Broj sa potencijom rješenja logaritma. Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Pojam logaritma i osnovni logaritamski identitet

Pojam logaritma i osnovni logaritamski identitet su usko povezani, jer definicija logaritma u matematičkoj notaciji je .

Osnovni logaritamski identitet proizlazi iz definicije logaritma:

Definicija 1

Logaritam oni nazivaju eksponent $n$, kada se podignu na koji brojevi $a$ dobijaju broj $b$.

Napomena 1

Eksponencijalna jednačina $a^n=b$ za $a > 0$, $a \ne 1$ nema rješenja za nepozitivno $b$ i ima jedan korijen za pozitivno $b$. Ovaj korijen se zove logaritam broja $b$ prema bazi $a$ i zapiši:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Definicija 2

Izraz

$a^(\log_(a) b)=b$

pozvao osnovni logaritamski identitet pod uslovom da je $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Primjer 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

Osnovni logaritamski identitet

Main logaritamski identitet se naziva jer koristi se skoro uvek kada se radi sa logaritmima. Osim toga, uz njegovu pomoć potkrepljuju se osnovna svojstva logaritama.

Primjer 2

$7^5=16,807$, dakle $\log_(7)16,807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, dakle $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, dakle $\log_(11)⁡1=0$.

Hajde da razmotrimo posljedica osnovnog logaritamskog identiteta:

Definicija 3

Ako su dva logaritma sa istim osnovama jednaka, onda su logaritamski izrazi jednaki:

ako je $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, onda je $b=c$.

Hajde da razmotrimo ograničenja, koji se koriste za logaritamski identitet:

Jer kada dižemo jedinicu na bilo koji stepen, uvijek dobijemo jedan, a jednakost $x=\log_(a)⁡b$ postoji samo za $b=1$, tada će $\log_(1)⁡1$ biti bilo koji pravi broj. Da biste izbjegli ovu dvosmislenost, uzmite $a \ne 1$.

Logaritam za $a=0$, prema definiciji, može postojati samo za $b=0$. Jer Kada podignemo nulu na bilo koji stepen, uvijek dobijemo nulu, tada $\log_(0)⁡0$ može biti bilo koji realan broj. Da biste izbjegli ovu dvosmislenost, uzmite $a \ne 0$. Za $a racionalno i iracionalno logaritamske vrijednosti, jer stepen sa racionalnim i iracionalnim eksponentom može se izračunati samo za pozitivne baze. Da biste spriječili ovu situaciju, uzmite $a > 0$.

$b > 0$ slijedi iz uslova $a > 0$, budući da $x=\log_(a)⁡b$, a stepen pozitivnog broja a će uvijek biti pozitivan.

Osnovni logaritamski identitet se često koristi za pojednostavljenje logaritamskih izraza.

Primjer 3

Izračunajte $81^(\log_(9) 7)$.

Rješenje.

Da bi se koristio osnovni logaritamski identitet, potrebno je da baza logaritma i potenci budu isti. Zapišimo bazu stepena u obliku:

Sada možemo napisati:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Koristimo svojstvo snage:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

osnovni logaritamski identitet sada se može primijeniti na svaki faktor:

$=7 \cdot 7=49$.

Napomena 2

Da biste primijenili osnovni logaritamski identitet, također možete pribjeći zamjeni baze logaritma izrazom koji se pojavljuje ispod znaka logaritma, i obrnuto.

Primjer 4

Izračunajte $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Rješenje.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Odgovori: $11$.

Primjer 5

Izračunajte $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Šta je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe sa logaritmima.

Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete mi? U redu. Sada, za samo 10 - 20 minuta vi:

1. Razumjet ćete šta je logaritam.

2. Naučite riješiti cijelu klasu eksponencijalnih jednačina. Čak i ako niste ništa čuli o njima.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štaviše, za ovo ćete morati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na stepen...

Osećam kao da sumnjaš... Pa, dobro, označi vreme! Idi!

Prvo, riješite ovu jednačinu u svojoj glavi:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Jedan od elemenata primitivne algebre nivoa je logaritam. Ime dolazi iz grčkog jezika od riječi "broj" ili "moć" i označava snagu na koju se broj u bazi mora podići da bi se pronašao konačni broj.

Vrste logaritama

log a b – logaritam broja b prema bazi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b – decimalni logaritam (logaritam na osnovu 10, a = 10);
ln b – prirodni logaritam (logaritam prema bazi e, a = e).

Kako riješiti logaritme?

Logaritam od b prema bazi a je eksponent koji zahtijeva da se b podigne na bazu a. Dobijeni rezultat se izgovara ovako: "logaritam od b prema bazi a." Rješenje logaritamskih problema je da morate odrediti datu snagu u brojevima iz navedenih brojeva. Postoje neka osnovna pravila za određivanje ili rješavanje logaritma, kao i za pretvaranje same notacije. Koristeći ih, rješavaju se logaritamske jednadžbe, pronalaze derivati, rješavaju integrali i izvode mnoge druge operacije. U osnovi, rješenje samog logaritma je njegova pojednostavljena notacija. Ispod su osnovne formule i svojstva:

Za bilo koji a ; a > 0; a ≠ 1 i za bilo koji x ; y > 0.

a log a b = b – osnovni logaritamski identitet
log a 1 = 0
loga a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , za k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – formula za prelazak na novu bazu
log a x = 1/log x a

Kako riješiti logaritme - upute korak po korak za rješavanje

Prvo zapišite traženu jednačinu.

Napomena: ako je osnovni logaritam 10, unos se skraćuje, što rezultira decimalnim logaritmom. Ako postoji prirodan broj e, onda ga zapisujemo, svodeći ga na prirodni logaritam. To znači da je rezultat svih logaritama snaga na koju se podiže osnovni broj da bi se dobio broj b.

Direktno, rješenje leži u izračunavanju ovog stepena. Prije rješavanja izraza logaritmom, on se mora pojednostaviti prema pravilu, odnosno korištenjem formula. Glavne identitete možete pronaći ako se malo vratite u članak.

Kada zbrajate i oduzimate logaritme sa dva različita broja, ali sa istim osnovama, zamijenite jednim logaritmom umnoškom ili podjelom brojeva b i c, respektivno. U tom slučaju možete primijeniti formulu za prelazak na drugu bazu (vidi gore).

Ako koristite izraze za pojednostavljenje logaritma, postoje neka ograničenja koja treba uzeti u obzir. A to je: osnova logaritma a je samo pozitivan broj, ali ne i jedan. Broj b, kao i a, mora biti veći od nule.

Postoje slučajevi u kojima, pojednostavljivanjem izraza, nećete moći numerički izračunati logaritam. Dešava se da takav izraz nema smisla, jer su mnoge potencije iracionalni brojevi. Pod ovim uslovom ostavite stepen broja kao logaritam.

Date su osnovne osobine logaritma, logaritamski graf, domen definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, povećanje i smanjenje. Razmatra se pronalaženje derivacije logaritma. Kao i integralno, proširenje niza stepena i predstavljanje pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija logaritma

Logaritam sa bazom a je funkcija od y (x) = log a x, inverzno eksponencijalnoj funkciji s bazom a: x (y) = a y.

Decimalni logaritam je logaritam bazi broja 10 : log x ≡ log 10 x.

Prirodni logaritam je logaritam na osnovu e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Grafikon logaritma se dobija iz grafa eksponencijalne funkcije preslikavanjem u odnosu na pravu liniju y = x. Na lijevoj strani su grafovi funkcije y (x) = log a x za četiri vrijednosti logaritamske baze: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 i a = 1/8 . Grafikon pokazuje da kada je a > 1 logaritam se monotono povećava. Kako se x povećava, rast se značajno usporava. At 0 < a < 1 logaritam se monotono smanjuje.

Svojstva logaritma

Domen, skup vrijednosti, povećanje, smanjenje

Logaritam je monotona funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tabeli.


Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Raspon vrijednosti	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotona	monotono raste	monotono opada
Nule, y = 0	x = 1	x = 1
Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0	br	br
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privatne vrijednosti

Poziva se logaritam na osnovu 10 decimalni logaritam i označava se kako slijedi:

Logaritam prema bazi e pozvao prirodni logaritam:

Osnovne formule za logaritme

Svojstva logaritma koja proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzimaju logaritmi, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.

Potenciranje je inverzna matematička operacija logaritma. Tokom potenciranja, data baza se podiže do stepena ekspresije nad kojim se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sume termina se pretvaraju u proizvode faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane za logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Onda
.
Primijenimo svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu zamjene baze.
;
.
Uz pretpostavku c = b, imamo:

Inverzna funkcija

Inverz logaritma bazi a je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.

Ako onda

Derivat logaritma

Derivat logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Da bismo pronašli derivaciju logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.

Integral

Integral logaritma se izračunava integracijom po dijelovima: .
dakle,

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Izrazimo kompleksan broj z preko modula r i argument φ :
.
Zatim, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or

Međutim, argument φ nije jedinstveno definisan. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
onda će to biti isti broj za različite n.