A törtszerűen racionális függvény határozatlan integráljának megtalálásának problémája az egyszerű törtek integrálásához vezet. Ezért azt javasoljuk, hogy először ismerkedjen meg a törtek legegyszerűbb lebontásának elméletével.

Példa.

Megoldás.

Mivel az integrandus számlálójának foka megegyezik a nevező mértékével, először a teljes részt jelöljük ki úgy, hogy a polinomot elosztjuk a polinommal egy oszloppal:

Ezért, .

A kapott megfelelő racionális tört egyszerűbb törtekre bontásának van formája . Ennélfogva,

A kapott integrál a harmadik típus legegyszerűbb törtjének integrálja. Kicsit előre tekintve megjegyezzük, hogy ezt a differenciáljel alá vonva veheti át.

Mert , Azt . Ezért

Ennélfogva,

Most térjünk át a négy típus egyszerű törteinek integrálására szolgáló módszerek leírására.

Az első típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer ideális a probléma megoldására:

Példa.

Megoldás.

Keressük meg a határozatlan integrált az antiderivált tulajdonságainak, az antideriválták táblázatának és az integrációs szabálynak a segítségével.

Lap teteje

A második típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer is alkalmas ennek a problémának a megoldására:

Példa.

Megoldás.

Lap teteje

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálása

Először a határozatlan integrált mutatjuk be összegként:

Az első integrált a differenciáljel alá vesszük:

Ezért,

Alakítsuk át a kapott integrál nevezőjét:

Ennélfogva,

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálásának képlete a következő:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

A kapott képletet használjuk:

Ha nem lenne ez a képlet, mit tennénk:

9. A negyedik típusú egyszerű törtek integrálása

Az első lépés az, hogy a különbségi jel alá helyezzük:

A második lépés az űrlap integráljának megkeresése . Az ilyen típusú integrálokat ismétlődési képletekkel találjuk meg. (Lásd: particionálás ismétlődési képletekkel). A következő ismétlődő képlet alkalmas esetünkre:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált

Megoldás.

Az ilyen típusú integrandusokhoz a helyettesítési módszert használjuk. Vezessünk be egy új változót (lásd az irracionális függvények integrálása című részt):

Csere után a következőkkel rendelkezünk:

Eljutottunk a negyedik típus törtjének integráljához. A mi esetünkben vannak együtthatók M = 0, p = 0, q = 1, N = 1És n=3. Az ismétlődő képletet alkalmazzuk:

A fordított csere után a következő eredményt kapjuk:

10. Trigonometrikus függvények integrálása.

Sok probléma a transzcendentális függvények trigonometrikus függvényeket tartalmazó integráljainak megtalálásából fakad. Ebben a cikkben csoportosítjuk a leggyakoribb integránstípusokat, és példákon keresztül megvizsgáljuk az integrációjuk módszereit.

Kezdjük a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens integrálásával.

Az antiderivatívek táblázatából azonnal megjegyezzük, hogy És .

A differenciáljel összegének módszere lehetővé teszi az érintő és a kotangens függvények határozatlan integráljának kiszámítását:

Lap teteje

Nézzük az első esetet, a második teljesen hasonló.

Használjuk a helyettesítési módszert:

Eljutottunk az irracionális függvény integrálásának problémájához. A helyettesítési módszer itt is segítségünkre lesz:

Már csak a fordított csere elvégzése van hátra és t = sinx:

Lap teteje

Megtalálásuk alapelveiről az ismétlődő képletek használatával történő szakaszintegrációban tudhat meg többet. Ha tanulmányozza ezeknek a képleteknek a származtatását, könnyen felveheti az alak integráljait , Ahol mÉs n- egész számok.

Lap teteje

A legtöbb kreativitás akkor jelentkezik, ha az integrandus különböző argumentumokkal rendelkező trigonometrikus függvényeket tartalmaz.

Itt jönnek segítségül a trigonometria alapképletei. Tehát írja le őket egy külön papírra, és tartsa a szeme előtt.

Példa.

Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát .

Megoldás.

A redukciós képletek azt adják És .

Ezért

A nevező az összeg szinuszának képlete, ezért

Három integrál összegéhez jutunk.

Lap teteje

A trigonometrikus függvényeket tartalmazó integránsok néha tört racionális kifejezésekre redukálhatók szabványos trigonometrikus helyettesítéssel.

Írjunk ki olyan trigonometrikus képleteket, amelyek a félargumentum tangensén keresztül fejezik ki a szinust, koszinust, érintőt:

Integráláskor szükségünk lesz a differenciális kifejezésre is dx félszög érintőjén keresztül.

Mert , Azt

Vagyis hol.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

Használjunk szabványos trigonometrikus helyettesítést:

És így, .

Az integrandus egyszerű törtekre bontása két integrál összegéhez vezet:

Nincs más hátra, mint a fordított csere végrehajtása:

11. Az ismétlődési képletek olyan képletek, amelyek kifejezik n A sorozat edik tagja az előző tagokon keresztül. Gyakran használják integrálok keresésekor.

Nem célunk az összes ismétlődési képlet felsorolása, hanem a származtatásuk elvét szeretnénk megadni. Ezen képletek levezetése az integrandus transzformációján és a részenkénti integrálás módszerének alkalmazásán alapul.

Például a határozatlan integrál az ismétlődési képlet segítségével vehető .

A képlet származtatása:

A trigonometriai képletek segítségével felírhatjuk:

A kapott integrált a részenkénti integráció módszerével találjuk meg. Funkcióként u(x) vessünk cosx, ennélfogva, .

Ezért,

Visszatérünk az eredeti integrálhoz:

vagyis

Ezt kellett megmutatni.

A következő ismétlődési képletek hasonló módon származnak:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás.

A negyedik bekezdés ismétlődő képletét használjuk (példánkban n=3):

Mivel az antiderivatívek táblázatából megvan , Azt

Az előző bekezdésekben leírtak mindegyike lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a racionális törtek integrálásának alapvető szabályait.

1. Ha egy racionális tört helytelen, akkor azt egy polinom és egy megfelelő racionális tört összegeként ábrázoljuk (lásd a 2. bekezdést).

Ez csökkenti a nem megfelelő racionális tört integrálását egy polinom és egy megfelelő racionális tört integrálására.

2. Tényezősítse a megfelelő tört nevezőjét!

3. A megfelelő racionális törtet egyszerű törtek összegére bontjuk. Ez csökkenti a megfelelő racionális tört integrálását egyszerű törtek integrálására.

Nézzünk példákat.

Példa 1. Find .

Megoldás. Az integrál alatt egy helytelen racionális tört található. A teljes részt kiválasztva megkapjuk

Ennélfogva,

Figyelembe véve, hogy bővítsük ki a megfelelő racionális törtet

egyszerű törtekre:

(lásd a (18) képletet). Ezért

Így végre megvan

2. példa Find

Megoldás. Az integrál alatt van egy megfelelő racionális tört.

Egyszerű törtekre bővítve (lásd a (16) képletet) megkapjuk

Tört-racionális függvény integrálása.
Bizonytalan együttható módszer

Továbbra is dolgozunk a törtek integrálásán. A leckében már megvizsgáltuk egyes törttípusok integráljait, és ez a lecke bizonyos értelemben folytatásnak tekinthető. Az anyag sikeres megértéséhez alapvető integrációs készségek szükségesek, tehát ha most kezdted el az integrálokat tanulni, vagyis kezdő vagy, akkor a cikkel kell kezdened Határozatlan integrál. Példák megoldásokra.

Furcsa módon most nem annyira integrálok keresésével fogunk foglalkozni, hanem... lineáris egyenletrendszerek megoldásával. Ebben a tekintetben sürgősen Azt javaslom, hogy vegyen részt az órán, vagyis jól ismernie kell a helyettesítési módszereket (az „iskola” módszer és a rendszeregyenletek tagozatos összeadása (kivonása)).

Mi az a tört racionális függvény? Egyszerűen fogalmazva, a tört-racionális függvény olyan tört, amelynek számlálója és nevezője polinomokat vagy polinomok szorzatát tartalmazza. Ráadásul a törtek kifinomultabbak, mint a cikkben tárgyaltak Néhány tört integrálása.

Megfelelő tört-racionális függvény integrálása

Azonnal egy példa és egy tipikus algoritmus egy tört-racionális függvény integráljának megoldására.

1. példa

1. lépés. Az első dolog, amit MINDIG megteszünk egy tört racionális függvény integráljának megoldása során, hogy tisztázzuk a következő kérdést: megfelelő a tört? Ezt a lépést szóban hajtják végre, és most elmagyarázom, hogyan:

Először a számlálót nézzük, és megtudjuk felsőfokú végzettség polinom:

A számláló vezető hatványa kettő.

Most megnézzük a nevezőt, és megtudjuk felsőfokú végzettség névadó. A kézenfekvő módja a zárójelek megnyitása és hasonló kifejezések megadása, de megteheti egyszerűbben is minden egyes zárójelben keresse a legmagasabb fokozatot

és gondolatban megszorozzuk: - így a nevező legmagasabb foka hárommal egyenlő. Teljesen nyilvánvaló, hogy ha valóban kinyitjuk a zárójeleket, akkor nem kapunk háromnál nagyobb fokkal.

Következtetés: A számláló fő fokozata SZIGORÚAN kisebb, mint a nevező legnagyobb hatványa, ami azt jelenti, hogy a tört megfelelő.

Ha ebben a példában a számláló a 3, 4, 5 stb. polinomot tartalmazza. fok, akkor a tört az lenne rossz.

Most csak a helyes tört racionális függvényeket fogjuk figyelembe venni. Azt az esetet, amikor a számláló foka nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező mértéke, a lecke végén lesz szó.

2. lépés. Tényezőzzük a nevezőt. Nézzük a nevezőnket:

Általánosságban elmondható, hogy ez már tényezők eredménye, de ennek ellenére feltesszük magunknak a kérdést: lehetséges-e valami mást bővíteni? A kínzás tárgya kétségtelenül a négyzetes trinomiális lesz. A másodfokú egyenlet megoldása:

A diszkriminans nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy a trinomiális valóban faktorizálható:

Általános szabály: MINDEN a nevezőben faktorálható - faktorálható

Kezdjük a megoldás megfogalmazásával:

3. lépés A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust egyszerű (elemi) törtek összegévé bővítjük. Most már világosabb lesz.

Nézzük meg az integrand függvényünket:

És tudod, valahogyan felbukkan egy intuitív gondolat, hogy jó lenne a nagy töredékünket több kicsire alakítani. Például így:

Felmerül a kérdés, hogy ez egyáltalán lehetséges? Lélegezzünk fel, a matematikai elemzés megfelelő tétele kimondja – LEHETSÉGES. Egy ilyen dekompozíció létezik és egyedülálló.

Csak egy fogás van, ennek az esélye Viszlát Nem tudjuk, innen ered a név - a határozatlan együtthatók módszere.

Ahogy sejtette, a későbbi testmozgások ilyenek, ne kuncogj! célja, hogy csak FELISMERJE őket – hogy megtudja, mivel egyenlők.

Vigyázat, csak egyszer fogom részletesen elmagyarázni!

Tehát kezdjük a táncot:

A bal oldalon a kifejezést közös nevezőre redukáljuk:

Most már nyugodtan megszabadulhatunk a nevezőktől (mivel ugyanazok):

A bal oldalon kinyitjuk a zárójeleket, de egyelőre ne érintsük meg az ismeretlen együtthatókat:

Ugyanakkor megismételjük a polinomok szorzásának iskolai szabályát. Tanár koromban megtanultam ezt a szabályt egyenes arccal kiejteni: Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával.

Az egyértelmű magyarázat szempontjából jobb, ha az együtthatókat zárójelbe teszem (bár én személy szerint soha nem teszem ezt az időmegtakarítás érdekében):

Összeállítunk egy lineáris egyenletrendszert.
Először felsőfokú végzettséget keresünk:

És beírjuk a megfelelő együtthatókat a rendszer első egyenletébe:

Emlékezzen jól a következő pontra. Mi történne, ha egyáltalán nem lenne s a jobb oldalon? Tegyük fel, hogy minden négyzet nélkül mutatkozna? Ebben az esetben a rendszer egyenletében a jobb oldalra egy nullát kellene tenni: . Miért nulla? De mivel a jobb oldalon mindig ugyanazt a négyzetet lehet nullával hozzárendelni: Ha a jobb oldalon nincs változó és/vagy szabad tag, akkor a rendszer megfelelő egyenleteinek jobb oldalára nullákat teszünk.

A megfelelő együtthatókat a rendszer második egyenletébe írjuk:

És végül, ásványvíz, kiválasztjuk a szabad tagokat.

Eh... kicsit vicceltem. Viccet félretéve - a matematika komoly tudomány. Az intézeti csoportunkban senki nem nevetett, amikor az adjunktus azt mondta, hogy a kifejezéseket a számegyenesen szétszórja, és kiválasztja a legnagyobbakat. Komolyodjunk. Bár... aki megéli ennek a leckének a végét, az továbbra is csendesen mosolyog.

A rendszer készen áll:

Megoldjuk a rendszert:

(1) Az első egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a rendszer 2. és 3. egyenletébe. Valójában más egyenletből is lehetett kifejezni (vagy más betűt), de ebben az esetben előnyös az 1. egyenletből kifejezni, mivel ott a legkisebb esély.

(2) Hasonló kifejezéseket mutatunk be a 2. és 3. egyenletben.

(3) A 2. és 3. egyenletet tagonként összeadjuk, így megkapjuk az egyenlőséget, amiből az következik, hogy

(4) Behelyettesítjük a második (vagy harmadik) egyenletbe, ahonnan ezt megtaláljuk

(5) Helyettesítsd be és az első egyenletbe, megkapva .

Ha nehézségei vannak a rendszer megoldási módszereivel, gyakorolja azokat az órán. Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?

A rendszer megoldása után mindig célszerű ellenőrizni - helyettesíteni a talált értékeket minden a rendszer egyenlete, ennek eredményeként mindennek „konvergálnia” kell.

Majdnem ott. Megtalálták az együtthatókat, és:

A kész munkának valahogy így kell kinéznie:

Mint látható, a feladat fő nehézsége egy lineáris egyenletrendszer (helyesen!) összeállítása és (helyesen!) megoldása volt. És a végső szakaszban minden nem olyan nehéz: a határozatlan integrál linearitási tulajdonságait használjuk és integráljuk. Felhívjuk figyelmét, hogy mindhárom integrál alatt van egy „szabad” komplex függvényünk, ennek integrálásának jellemzőiről beszéltem a leckében. Változómódosítási módszer határozatlan integrálban.

Ellenőrzés: Különböztesse meg a választ:

Az eredeti integrand függvényt megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.
Az ellenőrzés során a kifejezést közös nevezőre kellett redukálnunk, és ez nem véletlen. A határozatlan együtthatók módszere és a kifejezés közös nevezőre való redukálása kölcsönösen fordított műveletek.

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Térjünk vissza az első példa törtjéhez: . Könnyen észrevehető, hogy a nevezőben minden tényező MÁS. Felmerül a kérdés, hogy mi a teendő, ha például a következő tört adott: ? Itt vannak fokozatok a nevezőben, vagy matematikailag többszörösei. Ezen kívül van egy másodfokú trinom, amely nem faktorizálható (könnyű ellenőrizni, hogy az egyenlet diszkriminánsa negatív, így a trinom nem faktorizálható). Mit kell tenni? Az elemi törtek összegére való bővítés valahogy így fog kinézni ismeretlen együtthatókkal a tetején, vagy valami más?

3. példa

Mutasson be egy függvényt

1. lépés. Ellenőrizzük, hogy van-e megfelelő tört
Fő számláló: 2
A nevező legmagasabb foka: 8
, ami azt jelenti, hogy a tört helyes.

2. lépés. Be lehet számolni valamit a nevezőben? Nyilvánvalóan nem, már minden ki van rakva. A négyzetes trinomit a fent említett okok miatt nem lehet termékké bővíteni. Kapucni. Kevesebb munka.

3. lépés Képzeljünk el egy tört-racionális függvényt elemi törtek összegeként.
Ebben az esetben a bővítés a következő formában történik:

Nézzük a nevezőnket:
Ha egy tört-racionális függvényt elemi törtek összegére bontunk, három alapvető pontot lehet megkülönböztetni:

1) Ha a nevező az első hatványhoz „magányos” tényezőt tartalmaz (esetünkben), akkor egy határozatlan együtthatót teszünk a tetejére (esetünkben). Az 1. és 2. példák csak ilyen „magányos” tényezőket tartalmaztak.

2) Ha a nevező rendelkezik többszörös szorzót, akkor a következőképpen kell bontania:
- azaz egymás után menjen végig az „X” összes fokán az elsőtől az n-edikig. Példánkban két több tényező szerepel: és , nézze meg még egyszer az általam adott kiterjesztést, és győződjön meg arról, hogy pontosan ennek a szabálynak megfelelően vannak kibontva.

3) Ha a nevező másodfokú felbonthatatlan polinomot tartalmaz (esetünkben), akkor a számlálóban történő felbontáskor egy meghatározatlan együtthatójú lineáris függvényt kell írni (esetünkben meghatározatlan együtthatókkal és ).

Valójában van még egy 4. eset, de erről hallgatok, mert a gyakorlatban rendkívül ritka.

4. példa

Mutasson be egy függvényt ismeretlen együtthatójú elemi törtek összegeként.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Szigorúan kövesse az algoritmust!

Ha megérti azokat az elveket, amelyek alapján egy tört-racionális függvényt összeggé kell bővítenie, akkor a szóban forgó típus szinte bármelyik integrálját átrághatja.

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

1. lépés. Nyilvánvalóan a tört helyes:

2. lépés. Be lehet számolni valamit a nevezőben? Tud. Itt van a kockák összege . Tényezősítse a nevezőt a rövidített szorzási képlet segítségével

3. lépés A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust elemi törtek összegére bővítjük:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a polinom nem faktorizálható (ellenőrizze, hogy a diszkrimináns negatív), ezért a tetejére teszünk egy ismeretlen együtthatójú lineáris függvényt, és nem csak egy betűt.

A törtet közös nevezőre hozzuk:

Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert:

(1) Az első egyenletből fejezzük ki és behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe (ez a legracionálisabb mód).

(2) Hasonló kifejezéseket mutatunk be a második egyenletben.

(3) A rendszer második és harmadik egyenletét tagonként összeadjuk.

Minden további számítás elvileg szóbeli, mivel a rendszer egyszerű.

(1) A talált együtthatóknak megfelelően felírjuk a törtek összegét.

(2) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságait használjuk. Mi történt a második integrálban? Ezzel a módszerrel a lecke utolsó bekezdésében ismerkedhet meg. Néhány tört integrálása.

(3) Ismét a linearitás tulajdonságait használjuk. A harmadik integrálban elkezdjük elkülöníteni a teljes négyzetet (a lecke utolsó előtti bekezdése Néhány tört integrálása).

(4) Vegyük a második integrált, a harmadikban pedig a teljes négyzetet.

(5) Vegyük a harmadik integrált. Kész.

Példákat veszünk a racionális függvények (törtek) részletes megoldásokkal való integrálására.

Tartalom

Lásd még: Másodfokú egyenlet gyökerei

Itt részletes megoldásokat kínálunk a következő racionális törtek integrálásának három példájára:
, , .

1. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Itt az integráljel alatt van egy racionális függvény, mivel az integrandus a polinomok töredéke. A nevező polinom foka ( 3 ) kisebb, mint a számlálópolinom fokszáma ( 4 ). Ezért először ki kell választania a tört teljes részét.

1. Jelöljük ki a tört teljes részét. Osszuk el x-et 4 x által 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Innen
.

2. Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a köbös egyenletet:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Helyettesítsük x = 1 :
.

1 . osztás x-szel - 1 :

Innen
.
Másodfokú egyenlet megoldása.
.
Az egyenlet gyökerei: , .
Akkor
.

3. Bontsuk fel a törtet a legegyszerűbb formájára.

.

Így találtuk:
.
Integráljunk.

2. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Itt a tört számlálója egy nulla fokú polinom ( 1 = x 0). A nevező egy harmadfokú polinom. Mert a 0 < 3 , akkor a tört helyes. Bontsuk egyszerű törtekre.

1. Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a harmadik fokú egyenletet:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 3 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 3, -1, -3 .
Helyettesítsük x = 1 :
.

Tehát találtunk egy x = gyöket 1 . Osszuk el x-et 3 + 2 x - 3 x-en - 1 :

Így,
.

A másodfokú egyenlet megoldása:
x 2 + x + 3 = 0.
Keresse meg a diszkriminánst: D = 1 2 - 4 3 = -11. Mivel D< 0 , akkor az egyenletnek nincs valódi gyökere. Így megkaptuk a nevező faktorizálását:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Helyettesítsük x = 1 . Akkor x- 1 = 0 ,
.

Cseréljük be (2.1) x = 0 :
1 = 3 A-C;
.

Tegyük egyenlővé (2.1) együtthatók x-re 2 :
;
0 = A + B;
.

3. Integráljunk.
(2.2) .
A második integrál kiszámításához a számlálóban kiválasztjuk a nevező deriváltját, és a nevezőt négyzetösszegre csökkentjük.

;
;
.

Számítsd ki I 2 .

.
Mivel az x egyenlet 2 + x + 3 = 0 nincs valódi gyökere, akkor x 2 + x + 3 > 0. Ezért a modulusjel elhagyható.

címre szállítunk (2.2) :
.

3. példa

Számítsa ki az integrált:
.

Itt az integráljel alatt a polinomok töredéke található. Ezért az integrandus racionális függvény. A polinom fokszáma a számlálóban egyenlő 3 . A tört nevezőjének polinomjának foka egyenlő 4 . Mert a 3 < 4 , akkor a tört helyes. Ezért egyszerű törtekre bontható. De ehhez a nevezőt faktorizálni kell.

1. Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a negyedik fokú egyenletet:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsük x = -1 :
.

Tehát találtunk egy x = gyöket -1 . osztás x-szel - (-1) = x + 1:

Így,
.

Most meg kell oldanunk a harmadik fokú egyenletet:
.
Ha feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsük x = -1 :
.

Tehát találtunk egy másik x = gyöket -1 . Az előző esethez hasonlóan lehetséges lenne a polinom elosztása -vel, de a tagokat csoportosítjuk:
.

Mivel az x egyenlet 2 + 2 = 0 nincs valódi gyökere, akkor megkapjuk a nevező faktorizálását:
.

2. Bontsuk fel a törtet a legegyszerűbb formájára. Bővítést keresünk a következő formában:
.
Megszabadulunk a tört nevezőjétől, szorozunk vele (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Helyettesítsük x = -1 . Ezután x + 1 = 0 ,
.

Tegyünk különbséget (3.1) :

;

.
Helyettesítsük x = -1 és vegyük figyelembe, hogy x + 1 = 0 :
;
; .

Cseréljük be (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Tegyük egyenlővé (3.1) együtthatók x-re 3 :
;
1 = B + C;
.

Tehát megtaláltuk az egyszerű törtekre való bontást:
.

3. Integráljunk.

.

Lásd még:

A tört úgynevezett helyes, ha a számláló legmagasabb foka kisebb, mint a nevező legmagasabb foka. A megfelelő racionális tört integrálja a következő formájú:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

A racionális törtek integrálásának képlete a nevezőben lévő polinom gyökétől függ. Ha a $ ax^2+bx+c $ polinomnak:

Csak összetett gyökök, akkor egy teljes négyzetet kell kivonni belőle: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 a ^2) $$
Különböző valós gyökök $ x_1 $ és $ x_2 $, akkor ki kell bontani az integrált és meg kell keresni a határozatlan együtthatókat $ A $ és $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
Egy többszörös gyökér $ x_1 $, majd kibontjuk az integrált, és megkeressük a $ A $ és a $ B $ határozatlan együtthatókat a következő képlethez: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ha a tört az rossz, azaz a számláló legmagasabb foka nagyobb vagy egyenlő a nevező legmagasabb fokával, akkor először le kell redukálni helyesúgy alakítjuk ki, hogy a számlálóból származó polinomot elosztjuk a nevezőből származó polinomdal. Ebben az esetben a racionális tört integrálásának képlete a következő:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Példák megoldásokra

1. példa
Keresse meg a racionális tört integrálját: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$
Megoldás
A tört helyes, és a polinomnak csak összetett gyökei vannak. Ezért egy teljes négyzetet választunk: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Összehajtogatunk egy teljes négyzetet, és a $ x-5 $ különbségi jel alá helyezzük: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Az integráltáblázat segítségével a következőket kapjuk: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg \| \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg \| + C = \frac(1)(6) \ln \bigg \|\frac(x-8)(x-2) \bigg \| +C$$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!
Válasz
$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg \|\frac(x-8)(x-2) \bigg \| +C$$

2. példa
Hajtsa végre a racionális törtek integrálását: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$
Megoldás
Oldjuk meg a másodfokú egyenletet: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Felírjuk a gyökereket: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ A kapott gyököket figyelembe véve átalakítjuk az integrált: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Elvégezzük egy racionális tört bővítését: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Egyenlítjük a számlálókat, és megtaláljuk a $ A $ és a $ B $ együtthatókat: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(esetek) A+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(esetek) $$ $$ \begin(esetek) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(esetek) $$ A talált együtthatókat behelyettesítjük az integrálba, és megoldjuk: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln \|x-1\| + \frac(4)(7) \ln \|x+6\| +C$$
Válasz
$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln \|x-1\| + \frac(4)(7) \ln \|x+6\| +C$$