Tört-racionális függvény integrálása.
Bizonytalan együttható módszer

Továbbra is dolgozunk a törtek integrálásán. A leckében már megvizsgáltuk egyes törttípusok integráljait, és ez a lecke bizonyos értelemben folytatásnak tekinthető. Az anyag sikeres megértéséhez alapvető integrációs készségek szükségesek, tehát ha most kezdted el az integrálokat tanulni, vagyis kezdő vagy, akkor a cikkel kell kezdened Határozatlan integrál. Példák megoldásokra.

Furcsa módon most nem annyira integrálok keresésével fogunk foglalkozni, hanem... lineáris egyenletrendszerek megoldásával. Ebben a tekintetben sürgősen Azt javaslom, hogy vegyen részt az órán, vagyis jól ismernie kell a helyettesítési módszereket (az „iskola” módszer és a rendszeregyenletek tagozatos összeadása (kivonása)).

Mi az a tört racionális függvény? Egyszerűen fogalmazva, a tört-racionális függvény olyan tört, amelynek számlálója és nevezője polinomokat vagy polinomok szorzatát tartalmazza. Ráadásul a törtek kifinomultabbak, mint a cikkben tárgyaltak Néhány tört integrálása.

Megfelelő tört-racionális függvény integrálása

Azonnal egy példa és egy tipikus algoritmus egy tört-racionális függvény integráljának megoldására.

1. példa

1. lépés. Az első dolog, amit MINDIG megteszünk egy tört racionális függvény integráljának megoldása során, hogy tisztázzuk a következő kérdést: megfelelő a tört? Ezt a lépést szóban hajtják végre, és most elmagyarázom, hogyan:

Először a számlálót nézzük, és megtudjuk felsőfokú végzettség polinom:

A számláló vezető hatványa kettő.

Most megnézzük a nevezőt, és megtudjuk felsőfokú végzettség névadó. A kézenfekvő módja a zárójelek megnyitása és hasonló kifejezések megadása, de megteheti egyszerűbben is minden egyes zárójelben keresse a legmagasabb fokozatot

és gondolatban megszorozzuk: - így a nevező legmagasabb foka hárommal egyenlő. Teljesen nyilvánvaló, hogy ha valóban kinyitjuk a zárójeleket, akkor nem kapunk háromnál nagyobb fokkal.

Következtetés: A számláló fő fokozata SZIGORÚAN kisebb, mint a nevező legnagyobb hatványa, ami azt jelenti, hogy a tört megfelelő.

Ha ebben a példában a számláló a 3, 4, 5 stb. polinomot tartalmazza. fok, akkor a tört az lenne rossz.

Most csak a helyes tört racionális függvényeket fogjuk figyelembe venni. Azt az esetet, amikor a számláló foka nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező mértéke, a lecke végén lesz szó.

2. lépés. Tényezőzzük a nevezőt. Nézzük a nevezőnket:

Általánosságban elmondható, hogy ez már tényezők eredménye, de ennek ellenére feltesszük magunknak a kérdést: lehetséges-e valami mást bővíteni? A kínzás tárgya kétségtelenül a négyzetes trinomiális lesz. A másodfokú egyenlet megoldása:

A diszkriminans nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy a trinomiális valóban faktorizálható:

Általános szabály: MINDEN a nevezőben faktorálható - faktorálható

Kezdjük a megoldás megfogalmazásával:

3. lépés A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust egyszerű (elemi) törtek összegévé bővítjük. Most már világosabb lesz.

Nézzük meg az integrand függvényünket:

És tudod, valahogyan felbukkan egy intuitív gondolat, hogy jó lenne a nagy töredékünket több kicsire alakítani. Például így:

Felmerül a kérdés, hogy ez egyáltalán lehetséges? Lélegezzünk fel, a matematikai elemzés megfelelő tétele kimondja – LEHETSÉGES. Egy ilyen dekompozíció létezik és egyedülálló.

Csak egy fogás van, ennek az esélye Viszlát Nem tudjuk, innen ered a név - a határozatlan együtthatók módszere.

Ahogy sejtette, a későbbi testmozgások ilyenek, ne kuncogj! célja, hogy csak FELISMERJE őket – hogy megtudja, mivel egyenlők.

Vigyázat, csak egyszer fogom részletesen elmagyarázni!

Tehát kezdjük a táncot:

A bal oldalon a kifejezést közös nevezőre redukáljuk:

Most már nyugodtan megszabadulhatunk a nevezőktől (mivel ugyanazok):

A bal oldalon kinyitjuk a zárójeleket, de egyelőre ne érintsük meg az ismeretlen együtthatókat:

Ugyanakkor megismételjük a polinomok szorzásának iskolai szabályát. Tanár koromban megtanultam ezt a szabályt egyenes arccal kiejteni: Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával.

Az egyértelmű magyarázat szempontjából jobb, ha az együtthatókat zárójelbe teszem (bár én személy szerint soha nem teszem ezt az időmegtakarítás érdekében):

Összeállítunk egy lineáris egyenletrendszert.
Először felsőfokú végzettséget keresünk:

És beírjuk a megfelelő együtthatókat a rendszer első egyenletébe:

Emlékezzen jól a következő pontra. Mi történne, ha egyáltalán nem lenne s a jobb oldalon? Tegyük fel, hogy minden négyzet nélkül mutatkozna? Ebben az esetben a rendszer egyenletében a jobb oldalra egy nullát kellene tenni: . Miért nulla? De mivel a jobb oldalon mindig ugyanazt a négyzetet lehet nullával hozzárendelni: Ha a jobb oldalon nincs változó és/vagy szabad tag, akkor a rendszer megfelelő egyenleteinek jobb oldalára nullákat teszünk.

A megfelelő együtthatókat a rendszer második egyenletébe írjuk:

És végül, ásványvíz, kiválasztjuk a szabad tagokat.

Eh... kicsit vicceltem. Viccet félretéve - a matematika komoly tudomány. Az intézeti csoportunkban senki nem nevetett, amikor az adjunktus azt mondta, hogy a kifejezéseket a számegyenesen szétszórja, és kiválasztja a legnagyobbakat. Komolyodjunk. Bár... aki megéli ennek a leckének a végét, az továbbra is csendesen mosolyog.

A rendszer készen áll:

Megoldjuk a rendszert:

(1) Az első egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a rendszer 2. és 3. egyenletébe. Valójában más egyenletből is lehetett kifejezni (vagy más betűt), de ebben az esetben előnyös az 1. egyenletből kifejezni, mivel ott a legkisebb esély.

(2) Hasonló kifejezéseket mutatunk be a 2. és 3. egyenletben.

(3) A 2. és 3. egyenletet tagonként összeadjuk, így megkapjuk az egyenlőséget, amiből az következik, hogy

(4) Behelyettesítjük a második (vagy harmadik) egyenletbe, ahonnan ezt megtaláljuk

(5) Helyettesítsd be és az első egyenletbe, megkapva .

Ha nehézségei vannak a rendszer megoldási módszereivel, gyakorolja azokat az órán. Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?

A rendszer megoldása után mindig célszerű ellenőrizni - helyettesíteni a talált értékeket minden a rendszer egyenlete, ennek eredményeként mindennek „konvergálnia” kell.

Majdnem ott. Megtalálták az együtthatókat, és:

A kész munkának valahogy így kell kinéznie:

Mint látható, a feladat fő nehézsége egy lineáris egyenletrendszer (helyesen!) összeállítása és (helyesen!) megoldása volt. És a végső szakaszban minden nem olyan nehéz: a határozatlan integrál linearitási tulajdonságait használjuk és integráljuk. Felhívjuk figyelmét, hogy mindhárom integrál alatt van egy „szabad” komplex függvényünk, ennek integrálásának jellemzőiről beszéltem a leckében. Változómódosítási módszer határozatlan integrálban.

Ellenőrzés: Különböztesse meg a választ:

Az eredeti integrand függvényt megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.
Az ellenőrzés során a kifejezést közös nevezőre kellett redukálnunk, és ez nem véletlen. A határozatlan együtthatók módszere és a kifejezés közös nevezőre való redukálása kölcsönösen fordított műveletek.

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Térjünk vissza az első példa törtjéhez: . Könnyen észrevehető, hogy a nevezőben minden tényező MÁS. Felmerül a kérdés, hogy mi a teendő, ha például a következő tört adott: ? Itt vannak fokozatok a nevezőben, vagy matematikailag többszörösei. Ezen kívül van egy másodfokú trinom, amely nem faktorizálható (könnyű ellenőrizni, hogy az egyenlet diszkriminánsa negatív, így a trinom nem faktorizálható). Mit kell tenni? Az elemi törtek összegére való bővítés valahogy így fog kinézni ismeretlen együtthatókkal a tetején, vagy valami más?

3. példa

Mutasson be egy függvényt

1. lépés. Ellenőrizzük, hogy van-e megfelelő tört
Fő számláló: 2
A nevező legmagasabb foka: 8
, ami azt jelenti, hogy a tört helyes.

2. lépés. Be lehet számolni valamit a nevezőben? Nyilvánvalóan nem, már minden ki van rakva. A négyzetes trinomit a fent említett okok miatt nem lehet termékké bővíteni. Kapucni. Kevesebb munka.

3. lépés Képzeljünk el egy tört-racionális függvényt elemi törtek összegeként.
Ebben az esetben a bővítés a következő formában történik:

Nézzük a nevezőnket:
Ha egy tört-racionális függvényt elemi törtek összegére bontunk, három alapvető pontot lehet megkülönböztetni:

1) Ha a nevező az első hatványhoz „magányos” tényezőt tartalmaz (esetünkben), akkor egy határozatlan együtthatót teszünk a tetejére (esetünkben). Az 1. és 2. példák csak ilyen „magányos” tényezőket tartalmaztak.

2) Ha a nevező rendelkezik többszörös szorzót, akkor a következőképpen kell bontania:
- azaz egymás után menjen végig az „X” összes fokán az elsőtől az n-edikig. Példánkban két több tényező szerepel: és , nézze meg még egyszer az általam adott kiterjesztést, és győződjön meg arról, hogy pontosan ennek a szabálynak megfelelően vannak kibontva.

3) Ha a nevező másodfokú felbonthatatlan polinomot tartalmaz (esetünkben), akkor a számlálóban történő felbontáskor egy meghatározatlan együtthatójú lineáris függvényt kell írni (esetünkben meghatározatlan együtthatókkal és ).

Valójában van még egy 4. eset, de erről hallgatok, mert a gyakorlatban rendkívül ritka.

4. példa

Mutasson be egy függvényt ismeretlen együtthatójú elemi törtek összegeként.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Szigorúan kövesse az algoritmust!

Ha megérti azokat az elveket, amelyek alapján egy tört-racionális függvényt összeggé kell bővítenie, akkor a szóban forgó típus szinte bármelyik integrálját átrághatja.

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

1. lépés. Nyilvánvalóan a tört helyes:

2. lépés. Be lehet számolni valamit a nevezőben? Tud. Itt van a kockák összege . Tényezősítse a nevezőt a rövidített szorzási képlet segítségével

3. lépés A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust elemi törtek összegére bővítjük:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a polinom nem faktorizálható (ellenőrizze, hogy a diszkrimináns negatív), ezért a tetejére teszünk egy ismeretlen együtthatójú lineáris függvényt, és nem csak egy betűt.

A törtet közös nevezőre hozzuk:

Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert:

(1) Az első egyenletből fejezzük ki és behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe (ez a legracionálisabb mód).

(2) Hasonló kifejezéseket mutatunk be a második egyenletben.

(3) A rendszer második és harmadik egyenletét tagonként összeadjuk.

Minden további számítás elvileg szóbeli, mivel a rendszer egyszerű.

(1) A talált együtthatóknak megfelelően felírjuk a törtek összegét.

(2) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságait használjuk. Mi történt a második integrálban? Ezzel a módszerrel a lecke utolsó bekezdésében ismerkedhet meg. Néhány tört integrálása.

(3) Ismét a linearitás tulajdonságait használjuk. A harmadik integrálban elkezdjük elkülöníteni a teljes négyzetet (a lecke utolsó előtti bekezdése Néhány tört integrálása).

(4) Vegyük a második integrált, a harmadikban pedig a teljes négyzetet.

(5) Vegyük a harmadik integrált. Kész.

Adott a négy típus legegyszerűbb elemi törteinek integrálszámítására szolgáló képletek levezetése. Az összetettebb integrálokat a negyedik típusú törtekből a redukciós képlet segítségével számítjuk ki. A negyedik típus törtrészének integrálására példaként tekintünk.

Tartalom

Lásd még: Határozatlan integrálok táblázata
Határozatlan integrálok számítási módszerei

Mint ismeretes, valamely x változó bármely racionális függvénye felbontható polinomra és a legegyszerűbb elemi törtekre. Az egyszerű törteknek négy típusa van:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Itt a, A, B, b, c valós számok. x egyenlet 2 + bx + c = 0 nincsenek igazi gyökerei.

Az első két típus törteinek integrálása

Az első két tört integrálása az integráltáblázat következő képleteivel történik:
,
, n ≠ - 1 .

1. Az első típusú törtek integrálása

Az első típus egy töredéke t = x - a behelyettesítéssel táblázatintegrálra redukálódik:
.

2. A második típusú törtek integrálása

A második típus törtrésze táblaintegrálra redukálódik ugyanazzal a t = x - a helyettesítéssel:

.

3. A harmadik típusú törtek integrálása

Tekintsük a harmadik típus törtjének integrálját:
.
Két lépésben számoljuk ki.

3.1. 1. lépés Válassza ki a nevező deriváltját a számlálóban

Különítsük el a nevező deriváltját a tört számlálójában. Jelöljük: u = x 2 + bx + c. Tegyünk különbséget: u′ = 2 x + b. Akkor
;
.
De
.
A modulusjelet elhagytuk, mert .

Akkor:
,
Ahol
.

3.2. 2. lépés Számítsa ki az integrált, ahol A = 0, B = 1

Most kiszámítjuk a maradék integrált:
.

A tört nevezőjét a négyzetösszeghez hozzuk:
,
Ahol .
Úgy gondoljuk, hogy az x egyenlet 2 + bx + c = 0 nincsenek gyökerei. Ezért .

Csináljunk egy cserét
,
.
.

Így,
.

Így megtaláltuk a harmadik típus törtjének integrálját:

,
Ahol .

4. A negyedik típusú törtek integrálása

Végül pedig vegyük figyelembe a negyedik típus töredékének integrálját:
.
Három lépésben számítjuk ki.

4.1) Válassza ki a számlálóban a nevező származékát:
.

4.2) Számítsa ki az integrált!
.

4.3) Számítsa ki az integrálokat!
,
a redukciós képlet segítségével:
.

4.1. 1. lépés: A nevező deriváltjának elkülönítése a számlálóban

Különítsük el a nevező deriváltját a számlálóban, ahogyan azt a -ban tettük. Jelöljük u = x 2 + bx + c. Tegyünk különbséget: u′ = 2 x + b. Akkor
.

.
De
.

Végül nálunk van:
.

4.2. 2. lépés Számítsa ki az integrált n = 1-gyel

Számítsa ki az integrált
.
Számítását a vázolja.

4.3. 3. lépés A redukciós képlet levezetése

Most nézzük az integrált
.

Lecsökkentjük a másodfokú trinomit négyzetek összegére:
.
Itt .
Csináljunk egy cserét.
.
.

Átalakításokat végzünk, részenként integrálunk.

.

Szorozva 2 (n - 1):
.
Térjünk vissza x-hez és I n-hez.
,
;
;
.

Tehát I n-re megkaptuk a redukciós képletet:
.
Ezt a képletet következetesen alkalmazva az I n integrált I-re redukáljuk 1 .

Példa

Integrál kiszámítása

1. Különítsük el a nevező deriváltját a számlálóban.
;
;

.
Itt
.

2. Kiszámoljuk a legegyszerűbb tört integrálját.

.

3. A redukciós képletet alkalmazzuk:

az integrálhoz.
Esetünkben b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Ezt a képletet n =-re írjuk ki 2 és n = 3 :
;
.
Innen

.

Végül nálunk van:

.
Keresse meg az együtthatót.
.

Lásd még:

A törtszerűen racionális függvény határozatlan integráljának megtalálásának problémája az egyszerű törtek integrálásához vezet. Ezért azt javasoljuk, hogy először ismerkedjen meg a törtek legegyszerűbb lebontásának elméletével.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás.

Mivel az integrandus számlálójának foka megegyezik a nevező mértékével, először a teljes részt jelöljük ki úgy, hogy a polinomot elosztjuk a polinommal egy oszloppal:

Ezért, .

A kapott megfelelő racionális tört egyszerűbb törtekre bontásának van formája . Ennélfogva,

A kapott integrál a harmadik típus legegyszerűbb törtjének integrálja. Kicsit előre tekintve megjegyezzük, hogy ezt a differenciáljel alá vonva veheti át.

Mert , Azt . Ezért

Ennélfogva,

Most térjünk át a négy típus egyszerű törteinek integrálására szolgáló módszerek leírására.

Az első típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer ideális a probléma megoldására:

Példa.

Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás.

Keressük meg a határozatlan integrált az antiderivált tulajdonságainak, az antideriválták táblázatának és az integrációs szabálynak a segítségével.

Lap teteje

A második típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer is alkalmas ennek a problémának a megoldására:

Példa.

Megoldás.

Lap teteje

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálása

Először a határozatlan integrált mutatjuk be összegként:

Az első integrált a differenciáljel alá vesszük:

Ezért,

Alakítsuk át a kapott integrál nevezőjét:

Ennélfogva,

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálásának képlete a következő:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

A kapott képletet használjuk:

Ha nem lenne ez a képlet, mit tennénk:

Lap teteje

A negyedik típusú egyszerű törtek integrálása

Az első lépés az, hogy a különbségi jel alá helyezzük:

A második lépés az űrlap integráljának megkeresése . Az ilyen típusú integrálokat ismétlődési képletekkel találjuk meg. (Lásd az ismétlődési képletekkel történő integrációról szóló részt.) A következő ismétlődő képlet alkalmas esetünkre:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált

Megoldás.

Az ilyen típusú integrandusokhoz a helyettesítési módszert használjuk. Vezessünk be egy új változót (lásd az irracionális függvények integrálása című részt):

Csere után a következőkkel rendelkezünk:

Eljutottunk a negyedik típus törtjének integráljához. A mi esetünkben vannak együtthatók M = 0, p = 0, q = 1, N = 1És n=3. Az ismétlődő képletet alkalmazzuk:

A fordított csere után a következő eredményt kapjuk:

Trigonometrikus függvények integrálása

1. Az űrlap integráljai

úgy számíthatók ki, hogy a trigonometrikus függvények szorzatát összeggé alakítják a következő képletekkel:

Például 2. Az űrlap integráljai

, Ahol m vagy n– egy páratlan pozitív szám, amelyet úgy számítunk ki, hogy a differenciáljel alá vonjuk. Például,

3. Az űrlap integráljai

, Ahol mÉs n– a páros pozitív számokat a fokozatcsökkentési képletekkel számítjuk ki: pl.

4. Integrálok

ahol a változó módosításával számítható ki: vagy Például,

5. Az alak integráljait univerzális trigonometrikus behelyettesítéssel racionális törtek integráljaivá redukáljuk akkor (mivel

=[miután a számlálót és a nevezőt elosztottuk ]= ;

Például,

Meg kell jegyezni, hogy az univerzális helyettesítés alkalmazása gyakran nehézkes számításokhoz vezet.

§5. A legegyszerűbb irracionalitások integrálása

Tekintsünk módszereket az irracionalitás legegyszerűbb típusainak integrálására. 1.

Az ilyen típusú függvényeket ugyanúgy integráljuk, mint a 3. típusú legegyszerűbb racionális törteket: a nevezőben egy teljes négyzetet izolálunk a négyzetháromtagtól, és egy új változót vezetünk be. Példa.

(integráljel alatt – argumentumok racionális funkciója). Az ilyen típusú integrálok számítása helyettesítéssel történik. Különösen annak az alaknak az integráljaiban, amelyet jelölünk. Ha az integrandus különböző fokú gyököket tartalmaz:

, majd jelölje meg, hogy hol n– számok legkisebb közös többszöröse m,k. 1. példa

2. példa

- nem megfelelő racionális tört, válassza ki a teljes részt:

–

3. Az űrlap integráljai trigonometrikus helyettesítésekkel számítják ki:

45 Határozott integrál

Határozott integrál- egy párok halmazán definiált additív monoton normalizált függvény, amelynek első komponense egy integrálható függvény vagy funkcionális, a második pedig egy tartomány az ezt a függvényt meghatározó halmazban (funkcionális).

Meghatározás

Legyen definiálva . Osszuk fel részekre több tetszőleges ponttal. Ezután azt mondják, hogy a szegmens particionálva lett, majd válasszon egy tetszőleges pontot , ,

Egy függvény meghatározott integrálja egy intervallumon az integrálösszegek határa, mivel a partíció rangja nullára hajlik, ha a partíciótól és a pontválasztástól függetlenül létezik, azaz

Ha a megadott határérték létezik, akkor a függvényt Riemann integrálhatónak mondjuk.

Megnevezések

· - alsó határ.

· - felső határ.

· - integrand függvény.

· - a részszakasz hossza.

· - a megfelelő partíció függvényének integrál összege.

· - egy részszakasz maximális hossza.

Tulajdonságok

Ha egy függvény Riemann integrálható -ra, akkor arra korlátos.

Geometriai jelentés

Határozott integrál, mint egy ábra területe

A határozott integrál numerikusan egyenlő az ábra azon területével, amelyet az abszcissza tengely, az egyenesek és a függvény grafikonja határol.

Newton-Leibniz tétel

[szerkesztés]

(átirányítva a "Newton-Leibniz Formula"-ból)

Newton-Leibniz képlet vagy elemzés főtételeösszefüggést ad két művelet között: egy határozott integrál vétele és az antiderivált kiszámítása között.

Bizonyíték

Adjunk meg egy integrálható függvényt egy intervallumon. Kezdjük azzal, hogy megjegyezzük

vagyis nem mindegy, hogy a szegmens feletti határozott integrálban melyik betű (vagy) van a jel alatt.

Állítsunk be egy tetszőleges értéket és adjunk meg egy új függvényt . Minden értékére definiálva van, mert tudjuk, hogy ha van integrálja on, akkor van integrálja is, ahol . Emlékezzünk vissza, hogy definíció szerint tekintjük

(1)

vegye észre, az

Mutassuk meg, hogy folytonos az intervallumon. Sőt, hadd ; Akkor

és ha , akkor

Így folyamatos, függetlenül attól, hogy vannak-e vagy nincsenek megszakadásai; fontos, hogy integrálható legyen a -n.

Az ábra egy grafikont mutat. A változó ábra területe . Növekménye megegyezik az ábra területével , amely korlátoltsága miatt nyilván nullára hajlik, függetlenül attól, hogy folytonossági vagy megszakítási pontról van szó, például pontról.

Legyen most a függvény ne csak integrálható -on, hanem folytonos is a ponton. Bizonyítsuk be, hogy akkor a derivált ezen a ponton egyenlő

(2)

Valójában a jelzett pontra

(1) , (3)

Feltesszük a , és mivel állandó a ,TO-hoz képest . Továbbá, a pont folytonossága miatt, bármelyik megadható úgy, hogy for .

ami azt bizonyítja, hogy ennek az egyenlőtlenségnek a bal oldala o(1) -re.

A (3) at-beli határértékre való átlépés megmutatja a pont deriváltjának létezését és a (2) egyenlőség érvényességét. Amikor itt a jobboldali és baloldali származékokról, ill.

Ha egy függvény folytonos -on, akkor a fentiek alapján a megfelelő függvény

(4)

-vel egyenlő deriváltja van. Ezért a függvény a .

Ezt a következtetést néha változó felső határú integráltételnek vagy Barrow-tételnek nevezik.

Bebizonyítottuk, hogy egy intervallumon folytonos tetszőleges függvénynek ezen az intervallumon van antideriváltja, amelyet a (4) egyenlőség határoz meg. Ez bizonyítja, hogy létezik egy antiderivált bármely intervallumon folytonos függvényre.

Legyen most egy függvény tetszőleges antideriváltja. Tudjuk, hogy hol van valami állandó. Feltételezve ebben az egyenlőségben és ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy .

És így, . De

Nem megfelelő integrál

[szerkesztés]

Anyag a Wikipédiából - a szabad enciklopédiából

Határozott integrál hívott nem a sajátod, ha az alábbi feltételek közül legalább egy teljesül:

· A vagy b határérték (vagy mindkét határérték) végtelen;

· Az f(x) függvénynek egy vagy több töréspontja van a szakaszon belül.

[szerkesztés] Az első típusú nem megfelelő integrálok

. Akkor:

1. Ha és az integrált ún . Ebben az esetben konvergensnek nevezzük.

, vagy egyszerűen eltérő.

Legyen definiált és folytonos az és a halmazon . Akkor:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún az első típusú helytelen Riemann-integrál. Ebben az esetben konvergensnek nevezzük.

2. Ha nincs véges ( vagy ), akkor az integrálról azt mondjuk, hogy eltér , vagy egyszerűen eltérő.

Ha egy függvény definiált és folytonos a teljes számegyenesen, akkor ennek a függvénynek lehet egy nem megfelelő integrálja, amelynek két végtelen integrálási határa van, a képlettel definiálva:

, ahol c egy tetszőleges szám.

[szerkesztés] Az első típusú helytelen integrál geometriai jelentése

A nem megfelelő integrál egy végtelenül hosszú ívelt trapéz területét fejezi ki.

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] A második típusú nem megfelelő integrálok

Legyen definiálva, szenvedjen végtelen szakadást az x=a és pontban . Akkor:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún

divergensnek nevezzük , vagy egyszerűen eltérő.

Legyen definiálva, végtelen folytonossági hiányt szenved x=b és helyen . Akkor:

1. Ha , akkor a jelölést használjuk és az integrált ún a második típusú helytelen Riemann-integrál. Ebben az esetben az integrált konvergensnek nevezzük.

2. Ha vagy , akkor a megnevezés változatlan marad, és divergensnek nevezzük , vagy egyszerűen eltérő.

Ha a függvény szakadást szenved a szakasz egy belső pontjában, akkor a második típusú nem megfelelő integrált a következő képlet határozza meg:

[szerkesztés] A második típusú nem megfelelő integrálok geometriai jelentése

A nem megfelelő integrál egy végtelenül magas ívelt trapéz területét fejezi ki

[szerkesztés] Példa

[szerkesztés] Elszigetelt eset

Legyen a függvény definiálva a teljes számegyenesen, és legyen szakadása a pontokban.

Ekkor megtaláljuk a nem megfelelő integrált

[szerkesztés] Cauchy-kritérium

1. Legyen definiálva egy halmazon és -ből .

Akkor konvergál

2. Legyen definiálva és .

Akkor konvergál

[szerkesztés]Abszolút konvergencia

Integrál hívott abszolút konvergens, Ha konvergál.
Ha az integrál abszolút konvergál, akkor konvergál.

[szerkesztés]Feltételes konvergencia

Az integrált ún feltételesen konvergens, ha konvergál, de eltér.

48 12. Nem megfelelő integrálok.

A határozott integrálok figyelembe vételekor azt feltételeztük, hogy az integráció régiója korlátozott (pontosabban egy szegmens [ a ,b ]); Határozott integrál létezéséhez az integrandusnak korlátosnak kell lennie [ a ,b ]. Olyan határozott integrálokat fogunk nevezni, amelyekre mindkét feltétel teljesül (mind az integráció tartományának, mind az integrandusnak a határa) saját; integrálok, amelyeknél megsértik ezeket a követelményeket (vagyis vagy az integrandus, vagy az integráció tartománya korlátlan, vagy mindkettő) nem a sajátod. Ebben a részben a nem megfelelő integrálokat fogjuk tanulmányozni.

12.1. Nem megfelelő integrálok korlátlan intervallumon (az első típusú nem megfelelő integrálok).

12.1.1. Nem megfelelő integrál definíciója végtelen intervallumon. Példák.
12.1.2. Newton-Leibniz képlet egy nem megfelelő integrálhoz.
12.1.3. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai.

12.1.3.1. Összehasonlítás jele.
12.1.3.2. Az összehasonlítás jele a maga szélsőséges formájában.

12.1.4. Nem megfelelő integrálok abszolút konvergenciája végtelen intervallumon keresztül.
12.1.5. Abel és Dirichlet konvergenciájának tesztjei.

12.2. Korlátlan függvények nem megfelelő integráljai (második típusú nem megfelelő integrálok).

12.2.1. Korlátlan függvény nem megfelelő integráljának definíciója.

12.2.1.1. A szingularitás az integrációs intervallum bal végén található.
12.2.1.2. A Newton-Leibniz formula alkalmazása.
12.2.1.3. A szingularitás az integrációs intervallum jobb végén.
12.2.1.4. Szingularitás az integrációs intervallum belső pontjában.
12.2.1.5. Az integrációs intervallum számos funkciója.

12.2.2. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai.

12.2.2.1. Összehasonlítás jele.
12.2.2.2. Az összehasonlítás jele a maga szélsőséges formájában.

12.2.3. Nem folytonos függvények nem megfelelő integráljainak abszolút és feltételes konvergenciája.
12.2.4. Abel és Dirichlet konvergenciájának tesztjei.

12.1. Nem megfelelő integrálok korlátlan intervallumon

(az első típusú nem megfelelő integrálok).

12.1.1. Nem megfelelő integrál definíciója végtelen intervallumon. Hagyja a függvényt f (x ) a féltengelyen van definiálva, és bármely intervallumban integrálható [ minden esetben a megfelelő határértékek létezését és végességét jelenti. Most a példák megoldásai egyszerűbbnek tűnnek: .

12.1.3. Nemnegatív függvények összehasonlítási kritériumai. Ebben a részben azt feltételezzük, hogy minden integrandus nem negatív a teljes definíciós tartományban. Eddig úgy határoztuk meg az integrál konvergenciáját, hogy kiszámítottuk: ha az antideriváltnak van véges határa a megfelelő tendenciával ( vagy ), akkor az integrál konvergál, ellenkező esetben divergál. Gyakorlati feladatok megoldásánál azonban fontos, hogy először magát a konvergencia tényét állapítsuk meg, és csak azután számítsuk ki az integrált (ráadásul az antiderivált gyakran nem elemi függvényekkel fejeződik ki). Fogalmazzunk meg és bizonyítsunk be számos olyan tételt, amelyek lehetővé teszik, hogy kiszámítás nélkül megállapítsuk a nemnegatív függvények nem megfelelő integráljainak konvergenciáját és divergenciáját.
12.1.3.1. Összehasonlító jel. Hagyjuk a függvényeket f (x ) És g (x ) integrál

Példa.

Megoldás.

Mivel az integrandus számlálójának foka megegyezik a nevező mértékével, először a teljes részt jelöljük ki úgy, hogy a polinomot elosztjuk a polinommal egy oszloppal:

Ezért, .

A kapott megfelelő racionális tört egyszerűbb törtekre bontásának van formája . Ennélfogva,

A kapott integrál a harmadik típus legegyszerűbb törtjének integrálja. Kicsit előre tekintve megjegyezzük, hogy ezt a differenciáljel alá vonva veheti át.

Mert , Azt . Ezért

Ennélfogva,

Most térjünk át a négy típus egyszerű törteinek integrálására szolgáló módszerek leírására.

Az első típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer ideális a probléma megoldására:

Példa.

Megoldás.

Keressük meg a határozatlan integrált az antiderivált tulajdonságainak, az antideriválták táblázatának és az integrációs szabálynak a segítségével.

Lap teteje

A második típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer is alkalmas ennek a problémának a megoldására:

Példa.

Megoldás.

Lap teteje

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálása

Először a határozatlan integrált mutatjuk be összegként:

Az első integrált a differenciáljel alá vesszük:

Ezért,

Alakítsuk át a kapott integrál nevezőjét:

Ennélfogva,

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálásának képlete a következő:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

A kapott képletet használjuk:

Ha nem lenne ez a képlet, mit tennénk:

9. A negyedik típusú egyszerű törtek integrálása

Az első lépés az, hogy a különbségi jel alá helyezzük:

A második lépés az űrlap integráljának megkeresése . Az ilyen típusú integrálokat ismétlődési képletekkel találjuk meg. (Lásd: particionálás ismétlődési képletekkel). A következő ismétlődő képlet alkalmas esetünkre:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált

Megoldás.

Az ilyen típusú integrandusokhoz a helyettesítési módszert használjuk. Vezessünk be egy új változót (lásd az irracionális függvények integrálása című részt):

Csere után a következőkkel rendelkezünk:

Eljutottunk a negyedik típus törtjének integráljához. A mi esetünkben vannak együtthatók M = 0, p = 0, q = 1, N = 1És n=3. Az ismétlődő képletet alkalmazzuk:

A fordított csere után a következő eredményt kapjuk:

10. Trigonometrikus függvények integrálása.

Sok probléma a transzcendentális függvények trigonometrikus függvényeket tartalmazó integráljainak megtalálásából fakad. Ebben a cikkben csoportosítjuk a leggyakoribb integránstípusokat, és példákon keresztül megvizsgáljuk az integrációjuk módszereit.

Kezdjük a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens integrálásával.

Az antiderivatívek táblázatából azonnal megjegyezzük, hogy És .

A differenciáljel összegének módszere lehetővé teszi az érintő és a kotangens függvények határozatlan integráljának kiszámítását:

Lap teteje

Nézzük az első esetet, a második teljesen hasonló.

Használjuk a helyettesítési módszert:

Eljutottunk az irracionális függvény integrálásának problémájához. A helyettesítési módszer itt is segítségünkre lesz:

Már csak a fordított csere elvégzése van hátra és t = sinx:

Lap teteje

Megtalálásuk alapelveiről az ismétlődő képletek használatával történő szakaszintegrációban tudhat meg többet. Ha tanulmányozza ezeknek a képleteknek a származtatását, könnyen felveheti az alak integráljait , Ahol mÉs n- egész számok.

Lap teteje

A legtöbb kreativitás akkor jelentkezik, ha az integrandus különböző argumentumokkal rendelkező trigonometrikus függvényeket tartalmaz.

Itt jönnek segítségül a trigonometria alapképletei. Tehát írja le őket egy külön papírra, és tartsa a szeme előtt.

Példa.

Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát .

Megoldás.

A redukciós képletek azt adják És .

Ezért

A nevező az összeg szinuszának képlete, ezért

Három integrál összegéhez jutunk.

Lap teteje

A trigonometrikus függvényeket tartalmazó integránsok néha tört racionális kifejezésekre redukálhatók szabványos trigonometrikus helyettesítéssel.

Írjunk ki olyan trigonometrikus képleteket, amelyek a félargumentum tangensén keresztül fejezik ki a szinust, koszinust, érintőt:

Integráláskor szükségünk lesz a differenciális kifejezésre is dx félszög érintőjén keresztül.

Mert , Azt

Vagyis hol.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

Használjunk szabványos trigonometrikus helyettesítést:

És így, .

Az integrandus egyszerű törtekre bontása két integrál összegéhez vezet:

Nincs más hátra, mint a fordított csere végrehajtása:

11. Az ismétlődési képletek olyan képletek, amelyek kifejezik n A sorozat edik tagja az előző tagokon keresztül. Gyakran használják integrálok keresésekor.

Nem célunk az összes ismétlődési képlet felsorolása, hanem a származtatásuk elvét szeretnénk megadni. Ezen képletek levezetése az integrandus transzformációján és a részenkénti integrálás módszerének alkalmazásán alapul.

Például a határozatlan integrál az ismétlődési képlet segítségével vehető .

A képlet származtatása:

A trigonometriai képletek segítségével felírhatjuk:

A kapott integrált a részenkénti integráció módszerével találjuk meg. Funkcióként u(x) vessünk cosx, ennélfogva, .

Ezért,

Visszatérünk az eredeti integrálhoz:

vagyis

Ezt kellett megmutatni.

A következő ismétlődési képletek hasonló módon származnak:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás.

A negyedik bekezdés ismétlődő képletét használjuk (példánkban n=3):

Mivel az antiderivatívek táblázatából megvan , Azt

Az előző bekezdésekben leírtak mindegyike lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a racionális törtek integrálásának alapvető szabályait.

1. Ha egy racionális tört helytelen, akkor azt egy polinom és egy megfelelő racionális tört összegeként ábrázoljuk (lásd a 2. bekezdést).

Ez csökkenti a nem megfelelő racionális tört integrálását egy polinom és egy megfelelő racionális tört integrálására.

2. Tényezősítse a megfelelő tört nevezőjét!

3. A megfelelő racionális törtet egyszerű törtek összegére bontjuk. Ez csökkenti a megfelelő racionális tört integrálását egyszerű törtek integrálására.

Nézzünk példákat.

Példa 1. Find .

Megoldás. Az integrál alatt egy helytelen racionális tört található. A teljes részt kiválasztva megkapjuk

Ennélfogva,

Figyelembe véve, hogy bővítsük ki a megfelelő racionális törtet

egyszerű törtekre:

(lásd a (18) képletet). Ezért