Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie.
Metóda neurčitého koeficientu

Pokračujeme v práci na integrácii zlomkov. V lekcii sme sa už pozreli na integrály niektorých typov zlomkov a túto lekciu možno v istom zmysle považovať za pokračovanie. Na úspešné pochopenie materiálu sú potrebné základné integračné zručnosti, takže ak ste práve začali študovať integrály, to znamená, že ste začiatočník, musíte začať s článkom Neurčitý integrál. Príklady riešení.

Napodiv, teraz sa nebudeme zaoberať ani tak hľadaním integrálov, ale... riešením sústav lineárnych rovníc. V tomto smere súrne Odporúčam zúčastniť sa hodiny, musíte sa totiž dobre orientovať v substitučných metódach (metóda „škola“ a metóda sčítania (odčítania) systémových rovníc po členoch).

Čo je to zlomková racionálna funkcia? Jednoducho povedané, zlomkovo-racionálna funkcia je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ obsahuje polynómy alebo súčin polynómov. Okrem toho sú zlomky sofistikovanejšie ako tie, o ktorých sa hovorí v článku Integrácia niektorých zlomkov.

Integrácia správnej zlomkovo-racionálnej funkcie

Okamžite príklad a typický algoritmus na riešenie integrálu zlomkovo-racionálnej funkcie.

Príklad 1

Krok 1. Prvá vec, ktorú VŽDY robíme pri riešení integrálu zlomkovej racionálnej funkcie, je objasniť si nasledujúcu otázku: je zlomok správny? Tento krok sa vykonáva verbálne a teraz vysvetlím, ako:

Najprv sa pozrieme na čitateľa a zistíme vyššieho stupňa polynóm:

Vedúca mocnina čitateľa je dva.

Teraz sa pozrieme na menovateľa a zistíme vyššieho stupňa menovateľ. Zrejmým spôsobom je otvoriť zátvorky a uviesť podobné výrazy, ale môžete to urobiť jednoduchšie, v každý nájdite najvyšší stupeň v zátvorkách

a mentálne vynásobte: - teda najvyšší stupeň menovateľa sa rovná trom. Je celkom zrejmé, že ak zátvorky skutočne otvoríme, nezískame stupeň väčší ako tri.

Záver: Hlavný stupeň čitateľa PRÍSNE je menšia ako najvyššia mocnina menovateľa, čo znamená, že zlomok je správny.

Ak v tomto príklade čitateľ obsahoval polynóm 3, 4, 5 atď. stupňa, potom by bol zlomok nesprávne.

Teraz budeme uvažovať iba o správnych zlomkových racionálnych funkciách. Prípad, keď je stupeň čitateľa väčší alebo rovný stupňu menovateľa, sa rozoberie na konci hodiny.

Krok 2. Rozložme menovateľa na faktor. Pozrime sa na nášho menovateľa:

Vo všeobecnosti je to už súčin faktorov, no napriek tomu si kladieme otázku: je možné ešte niečo rozšíriť? Predmetom mučenia bude nepochybne štvorcová trojčlenka. Riešenie kvadratickej rovnice:

Diskriminant je väčší ako nula, čo znamená, že trojčlenku možno skutočne rozložiť na faktor:

Všeobecné pravidlo: VŠETKO v menovateli MÔŽE byť faktorizované - faktorizované

Začnime formulovať riešenie:

Krok 3. Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet jednoduchých (elementárnych) zlomkov. Teraz to bude jasnejšie.

Pozrime sa na našu integrandovú funkciu:

A viete, nejako intuitívne sa objaví myšlienka, že by bolo pekné zmeniť náš veľký zlomok na niekoľko malých. Napríklad takto:

Vynára sa otázka, je to vôbec možné? Vydýchnime si, zodpovedajúca veta matematickej analýzy hovorí – JE TO MOŽNÉ. Takýto rozklad existuje a je jedinečný.

Má to len jeden háčik, šance sú Zbohom Nevieme, odtiaľ názov – metóda neurčitých koeficientov.

Ako ste uhádli, následné pohyby tela sú také, nechichotajte sa! bude zameraná práve na ich POZNATIE – zistiť, čomu sa rovnajú.

Pozor, podrobne vysvetlím iba raz!

Takže začnime tancovať od:

Na ľavej strane zredukujeme výraz na spoločného menovateľa:

Teraz sa môžeme bezpečne zbaviť menovateľov (keďže sú rovnaké):

Na ľavej strane otvoríme zátvorky, ale zatiaľ sa nedotýkame neznámych koeficientov:

Zároveň si zopakujeme školské pravidlo pre násobenie polynómov. Keď som bol učiteľ, naučil som sa vyslovovať toto pravidlo s otvorenou tvárou: Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu.

Z hľadiska jasného vysvetlenia je lepšie dať koeficienty do zátvoriek (aj keď osobne to nikdy nerobím, aby som ušetril čas):

Zostavíme sústavu lineárnych rovníc.
Najprv hľadáme vyššie tituly:

A zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do prvej rovnice systému:

Dobre si zapamätajte nasledujúci bod. Čo by sa stalo, keby na pravej strane nebolo vôbec žiadne s? Povedzme, že by sa to len predvádzalo bez akéhokoľvek štvorca? V tomto prípade by bolo potrebné do rovnice sústavy umiestniť nulu vpravo: . Prečo nula? Ale pretože na pravej strane môžete vždy priradiť rovnaký štvorec s nulou: Ak na pravej strane nie sú žiadne premenné a / alebo voľný člen, umiestnime nuly na pravé strany zodpovedajúcich rovníc systému.

Zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do druhej rovnice systému:

A nakoniec minerálka, vyberáme voľných členov.

Eh...trochu som žartoval. Vtipy bokom – matematika je vážna veda. V našej ústavnej skupine sa nikto nesmial, keď pani docentka povedala, že pojmy rozhádže po číselnej osi a vyberie tie najväčšie. Poďme vážne. Hoci... kto sa dožije konca tejto lekcie, bude sa aj tak ticho usmievať.

Systém je pripravený:

Riešime systém:

(1) Z prvej rovnice ju vyjadríme a dosadíme do 2. a 3. rovnice sústavy. V skutočnosti bolo možné vyjadriť (alebo iné písmeno) z inej rovnice, ale v tomto prípade je výhodné vyjadriť to z 1. rovnice, keďže tam najmenší kurz.

(2) Podobné pojmy uvádzame v 2. a 3. rovnici.

(3) Sčítame 2. a 3. rovnicu člen po člene, čím dostaneme rovnosť , z čoho vyplýva, že

(4) Dosadíme do druhej (alebo tretej) rovnice, odkiaľ to zistíme

(5) Dosaďte a do prvej rovnice a získajte .

Ak máte nejaké ťažkosti s metódami riešenia systému, precvičte si ich na hodine. Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?

Po vyriešení systému je vždy užitočné skontrolovať - dosadiť zistené hodnoty každý rovnice systému, v dôsledku toho by všetko malo „konvergovať“.

Skoro tam. Koeficienty sa našli a:

Hotová práca by mala vyzerať asi takto:

Ako vidíte, hlavnou náročnosťou úlohy bolo zostaviť (správne!) a vyriešiť (správne!) sústavu lineárnych rovníc. A v konečnej fáze nie je všetko také ťažké: používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu a integrujeme. Upozorňujeme, že pod každým z troch integrálov máme „voľnú“ komplexnú funkciu; o vlastnostiach jej integrácie som hovoril v lekcii Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli.

Kontrola: Rozlíšte odpoveď:

Pôvodná funkcia integrandu bola získaná, čo znamená, že integrál bol nájdený správne.
Pri overovaní sme museli výraz zredukovať na spoločného menovateľa a nie je to náhodné. Metóda neurčitých koeficientov a redukcia výrazu na spoločného menovateľa sú vzájomne inverzné akcie.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál.

Vráťme sa k zlomku z prvého príkladu: . Je ľahké si všimnúť, že v menovateli sú všetky faktory RÔZNE. Vynára sa otázka, čo robiť, ak je uvedený napríklad zlomok: ? Tu máme stupne v menovateli, alebo, matematicky, násobky. Okrem toho existuje kvadratická trojčlenka, ktorú nemožno faktorizovať (je ľahké overiť, že diskriminant rovnice je záporná, takže trojčlenku nemožno faktorizovať). Čo robiť? Rozšírenie do súčtu elementárnych zlomkov bude vyzerať asi takto s neznámymi koeficientmi na vrchu alebo niečo iné?

Príklad 3

Zaviesť funkciu

Krok 1. Kontrola, či máme správny zlomok
Hlavný čitateľ: 2
Najvyšší stupeň menovateľa: 8
, čo znamená, že zlomok je správny.

Krok 2. Je možné niečo započítať do menovateľa? Očividne nie, všetko je už rozpísané. Štvorcová trojčlenka nemôže byť rozšírená na súčin z dôvodov uvedených vyššie. Hood. Menej práce.

Krok 3. Predstavme si zlomkovo-racionálnu funkciu ako súčet elementárnych zlomkov.
V tomto prípade má rozšírenie nasledujúcu formu:

Pozrime sa na nášho menovateľa:
Pri rozklade zlomkovo-racionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov možno rozlíšiť tri základné body:

1) Ak menovateľ obsahuje „osamelý“ faktor k prvej mocnine (v našom prípade), potom umiestnime neurčitý koeficient na začiatok (v našom prípade). Príklady č. 1, 2 pozostávali len z takýchto „osamelých“ faktorov.

2) Ak menovateľ má viacnásobné multiplikátor, potom ho musíte rozložiť takto:
- to znamená postupne prejsť všetkými stupňami „X“ od prvého po n-tý stupeň. V našom príklade sú dva viaceré faktory: a , pozrite sa ešte raz na rozšírenie, ktoré som dal, a uistite sa, že sú rozbalené presne podľa tohto pravidla.

3) Ak menovateľ obsahuje nerozložiteľný polynóm druhého stupňa (v našom prípade), tak pri rozklade v čitateli treba zapísať lineárnu funkciu s neurčitými koeficientmi (v našom prípade s neurčitými koeficientmi a ).

V skutočnosti existuje ďalší 4. prípad, ale o tom pomlčím, pretože v praxi je to mimoriadne zriedkavé.

Príklad 4

Zaviesť funkciu ako súčet elementárnych zlomkov s neznámymi koeficientmi.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Dôsledne dodržujte algoritmus!

Ak pochopíte princípy, podľa ktorých potrebujete rozšíriť zlomkovo-racionálnu funkciu na súčet, môžete prehrýzť takmer akýkoľvek integrál daného typu.

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál.

Krok 1. Je zrejmé, že zlomok je správny:

Krok 2. Je možné niečo započítať do menovateľa? Môcť. Tu je súčet kociek . Vynásobte menovateľa pomocou skráteného vzorca násobenia

Krok 3. Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet elementárnych zlomkov:

Upozorňujeme, že polynóm nemožno faktorizovať (skontrolujte, či je diskriminant záporný), takže na začiatok umiestnime lineárnu funkciu s neznámymi koeficientmi a nie iba jedno písmeno.

Zlomok privedieme na spoločného menovateľa:

Poďme zostaviť a vyriešiť systém:

(1) Vyjadríme z prvej rovnice a dosadíme ju do druhej rovnice sústavy (to je najracionálnejší spôsob).

(2) V druhej rovnici uvádzame podobné členy.

(3) Druhú a tretiu rovnicu sústavy pridávame po členoch.

Všetky ďalšie výpočty sú v zásade ústne, pretože systém je jednoduchý.

(1) Súčet zlomkov zapíšeme v súlade so zistenými koeficientmi.

(2) Používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu. Čo sa stalo v druhom integráli? S touto metódou sa môžete zoznámiť v poslednom odseku lekcie. Integrácia niektorých zlomkov.

(3) Opäť použijeme vlastnosti linearity. V treťom integráli začneme izolovať celý štvorec (predposledný odsek lekcie Integrácia niektorých zlomkov).

(4) Vezmeme druhý integrál, v treťom vyberieme úplný štvorec.

(5) Vezmite tretí integrál. Pripravený.

Uvádza sa odvodenie vzorcov na výpočet integrálov najjednoduchších, elementárnych, zlomkov štyroch typov. Zložitejšie integrály zo zlomkov štvrtého typu sa počítajú pomocou redukčného vzorca. Uvažuje sa o príklade integrácie zlomku štvrtého typu.

Obsah

Pozri tiež: Tabuľka neurčitých integrálov
Metódy výpočtu neurčitých integrálov

Ako je známe, každá racionálna funkcia nejakej premennej x sa dá rozložiť na polynóm a najjednoduchšie, elementárne zlomky. Existujú štyri typy jednoduchých zlomkov:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Tu a, A, B, b, c sú reálne čísla. Rovnica x 2 + bx + c = 0 nemá skutočné korene.

Integrácia zlomkov prvých dvoch typov

Integrácia prvých dvoch zlomkov sa vykonáva pomocou nasledujúcich vzorcov z tabuľky integrálov:
,
, n ≠ - 1 .

1. Integrovanie zlomkov prvého typu

Zlomok prvého typu sa redukuje na tabuľkový integrál substitúciou t = x - a:
.

2. Integrácia zlomkov druhého typu

Zlomok druhého typu sa redukuje na tabuľkový integrál rovnakou substitúciou t = x - a:

.

3. Integrácia zlomkov tretieho typu

Zoberme si integrál zlomku tretieho typu:
.
Vypočítame to v dvoch krokoch.

3.1. Krok 1. Vyberte deriváciu menovateľa v čitateli

Izolujme deriváciu menovateľa v čitateli zlomku. Označme: u = x 2 + bx + c. Rozlišujme: u′ = 2 x + b. Potom
;
.
ale
.
Znak modulu sme vynechali, pretože .

potom:
,
Kde
.

3.2. Krok 2. Vypočítajte integrál s A = 0, B = 1

Teraz vypočítame zostávajúci integrál:
.

Menovateľ zlomku privedieme na súčet štvorcov:
,
Kde .
Veríme, že rovnica x 2 + bx + c = 0 nemá korene. Preto .

Urobme náhradu
,
.
.

takže,
.

Našli sme teda integrál zlomku tretieho typu:

,
Kde .

4. Integrácia zlomkov štvrtého typu

A nakoniec zvážte integrál zlomku štvrtého typu:
.
Vypočítame to v troch krokoch.

4.1) Vyberte deriváciu menovateľa v čitateli:
.

4.2) Vypočítajte integrál
.

4.3) Vypočítajte integrály
,
pomocou redukčného vzorca:
.

4.1. Krok 1. Izolácia derivácie menovateľa v čitateli

Izolujme deriváciu menovateľa v čitateli, ako sme to urobili v . Označme u = x 2 + bx + c. Rozlišujme: u′ = 2 x + b. Potom
.

.
ale
.

Nakoniec tu máme:
.

4.2. Krok 2. Vypočítajte integrál s n = 1

Vypočítajte integrál
.
Jeho výpočet je uvedený v .

4.3. Krok 3. Odvodenie redukčného vzorca

Teraz zvážte integrál
.

Kvadratický trinom zredukujeme na súčet štvorcov:
.
Tu .
Urobme náhradu.
.
.

Vykonávame transformácie a integrujeme po častiach.

.

Násobiť podľa 2 (n - 1):
.
Vráťme sa k x a I n.
,
;
;
.

Takže pre I n sme dostali redukčný vzorec:
.
Dôsledným uplatňovaním tohto vzorca redukujeme integrál I n na I 1 .

Príklad

Vypočítajte integrál

1. Izolujme deriváciu menovateľa v čitateli.
;
;

.
Tu
.

2. Vypočítame integrál najjednoduchšieho zlomku.

.

3. Aplikujeme redukčný vzorec:

pre integrál.
V našom prípade b = 1 , c = 1 , 4c - b2 = 3. Tento vzorec napíšeme pre n = 2 a n = 3 :
;
.
Odtiaľ

.

Nakoniec tu máme:

.
Nájdite koeficient pre .
.

Pozri tiež:

Problém nájdenia neurčitého integrálu zlomkovej racionálnej funkcie spočíva v integrácii jednoduchých zlomkov. Preto odporúčame, aby ste sa najskôr oboznámili s časťou teórie rozkladu zlomkov na najjednoduchšie.

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál.

Riešenie.

Keďže stupeň čitateľa integrandu sa rovná stupňu menovateľa, vyberieme najprv celú časť tak, že polynóm delíme polynómom so stĺpcom:

Preto, .

Rozklad výsledného vlastného racionálneho zlomku na jednoduchšie zlomky má tvar . teda

Výsledný integrál je integrálom najjednoduchšieho zlomku tretieho typu. Keď sa pozrieme trochu dopredu, poznamenávame, že to môžete vziať tak, že ho zahrniete pod znak diferenciálu.

Pretože , To . Preto

teda

Teraz prejdime k popisu metód integrácie jednoduchých zlomkov každého zo štyroch typov.

Integrácia jednoduchých zlomkov prvého typu

Metóda priamej integrácie je ideálna na riešenie tohto problému:

Príklad.

Nájdite množinu primitívnych prvkov funkcie

Riešenie.

Nájdite neurčitý integrál pomocou vlastností primitív, tabuľky primitív a integračného pravidla.

Začiatok stránky

Integrácia jednoduchých zlomkov druhého typu

Metóda priamej integrácie je vhodná aj na riešenie tohto problému:

Príklad.

Riešenie.

Začiatok stránky

Integrácia jednoduchých zlomkov tretieho typu

Najprv uvádzame neurčitý integrál ako súčet:

Prvý integrál vezmeme tak, že ho zahrnieme pod diferenciálne znamienko:

Preto,

Transformujme menovateľa výsledného integrálu:

teda

Vzorec na integráciu jednoduchých zlomkov tretieho typu má tvar:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Použijeme výsledný vzorec:

Ak by sme nemali tento vzorec, čo by sme robili:

Začiatok stránky

Integrácia jednoduchých zlomkov štvrtého typu

Prvým krokom je umiestniť ho pod diferenciálne znamienko:

Druhým krokom je nájsť integrál formulára . Integrály tohto typu sa nachádzajú pomocou vzorcov opakovania. (Pozri časť o integrácii pomocou vzorcov opakovania.) Pre náš prípad je vhodný nasledujúci opakujúci sa vzorec:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál

Riešenie.

Pre tento typ integrandu používame substitučnú metódu. Predstavme si novú premennú (pozri časť o integrácii iracionálnych funkcií):

Po nahradení máme:

Dospeli sme k nájdeniu integrálu zlomku štvrtého typu. V našom prípade máme koeficienty M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 A n=3. Použijeme opakujúci sa vzorec:

Po spätnej výmene dostaneme výsledok:

Integrácia goniometrických funkcií

1.Integrály formulára

sa vypočítajú transformáciou súčinu goniometrických funkcií na súčet pomocou vzorcov:

Napríklad 2.Integrály formulára

, Kde m alebo n– nepárne kladné číslo vypočítané pripočítaním pod znamienko diferenciálu. Napríklad,

3.Integrály formulára

, Kde m A n– aj kladné čísla sa počítajú pomocou vzorcov na zníženie stupňa: napr.

4. Integrály

kde sa vypočítajú zmenou premennej: alebo Napríklad,

5. Integrály tvaru sa potom pomocou univerzálnej goniometrickej substitúcie redukujú na integrály racionálnych zlomkov (od r.

=[po delení čitateľa a menovateľa ]= ;

Napríklad,

Treba poznamenať, že použitie univerzálnej substitúcie často vedie k ťažkopádnym výpočtom.

§5. Integrácia najjednoduchších iracionalít

Uvažujme o metódach integrácie najjednoduchších typov iracionality. 1.

Funkcie tohto typu sú integrované rovnakým spôsobom ako najjednoduchšie racionálne zlomky 3. typu: v menovateli sa od štvorcovej trojčlenky izoluje úplný štvorec a zavedie sa nová premenná. Príklad.

(pod znakom integrálu – racionálna funkcia argumentov). Integrály tohto typu sa počítajú pomocou substitúcie. Najmä v integráloch tvaru, ktorý označujeme . Ak integrand obsahuje korene rôznych stupňov:

, potom označte kde n– najmenší spoločný násobok čísel m,k. Príklad 1

Príklad 2

-nesprávny racionálny zlomok, vyberte celú časť:

–

3.Integrály formulára sa vypočítajú pomocou trigonometrických substitúcií:

45 Určitý integrál

Určitý integrál- aditívny monotónny normalizovaný funkcionál definovaný na množine párov, ktorého prvá zložka je integrovateľná funkcia alebo funkcionál a druhá je doména v množine špecifikujúcej túto funkciu (funkcionál).

Definícia

Nech je to definované na . Rozdeľme to na časti s niekoľkými ľubovoľnými bodmi. Potom povedia, že segment bol rozdelený. Ďalej vyberte ľubovoľný bod , ,

Určitý integrál funkcie na intervale je limitom integrálnych súčtov, pretože poradie rozdelenia má tendenciu k nule, ak existuje nezávisle od rozdelenia a výberu bodov, tj.

Ak zadaný limit existuje, potom sa o funkcii hovorí, že je Riemann integrovateľná.

Označenia

· - nižší limit.

· - Horná hranica.

· - integrandová funkcia.

· - dĺžka čiastkového segmentu.

· - celý súčet funkcie na príslušnom oddiele.

· - maximálna dĺžka čiastočného segmentu.

Vlastnosti

Ak je funkcia Riemann integrovateľná na , potom je na ňu ohraničená.

Geometrický význam

Určitý integrál ako plocha obrazca

Definitívny integrál sa numericky rovná ploche obrázku ohraničenej osou x, priamkami a grafom funkcie.

Newtonova-Leibnizova veta

[upraviť]

(presmerované z "Formula Newton-Leibniz")

Newtonov-Leibnizov vzorec alebo hlavná veta analýzy dáva vzťah medzi dvoma operáciami: zobratím určitého integrálu a výpočtom primitívnej derivácie.

Dôkaz

Nech je integrovateľná funkcia daná na intervale. Začnime tým, že si to všimneme

to znamená, že nezáleží na tom, ktoré písmeno (alebo) je pod znamienkom v určitom integráli nad segmentom.

Nastavme ľubovoľnú hodnotu a definujme novú funkciu . Je definovaný pre všetky hodnoty , pretože vieme, že ak existuje integrál on , potom existuje aj integrál on , kde . Pripomeňme, že uvažujeme podľa definície

(1)

Všimni si

Ukážme, že je spojitá na intervale . V skutočnosti, nech ; Potom

a ak, tak

Je teda spojitý bez ohľadu na to, či má alebo nemá diskontinuity; je dôležité, aby bola integrovateľná na .

Na obrázku je znázornený graf. Plocha variabilnej postavy je . Jeho prírastok sa rovná ploche obrázku , ktorá má vzhľadom na svoju ohraničenosť očividne tendenciu k nule, bez ohľadu na to, či ide o bod spojitosti alebo diskontinuity, napríklad bod.

Nech je teraz funkcia nielen integrovateľná na , ale spojitá v bode . Dokážme, že potom sa derivácia v tomto bode rovná

(2)

V skutočnosti pre uvedený bod

(1) , (3)

Dali sme , a keďže je konštantné vzhľadom na ,TO . Ďalej, kvôli kontinuite v bode, pre ľubovoľného možno určiť tak, že pre .

čo dokazuje, že ľavá strana tejto nerovnosti je o(1) pre .

Prechod do limity v (3) v ukazuje existenciu derivácie v bode a platnosť rovnosti (2). Keď tu hovoríme o pravej a ľavej derivácii, resp.

Ak je funkcia spojitá na , potom na základe toho, čo bolo dokázané vyššie, zodpovedajúca funkcia

(4)

má derivát rovný . Preto je funkcia primitívnou vlastnosťou pre .

Tento záver sa niekedy nazýva integrálna veta premennej hornej hranice alebo Barrowova veta.

Dokázali sme, že ľubovoľná funkcia spojitá na intervale má primitívnu funkciu na tomto intervale definovanú rovnosťou (4). To dokazuje existenciu primitívnej funkcie pre akúkoľvek funkciu spojitú na intervale.

Nech je teraz ľubovoľná primitívna derivácia funkcie na . Vieme, že kde je nejaká konštanta. Za predpokladu tejto rovnosti a s prihliadnutím na to dostaneme .

Teda, . ale

Nesprávny integrál

[upraviť]

Materiál z Wikipédie – voľnej encyklopédie

Určitý integrál volal nie svoje vlastné, ak je splnená aspoň jedna z týchto podmienok:

· Limita a alebo b (alebo obe limity) sú nekonečné;

· Funkcia f(x) má vo vnútri segmentu jeden alebo viac bodov zlomu.

[upraviť]Nesprávne integrály prvého druhu

. potom:

1. Ak a integrál sa nazýva . V tomto prípade sa nazýva konvergentné.

alebo jednoducho divergentné.

Nech je definované a spojité na množine od a . potom:

1. Ak , potom sa použije zápis a integrál sa nazýva nevlastný Riemannov integrál prvého druhu. V tomto prípade sa nazýva konvergentné.

2. Ak neexistuje konečná ( alebo ), potom sa hovorí, že integrál diverguje alebo jednoducho divergentné.

Ak je funkcia definovaná a spojitá na celej číselnej osi, potom môže existovať nevlastný integrál tejto funkcie s dvoma nekonečnými hranicami integrácie, ktoré sú definované vzorcom:

, kde c je ľubovoľné číslo.

[upraviť] Geometrický význam nevlastného integrálu prvého druhu

Nevlastný integrál vyjadruje plochu nekonečne dlhého zakriveného lichobežníka.

[upraviť] Príklady

[upraviť]Nesprávne integrály druhého druhu

Nech je definovaný na , trpí nekonečnou diskontinuitou v bode x=a a . potom:

1. Ak , potom sa použije zápis a integrál sa nazýva

nazývaný divergentný k alebo jednoducho divergentné.

Nech je definovaný na , trpí nekonečnou diskontinuitou v x=ba . potom:

1. Ak , potom sa použije zápis a integrál sa nazýva nevlastný Riemannov integrál druhého druhu. V tomto prípade sa integrál nazýva konvergentný.

2. Ak alebo , potom označenie zostáva rovnaké, a nazývaný divergentný k alebo jednoducho divergentné.

Ak funkcia trpí diskontinuitou vo vnútornom bode segmentu , potom nevlastný integrál druhého druhu je určený vzorcom:

[upraviť] Geometrický význam nevlastných integrálov druhého druhu

Nevlastný integrál vyjadruje plochu nekonečne vysokého zakriveného lichobežníka

[upraviť] Príklad

[edit]Izolovaný prípad

Nech je funkcia definovaná na celej číselnej osi a má v bodoch diskontinuitu.

Potom môžeme nájsť nesprávny integrál

[upraviť] Cauchyho kritérium

1. Nech je definovaný na množine od a .

Potom konverguje

2. Dovoliť byť definované na a .

Potom konverguje

[edit]Absolútna konvergencia

Integrálne volal absolútne konvergentné, Ak konverguje.
Ak integrál konverguje absolútne, potom konverguje.

[upraviť]Podmienená konvergencia

Integrál sa nazýva podmienene konvergentné, ak konverguje, ale diverguje.

48 12. Nevlastné integrály.

Pri uvažovaní o určitých integráloch sme predpokladali, že oblasť integrácie je obmedzená (konkrétnejšie ide o segment [ a ,b ]); Pre existenciu určitého integrálu musí byť integrand ohraničený [ a ,b ]. Budeme nazývať určité integrály, pre ktoré sú splnené obe tieto podmienky (obmedzenosť definičného oboru aj integrandu) vlastné; integrály, pre ktoré sú tieto požiadavky porušené (t. j. integrand alebo oblasť integrácie je neobmedzená, alebo oboje) nie svoje vlastné. V tejto časti budeme študovať nevlastné integrály.

12.1. Nevlastné integrály na neohraničenom intervale (nevlastné integrály prvého druhu).

12.1.1. Definícia nevlastného integrálu na nekonečnom intervale. Príklady.
12.1.2. Newtonov-Leibnizov vzorec pre nevlastný integrál.
12.1.3. Porovnávacie kritériá pre nezáporné funkcie.

12.1.3.1. Znak porovnávania.
12.1.3.2. Znak porovnávania v jeho extrémnej podobe.

12.1.4. Absolútna konvergencia nevlastných integrálov v nekonečnom intervale.
12.1.5. Testy Abelovej a Dirichletovej konvergencie.

12.2. Nevlastné integrály neobmedzených funkcií (nevlastné integrály druhého druhu).

12.2.1. Definícia nevlastného integrálu neobmedzenej funkcie.

12.2.1.1. Singularita je na ľavom konci integračného intervalu.
12.2.1.2. Aplikácia Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
12.2.1.3. Singularita na pravom konci integračného intervalu.
12.2.1.4. Singularita vo vnútornom bode integračného intervalu.
12.2.1.5. Niekoľko funkcií integračného intervalu.

12.2.2. Porovnávacie kritériá pre nezáporné funkcie.

12.2.2.1. Znak porovnávania.
12.2.2.2. Znak porovnávania v jeho extrémnej podobe.

12.2.3. Absolútna a podmienená konvergencia nevlastných integrálov nespojitých funkcií.
12.2.4. Testy Abelovej a Dirichletovej konvergencie.

12.1. Nevlastné integrály v neobmedzenom intervale

(nevlastné integrály prvého druhu).

12.1.1. Definícia nevlastného integrálu na nekonečnom intervale. Nechajte funkciu f (X ) je definovaný na poloosi a je integrovateľný v akomkoľvek intervale [ z, čo v každom z týchto prípadov naznačuje existenciu a konečnosť zodpovedajúcich limitov. Teraz riešenia príkladov vyzerajú jednoduchšie: .

12.1.3. Porovnávacie kritériá pre nezáporné funkcie. V tejto časti budeme predpokladať, že všetky integrandy sú nezáporné v celej doméne definície. Doteraz sme konvergenciu integrálu určovali jeho výpočtom: ak existuje konečná limita primitívnej derivácie so zodpovedajúcou tendenciou ( alebo ), potom integrál konverguje, inak diverguje. Pri riešení praktických úloh je však dôležité najprv zistiť samotný fakt konvergencie a až potom vypočítať integrál (okrem toho primitívna derivácia často nie je vyjadrená elementárnymi funkciami). Sformulujme a dokážme množstvo teorémov, ktoré nám umožňujú stanoviť konvergenciu a divergenciu nevlastných integrálov nezáporných funkcií bez ich výpočtu.
12.1.3.1. Porovnávací znak. Nechajte funkcie f (X ) A g (X ) integrálne

Príklad.

Riešenie.

Keďže stupeň čitateľa integrandu sa rovná stupňu menovateľa, vyberieme najprv celú časť tak, že polynóm delíme polynómom so stĺpcom:

Preto, .

Rozklad výsledného vlastného racionálneho zlomku na jednoduchšie zlomky má tvar . teda

Výsledný integrál je integrálom najjednoduchšieho zlomku tretieho typu. Keď sa pozrieme trochu dopredu, poznamenávame, že to môžete vziať tak, že ho zahrniete pod znak diferenciálu.

Pretože , To . Preto

teda

Teraz prejdime k popisu metód integrácie jednoduchých zlomkov každého zo štyroch typov.

Integrácia jednoduchých zlomkov prvého typu

Metóda priamej integrácie je ideálna na riešenie tohto problému:

Príklad.

Riešenie.

Nájdite neurčitý integrál pomocou vlastností primitív, tabuľky primitív a integračného pravidla.

Začiatok stránky

Integrácia jednoduchých zlomkov druhého typu

Metóda priamej integrácie je vhodná aj na riešenie tohto problému:

Príklad.

Riešenie.

Začiatok stránky

Integrácia jednoduchých zlomkov tretieho typu

Najprv uvádzame neurčitý integrál ako súčet:

Prvý integrál vezmeme tak, že ho zahrnieme pod diferenciálne znamienko:

Preto,

Transformujme menovateľa výsledného integrálu:

teda

Vzorec na integráciu jednoduchých zlomkov tretieho typu má tvar:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Použijeme výsledný vzorec:

Ak by sme nemali tento vzorec, čo by sme robili:

9. Integrácia jednoduchých zlomkov štvrtého typu

Prvým krokom je umiestniť ho pod diferenciálne znamienko:

Druhým krokom je nájsť integrál formulára . Integrály tohto typu sa nachádzajú pomocou vzorcov opakovania. (Pozri rozdelenie pomocou vzorcov opakovania). Pre náš prípad je vhodný nasledujúci opakujúci sa vzorec:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál

Riešenie.

Pre tento typ integrandu používame substitučnú metódu. Predstavme si novú premennú (pozri časť o integrácii iracionálnych funkcií):

Po nahradení máme:

Dospeli sme k nájdeniu integrálu zlomku štvrtého typu. V našom prípade máme koeficienty M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 A n=3. Použijeme opakujúci sa vzorec:

Po spätnej výmene dostaneme výsledok:

10. Integrácia goniometrických funkcií.

Mnoho problémov sa týka hľadania integrálov transcendentálnych funkcií obsahujúcich goniometrické funkcie. V tomto článku zoskupíme najbežnejšie typy integrandov a použijeme príklady na zváženie metód ich integrácie.

Začnime integráciou sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Z tabuľky primitív si to hneď všimneme A .

Metóda súčtu diferenciálneho znamienka vám umožňuje vypočítať neurčité integrály funkcií tangens a kotangens:

Začiatok stránky

Pozrime sa na prvý prípad, druhý je úplne podobný.

Použime substitučnú metódu:

Dostali sme sa k problému integrácie iracionálnej funkcie. Tu nám pomôže aj substitučná metóda:

Zostáva len vykonať spätnú výmenu a t = sinx:

Začiatok stránky

Viac o princípoch ich hľadania sa dozviete v časti integrácia pomocou opakujúcich sa vzorcov. Ak študujete odvodenie týchto vzorcov, môžete ľahko vziať integrály formy , Kde m A n- celé čísla.

Začiatok stránky

Najviac kreativity prichádza, keď integrand obsahuje goniometrické funkcie s rôznymi argumentmi.

Tu prichádzajú na pomoc základné vzorce trigonometrie. Zapíšte si ich teda na samostatný papier a majte ich pred očami.

Príklad.

Nájdite množinu primitívnych prvkov funkcie .

Riešenie.

Redukčné vzorce dávajú A .

Preto

Menovateľ je vzorec pre sínus súčtu, preto

Dostaneme sa k súčtu troch integrálov.

Začiatok stránky

Integrandy obsahujúce goniometrické funkcie môžu byť niekedy redukované na zlomkové racionálne výrazy pomocou štandardnej goniometrickej substitúcie.

Napíšme trigonometrické vzorce vyjadrujúce sínus, kosínus, tangens cez tangens polovičného argumentu:

Pri integrácii budeme potrebovať aj diferenciálny výraz dx cez dotyčnicu polovičného uhla.

Pretože , To

Teda, kde.

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Použime štandardnú trigonometrickú substitúciu:

teda .

Rozložením integrandu na jednoduché zlomky sa dostaneme k súčtu dvoch integrálov:

Zostáva len vykonať spätnú výmenu:

11. Rekurentné vzorce sú vzorce, ktoré vyjadrujú n tý člen postupnosti cez predchádzajúce členy. Často sa používajú pri hľadaní integrálov.

Naším cieľom nie je vymenovať všetky vzorce opakovania, ale uviesť princíp ich odvodenia. Odvodenie týchto vzorcov je založené na transformácii integrandu a aplikácii metódy integrácie po častiach.

Napríklad neurčitý integrál možno vziať pomocou vzorca opakovania .

Odvodenie vzorca:

Pomocou trigonometrických vzorcov môžeme písať:

Výsledný integrál nájdeme pomocou metódy integrácie po častiach. Ako funkciu u(x) Vezmime cosx, teda, .

Preto,

Vrátime sa k pôvodnému integrálu:

teda

To bolo potrebné ukázať.

Nasledujúce vzorce opakovania sú odvodené podobne:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál.

Riešenie.

Používame opakujúci sa vzorec zo štvrtého odseku (v našom príklade n=3):

Keďže z tabuľky primitív máme , To

Všetko uvedené v predchádzajúcich odsekoch nám umožňuje formulovať základné pravidlá pre integráciu racionálnych zlomkov.

1. Ak je racionálny zlomok nevlastný, potom je reprezentovaný ako súčet polynómu a vlastného racionálneho zlomku (pozri odsek 2).

To redukuje integráciu nesprávneho racionálneho zlomku na integráciu polynómu a vlastného racionálneho zlomku.

2. Vynásobte menovateľa vlastného zlomku.

3. Vlastný racionálny zlomok sa rozloží na súčet jednoduchých zlomkov. To redukuje integráciu správneho racionálneho zlomku na integráciu jednoduchých zlomkov.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1. Nájdite .

Riešenie. Pod integrálom je nesprávny racionálny zlomok. Výberom celej časti dostaneme

teda

Všimnime si, že rozšírme správny racionálny zlomok

na jednoduché zlomky:

(pozri vzorec (18)). Preto