koji će momci proći mora biti djeljiv sa 60 i 70, jer svaki od njih mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo zapisati sve višekratnike broja 75. Dobijamo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zapišimo sada brojeve koji će biti višekratni od 60. Dobijamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada nalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

• Uobičajeni višekratnici brojeva bi bili 300, 600, itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Da se vratimo na stanje zadatka, najmanja udaljenost na kojoj će momci napraviti ceo broj koraka biće 300 cm. Dečak će ovu stazu preći u 4 koraka, a devojčica će morati da napravi 5 koraka.

Određivanje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• Najmanji zajednički višekratnik dva prirodna broja a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dva broja, nije potrebno zapisati sve višekratnike ovih brojeva u nizu.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo morate ove brojeve faktorisati u proste faktore.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapišimo sada sve faktore koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodajmo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobijamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Umnožak ovih brojeva će biti najmanji zajednički faktor za ove brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• 1. Podijelite brojeve na proste faktore.
• 2. Zapišite osnovne faktore koji su dio jednog od njih.
• 3. Ovim faktorima dodajte sve one koji su u ekspanziji ostalih, ali ne i u odabranom.
• 4. Pronađite proizvod svih zapisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.