Teorija susjednih i vertikalnih uglova. Susedni i vertikalni uglovi

Susedni uglovi- dva ugla u kojima je jedna strana zajednička, a druge dvije su nastavak jedne druge.

Zbir susjednih uglova je 180°

Vertikalni uglovi- to su dva ugla u kojima su stranice jednog ugla nastavak stranica drugog.

Vertikalni uglovi su jednaki.

2. Znakovi jednakosti trouglova:

Potpisujem: Ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trougla, respektivno, jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trougla, tada su takvi trokuti podudarni.

II sign: Ako su stranice i dva susedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susedna ugla drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

III sign: Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trokuti podudarni

3. Znakovi paralelizma dvije prave: jednostrani uglovi, ležeći poprečno i koji odgovaraju:

Zovu se dvije prave u ravni paralelno, ako se ne sijeku.

Unakrsni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;

Jednostrani uglovi: 4 i 5, 3 i 6; pirinač. Strana 55

Odgovarajući uglovi: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

Teorema: Ako su, kada se dvije prave seku sa transverzalom, uglovi koji leže jednaki, tada su prave paralelne.

Teorema: Ako su, kada se dvije prave seku sa transverzalom, odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne.

Teorema: Ako, kada se dvije prave seku sa transverzalom, zbir jednostranih uglova iznosi 180°, tada su prave paralelne.

Teorema: ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su uglovi koji se sijeku jednaki

Teorema: ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su odgovarajući uglovi jednaki

Teorema: ako su dvije paralelne prave presečene transverzalom, tada je zbir jednostranih uglova 180°

4. Zbir uglova trougla:

Zbir uglova trougla je 180°

5. Svojstva jednakokrakog trougla:

Teorema: U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki.

Teorema: U jednakokračnom trokutu, simetrala povučena do osnove je medijana, a visina (medijana je suprotna), (simetrala prepolovi ugao, medijana prepolovi stranu, visina čini ugao od 90°)

Znak: Ako su dva ugla trougla jednaka, onda je trougao jednakokraki.

6. Pravokutni trokut:

Pravokutni trokut- je trougao u kojem je jedan ugao pravi (odnosno 90 stepeni)

U pravokutnom trokutu hipotenuza je duža od kraka

1. Zbir dva oštra ugla pravouglog trougla je 90°

2. Krak pravokutnog trokuta koji leži nasuprot ugla od 30° jednak je polovini hipotenuze

3. Ako je kateta pravokutnog trokuta jednaka polovini hipotenuze, tada je ugao nasuprot ove katete 30°

7. Jednakostranični trokut:

EKVILATERALNI TROUGAO, ravna figura koja ima tri stranice jednake dužine; tri unutrašnja ugla formirana od strane su također jednaka i iznose 60 °C.

8. Sin, cos, tg, ctg:

Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,ctg=

9. Znaci četverougla^

Zbir uglova četvorougla je 2 π = 360°.

Četvorokut se može upisati u krug ako i samo ako je zbir suprotnih uglova 180°

10. Znakovi sličnosti trokuta:

Potpisujem: ako su dva ugla jednog trokuta respektivno jednaka dva ugla drugog, onda su takvi trokuti slični

II sign: Ako su dvije stranice jednog trokuta proporcionalne dvjema stranicama drugog trokuta i uglovi između ovih stranica su jednaki, onda su takvi trokuti slični.

III sign: ako su tri strane jednog trokuta proporcionalne trima stranicama drugog, onda su takvi trokuti slični

11. Formule:

· Pitagorina teorema: a 2 +b 2 =c 2

· teorema o grijehu:

· cos teorema:

· 3 formule za površinu trokuta:

· Površina pravouglog trougla: S= S=

· Površina jednakostraničnog trougla:

· Površina paralelograma: S = ah

· Površina kvadrata: S = a2

· Područje trapeza:

· Područje romba:

· Površina pravougaonika: S=ab

· Jednakostranični trougao. Visina: h=

· Trigonometrijska jedinica: sin 2 a+cos 2 a=1

· Srednja linija trougla: S=

· Srednja linija trapeza: MK=

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 2017-12-12

POGLAVLJE I.

OSNOVNI KONCEPTI.

§jedanaest. SUSJEDNI I VERTIKALNI UGLOVI.

1. Susedni uglovi.

Ako produžimo stranu bilo kojeg ugla izvan njegovog vrha, dobićemo dva ugla (slika 72): / I sunce i / SVD, u kojem je jedna strana BC zajednička, a druge dvije A i BD čine pravu liniju.

Dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije čine pravu liniju nazivaju se susjedni uglovi.

Susedni uglovi se mogu dobiti i na ovaj način: ako povučemo zrak iz neke tačke na pravoj (koja ne leži na datoj pravoj), dobićemo susedne uglove.
Na primjer, / ADF i / FDV - susedni uglovi (Sl. 73).

Susedni uglovi mogu imati širok izbor položaja (Sl. 74).

Susedni uglovi se zbrajaju u pravi ugao, dakle umma dva susedna ugla je jednaka 2d.

Dakle, pravi ugao se može definisati kao ugao jednak njegovom susednom uglu.

Znajući veličinu jednog od susjednih uglova, možemo pronaći veličinu drugog ugla koji je uz njega.

Na primjer, ako je jedan od susjednih uglova 3/5 d, tada će drugi ugao biti jednak:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikalni uglovi.

Ako produžimo stranice ugla izvan njegovog vrha, dobićemo vertikalne uglove. Na crtežu 75, uglovi EOF i AOC su vertikalni; uglovi AOE i COF su takođe vertikalni.

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla nastavak stranica drugog ugla.

Neka / 1 = 7 / 8 d(Slika 76). Pored njega / 2 će biti jednako 2 d- 7 / 8 d, odnosno 1 1/8 d.

Na isti način možete izračunati čemu su jednaki / 3 i / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Dijagram 77).

Vidimo to / 1 = / 3 i / 2 = / 4.

Možete riješiti još nekoliko istih problema, a svaki put ćete dobiti isti rezultat: vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Međutim, da bismo bili sigurni da su vertikalni uglovi uvijek međusobno jednaki, nije dovoljno uzeti u obzir pojedinačne numeričke primjere, jer zaključci izvedeni iz pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Valjanost svojstava vertikalnih uglova potrebno je provjeriti rasuđivanjem, dokazivanjem.

Dokaz se može izvesti na sljedeći način (slika 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(pošto je zbir susjednih uglova 2 d).

/ a +/ c = / b+/ c

(pošto je i lijeva strana ove jednakosti jednaka 2 d, a njegova desna strana je također jednaka 2 d).

Ova jednakost uključuje isti ugao With.

Ako od jednakih količina oduzmemo jednake količine, tada će ostati jednaki iznosi. Rezultat će biti: / a = / b, tj. vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Kada smo razmatrali pitanje vertikalnih uglova, prvo smo objasnili koji se uglovi nazivaju vertikalni, tj. definicija vertikalni uglovi.

Zatim smo donijeli sud (tvrdnju) o jednakosti vertikalnih uglova i kroz dokaz se uvjerili u valjanost ovog suda. Takve presude, čija valjanost mora biti dokazana, nazivaju se teoreme. Dakle, u ovom dijelu smo dali definiciju vertikalnih uglova, te iznijeli i dokazali teoremu o njihovim svojstvima.

U budućnosti, prilikom proučavanja geometrije, stalno ćemo se morati susresti sa definicijama i dokazima teorema.

3. Zbir uglova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79 / 1, / 2, / 3 i / 4 nalaze se na jednoj strani prave i imaju zajednički vrh na ovoj pravoj. Sve u svemu, ovi uglovi čine pravi ugao, tj.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na crtežu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 i / 5 imaju zajednički vrh. Sve u svemu, ovi uglovi čine pun ugao, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Vježbe.

1. Jedan od susjednih uglova je 0,72 d. Izračunajte ugao koji formiraju simetrale ovih susjednih uglova.

2. Dokazati da simetrale dva susedna ugla čine pravi ugao.

3. Dokažite da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.

4. Koliko parova susjednih uglova ima na crtežu 81?

5. Može li se par susjednih uglova sastojati od dva oštra ugla? iz dva tupa ugla? iz pravog i tupog ugla? iz pravog i oštrog ugla?

6. Ako je jedan od susjednih uglova pravi, šta se onda može reći o veličini ugla koji se nalazi na njemu?

7. Ako je u preseku dve prave jedan ugao pravi, šta se onda može reći o veličini ostala tri ugla?

Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne zrake. Na slici 20, uglovi AOB i BOC su susjedni.

Zbir susjednih uglova je 180°

Teorema 1. Zbir susjednih uglova je 180°.

Dokaz. Greda OB (vidi sliku 1) prolazi između stranica rasklopljenog ugla. Zbog toga ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Iz teoreme 1 slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su im susjedni uglovi jednaki.

Vertikalni uglovi su jednaki

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su strane jednog ugla komplementarne zrake stranica drugog. Uglovi AOB i COD, BOD i AOC, formirani na preseku dve prave, su vertikalni (slika 2).

Teorema 2. Vertikalni uglovi su jednaki.

Dokaz. Razmotrimo vertikalne uglove AOB i COD (vidi sliku 2). Ugao BOD je susedan svakom od uglova AOB i COD. Prema teoremi 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Iz ovoga zaključujemo da je ∠ AOB = ∠ COD.

Posledica 1. Ugao pored pravog ugla je pravi ugao.

Razmotrimo dvije prave linije AC i BD koje se seku (slika 3). Formiraju četiri ugla. Ako je jedan od njih ravan (ugao 1 na slici 3), onda su i preostali uglovi pravi (uglovi 1 i 2, 1 i 4 su susedni, uglovi 1 i 3 su vertikalni). U ovom slučaju kažu da se ove prave sijeku pod pravim kutom i nazivaju se okomiti (ili međusobno okomiti). Okomitost pravih AC i BD označava se na sljedeći način: AC ⊥ BD.

Simetrala okomita na segment je prava okomita na ovaj segment i koja prolazi kroz njegovu sredinu.

AN - okomito na pravu

Razmotrimo pravu a i tačku A koja ne leži na njoj (slika 4). Povežimo tačku A sa segmentom sa tačkom H pravom linijom a. Segment AN se naziva okomom povučenom iz tačke A na pravu a ako su prave AN i a okomite. Tačka H naziva se osnova okomice.

Kvadrat za crtanje

Sljedeća teorema je tačna.

Teorema 3. Iz bilo koje tačke koja ne leži na pravoj, moguće je povući okomitu na ovu pravu, i, osim toga, samo jednu.

Da nacrtate okomicu iz tačke na pravu liniju na crtežu, koristite kvadrat za crtanje (slika 5).

Komentar. Formulacija teoreme se obično sastoji od dva dijela. Jedan dio govori o tome šta je dato. Ovaj dio se naziva uvjetom teoreme. Drugi dio govori o tome šta treba dokazati. Ovaj dio se zove zaključak teoreme. Na primjer, uslov teoreme 2 je da su uglovi vertikalni; zaključak - ovi uglovi su jednaki.

Bilo koja teorema može se detaljno izraziti riječima tako da njen uvjet počinje riječju “ako”, a zaključak riječju “onda”. Na primjer, teorema 2 može se detaljno izreći na sljedeći način: "Ako su dva ugla okomita, onda su jednaki."

Primjer 1. Jedan od susjednih uglova je 44°. Čemu je drugi jednak?

Rješenje. Označimo mjeru stepena drugog ugla sa x, tada prema teoremi 1.
44° + x = 180°.
Rješavajući rezultirajuću jednačinu, nalazimo da je x = 136°. Dakle, drugi ugao je 136°.

Primjer 2. Neka ugao COD na slici 21 bude 45°. Koliki su uglovi AOB i AOC?

Rješenje. Uglovi COD i AOB su vertikalni, pa su prema teoremi 1.2 jednaki, tj. ∠ AOB = 45°. Ugao AOC je susedan uglu COD, što znači prema teoremi 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Primjer 3. Pronađite susjedne uglove ako je jedan od njih 3 puta veći od drugog.

Rješenje. Označimo stepen mjeru manjeg ugla sa x. Tada će mjera stepena većeg ugla biti 3x. Pošto je zbir susjednih uglova jednak 180° (Teorema 1), onda je x + 3x = 180°, odakle je x = 45°.
To znači da su susjedni uglovi 45° i 135°.

Primjer 4. Zbir dva vertikalna ugla je 100°. Pronađite veličinu svakog od četiri ugla.

Rješenje. Neka slika 2 ispunjava uslove zadatka da su vertikalni uglovi COD prema AOB jednaki (teorema 2), što znači da su i njihove mere stepena jednake. Dakle, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (njihov zbir prema uslovu je 100°). Ugao BOD (također ugao AOC) je susedan uglu COD, i stoga, prema teoremi 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

1. Susedni uglovi.

Ako produžimo stranu bilo kojeg ugla izvan njegovog vrha, dobićemo dva ugla (slika 72): ∠ABC i ∠CBD, kod kojih je jedna strana BC zajednička, a druge dvije, AB i BD, čine pravu liniju.

Dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije čine pravu liniju nazivaju se susjedni uglovi.

Susedni uglovi se mogu dobiti i na ovaj način: ako povučemo zrak iz neke tačke na pravoj (koja ne leži na datoj pravoj), dobićemo susedne uglove.

Na primjer, ∠ADF i ∠FDB su susjedni uglovi (slika 73).

Susedni uglovi mogu imati širok izbor položaja (Sl. 74).

Susedni uglovi se zbrajaju u pravi ugao, dakle zbir dva susedna ugla je 180°

Dakle, pravi ugao se može definisati kao ugao jednak njegovom susednom uglu.

Znajući veličinu jednog od susjednih uglova, možemo pronaći veličinu drugog ugla koji je uz njega.

Na primjer, ako je jedan od susjednih uglova 54°, tada će drugi kut biti jednak:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikalni uglovi.

Ako produžimo stranice ugla izvan njegovog vrha, dobićemo vertikalne uglove. Na slici 75, uglovi EOF i AOC su vertikalni; uglovi AOE i COF su takođe vertikalni.

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla nastavak stranica drugog ugla.

Neka je ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (Sl. 76). ∠2 pored njega će biti jednako 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, tj. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Na isti način možete izračunati koliko su ∠3 i ∠4 jednaki.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Sl. 77).

Vidimo da je ∠1 = ∠3 i ∠2 = ∠4.

Možete riješiti još nekoliko istih problema, a svaki put ćete dobiti isti rezultat: vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Valjanost svojstava vertikalnih uglova potrebno je provjeriti dokazom.

Dokaz se može izvesti na sljedeći način (slika 78):

∠a +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(pošto je zbir susjednih uglova 180°).

∠a +∠c = ∠b+∠c

(pošto je lijeva strana ove jednakosti jednaka 180°, a njena desna je također jednaka 180°).

Ova jednakost uključuje isti ugao With.

Ako od jednakih količina oduzmemo jednake količine, tada će ostati jednaki iznosi. Rezultat će biti: ∠a = ∠b, tj. vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

3. Zbir uglova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79, ∠1, ∠2, ∠3 i ∠4 nalaze se na jednoj strani prave i imaju zajednički vrh na ovoj pravoj. Sve u svemu, ovi uglovi čine pravi ugao, tj.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Na slici 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 i ∠5 imaju zajednički vrh. Ovi uglovi sabiraju puni ugao, tj. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Ostali materijali

Jednako sa dva prava ugla .

S obzirom na dva susjedna ugla: AOB I VOS. Potrebno je dokazati da:

∠AOB+∠BOS=d+ d = 2d

Vratimo se sa tačke O na pravu liniju AC okomito O.D.. Podijelili smo ugao AOB na dva dijela AOD i DOB tako da možemo napisati:

∠AOB = ∠ A.O.D+∠ DO.B.

Dodajmo objema stranama ove jednakosti isti ugao BOC, zašto ravnopravnost neće biti narušena:

∠ A.O.B + ∠ B.O.WITH= ∠AOD + ∠ DO.B. + ∠ B.O.WITH

Od iznosa DO.B. + BOC iznosi pravi ugao DOWITH, To

∠ A.O.B+ ∠ B.O.WITH= ∠ A.O.D + ∠ DOWITH= d + d = 2 d,

Q.E.D.

Posljedice.

1. Zbir uglova (A.O.B,BOC, SOD, DOE), koji se nalazi oko zajedničkog vrha (O) na jednoj strani prave linije ( A.E.) je jednako 2 d= 180 0 , jer je ovaj iznos zbir dva susjedni uglovi, na primjer ove: AOS + SOE

2. Zbir uglova nalazi se oko zajedničkog vrhovi (O) na obje strane prave jednaka je 4 d=360 0,

Obratna teorema.

Ako zbir dva ugla, koji imaju zajednički vrh i zajedničku stranu i ne pokrivaju jedan drugog, jednaka je dva prava ugla (2d), tada su takvi uglovi susjedni, tj. njihove druge dvije strane su duž.

Ako iz jedne tačke (O) prave (AB) vratimo okomite na nju, sa svake strane, onda te okomite čine jednu pravu liniju (CD). Iz bilo koje tačke izvan linije se može spustiti na ovu pravu okomito i to samo jedan.

Jer zbir uglova COB I BOD jednako 2d.

PravoWITHčiji delovi OWITH I O.D. služe kao okomite na pravu AB, naziva se prava okomita na AB.

Ako je ravno WITHD okomito na liniju AB, zatim obrnuto: AB okomito na WITHD, jer dijelovi O.A. I O.B. također služe okomito na WITHD. Stoga pravo AB I WITHD su pozvani međusobno okomite.