Analiza metod układów nieliniowych. Statystyczne metody identyfikacji układów nieliniowych

Prawie wszystkie systemy sterowania, ściśle mówiąc, są nieliniowe, tj. są opisane równaniami nieliniowymi. Liniowe układy sterowania to ich modele liniowe, które otrzymuje się poprzez konwencjonalną linearyzację – linearyzację polegającą na rozwinięciu funkcji nieliniowych w szereg Taylora i odrzuceniu wyrazów nieliniowych. Jednak taka linearyzacja nie zawsze jest możliwa. Jeśli nieliniowość dopuszcza zwykłą linearyzację, wówczas taką nieliniowość nazywa się nieistotną. W przeciwnym razie nieliniowość jest uważana za znaczącą. Wszystkie rodzaje elementów przekaźnikowych charakteryzują się znaczną nieliniowością. Nawet w przypadkach, gdy możliwa jest konwencjonalna linearyzacja, często konieczne może być uwzględnienie pierwotnego modelu nieliniowego na końcowym etapie badań.

Nieliniowy układ automatyki to układ, który zawiera co najmniej jedno ogniwo opisane równaniem nieliniowym.

Rodzaje łączy nieliniowych:

łącze typu przekaźnikowego;

połączenie z odcinkowo liniową charakterystyką;

ogniwo o charakterystyce krzywoliniowej o dowolnym kształcie;

ogniwo, którego równanie zawiera iloczyn zmiennych lub ich pochodnych oraz inne ich kombinacje;

łącze nieliniowe z opóźnieniem;

nieliniowe łącze impulsowe;

łącze logiczne;

ogniwa opisane odcinkowo liniowymi układami sterowania, w tym o zmiennej strukturze.

Na ryc. 2.1 przedstawia charakterystykę przekaźników różnych typów:

charakterystyka idealnego przekaźnika (a);

charakterystyka przekaźnika ze strefą martwą (b);

charakterystyka przekaźnika z histerezą (c);

charakterystyka przekaźnika ze strefą martwą i histerezą (g);

charakterystyka kwantyzacji według poziomu (d).

Na ryc. 2.2 przedstawia fragmentaryczną charakterystykę liniową:

odcinkowa charakterystyka liniowa z nasyceniem (a);

odcinkowa charakterystyka liniowa ze strefą martwą i nasyceniem (b)

odcinkowa charakterystyka liniowa ze strefą martwą (c);

luz (charakterystyka łącza z luzem) (g);

charakterystyka diody (d);

odcinkowo liniowa charakterystyka z histerezą i nasyceniem (e).

Istnieją nieliniowości statyczne i dynamiczne. Te pierwsze przedstawiono w postaci nieliniowych charakterystyk statycznych, drugie w postaci nieliniowych równań różniczkowych.

Napęd regulatora, jakikolwiek by nie był (elektryczny, hydrauliczny czy pneumatyczny), zawsze ma na początku zawsze martwą strefę; po drugie, strefa nasycenia na krawędziach. Ponadto może również wystąpić histereza. Istnieją również napędy o stałej prędkości powiązane z łączami typu przekaźnikowego.

Strefa martwa wyraża się tym, że silnik ma pewien minimalny prąd rozruchowy, do którego osiągnięcia silnik będzie nieruchomy.

HISTEREZA (od greckiego histereza – opóźnienie, opóźnienie), zjawisko polegające na tym, że fizyczne. wielkość charakteryzująca stan ciała (na przykład namagnesowanie) niejednoznacznie zależy od właściwości fizycznych. wielkość charakteryzująca warunki zewnętrzne (na przykład pole magnetyczne). G. obserwuje się w przypadkach, gdy stan ciała w danym momencie jest zdeterminowany warunkami zewnętrznymi nie tylko w tym samym czasie, ale także w poprzednich momentach. W każdym procesie obserwuje się niejednoznaczną zależność wielkości, ponieważ zmiana stanu organizmu zawsze wymaga określonego czasu (czasu relaksu), a reakcja organizmu pozostaje w tyle za przyczynami, które ją powodują.

Systemy nieliniowe mają szereg podstawowych cech w porównaniu do systemów liniowych. W szczególności są to następujące funkcje:

Zasada superpozycji nie obowiązuje, a badania układu nieliniowego pod kilkoma wpływami nie można sprowadzić do badania pod jednym wpływem;

Stabilność i charakter procesu przejścia zależą od wielkości początkowego odchylenia od położenia równowagi;

Pod ustalonymi wpływami zewnętrznymi możliwych jest kilka (a czasem nieskończona liczba) położeń równowagi;

Powstają swobodne procesy w stanie ustalonym, które nie są możliwe w układach liniowych (na przykład samooscylacje).

Nie ma uniwersalnych metod analitycznych (matematycznych) badania układów nieliniowych. W procesie opracowywania teorii automatycznego sterowania opracowano różne matematyczne metody analizy i syntezy układów nieliniowych, z których każda ma zastosowanie do określonej klasy układów i problemów. Do najczęściej stosowanych metod badania układów nieliniowych należą:

Metoda płaszczyzny fazowej;

metoda funkcji Lapunowa;

Metoda linearyzacji harmonicznej (metoda równowagi harmonicznej);

Metody badania stabilności absolutnej.

Każde badanie mniej lub bardziej złożonych układów nieliniowych z reguły kończy się modelowaniem matematycznym. I pod tym względem modelowanie matematyczne jest jedną z uniwersalnych (nieanalitycznych) metod badawczych.

Płaszczyzna fazowa

Jeżeli równania układu sterowania przedstawimy w postaci normalnej, wówczas wektor stanu układu jednoznacznie określa jego stan. Każdemu stanowi układu w przestrzeni stanów odpowiada punkt. Punkt odpowiadający aktualnemu stanowi układu nazywany jest punktem reprezentującym. Kiedy stan się zmienia, reprezentujący punkt opisuje trajektorię. Trajektoria ta nazywana jest trajektorią fazową. Zbiór trajektorii fazowych odpowiadających wszystkim możliwym warunkom początkowym nazywa się portretem fazowym.

Trajektorię fazową i portret fazowy można przedstawić wizualnie w przypadku dwuwymiarowej przestrzeni fazowej. Dwuwymiarową przestrzeń fazową nazywa się płaszczyzną fazową.

Płaszczyzna fazowa to płaszczyzna współrzędnych, w której dwie zmienne (współrzędne fazowe) są wykreślone wzdłuż osi współrzędnych, które jednoznacznie określają stan układu drugiego rzędu.

Metodę analizy i syntezy układu sterowania opartą na konstrukcji portretu fazowego nazywa się metodą płaszczyzny fazowej.

Na podstawie portretu fazowego można ocenić naturę procesów przejściowych. W szczególności z trajektorii fazowej można bez obliczeń zbudować jakościową charakterystykę czasową - krzywą x w funkcji czasu i odwrotnie, z charakterystyki czasowej można jakościowo skonstruować trajektorię fazową.

Przykładowo najpierw skonstruujemy charakterystykę czasową na podstawie trajektorii fazowej, a następnie skonstruujemy trajektorię fazową na podstawie charakterystyki czasowej. Niech zostanie podana trajektoria fazowa (ryc. 2.4, a).

Po zaznaczeniu na niej punktów charakterystycznych (punkt początkowy, punkty przecięcia z osiami współrzędnych) nanosimy odpowiednie punkty na płaszczyznę tymczasową i łączymy je gładką krzywą (ryc. 2.4, b).

Niech teraz zostanie podana charakterystyka czasowa (ryc. 2.5, a). Po zaznaczeniu na niej punktów charakterystycznych (punkt początkowy, punkty ekstremalne i punkty przecięcia z osią czasu) nanosimy odpowiednie punkty na płaszczyźnie fazowej i łączymy je gładką krzywą

(ryc. 2.5,6).

Portrety fazowe układów nieliniowych mogą zawierać rodzaj specjalnej krzywej – izolowane trajektorie zamknięte. Krzywe te nazywane są cykle graniczne. Jeżeli od wewnątrz i na zewnątrz trajektorie fazowe zbiegają się do cyklu granicznego (ryc. 2.8, a),

wówczas taki cykl graniczny nazywany jest stabilnym cyklem granicznym. Stabilny cykl graniczny odpowiada asymptotycznie stabilnemu orbitalnie ruchowi okresowemu (samooscylacjom).

Jeśli trajektorie fazowe wewnątrz i na zewnątrz cyklu granicznego oddalają się od niego (rys. 2.8,6), taki cykl graniczny nazywa się niestabilnym cyklem granicznym. Nie można zaobserwować procesu okresowego odpowiadającego niestabilnemu cyklowi granicznemu.

Jeżeli ruch rozpoczyna się wewnątrz takiego cyklu granicznego, wówczas proces zmierza do położenia równowagi. Jeżeli ruch rozpoczyna się poza takim cyklem granicznym, wówczas proces jest odwrotny. Niestabilny cykl graniczny służy jako granica obszaru przyciągania, czyli granica stabilności położenia równowagi (początku).

Możliwe są dwa cykle graniczne (ryc. 2.8, c, d). Wewnętrzne wstępne

cykl graniczny na rys. 2.8, in jest stabilne i odpowiadają mu samooscylacje, a zewnętrzny cykl graniczny jest niestabilny i stanowi granicę obszaru samooscylacji: samooscylacje występują dla wszelkich odchyleń początkowych, które nie wykraczają poza zewnętrzny cykl graniczny .

Zewnętrzny cykl graniczny na rys. 2.8, d jest stabilny i odpowiada samooscylacjom, a wewnętrzny cykl graniczny jest niestabilny i stanowi granicę obszaru przyciągania położenia równowagi. W układzie o takim portrecie fazowym samooscylacje powstają, gdy układ dostatecznie odbiega od położenia równowagi – odchylenie wykraczające poza wewnętrzny cykl graniczny. Jeśli układ porusza się w niestabilnym cyklu granicznym, wówczas zbliża się do położenia równowagi.

Metoda linearyzacji harmonicznej

Metoda linearyzacji harmonicznej lub metoda równowagi harmonicznej została pierwotnie opracowana do badania warunków okresowych. Jednak później zaczęto go wykorzystywać także do analizy stabilności i syntezy układów nieliniowych.

Główna idea metody jest następująca. Kontrolowane systemy (obiekty) z reguły mają właściwość filtra dolnoprzepustowego: gdy występują tryby okresowe, nie transmitują drugiej i wyższych harmonicznych lub transmitują z większym tłumieniem. Natomiast istotą metody linearyzacji harmonicznych jest opisanie połączenia nieliniowego równaniem liniowym, które uzyskuje się poprzez pominięcie (odrzucenie) wskazanych harmonicznych w rozwinięciu funkcji nieliniowej w szereg Fouriera.

Metoda linearyzacji harmonicznej jest metodą przybliżoną. Jednak jego zaletą jest to, że można go zastosować do układów dowolnego rzędu, w przeciwieństwie do metody płaszczyzny fazowej, którą można skutecznie zastosować tylko do układów drugiego rzędu.

Metoda Goldfarba (metoda badania symetrycznych samooscylacji)

Metoda funkcji Lapunowa

Metodę badawczą opartą na konstrukcji funkcji Lapunowa, w tym bezpośrednią metodę Lapunowa, zaczęto nazywać metodą funkcji Lapunowa.

Metoda badania stabilności absolutnej

Problem stabilności absolutnej został po raz pierwszy rozpatrzony przez A. I. Lurie i czasami nazywany jest problemem Luriego. Opracował metodę rozwiązania tego problemu opartą na konstrukcji funkcji Lapunowa. W 1961 r Rumuński naukowiec V.M. Popow opublikował artykuł, w którym nakreślił metodę częstotliwościową rozwiązania tego problemu. Spowodowało to duży strumień prac w tym kierunku.

Dla zadań:

Związek między procesem przejściowym a portretem fazowym:

(Besekersky-Popov s. 595, wiele rzeczy)

Kryterium stabilności Popova V.M.

(rumuński naukowiec)

Jest to metoda częstotliwościowa służąca do badania stabilności NL ACS z jednoznaczną nieliniowością spełniającą warunek

Rozważana jest stabilność położenia równowagi

Wystarczające warunki absolutna stabilność Takie systemy zostały sformułowane przez V.M. Popova.

1. Wprowadzono funkcję przenoszenia

Zakłada się, że
odpowiada układowi asymptotycznie stabilnemu (sprawdzanemu przez którekolwiek z kryteriów stabilności).

2. Znaleziono odpowiedź częstotliwościową
.

3. Konstruuje się zmodyfikowaną charakterystykę częstotliwościową
,

co jest określone przez relację

Odnośnie
=Re
,

Jestem
= .

4.Konstruowane na płaszczyźnie zespolonej
.

Kryterium Popowa:

Jeśli przez punkt
można narysować linię prostą na osi rzeczywistej, tak aby zmodyfikowany AFC
po jednej stronie tej linii prostej leżało zamknięte działo samobieżne NL będzie absolutnie stabilny.

Przykład. Zbadaj stabilność absolutną dział samobieżnych NL za pomocą schematu blokowego z ryc. 1, jeśli

Od wszystkiego w równaniu charakterystycznym II rzędu jest wówczas większa od zera
- jest asymptotycznie stabilny, zatem warunek (1) kryterium stabilności Popowa jest spełniony.

Odnośnie
=Re
=

Jestem
=Jestem
=

Budujemy AFFC
.

Stabilność asymptotyczna dla postaci specjalnej

charakterystyka nieliniowa

1. Niejednoznaczna charakterystyka nieliniowa

Stan spoczynku będzie całkowicie stabilny, jeśli

1.
odpowiada układowi asymptotycznie stabilnemu.

2. Układ z charakterystyką przekaźnika

R=0 . Jest to szczególny przypadek cechy omówionej powyżej.

Warunek wystarczający na stabilność absolutną - zamiast warunku (2)

3.Nieliniowość typu przekaźnika

1.
- asymptotycznie stabilny.

2.Jestem

Absolutna stabilność procesu

Rozważmy teraz stabilność nie układów stabilizacji (tryb nominalny - stan spoczynku), ale przypadek, gdy tryb nominalny charakteryzuje się sygnałem wejściowym
i sygnał wyjściowy
, to są ograniczona, ciągła funkcje czasu.

Zakładamy, że element nieliniowy ma postać
, Gdzie
jest ciągłą funkcją jednowartościową, która spełnia warunek

te. szybkość zmian charakterystyki nieliniowej jest ograniczona. Jest to dość rygorystyczny warunek.

W tym przypadku, aby zapewnić absolutną stabilność ograniczonego procesu
,
wystarczy, że warunki zostaną spełnione6

1.
- był asymptotycznie stabilny.

2.
.

W szczególnym przypadku, kiedy R=0

Lub

Teoria związana z rozwojem idei Popowa nie jest jeszcze kompletna; możliwe są tutaj nowe, silniejsze wyniki. Podsumowanie dotychczasowych wyników można znaleźć w książce Naumova „Nonlinear Automatic Control Systems”.

Przybliżone metody badania nieliniowych układów automatyki

Metoda równowagi harmonicznej

Badając NL ACS, czasami można zaobserwować pojawienie się okresowych zmian wartości wyjściowej y(T) nawet w przypadkach, gdy
Jeśli studiując działa samobieżne, ograniczymy się do liniowy modelu o stałych współczynnikach, wówczas wskazane zjawisko (oscylacje naturalne) może wystąpić tylko wtedy, gdy w równaniu charakterystycznym występują pierwiastki czysto urojone
.

Jednakże przy takim wyjaśnieniu niewielka zmiana parametrów układu spowoduje „przesunięcie” pierwiastka z wyimaginowanej osi w lewo lub w prawo, a naturalne oscylacje albo stłumią, albo będą się kołysać. W praktyce w układach nieliniowych występują okresowe oscylacje sygnału wyjściowego przy niewielkich zmianach parametrów układu.

Ten rodzaj nietłumionych oscylacji można wytłumaczyć nieliniową naturą układu. Nazywa się je samooscylacjami.

Rozważ metodę równowaga harmoniczna, co pozwala określić obecność lub brak samooscylacji na podstawie wzajemnego przepływu odpowiedzi fazowo-częstotliwościowej części liniowej i charakterystyki elementu nieliniowego.

Rozważmy układ jednopętlowy, w którym zidentyfikowany jest element nieliniowy

(1)

i część liniowa z funkcją przenoszenia
.

Przypuszczalny:

1.
odpowiada stabilnemu systemowi,

2. charakterystyka nieliniowa
- nieparzysta symetryczność, tj.

3.sygnał wejściowy
, tj. To jest system stabilizacji.

Będziemy szukać sygnału wyjściowego y(T) Jak

, (2)

Gdzie - amplituda samooscylacji,

- częstotliwość samooscylacji.

I trzeba ustalić.

Hipoteza sinusoidalna y(T) wygląda arbitralnie. Jednakże zostaną podane dalsze warunki, w których hipoteza ta stanie się naturalna.

Ponieważ
,(3)

Zgubmy sygnał
kolejno przez element nieliniowy i część liniową i znajdź równania, z których będzie można wyznaczyć amplitudę i częstotliwość samooscylacje w działach samobieżnych NL.

Opis przejścia
poprzez element liniowy

Ponieważ
- funkcja okresowa, a następnie sygnał
na wyjściu nieliniowym element będzie również funkcją okresową, ale inną niż sinusoida.

Zakres
Zakres

Jak wiadomo, dowolną funkcję okresową można przedstawić za pomocą szeregu Fouriera:

(4)

Zakładamy, że wolny wyraz we wzorze (4) jest równy zero. Będzie to miało miejsce np. wtedy, gdy charakterystyka elementu nieliniowego będzie spełniać warunek

, czyli jest to funkcja nieparzysta.

Tutaj współczynniki Fouriera I są zdeterminowani:

(5)

Przekształćmy (4), mnożąc i dzieląc każdy wyraz po prawej stronie przez
(6)

Przypomnijmy Ci to

(8)

Zatem podczas przekazywania sygnału
przez element nieliniowy, na wyjściu elementu nieliniowego znajduje się sygnał
zawiera wiele harmonicznych, które są wielokrotnościami . (patrz zdjęcie powyżej).

Przepływ sygnału
przez część liniową

Z teorii układów liniowych wiemy, że na wejściu łącza liniowego występuje funkcja przenoszenia
odpowiadający stabilnemu systemowi, należy zastosować sygnał harmoniczny; w stanie ustalonym na wyjściu tego łącza pojawi się sygnał.

Tutaj
- moduł odpowiedzi częstotliwościowej
w tym punkcie ,

argument
.

Korzystając z tych relacji, możemy zapisać wyrażenia dla
, przechodząc osobno przez część liniową wszystkie składniki szeregu (8) i następnie sumując otrzymane wyrażenia dla

Ze względu na liniowość systemu taka procedura jest legalna.

Otrzymujemy, zakładając
:

Wynikowe wyrażenie (9) dla
ma dość złożoną strukturę. Można to znacznie uprościć za pomocą hipoteza filtrująca.

Badając charakterystykę częstotliwościową typowych jednostek elementarnych, widzieliśmy, że ich charakterystyka częstotliwościowa zmierza do zera

Hipoteza filtra zakłada, że odpowiedź częstotliwościowa po prawej stronie (9) maleje wraz ze wzrostem częstotliwości tak szybko, że w (9) można uwzględnić tylko pierwszy człon, odpowiadający k=1, a pozostałe warunki uznać za nieistotne. Innymi słowy, hipoteza filtra jest hipotezą, że liniowa część ACS praktycznie nie pozwala na przejście oscylacji o wysokiej częstotliwości. Dlatego wzór (9) (i jest to przybliżenie metody) upraszcza się w następujący sposób:

Tym samym zamykając układ przy założeniu hipotezy filtra otrzymamy równowagę harmoniczną (stąd nazwa metody – metoda równowagi harmonicznej)

Przyjrzyjmy się, jak używać metoda równowaga harmoniczna określić amplitudę A i częstotliwość samooscylacje.

Przedstawmy koncepcję równoważna funkcja przenoszenia elementu nieliniowego:

(11)

Jeśli
(a dzieje się to przy jednoznacznych symetrycznych charakterystykach nieliniowych).

(12)

Równanie charakterystyczne zamkniętego ACS (rys. 1) ma postać:

lub pasmo przenoszenia

(13)

(14)

Wyobraźmy sobie

Następnie równanie (14) zostanie przepisane:

=
(17)

Równość (14) lub (17) jest podstawą grafowo-analitycznej metody wyznaczania parametrów samooscylacji A I .

Odpowiedź fazowo-częstotliwościowa części liniowej jest zbudowana na płaszczyźnie zespolonej

i charakterystyka elementu nieliniowego

Jeśli krzywe przecinają się, w ACS występują samooscylacje.

Częstotliwość samooscylacji w punkcie przecięcia krzywych wzdłuż
, a amplituda jest zgodna z
.

Przyjrzyjmy się bliżej wybranemu obszarowi

Znamy amplitudę i częstotliwość punktów znajdujących się najbliżej punktu przecięcia krzywych. Amplituda i częstotliwość w punkcie przecięcia można wyznaczyć np. dzieląc odcinek na pół.

Metoda linearyzacji harmonicznej

Jest to bardzo skuteczna przybliżona metoda wyznaczania okresowych oscylacji w NL ACS.

Aby zastosować metodę harmonicznej linearyzacji nieliniowości należy spełnić wymaganie: część liniowa musi mieć właściwości filtrujące, tj. nie powinien przepuszczać wysokich częstotliwości.

W praktyce wymóg ten jest zwykle spełniony.

Niech będzie element nieliniowy

(1)

Pozwalać
(2)

Następnie
(3)

Rozwińmy (1) w szereg Fouriera:

Przypomnijmy, że funkcja nieliniowa F(X) , rozwinięte w szereg Fouriera, ma postać:

,
,

Wtedy szereg Fouriera dla naszej nieliniowości będzie wyglądał następująco:

++wyższe harmoniczne (4)

Umieśćmy stały składnik

Z równania (2):

Z równania (3):

Następnie równanie (4) można przepisać:

W równaniu (5) zaniedbujemy wysokie częstotliwości i jest to przybliżenie metody.

Zatem element nieliniowy w
zostaje zastąpione zlinearyzowanym wyrażeniem (5), które w przypadku spełnienia hipotezy filtra części liniowej przyjmuje postać:

(6)

Procedura ta nazywana jest linearyzacją harmoniczną.

Szanse
I
Na stała a I . W trybie dynamicznym, gdy się zmieniają A I , współczynniki
I
ulegnie zmianie. Na tym polega różnica między linearyzacją harmoniczną a linearyzacją konwencjonalną. (W przypadku konwencjonalnej linearyzacji współczynnik zlinearyzowanego równania DO zależy od punktu linearyzacji). Zależność współczynników linearyzacji od A I pozwala na zastosowanie metod badania układów liniowych do NL ACS (6) i analizę właściwości NL ACS, których nie można wykryć za pomocą konwencjonalnej linearyzacji.

Współczynniki linearyzacji harmonicznej

pewne typowe nieliniowości

Charakterystyka przekaźnika

2. Charakterystyka przekaźnika ze strefą martwą

,
Amplituda oscylacji

3. Charakterystyka przekaźnika z pętlą histerezy

,
,

4. Charakterystyka przekaźnika ze strefą martwą i pętlą histerezy

Rozważmy teraz system zamknięty.

Możemy wprowadzić pojęcie funkcji przenoszenia elementu nieliniowego

Następnie równanie charakterystyczne układu automatycznego sterowania w pętli zamkniętej wygląda następująco:

Lub

Kiedy w układzie zamkniętym powstają naturalne, nietłumione oscylacje o stałej amplitudzie i częstotliwości, współczynniki linearyzacji harmonicznych stają się stałe, a system automatycznego sterowania staje się liniowy. Natomiast w układzie liniowym obecność okresowych, nietłumionych oscylacji wskazuje na obecność czysto urojonych pierwiastków.

Zatem do ustalenia okresowy rozwiązania należy podstawić do równania charakterystycznego
. Tutaj - aktualna częstotliwość i - częstotliwość samooscylacji.

Niewiadomymi w tym równaniu są I .

Wyodrębnijmy w tym równaniu części rzeczywiste i urojone.

Wprowadźmy zapis częstotliwości i amplitudy pożądanego rozwiązania okresowego:
,
.

Otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązując te równania, znajdujemy I - amplituda i częstotliwość rozwiązań okresowych w NL ACS.

Korzystając z tych równań, możesz określić nie tylko I , ale także zbuduj zależność I na przykład ze wzmocnienia ACS DO.

Następnie, biorąc pod uwagę DO zmiennych piszemy:

Zastanawianie się DO, znaleźliśmy I , tj.
I

Może wybrać DO aby

1. to by nie wystarczyło

2. byłoby to nieszkodliwe dla dział samobieżnych,

3. nie byłoby samooscylacji.

Stosując te same równania, możliwe jest na płaszczyźnie dwóch parametrów (na przykład T I DO) skonstruować linie o równych wartościach amplitudy i częstotliwości samooscylacji. Dla tego równania przepisujemy:

Określanie wartości liczbowych , otrzymujemy
I

Z tych wykresów możesz wybrać T I DO.

Wyznaczanie stabilności rozwiązań w nieliniowych układach automatyki

Samooscylacje w NL ACS muszą odpowiadać stabilnym rozwiązaniom okresowym. Dlatego po znalezieniu amplitudy i częstotliwości rozwiązań okresowych, należy je zbadać pod kątem stabilności.

Rozważmy przybliżoną metodę badania stabilności rozwiązań okresowych w NL ACS za pomocą hodografu Michajłowa.

Niech NL działa samobieżne

,
.
- otrzymane metodą linearyzacji harmonicznych.

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

Zapiszmy równanie krzywej charakterystycznej (hodograf Michajłowa), którą ją podstawimy
.

- bieżąca wartość częstotliwości na hodografie Michajłowa,

- częstotliwość linearyzacji harmonicznej (samooscylacji).

Następnie dla dowolnego stały I krzywa Michajłowa będzie miała taką samą postać jak dla zwykłych układów liniowych.

Dla rozwiązań okresowych odpowiadających I , hodograf Michajłowa przejdzie przez początek współrzędnych (ponieważ układ znajduje się na granicy stabilności).

Aby określić stabilność rozwiązań okresowych, podajemy przyrost

Jestem gruby
krzywa Michajłowa zajmie pozycję 1 i kiedy

- pozycja 2, wówczas rozwiązanie okresowe jest stabilne.

Jestem gruby
krzywa zajmie pozycję 2 i kiedy
- pozycja 1, wówczas rozwiązanie okresowe jest niestabilne.

Wyślij swoją dobrą pracę do bazy wiedzy jest prosta. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będą Państwu bardzo wdzięczni.

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Państwowy Uniwersytet Techniczny w Nowosybirsku

Katedra Napędu Elektrycznego i Automatyki Instalacji Przemysłowych

PRACA KURSOWA

w dyscyplinie „Teoria automatyki”

Analiza nieliniowych układów automatyki

Uczeń: Tishininov Yu.S.

Grupa Ema-71

Kierownik zajęć

PRZYDZIAŁ PRACY KURSOWEJ:

1. Badać układ automatycznego sterowania o zadanym schemacie strukturalnym, rodzaju nieliniowości i parametrach numerycznych, stosując metodę płaszczyzny fazowej.

1.1 Sprawdź wyniki obliczeń dla punktu 1 za pomocą modelowania konstrukcyjnego.

1.2 Badać wpływ wpływu parametrów wejściowych i parametrów nieliniowości na dynamikę układu.

2. Badać układ automatyki o zadanym schemacie strukturalnym, rodzaju nieliniowości i parametrach numerycznych, stosując metodę linearyzacji harmonicznych.

2.1 Sprawdź wyniki obliczeń dla punktu 2 za pomocą modelowania konstrukcyjnego.

2.2 Badać wpływ wpływu parametrów wejściowych i parametrów nieliniowości na dynamikę układu

1. Badamy układ automatyki o zadanym schemacie strukturalnym, rodzaju nieliniowości i parametrach numerycznych metodą płaszczyzny fazowej.

Opcja nr 4-1-a

Wstępne dane.

1) Schemat blokowy nieliniowego układu automatyki:

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Układ, w którym operacje robocze i sterujące wykonują urządzenia techniczne, nazywa się automatyczny system sterowania (ACS).

Schemat blokowy nazywa się graficzną reprezentacją matematycznego opisu systemu.

Łącze na schemacie blokowym jest przedstawiane jako prostokąt wskazujący wpływy zewnętrzne, a wewnątrz niego zapisana jest funkcja przenoszenia.

Zbiór powiązań wraz z liniami komunikacyjnymi charakteryzującymi ich interakcję tworzy diagram strukturalny.

2) Parametry schematu blokowego:

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Metoda płaszczyzny fazowej

Zachowanie układu nieliniowego w dowolnym momencie jest określone przez zmienną sterowaną i jej pochodną (n?1); jeśli wielkości te zostaną wykreślone wzdłuż osi współrzędnych, wówczas powstałą przestrzeń n-wymiarową nazwiemy przestrzenią fazową. Stan układu w każdym momencie będzie określony w przestrzeni fazowej przez reprezentujący go punkt. Podczas procesu przejściowego reprezentujący punkt porusza się w przestrzeni fazowej. Trajektoria jego ruchu nazywana jest trajektorią fazową. W stanie ustalonym punkt obrazowania znajduje się w spoczynku i nazywany jest punktem osobliwym. Zbiór trajektorii fazowych dla różnych warunków początkowych wraz z punktami osobliwymi i trajektoriami nazywany jest portretem fazowym układu.

Badając układ nieliniowy tą metodą, należy przekształcić schemat blokowy (ryc. 1.1) do postaci:

Znak minus oznacza, że informacja zwrotna jest ujemna.

gdzie X 1 i X 2 są odpowiednio wielkościami wyjściowymi i wejściowymi części liniowej układu.

Znajdźmy równanie różniczkowe układu:

W takim razie dokonamy wymiany

Rozwiążmy to równanie dla najwyższej pochodnej:

Załóżmy, że:

Podzielmy równanie (1.2) przez równanie (1.1) i otrzymamy nieliniowe równanie różniczkowe trajektorii fazowej:

gdzie x 2 = f(x 1).

Jeśli rozwiążesz ten DE metodą izokliny, możesz skonstruować portret fazowy układu dla różnych warunków początkowych.

Izoklina to geometryczne położenie punktów płaszczyzny fazowej, przez które trajektoria fazowa przecina się pod tym samym kątem.

W tej metodzie charakterystyka nieliniowa jest dzielona na odcinki liniowe i dla każdego z nich zapisywany jest liniowy DE.

Aby otrzymać równanie izokliny, prawą stronę równania (1.3) przyrównuje się do stałej wartości N i rozwiązuje względnie.

Uwzględniając nieliniowość otrzymujemy:

Określając N wartości z zakresu od do, konstruowana jest rodzina izolinii. Na każdej izoklinie narysowana jest pomocnicza linia prosta pod kątem do osi odciętej

gdzie m X jest współczynnikiem skali wzdłuż osi x;

m Y - współczynnik skali wzdłuż osi Y.

Wybierz m X = 0,2 jednostki/cm, m Y = 40 jednostek/cm;

Ostateczny wzór na kąt to:

Obliczmy rodzinę izoklin i kąt dla powierzchni, podsumujmy obliczenia w Tabeli 1:

Tabela 1

Obliczmy rodzinę izoklin i kąt dla powierzchni, podsumujmy obliczenia w Tabeli 2:

Tabela 2

Obliczmy rodzinę izoklin i kąt dla powierzchni, podsumujmy obliczenia w Tabeli 3:

Tabela 3

Zbudujmy trajektorię fazową

W tym celu wybiera się warunki początkowe na jednej z izoklin (punkt A), od punktu A rysuje się dwie proste aż do przecięcia się z kolejną izokliną pod kątami b 1, b 2, gdzie b 1, b 2? odpowiednio kąty pierwszej i drugiej izokliny. Odcinek odcięty tymi liniami dzieli się na pół. Z powstałego punktu, środka odcinka, ponownie rysuje się dwie linie pod kątami b 2, b 3 i ponownie odcinek dzieli się na pół itd. Powstałe punkty są połączone gładką krzywą.

Dla każdego odcinka liniowego charakterystyki nieliniowej budowane są rodziny izoklin, które są oddzielone od siebie liniami przełączającymi.

Trajektoria fazowa pokazuje, że uzyskano specjalny punkt typu stabilnego ogniskowania. Można stwierdzić, że w układzie nie występują samooscylacje, a proces przejścia jest stabilny.

1.1 Sprawdźmy wyniki obliczeń wykorzystując modelowanie konstrukcyjne w programie MathLab

Schemat konstrukcyjny:

Portret fazowy:

Proces przejściowy z działaniem wejściowym równym 2:

Xout.max = 1,6

1.2 Badamy wpływ wpływu parametrów wejściowych i parametrów nieliniowości na dynamikę układu

Zwiększmy sygnał wejściowy do 10:

Xout.max = 14,3

Treg = 0,055

Wyjście X maks. = 103

T reg = 0,18

Zwiększmy strefę czułości do 15:

Xout.max = 0,81

Zmniejszmy strefę czułości do 1:

Xout.max = 3,2

Wyniki symulacji potwierdziły wyniki obliczeń: z rysunku 1.7 widać, że proces jest zbieżny, w układzie nie występują samooscylacje. Portret fazowy symulowanego układu jest podobny do obliczonej ścieżki obliczeniowej.

Po zbadaniu wpływu wpływu parametrów wejściowych i parametrów nieliniowości na dynamikę układu możemy wyciągnąć następujące wnioski:

1) wraz ze wzrostem wpływu wejściowego wzrasta poziom stanu ustalonego, liczba oscylacji nie zmienia się, a czas regulacji wzrasta.

2) wraz ze wzrostem strefy martwej wzrasta poziom stanu ustalonego, liczba oscylacji również pozostaje niezmieniona, a czas regulacji wzrasta.

2. Badamy układ automatyki o zadanym schemacie strukturalnym, rodzaju nieliniowości i parametrach numerycznych metodą linearyzacji harmonicznej.

Opcja nr 5-20-c

Wstępne dane.

1) Schemat blokowy:

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

2) Wartości parametrów:

3) Rodzaj i parametry nieliniowości:

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Najpowszechniej stosowaną metodą badania nieliniowych układów automatyki wysokiego rzędu (n > 2) jest przybliżona metoda linearyzacji harmonicznej z wykorzystaniem reprezentacji częstotliwościowych opracowanych w teorii układów liniowych.

Główna idea metody jest następująca. Niech zamknięty autonomiczny (bez wpływów zewnętrznych) układ nieliniowy składa się z połączonego szeregowo nieliniowego NC bez bezwładności i stabilnej lub neutralnej liniowej części LC (rysunek 2.3, a)

u=0 x z Х=Х m sinwt z y

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

y = Y m 1 grzech (wt +)

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Aby ocenić możliwość istnienia w tym układzie nietłumionych oscylacji monoharmonicznych, zakłada się, że na wejściu łącza nieliniowego działa harmoniczny sygnał sinusoidalny x(t) = X m sinwt (rys. 2.3,b). W tym przypadku sygnał na wyjściu łącza nieliniowego z(t) = z zawiera widmo składowych harmonicznych o amplitudach Z m 1, Z m 2, Z m 3 itd. i częstotliwości w, 2w, 3w itd. Zakłada się, że sygnał ten z(t) przechodząc przez część liniową W l (jw) jest przez niego filtrowany do tego stopnia, że w sygnale na wyjściu części liniowej y(t) wszystkie wyższe harmoniczne Y m 2, Y m 3 itd. i załóż to

y(t)Y m 1 grzech(wt +)

To ostatnie założenie nazywa się hipotezą filtra i spełnienie tej hipotezy jest warunkiem koniecznym linearyzacji harmonicznej.

Warunek równoważności dla obwodów pokazanych na rys. 2.3, aib, można sformułować jako równość

x(t) + y(t) = 0(1)

Gdy hipoteza filtrująca y(t) = Y m 1 sin(wt +) jest spełniona, równanie (1) dzieli się na dwa

Równania (2) i (3) nazywane są równaniami równowagi harmonicznej; pierwszy z nich wyraża równowagę amplitud, a drugi - równowagę faz oscylacji harmonicznych.

Zatem, aby w rozpatrywanym układzie zaszły nietłumione oscylacje harmoniczne, muszą być spełnione warunki (2) i (3), jeśli spełniona jest hipoteza filtru.

Do graficznego rozwiązania równania charakterystycznego postaci wykorzystajmy metodę Goldfarba

W LCH (p) W NE (A) +1 = 0

W LCH (jw) W NE (A) = -1

Aby w przybliżeniu określić samooscylacje, konstruowana jest odpowiedź fazowo-częstotliwościowa liniowej części układu i odwrotna ujemna charakterystyka elementu nieliniowego.

Aby skonstruować odpowiedź AFC części liniowej, przekształcamy schemat blokowy do postaci z rys. 2.4:

W wyniku transformacji otrzymujemy diagram z ryc. 2.5:

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Znajdźmy funkcję przenoszenia części liniowej układu:

Pozbądźmy się irracjonalności mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, otrzymamy:

Podzielmy wynik na część urojoną i rzeczywistą:

Aby skonstruować odwrotną ujemną charakterystykę elementu nieliniowego, używamy wzoru:

Parametry nieliniowości:

A jest amplitudą, pod warunkiem, że.

Odpowiedź AFC liniowej części układu i odwrotną ujemną charakterystykę elementu nieliniowego pokazano na ryc. 2.6:

Do określenia stabilności samooscylacji stosujemy wzór: jeżeli punkt odpowiadający zwiększonej amplitudzie w stosunku do punktu przecięcia nie jest objęty odpowiedzią częstotliwościową części liniowej układu, to samooscylacje są stabilne . Jak widać na rysunku 2.6, rozwiązanie jest stabilne, dlatego w układzie powstają samooscylacje.

2.1 Sprawdźmy wyniki obliczeń wykorzystując modelowanie konstrukcyjne w programie MathLab.

Rysunek 2.7: Schemat blokowy

Proces przejściowy z akcją wejściową równą 1 (rysunek 2.8):

automatyczne sterowanie nieliniową harmoniczną

Jak widać z wykresu, występują samooscylacje. Sprawdźmy wpływ nieliniowości na stabilność układu.

2.2 Przeanalizujmy wpływ wpływu parametrów wejściowych i parametrów nieliniowości na dynamikę układu.

Zwiększmy sygnał wejściowy do 100:

Zwiększmy sygnał wejściowy do 270

Zmniejszmy sygnał wejściowy do 50:

Zwiększmy nasycenie do 200:

Zmniejszmy nasycenie do 25:

Zmniejszmy nasycenie do 10:

Wyniki symulacji nie potwierdziły jednoznacznie wyników obliczeń:

1) W układzie występują samooscylacje, a zmiany nasycenia wpływają na amplitudę oscylacji.

2) Wraz ze wzrostem wpływu wejściowego zmienia się wartość sygnału wyjściowego i system dąży do stanu stabilnego.

WYKAZ WYKORZYSTANYCH ŹRÓDEŁ:

1. Zbiór zagadnień z teorii automatycznej regulacji i sterowania. wyd. VA Besekersky, wydanie piąte, poprawione. - M.: Nauka, 1978. - 512 s.

2. Teoria automatyki. Część druga. Teoria nieliniowych i specjalnych układów automatyki. wyd. A.A. Woronowa. Podręcznik podręcznik dla uniwersytetów. - M.: Wyżej. szkoła, 1977. - 288 s.

3. Topcheev Yu.I. Atlas do projektowania układów automatyki: podręcznik. dodatek. ? M.: Inżynieria mechaniczna, 1989. ? 752 s.

Opublikowano na Allbest.ru

Podobne dokumenty

Układy nieliniowe opisywane nieliniowymi równaniami różniczkowymi. Metody analizy układów nieliniowych: odcinkowa aproksymacja liniowa, linearyzacja harmoniczna, płaszczyzna fazowa, linearyzacja statystyczna. Korzystanie z kombinacji metod.

streszczenie, dodano 21.01.2009

Analiza stabilności układu automatycznego sterowania (ACS) z wykorzystaniem kryterium Nyquista. Badanie stabilności ACS w oparciu o charakterystykę amplitudowo-fazowo-częstotliwościową AFC i charakterystykę logarytmiczną. Narzędzia sterujące systemem śledzenia instrumentów.

praca na kursie, dodano 11.11.2009

Analiza schematu blokowego zadanego układu automatyki. Podstawowe warunki stabilności kryterium Hurwitza i Nyquista. Synteza jako dobór struktury i parametrów układu tak, aby spełniał założone wymagania. Pojęcie zrównoważonego rozwoju.

praca na kursie, dodano 01.10.2013

Badanie trybów układu automatycznego sterowania. Wyznaczanie funkcji przenoszenia układu zamkniętego. Konstrukcja logarytmicznej charakterystyki amplitudowej i częstotliwościowo-fazowej. Synteza układu „obiekt-regulator”, obliczenie optymalnych parametrów.

praca na kursie, dodano 17.06.2011

Projekt zamkniętego, jednowymiarowego, stacjonarnego układu serwoautomatyki z określeniem parametrów urządzenia korygującego zapewniającego spełnienie określonych wymagań jakościowych regulacji. Analiza układu z uwzględnieniem nieliniowości umysłu.

praca na kursie, dodano 18.01.2011

Struktura zamkniętego, liniowego, ciągłego układu automatycznego sterowania. Analiza funkcji przenoszenia układu sprzężenia zwrotnego. Badanie liniowych impulsowych, liniowych ciągłych i nieliniowych ciągłych układów automatyki.

test, dodano 16.01.2011

Równania połączeń schematu strukturalnego ACS. Analiza liniowego, ciągłego układu automatycznego sterowania. Kryteria stabilności. Wskaźniki jakości procesów przejściowych podczas modelowania na komputerze. Synteza sekwencyjnego urządzenia korekcyjnego.

test, dodano 19.01.2016

Projekt schematu blokowego serwonapędu przekaźnikowego elektromechanicznego. Opracowanie równań różniczkowych zamkniętego nieliniowego układu automatyki, skonstruowanie jego portretu fazowego. Linearyzacja harmoniczna nieliniowości.

praca na kursie, dodano 26.02.2014

Dyskretne układy automatyki, jako układy zawierające elementy przetwarzające sygnał ciągły na dyskretny. Element impulsowy (IE), jego opis matematyczny. Cyfrowy układ automatyki, metody jego obliczania.

streszczenie, dodano 18.08.2009

Wykonanie syntezy i analizy śledzącego układu automatycznego sterowania z wykorzystaniem LFC i LFFC. Wyznaczanie rodzajów połączeń funkcji przenoszenia układu i stabilności parametrów brzegowych. Obliczanie charakterystyk statystycznych i logarytmicznych układu.

2.7.3.1. Dokładne metody badania układów nieliniowych

1. Metoda bezpośrednia Lapunowa. Opiera się na twierdzeniu Lapunowa o stabilności układów nieliniowych. Jako aparat badawczy wykorzystuje się funkcję Lapunowa, która jest funkcją znakowo-oznaczoną współrzędnych układu, która ma także pochodną znakowo określoną w czasie. Zastosowanie metody jest ograniczone ze względu na jej złożoność.

2. Metoda Popowa (rumuńskiego naukowca) jest prostsza, ale nadaje się tylko w niektórych szczególnych przypadkach.

3. Metoda oparta na odcinkowej aproksymacji liniowej. Charakterystyki poszczególnych ogniw nieliniowych podzielone są na szereg odcinków liniowych, w ramach których problem okazuje się liniowy i można go w prosty sposób rozwiązać.

Metodę można zastosować, jeśli liczba odcinków, na które podzielona jest charakterystyka nieliniowa, jest niewielka (charakterystyka przekaźnika). Przy dużej liczbie obszarów jest to trudne. Rozwiązanie jest możliwe tylko przy pomocy komputera.

4. Metoda przestrzeni fazowej. Umożliwia badanie układów z nieliniowościami dowolnego typu, a także z kilkoma nieliniowościami. Jednocześnie w przestrzeni fazowej konstruowany jest tzw. portret fazowy procesów zachodzących w układzie nieliniowym. Po pojawieniu się portretu fazowego można ocenić stabilność, możliwość samooscylacji i dokładność w stanie ustalonym. Jednakże wymiar przestrzeni fazowej jest równy rządowi równania różniczkowego układu nieliniowego. Zastosowanie dla układów wyższych niż drugiego rzędu jest praktycznie niemożliwe.

5. Do analizy procesów losowych można wykorzystać aparat matematyczny teorii procesów losowych Markowa. Jednak złożoność metody i możliwość rozwiązania równania Fokkera-Plancka, które jest wymagane w analizie tylko dla równań pierwszego, a w niektórych przypadkach drugiego rzędu, ogranicza jej zastosowanie.

Zatem choć precyzyjne metody analizy układów nieliniowych pozwalają na uzyskanie dokładnych, poprawnych wyników, są one bardzo złożone, co ogranicza ich praktyczne zastosowanie. Metody te są ważne z czysto naukowego, poznawczego, badawczego punktu widzenia, dlatego można je zaliczyć do metod czysto akademickich, których praktyczne zastosowanie do naprawdę złożonych układów nie ma sensu.

2.7.3.2. Przybliżone metody badania układów nieliniowych

Złożoność i ograniczenia praktycznego stosowania dokładnych metod analizy układów nieliniowych doprowadziły do konieczności opracowania przybliżonych, prostszych metod badania tych układów. Metody przybliżone umożliwiają w wielu praktycznych przypadkach uzyskanie przejrzystych i łatwo widocznych wyników analizy układów nieliniowych. Przybliżone metody obejmują:

1. Metoda linearyzacji harmonicznej polega na zastąpieniu elementu nieliniowego jego liniowym odpowiednikiem i równoważność uzyskuje się dla pewnego ruchu układu bliskiego harmonicznego. Dzięki temu można w prosty sposób zbadać możliwość występowania samooscylacji w układzie sterowania. Metodę tę można jednak zastosować także do badania procesów przejściowych w układach nieliniowych.

2. Metoda linearyzacji statystycznej polega również na zastąpieniu elementu nieliniowego jego liniowym odpowiednikiem, ale gdy układ porusza się pod wpływem zaburzeń losowych. Metoda ta umożliwia stosunkowo proste badanie zachowania układu nieliniowego pod wpływem losowych wpływów i znalezienie niektórych jego charakterystyk statystycznych.

Metoda linearyzacji harmonicznej

Zastosujmy się do układów nieliniowych opisanych równaniem różniczkowym dowolnego rzędu. Rozważmy to tylko w odniesieniu do obliczeń drgań własnych w układzie automatycznego sterowania. Podzielmy układ sterowania w pętli zamkniętej na części liniowe i nieliniowe (ryc. 7.2) z odpowiednio funkcjami przenoszenia i.

Dla łącza liniowego:

Łącze nieliniowe może mieć nieliniowe zależności postaci:

itd. Ograniczmy się do zależności postaci:

Ryż. 7.2. W kierunku metody linearyzacji harmonicznej

Postawmy problem badania samooscylacji w tym układzie nieliniowym. Ściśle mówiąc, samooscylacje będą niesinusoidalne, ale założymy, że dla zmiennej X są one zbliżone do funkcji harmonicznej. Jest to uzasadnione faktem, że część liniowa (7.1) jest z reguły filtrem dolnoprzepustowym (LPF). Dlatego część liniowa będzie opóźniać wyższe harmoniczne zawarte w zmiennej y. Założenie to nazywa się hipotezą filtra. W przeciwnym razie, jeśli częścią liniową jest filtr górnoprzepustowy (HPF), wówczas metoda linearyzacji harmonicznych może dać błędne wyniki.

Niech Podstawiając do (7.2), rozwijamy (7.2) w szereg Fouriera:

Załóżmy, że w pożądanych oscylacjach nie ma składowej stałej, tj.

Warunek ten jest zawsze spełniony, gdy charakterystyka nieliniowa jest symetryczna względem początku współrzędnych i na połączenie nieliniowe nie wywiera się żaden wpływ zewnętrzny.

Zaakceptowaliśmy to wówczas.

W pisemnym rozwinięciu dokonamy zamiany i odrzucimy wszystkie wyższe harmoniczne szeregu, biorąc pod uwagę, że są one odfiltrowane. Następnie dla łącza nieliniowego otrzymujemy przybliżony wzór

gdzie i są współczynnikami linearyzacji harmonicznej określonymi wzorami na rozwinięcie szeregu Fouriera:

Zatem równanie nieliniowe (7.2) zostaje zastąpione równaniem przybliżonym dla pierwszej harmonicznej (7.3), podobnym do równania liniowego. Jego osobliwością jest to, że współczynniki równania zależą od pożądanej amplitudy samooscylacji. W ogólnym przypadku, przy bardziej złożonej zależności (7.2), współczynniki te będą zależeć zarówno od amplitudy, jak i częstotliwości.

Przeprowadzona operacja zastąpienia równania nieliniowego przybliżonym równaniem liniowym nazywana jest linearyzacją harmoniczną, a współczynniki (7.4), (7.5) nazywane są współczynnikami transmisji harmonicznych łącza nieliniowego.

Z (7.3) wynika, że dla rozpatrywanego układu funkcja przenoszenia łącza nieliniowego wynosi:

Biorąc pod uwagę (7.1) i (7.3) otrzymujemy funkcję przenoszenia układu otwartej pętli:

oraz równanie charakterystyczne układu zamkniętego:

Podstawiając do (7.6) znajdujemy funkcję przenoszenia częstotliwości systemu z otwartą pętlą:

Nie zależy od [zob (7.8)].

Moduł zastępczej funkcji przenoszenia łącza nieliniowego wyznacza się ze wzoru:

i jest równy stosunkowi amplitudy pierwszej harmonicznej na jej wyjściu do amplitudy wartości wejściowej. Argument funkcji przenoszenia częstotliwości łącza nieliniowego jest równy:

Można wykazać, że dla połączeń nieliniowych o jednoznacznych i symetrycznych względem początku współrzędnych charakterystykach, które nie posiadają pętli histerezy, a więc - czysto rzeczywistych, oraz

Często stosuje się odwrotność równoważnej funkcji przenoszenia łącza nieliniowego:

nazywana impedancją zastępczą łącza nieliniowego. Jego użycie jest wygodne przy obliczaniu samooscylacji za pomocą kryterium Nyquista. Jako przykład zastosowania metody linearyzacji harmonicznych rozważ charakterystykę przekaźnika trójpołożeniowego bez pętli histerezy (ryc. 7.3). Jak widać z rys. 7.3, charakterystyka statyczna jest symetryczna względem początku współrzędnych, zatem . Dlatego wystarczy znaleźć współczynnik za pomocą wzoru (7.4). W tym celu na wejście łącza stosujemy funkcję sinusoidalną i konstruujemy y(t) (ryc. 7.4).

Ryż. 7.3. Charakterystyka statyczna trójpozycyjna

przekaźnik bez pętli histerezy

Jak widać z rys. 7,4, z

Kąt fazowy odpowiadający x 1 = b jest równy arcsin (b/a) (rys. 7.4).

Uwzględniając symetrię całki i zgodnie z (7.4) mamy:

Ponieważ , to ostatecznie mamy:

W podobny sposób można przeprowadzić linearyzację harmoniczną innych łączy nieliniowych. Wyniki linearyzacji podano w , .

Jak zauważono powyżej, metoda linearyzacji harmonicznych jest wygodna do analizy możliwości pojawienia się reżimu samooscylacji w układzie nieliniowym i określenia jego parametrów. Do obliczenia samooscylacji stosuje się różne kryteria stabilności. Najprostszym i najbardziej oczywistym sposobem jest skorzystanie z kryterium Nyquista. Szczególnie wygodne jest stosowanie kryterium Nyquista w przypadku, gdy występuje nieliniowa zależność postaci, a zastępcza funkcja przenoszenia łącza nieliniowego zależy tylko od amplitudy sygnału wejściowego.

Ryż. 7.4. Przykład linearyzacji charakterystyki przekaźnika

Warunki wystąpienia samooscylacji: pojawienie się w rozwiązaniu (7.7) pary pierwiastków czysto urojonych, a wszystkie pozostałe pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie (połączenie z punktem –1,j0).

Przyrównajmy (7.7) do minus jeden:

Aby rozwiązać (7.12), ustawiamy różne wartości i konstruujemy AFC. W pewnym momencie a = A AFC przejdzie przez punkt (-1,j0), który odpowiada brakowi rezerw stabilności.

Częstotliwość i odpowiada częstotliwości i amplitudzie pożądanych oscylacji harmonicznych: (ryc. 7.5).

W podobny sposób można znaleźć okresowe rozwiązanie dla dowolnego typu zależności nieliniowych, prowadzące w szczególności do tego, że zastępcza funkcja przenoszenia elementu nieliniowego zależy nie tylko od amplitudy, ale także od częstotliwości. Jeśli ograniczymy się do rozważenia nieliniowej zależności postaci , to proces znajdowania reżimu okresowego można uprościć.

Ryż. 7,5. Warunek wystąpienia samooscylacji

Zapiszmy równanie (7.12) w postaci:

Patrz (7.11). (7.13)

Równanie (7.13) można łatwo rozwiązać graficznie. W tym celu konieczne jest osobne skonstruowanie AFC i odwrotności AFC wziętej z przeciwnym znakiem. Punkt przecięcia dwóch AFC wyznacza rozwiązanie (7.13). Częstotliwość trybu okresowego znajdujemy za pomocą znaków częstotliwości na wykresie, a amplitudę za pomocą znaków amplitudy na wykresie (ryc. 7.6).

Jednakże znaleziony reżim okresowy odpowiada samooscylacjom tylko wtedy, gdy jest stabilny w tym sensie, że reżim ten może istnieć w układzie przez nieokreślony czas. Stabilność trybu okresowego można określić w następujący sposób.

Załóżmy, że część liniowa układu w stanie otwartym jest stabilna lub neutralna. Dajmy amplitudzie A pewien dodatni przyrost A. Wtedy będzie rosnąć, a zatem będzie się zmniejszać. W rezultacie maleje i tym samym oddala się jeszcze bardziej od punktu (-1,j0). A maleje i będzie dążyć do 0. Podobnie, jeśli A otrzyma ujemny przyrost - A. Wtedy będzie się zmniejszać, więc będzie rosło, będzie rosło, a zatem amplituda wzrośnie, ponieważ AFC zbliży się do punktu (-1,j0) (zmniejszenie marginesów stabilności).

Ryż. 7.6. Warunek wystąpienia samooscylacji w stanie nieliniowym

zależności typu

W konsekwencji dowolne odchylenie losowe A zmienia system w taki sposób, że amplituda przywraca swoją wartość. Odpowiada to stabilności trybu okresowego, który odpowiada samooscylacjom.

Kryterium stabilności dla trybu okresowego sprowadza się tutaj do tego, że część krzywej odpowiadająca mniejszym amplitudom jest objęta AFC części liniowej układu, co odpowiada obecności jednego punktu przecięcia charakterystyki z ujemna część osi wartości rzeczywistych (patrz ryc. 7.6).

Kiedy AFC układu z otwartą pętlą dwukrotnie przecina ujemną część osi wartości rzeczywistych, możliwe jest, że AFC przejdzie przez punkt (-1,j0) dla dwóch wartości i (ryc. 7.7).

Dwa punkty przecięcia odpowiadają dwóm możliwym rozwiązaniom okresowym z parametrami i . Podobnie jak to zrobiono powyżej, możesz upewnić się, że pierwszy punkt odpowiada niestabilnemu trybowi okresowych oscylacji, a drugi stabilnemu, tj. samooscylacje (ryc. 7.8).

W bardziej złożonych przypadkach, gdy, powiedzmy, jest on niestabilny, możliwe jest określenie stabilności powstałego trybu okresowego, biorąc pod uwagę lokalizację AFC systemu z otwartą pętlą. Wspólne pozostaje to, że aby uzyskać stabilność reżimu okresowego, konieczne jest, aby dodatni wzrost amplitudy prowadził do procesów zbieżnych w układzie, a ujemny do rozbieżnych.

W przypadku braku w systemie możliwych modów okresowych bliskich harmonicznych, co wynika z powyższych obliczeń, istnieje wiele różnych opcji zachowania systemu. Jednakże w układach, których część liniowa ma właściwość tłumienia wyższych harmonicznych, szczególnie w takich układach, w których dla niektórych parametrów istnieje rozwiązanie okresowe, a dla innych nie, istnieją podstawy, aby sądzić, że w przypadku braku rozwiązania okresowego układ będzie być stabilny względem stanu równowagi. W tym przypadku stabilność stanu równowagi można ocenić na podstawie wymagania, że gdy część liniowa jest stabilna lub neutralna w stanie otwartym, jej AFC nie obejmuje hodografu

Metoda statystycznej linearyzacji charakterystyk nieliniowych

Do oceny charakterystyk statystycznych układów nieliniowych można zastosować metodę linearyzacji statystycznej, polegającą na zastąpieniu charakterystyki nieliniowej liniową, która w pewnym sensie statystycznym jest równoważna pierwotnej charakterystyce nieliniowej.

Zastąpienie transformacji nieliniowej transformacją liniową jest przybliżone i może być sprawiedliwe tylko pod pewnymi względami. Zatem koncepcja równoważności statystycznej, na podstawie której dokonuje się takiej zamiany, nie jest jednoznaczna i możliwe jest sformułowanie różnych kryteriów statystycznej równoważności zastępujących ją przekształceń nieliniowych i liniowych.

W przypadku, gdy nieliniowa, pozbawiona bezwładności zależność postaci (7.2) poddawana jest linearyzacji, zwykle stosuje się następujące kryteria równoważności statystycznej:

Pierwszy wymaga równości oczekiwań matematycznych i wariancji procesów oraz , gdzie jest wartością wyjściową równoważnego łącza linearyzowanego i jest wartością wyjściową łącza nieliniowego;

Drugie wymaga minimalizacji średniego kwadratu różnicy między procesami na wyjściu elementów nieliniowych i zlinearyzowanych.

Rozważmy linearyzację dla przypadku zastosowania pierwszego kryterium. Zastąpmy zależność nieliniową (7.2) charakterystyką liniową (7.14), która ma takie same oczekiwania matematyczne i rozproszenie, jak te dostępne na wyjściu nieliniowego połączenia z charakterystyką (7.2). W tym celu przedstawiamy (7.14) w postaci: , gdzie jest wyśrodkowaną funkcją losową.

Według wybranego kryterium współczynniki i muszą spełniać następujące zależności:

Z (7.15) wynika, że równoważność statystyczna zachodzi wtedy, gdy

Ponadto znak musi pokrywać się ze znakiem pochodnej cechy nieliniowej F( X).

Wielkości te nazywane są statystycznymi współczynnikami linearyzacji. Aby je obliczyć, musisz znać sygnał na wyjściu łącza nieliniowego:

gdzie jest gęstością prawdopodobieństwa rozkładu losowego sygnału na wejściu łącza nieliniowego.

Dla drugiego kryterium współczynniki linearyzacji statystycznej dobiera się w taki sposób, aby zapewnić minimum różnicy średniokwadratowej pomiędzy procesami na wyjściu łącza nieliniowego i zlinearyzowanego, tj. zapewnić równość

Współczynniki linearyzacji statystycznej, jak wynika z (7.16), (7.17) i (7.18), zależą nie tylko od charakterystyki łącza nieliniowego, ale także od prawa rozkładu sygnału na jego wejściu. W wielu praktycznych przypadkach można założyć, że prawo rozkładu tej zmiennej losowej jest gaussowskie (normalne), co opisuje wyrażenie

Wyjaśnia to fakt, że łącza nieliniowe w układach sterowania są połączone szeregowo z liniowymi elementami inercyjnymi, których prawa rozkładu sygnałów wyjściowych są zbliżone do Gaussa dla dowolnych praw rozkładu ich sygnałów wejściowych. Im bardziej inercyjny jest system, tym prawo rozkładu sygnału wyjściowego jest bliższe Gaussa, tj. urządzenia inercyjne układu prowadzą do przywrócenia rozkładu Gaussa, naruszonego przez łącza nieliniowe. Dodatkowo zmiany prawa rozkładu w bardzo małym zakresie wpływają na współczynniki linearyzacji statystycznej. Dlatego uważa się, że sygnały na wejściu elementów nieliniowych rozkładają się zgodnie z prawem Gaussa.

W tym przypadku współczynniki i zależą wyłącznie od sygnału na wejściu łącza nieliniowego, dlatego dla typowych charakterystyk nieliniowych współczynniki i można obliczyć z wyprzedzeniem, co znacznie upraszcza obliczenia układów wykorzystujących metodę linearyzacji statystycznej. W przypadku prawa rozkładu normalnego i typowych połączeń nieliniowych przy obliczaniu układów nieliniowych można skorzystać z danych podanych w.

Zastosowanie metody linearyzacji statystycznej do analiz

tryby stacjonarne i brak śledzenia

Możliwość zastąpienia charakterystyk ogniw nieliniowych zależnościami liniowymi pozwala na wykorzystanie metod opracowanych dla układów liniowych przy analizie układów nieliniowych. Zastosujmy metodę linearyzacji statystycznej do analizy modów stacjonarnych w układzie pokazanym na rys. 7,9,

gdzie F(e) jest charakterystyką statyczną elementu nieliniowego (dyskryminator);

W(p) – funkcja przenoszenia części liniowej układu.

Zadaniem analizy jest ocena wpływu charakterystyk dyskryminatora na dokładność systemu oraz określenie warunków, w jakich następuje zakłócenie normalnej pracy systemu i zawodzi śledzenie.

Analizując dokładność działania ze względu na składową nielosową sygnału g(t), element nieliniowy F(e) zgodnie z metodą linearyzacji statystycznej zostaje zastąpiony łączem liniowym o współczynniku transmisji. Błąd dynamiczny, jak pokazano wcześniej, oblicza się ze wzoru:

Przykład znalezienia i , a także określenia warunku niepowodzenia śledzenia, podano w.

Pytania testowe

1. Wymienić przybliżone metody analizy układów nieliniowych.

2. Na czym polega istota metody linearyzacji harmonicznych?

3. Na czym polega istota metody linearyzacji statystycznej?

4. Dla jakich ogniw nieliniowych q¢ (a) = 0?

5. Jakie znasz kryteria równoważności statystycznej?

„Teoria automatycznego sterowania”

„Metody badania układów nieliniowych”

1. Metoda równań różniczkowych

Równanie różniczkowe zamkniętego układu nieliniowego n-tego rzędu (rys. 1) można przekształcić do układu n-równań różniczkowych pierwszego rzędu w postaci:

gdzie: – zmienne charakteryzujące zachowanie systemu (jedna z nich może być zmienną kontrolowaną); – funkcje nieliniowe; u – ustawienie wpływu.

Zazwyczaj równania te są zapisywane w skończonych różnicach:

gdzie są warunki początkowe.

Jeśli odchylenia nie są duże, to układ ten można rozwiązać jako układ równań algebraicznych. Rozwiązanie można przedstawić graficznie.

2. Metoda przestrzeni fazowej

Rozważmy przypadek, gdy wpływ zewnętrzny wynosi zero (U = 0).

Ruch układu determinowany jest zmianą jego współrzędnych – w funkcji czasu. Wartości w dowolnym momencie charakteryzują stan (fazę) układu i wyznaczają współrzędne układu posiadającego n-osie i można je przedstawić jako współrzędne jakiegoś (reprezentującego) punktu M (ryc. 2).

Przestrzeń fazowa jest przestrzenią współrzędnych układu.

Wraz ze zmianą czasu t punkt M porusza się po trajektorii zwanej trajektorią fazową. Jeśli zmienimy warunki początkowe, otrzymamy rodzinę trajektorii fazowych zwaną portretem fazowym. Portret fazowy określa charakter procesu przejścia w układzie nieliniowym. Portret fazowy ma specjalne punkty, do których zmierzają lub oddalają się trajektorie fazowe układu (może być ich kilka).

Portret fazowy może zawierać trajektorie fazy zamkniętej, zwane cyklami granicznymi. Cykle graniczne charakteryzują samooscylacje w systemie. Trajektorie fazowe nie przecinają się nigdzie, z wyjątkiem specjalnych punktów, które charakteryzują stany równowagi układu. Cykle graniczne i stany równowagi mogą być stabilne lub niestabilne.

Portret fazowy całkowicie charakteryzuje układ nieliniowy. Cechą charakterystyczną układów nieliniowych jest występowanie różnego rodzaju ruchów, kilku stanów równowagi oraz występowanie cykli granicznych.

Metoda przestrzeni fazowej jest podstawową metodą badania układów nieliniowych. Dużo łatwiej i wygodniej jest badać układy nieliniowe na płaszczyźnie fazowej niż poprzez wykreślanie procesów przejściowych w dziedzinie czasu.

Konstrukcje geometryczne w przestrzeni są mniej wizualne niż konstrukcje na płaszczyźnie, gdy układ jest drugiego rzędu i stosowana jest metoda płaszczyzny fazowej.

Zastosowanie metody płaszczyzny fazowej dla układów liniowych

Przeanalizujmy związek pomiędzy naturą procesu przejścia a krzywymi trajektorii fazowych. Trajektorie faz można otrzymać albo przez całkowanie równania trajektorii faz, albo przez rozwiązanie pierwotnego równania różniczkowego drugiego rzędu.

Niech będzie dany system (ryc. 3).

Rozważmy swobodny przepływ systemu. W tym przypadku: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Ogólnie równanie różniczkowe ma postać

Gdzie (1)

Jest to jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu, którego równanie charakterystyczne jest równe;

. (2)

Z zależności wyznacza się pierwiastki równania charakterystycznego

(3)

Przedstawmy równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci układu

Równania pierwszego rzędu:

(4)

gdzie jest szybkością zmian kontrolowanej zmiennej.

W rozpatrywanym układzie liniowym zmienne x i y reprezentują współrzędne fazowe. Portret fazowy konstruujemy w przestrzeni o współrzędnych x i y, tj. na płaszczyźnie fazowej.

Jeśli wykluczymy czas z równania (1), otrzymamy równanie krzywych całkowych lub trajektorii fazowych.

. (5)

Jest to równanie rozłączne

Rozważmy kilka przypadków

Pliki GB_prog.m i GB_mod.mdl oraz analiza składu widmowego trybu okresowego na wyjściu części liniowej - z wykorzystaniem plików GB_prog.m i R_Fourie.mdl. Zawartość pliku GB_prog.m: % Badanie układów nieliniowych metodą bilansu harmonicznego % Wykorzystane pliki: GB_prog.m, GB_mod.mdl i R_Fourie.mdl. % Stosowane oznaczenia: NE – element nieliniowy, LP – element liniowy. %Usuwam wszystko...

Bezinercyjny w dopuszczalnym (ograniczonym od góry) zakresie częstotliwości, powyżej którego staje się bezwładny. W zależności od rodzaju charakterystyk rozróżnia się elementy nieliniowe o charakterystyce symetrycznej i asymetrycznej. Cecha, która nie zależy od kierunku wielkości ją określających, nazywa się symetryczną, tj. posiadający symetrię względem początku układu...