Problém nájdenia neurčitého integrálu zlomkovej racionálnej funkcie spočíva v integrácii jednoduchých zlomkov. Preto odporúčame, aby ste sa najskôr oboznámili s časťou teórie rozkladu zlomkov na najjednoduchšie.

Príklad.

Riešenie.

Keďže stupeň čitateľa integrandu sa rovná stupňu menovateľa, vyberieme najprv celú časť tak, že polynóm delíme polynómom so stĺpcom:

Preto, .

Rozklad výsledného vlastného racionálneho zlomku na jednoduchšie zlomky má tvar . teda

Výsledný integrál je integrálom najjednoduchšieho zlomku tretieho typu. Keď sa pozrieme trochu dopredu, poznamenávame, že to môžete vziať tak, že ho zahrniete pod znak diferenciálu.

Pretože , To . Preto

teda

Teraz prejdime k popisu metód integrácie jednoduchých zlomkov každého zo štyroch typov.

Integrácia jednoduchých zlomkov prvého typu

Metóda priamej integrácie je ideálna na riešenie tohto problému:

Príklad.

Riešenie.

Nájdite neurčitý integrál pomocou vlastností primitív, tabuľky primitív a integračného pravidla.

Začiatok stránky

Integrácia jednoduchých zlomkov druhého typu

Metóda priamej integrácie je vhodná aj na riešenie tohto problému:

Príklad.

Riešenie.

Začiatok stránky

Integrácia jednoduchých zlomkov tretieho typu

Najprv uvádzame neurčitý integrál ako súčet:

Prvý integrál vezmeme tak, že ho zahrnieme pod diferenciálne znamienko:

Preto,

Transformujme menovateľa výsledného integrálu:

teda

Vzorec na integráciu jednoduchých zlomkov tretieho typu má tvar:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Použijeme výsledný vzorec:

Ak by sme nemali tento vzorec, čo by sme robili:

9. Integrácia jednoduchých zlomkov štvrtého typu

Prvým krokom je umiestniť ho pod diferenciálne znamienko:

Druhým krokom je nájsť integrál formulára . Integrály tohto typu sa nachádzajú pomocou vzorcov opakovania. (Pozri rozdelenie pomocou vzorcov opakovania). Pre náš prípad je vhodný nasledujúci opakujúci sa vzorec:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál

Riešenie.

Pre tento typ integrandu používame substitučnú metódu. Predstavme si novú premennú (pozri časť o integrácii iracionálnych funkcií):

Po nahradení máme:

Dospeli sme k nájdeniu integrálu zlomku štvrtého typu. V našom prípade máme koeficienty M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 A n=3. Použijeme opakujúci sa vzorec:

Po spätnej výmene dostaneme výsledok:

10. Integrácia goniometrických funkcií.

Mnoho problémov sa týka hľadania integrálov transcendentálnych funkcií obsahujúcich goniometrické funkcie. V tomto článku zoskupíme najbežnejšie typy integrandov a použijeme príklady na zváženie metód ich integrácie.

Začnime integráciou sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Z tabuľky primitív si to hneď všimneme A .

Metóda súčtu diferenciálneho znamienka vám umožňuje vypočítať neurčité integrály funkcií tangens a kotangens:

Začiatok stránky

Pozrime sa na prvý prípad, druhý je úplne podobný.

Použime substitučnú metódu:

Dostali sme sa k problému integrácie iracionálnej funkcie. Tu nám pomôže aj substitučná metóda:

Zostáva len vykonať spätnú výmenu a t = sinx:

Začiatok stránky

Viac o princípoch ich hľadania sa dozviete v časti integrácia pomocou opakujúcich sa vzorcov. Ak študujete odvodenie týchto vzorcov, môžete ľahko vziať integrály formy , Kde m A n- celé čísla.

Začiatok stránky

Začiatok stránky

Najviac kreativity prichádza, keď integrand obsahuje goniometrické funkcie s rôznymi argumentmi.

Tu prichádzajú na pomoc základné vzorce trigonometrie. Zapíšte si ich teda na samostatný papier a majte ich pred očami.

Príklad.

Nájdite množinu primitívnych prvkov funkcie .

Riešenie.

Redukčné vzorce dávajú A .

Preto

Menovateľ je vzorec pre sínus súčtu, preto

Dostaneme sa k súčtu troch integrálov.

Začiatok stránky

Integrandy obsahujúce goniometrické funkcie môžu byť niekedy redukované na zlomkové racionálne výrazy pomocou štandardnej goniometrickej substitúcie.

Napíšme trigonometrické vzorce vyjadrujúce sínus, kosínus, tangens cez tangens polovičného argumentu:

Pri integrácii budeme potrebovať aj diferenciálny výraz dx cez dotyčnicu polovičného uhla.

Pretože , To

Teda, kde.

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Použime štandardnú trigonometrickú substitúciu:

teda .

Rozložením integrandu na jednoduché zlomky sa dostaneme k súčtu dvoch integrálov:

Zostáva len vykonať spätnú výmenu:

11. Rekurentné vzorce sú vzorce, ktoré vyjadrujú n tý člen postupnosti cez predchádzajúce členy. Často sa používajú pri hľadaní integrálov.

Naším cieľom nie je vymenovať všetky opakujúce sa vzorce, ale uviesť princíp ich odvodenia. Odvodenie týchto vzorcov je založené na transformácii integrandu a aplikácii metódy integrácie po častiach.

Napríklad neurčitý integrál možno vziať pomocou vzorca opakovania .

Odvodenie vzorca:

Pomocou trigonometrických vzorcov môžeme písať:

Výsledný integrál nájdeme pomocou metódy integrácie po častiach. Ako funkciu u(x) Vezmime cosx, teda, .

Preto,

Vrátime sa k pôvodnému integrálu:

teda

To bolo potrebné ukázať.

Nasledujúce vzorce opakovania sú odvodené podobne:

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál.

Riešenie.

Používame opakujúci sa vzorec zo štvrtého odseku (v našom príklade n=3):

Keďže z tabuľky primitív máme , To

Všetko uvedené v predchádzajúcich odsekoch nám umožňuje formulovať základné pravidlá pre integráciu racionálnych zlomkov.

1. Ak je racionálny zlomok nevlastný, potom je reprezentovaný ako súčet polynómu a vlastného racionálneho zlomku (pozri odsek 2).

To redukuje integráciu nesprávneho racionálneho zlomku na integráciu polynómu a vlastného racionálneho zlomku.

2. Vynásobte menovateľa vlastného zlomku.

3. Vlastný racionálny zlomok sa rozloží na súčet jednoduchých zlomkov. To redukuje integráciu správneho racionálneho zlomku na integráciu jednoduchých zlomkov.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1. Nájdite .

Riešenie. Pod integrálom je nesprávny racionálny zlomok. Výberom celej časti dostaneme

teda

Všimnime si, že rozšírme správny racionálny zlomok

na jednoduché zlomky:

(pozri vzorec (18)). Preto

Tak konečne máme

Príklad 2. Nájdite

Riešenie. Pod integrálom je správny racionálny zlomok.

Rozšírením na jednoduché zlomky (pozri vzorec (16)) dostaneme

Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie.
Metóda neurčitého koeficientu

Pokračujeme v práci na integrácii zlomkov. V lekcii sme sa už pozreli na integrály niektorých typov zlomkov a túto lekciu možno v istom zmysle považovať za pokračovanie. Na úspešné pochopenie materiálu sú potrebné základné integračné zručnosti, takže ak ste práve začali študovať integrály, to znamená, že ste začiatočník, musíte začať s článkom Neurčitý integrál. Príklady riešení.

Napodiv, teraz sa nebudeme zaoberať ani tak hľadaním integrálov, ale... riešením sústav lineárnych rovníc. V tomto smere súrne Odporúčam zúčastniť sa hodiny, musíte sa totiž dobre orientovať v substitučných metódach (metóda „škola“ a metóda sčítania (odčítania) systémových rovníc po členoch).

Čo je to zlomková racionálna funkcia? Jednoducho povedané, zlomkovo-racionálna funkcia je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ obsahuje polynómy alebo súčin polynómov. Okrem toho sú zlomky sofistikovanejšie ako tie, o ktorých sa hovorí v článku Integrácia niektorých zlomkov.

Integrácia správnej zlomkovo-racionálnej funkcie

Okamžite príklad a typický algoritmus na riešenie integrálu zlomkovo-racionálnej funkcie.

Príklad 1

Krok 1. Prvá vec, ktorú VŽDY robíme pri riešení integrálu zlomkovej racionálnej funkcie, je objasniť si nasledujúcu otázku: je zlomok správny? Tento krok sa vykonáva verbálne a teraz vysvetlím, ako:

Najprv sa pozrieme na čitateľa a zistíme vyššieho stupňa polynóm:

Vedúca mocnina čitateľa je dva.

Teraz sa pozrieme na menovateľa a zistíme vyššieho stupňa menovateľ. Zrejmým spôsobom je otvoriť zátvorky a uviesť podobné výrazy, ale môžete to urobiť jednoduchšie, v každý nájdite najvyšší stupeň v zátvorkách

a mentálne vynásobte: - teda najvyšší stupeň menovateľa sa rovná trom. Je celkom zrejmé, že ak zátvorky skutočne otvoríme, nezískame stupeň väčší ako tri.

Záver: Hlavný stupeň čitateľa PRÍSNE je menšia ako najvyššia mocnina menovateľa, čo znamená, že zlomok je správny.

Ak v tomto príklade čitateľ obsahoval polynóm 3, 4, 5 atď. stupňa, potom by bol zlomok nesprávne.

Teraz budeme uvažovať iba o správnych zlomkových racionálnych funkciách. Prípad, keď je stupeň čitateľa väčší alebo rovný stupňu menovateľa, sa rozoberie na konci hodiny.

Krok 2. Rozložme menovateľa na faktor. Pozrime sa na nášho menovateľa:

Vo všeobecnosti je to už súčin faktorov, no napriek tomu si kladieme otázku: je možné ešte niečo rozšíriť? Predmetom mučenia bude nepochybne štvorcová trojčlenka. Riešenie kvadratickej rovnice:

Diskriminant je väčší ako nula, čo znamená, že trojčlenku možno skutočne rozložiť na faktor:

Všeobecné pravidlo: VŠETKO v menovateli MÔŽE byť faktorizované - faktorizované

Začnime formulovať riešenie:

Krok 3. Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet jednoduchých (elementárnych) zlomkov. Teraz to bude jasnejšie.

Pozrime sa na našu integrandovú funkciu:

A viete, nejako intuitívne sa objaví myšlienka, že by bolo pekné zmeniť náš veľký zlomok na niekoľko malých. Napríklad takto:

Vynára sa otázka, je to vôbec možné? Vydýchnime si, zodpovedajúca veta matematickej analýzy hovorí – JE TO MOŽNÉ. Takýto rozklad existuje a je jedinečný.

Má to len jeden háčik, šance sú Zbohom Nevieme, odtiaľ názov – metóda neurčitých koeficientov.

Ako ste uhádli, následné pohyby tela sú také, nechichotajte sa! bude zameraná práve na ich POZNATIE – zistiť, čomu sa rovnajú.

Pozor, podrobne vysvetlím iba raz!

Začnime teda tancovať od:

Na ľavej strane zredukujeme výraz na spoločného menovateľa:

Teraz sa môžeme bezpečne zbaviť menovateľov (keďže sú rovnaké):

Na ľavej strane otvoríme zátvorky, ale zatiaľ sa nedotýkame neznámych koeficientov:

Zároveň si zopakujeme školské pravidlo pre násobenie polynómov. Keď som bol učiteľ, naučil som sa vyslovovať toto pravidlo s otvorenou tvárou: Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu.

Z hľadiska jasného vysvetlenia je lepšie dať koeficienty do zátvoriek (aj keď osobne to nikdy nerobím, aby som ušetril čas):

Zostavíme sústavu lineárnych rovníc.
Najprv hľadáme vyššie tituly:

A zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do prvej rovnice systému:

Dobre si zapamätajte nasledujúci bod. Čo by sa stalo, keby na pravej strane nebolo vôbec žiadne s? Povedzme, že by sa to len predvádzalo bez akéhokoľvek štvorca? V tomto prípade by bolo potrebné do rovnice sústavy umiestniť nulu vpravo: . Prečo nula? Ale pretože na pravej strane môžete vždy priradiť rovnaký štvorec s nulou: Ak na pravej strane nie sú žiadne premenné a / alebo voľný člen, umiestnime nuly na pravé strany zodpovedajúcich rovníc systému.

Zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do druhej rovnice systému:

A nakoniec minerálka, vyberáme voľných členov.

Eh...trochu som žartoval. Vtipy bokom – matematika je vážna veda. V našej ústavnej skupine sa nikto nesmial, keď pani docentka povedala, že pojmy rozhádže po číselnej osi a vyberie tie najväčšie. Poďme vážne. Hoci... kto sa dožije konca tejto lekcie, bude sa aj tak ticho usmievať.

Systém je pripravený:

Riešime systém:

(1) Z prvej rovnice ju vyjadríme a dosadíme do 2. a 3. rovnice sústavy. V skutočnosti bolo možné vyjadriť (alebo iné písmeno) z inej rovnice, ale v tomto prípade je výhodné vyjadriť to z 1. rovnice, keďže tam najmenší kurz.

(2) Podobné pojmy uvádzame v 2. a 3. rovnici.

(3) Sčítame 2. a 3. rovnicu člen po člene, čím dostaneme rovnosť , z čoho vyplýva, že

(4) Dosadíme do druhej (alebo tretej) rovnice, odkiaľ to zistíme

(5) Dosaďte a do prvej rovnice a získajte .

Ak máte nejaké ťažkosti s metódami riešenia systému, precvičte si ich na hodine. Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?

Po vyriešení systému je vždy užitočné skontrolovať - ​​dosadiť zistené hodnoty každý rovnice systému, v dôsledku toho by všetko malo „konvergovať“.

Skoro tam. Koeficienty sa našli a:

Hotová práca by mala vyzerať asi takto:

Ako vidíte, hlavnou náročnosťou úlohy bolo zostaviť (správne!) a vyriešiť (správne!) sústavu lineárnych rovníc. A v konečnej fáze nie je všetko také ťažké: používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu a integrujeme. Upozorňujeme, že pod každým z troch integrálov máme „voľnú“ komplexnú funkciu; o vlastnostiach jej integrácie som hovoril v lekcii Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli.

Kontrola: Rozlíšte odpoveď:

Pôvodná funkcia integrandu bola získaná, čo znamená, že integrál bol nájdený správne.
Pri overovaní sme museli výraz zredukovať na spoločného menovateľa a nie je to náhodné. Metóda neurčitých koeficientov a redukcia výrazu na spoločného menovateľa sú vzájomne inverzné akcie.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál.

Vráťme sa k zlomku z prvého príkladu: . Je ľahké si všimnúť, že v menovateli sú všetky faktory RÔZNE. Vynára sa otázka, čo robiť, ak je uvedený napríklad zlomok: ? Tu máme stupne v menovateli, alebo, matematicky, násobky. Okrem toho existuje kvadratická trojčlenka, ktorú nemožno faktorizovať (je ľahké overiť, že diskriminant rovnice je záporná, takže trojčlenku nemožno faktorizovať). Čo robiť? Rozšírenie do súčtu elementárnych zlomkov bude vyzerať asi takto s neznámymi koeficientmi na vrchu alebo niečo iné?

Príklad 3

Zaviesť funkciu

Krok 1. Kontrolujeme, či máme správny zlomok
Hlavný čitateľ: 2
Najvyšší stupeň menovateľa: 8
, čo znamená, že zlomok je správny.

Krok 2. Je možné niečo započítať do menovateľa? Očividne nie, všetko je už rozpísané. Štvorcová trojčlenka nemôže byť rozšírená na súčin z dôvodov uvedených vyššie. Hood. Menej práce.

Krok 3. Predstavme si zlomkovo-racionálnu funkciu ako súčet elementárnych zlomkov.
V tomto prípade má rozšírenie nasledujúcu formu:

Pozrime sa na nášho menovateľa:
Pri rozklade zlomkovo-racionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov možno rozlíšiť tri základné body:

1) Ak menovateľ obsahuje „osamelý“ faktor k prvej mocnine (v našom prípade), potom umiestnime neurčitý koeficient na začiatok (v našom prípade). Príklady č. 1, 2 pozostávali len z takýchto „osamelých“ faktorov.

2) Ak menovateľ má viacnásobný multiplikátor, potom ho musíte rozložiť takto:
- to znamená postupne prejsť všetkými stupňami „X“ od prvého po n-tý stupeň. V našom príklade sú dva viaceré faktory: a , pozrite sa ešte raz na rozšírenie, ktoré som dal, a uistite sa, že sú rozbalené presne podľa tohto pravidla.

3) Ak menovateľ obsahuje nerozložiteľný polynóm druhého stupňa (v našom prípade), tak pri rozklade v čitateli treba zapísať lineárnu funkciu s neurčitými koeficientmi (v našom prípade s neurčitými koeficientmi a ).

V skutočnosti existuje ďalší 4. prípad, ale o tom pomlčím, pretože v praxi je to mimoriadne zriedkavé.

Príklad 4

Zaviesť funkciu ako súčet elementárnych zlomkov s neznámymi koeficientmi.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Dôsledne dodržujte algoritmus!

Ak pochopíte princípy, podľa ktorých potrebujete rozšíriť zlomkovo-racionálnu funkciu na súčet, môžete prehrýzť takmer akýkoľvek integrál daného typu.

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál.

Krok 1. Je zrejmé, že zlomok je správny:

Krok 2. Je možné niečo započítať do menovateľa? Môcť. Tu je súčet kociek . Vynásobte menovateľa pomocou skráteného vzorca násobenia

Krok 3. Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet elementárnych zlomkov:

Upozorňujeme, že polynóm nemožno faktorizovať (skontrolujte, či je diskriminant záporný), takže na začiatok umiestnime lineárnu funkciu s neznámymi koeficientmi a nie iba jedno písmeno.

Zlomok privedieme na spoločného menovateľa:

Poďme zostaviť a vyriešiť systém:

(1) Vyjadríme z prvej rovnice a dosadíme ju do druhej rovnice sústavy (to je najracionálnejší spôsob).

(2) V druhej rovnici uvádzame podobné členy.

(3) Druhú a tretiu rovnicu sústavy pridávame po členoch.

Všetky ďalšie výpočty sú v zásade ústne, pretože systém je jednoduchý.

(1) Súčet zlomkov zapíšeme v súlade so zistenými koeficientmi.

(2) Používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu. Čo sa stalo v druhom integráli? S touto metódou sa môžete zoznámiť v poslednom odseku lekcie. Integrácia niektorých zlomkov.

(3) Opäť použijeme vlastnosti linearity. V treťom integráli začneme izolovať celý štvorec (predposledný odsek lekcie Integrácia niektorých zlomkov).

(4) Vezmeme druhý integrál, v treťom vyberieme úplný štvorec.

(5) Vezmite tretí integrál. Pripravený.

Zvažujú sa príklady integrácie racionálnych funkcií (zlomkov) s podrobnými riešeniami.

Obsah

Pozri tiež: Korene kvadratickej rovnice

Tu uvádzame podrobné riešenia troch príkladov integrácie nasledujúcich racionálnych zlomkov:
, , .

Príklad 1

Vypočítajte integrál:
.

Tu sa pod znamienkom integrálu nachádza racionálna funkcia, pretože integrand je zlomkom polynómov. Stupeň polynómu menovateľa ( 3 ) je menší ako stupeň polynómu čitateľa ( 4 ). Preto najprv musíte vybrať celú časť zlomku.

1. Vyberieme celú časť zlomku. Deliť x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Odtiaľ
.

2. Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť kubickú rovnicu:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Nahradíme x = 1 :
.

1 . Deliť x - 1 :

Odtiaľ
.
Riešenie kvadratickej rovnice.
.
Korene rovnice sú: , .
Potom
.

3. Rozložme zlomok na najjednoduchšiu formu.

.

Tak sme našli:
.
Poďme sa integrovať.

Príklad 2

Vypočítajte integrál:
.

Tu je čitateľom zlomku polynóm nultého stupňa ( 1 = x 0). Menovateľ je polynóm tretieho stupňa. Pretože 0 < 3 , potom je zlomok správny. Poďme si to rozložiť na jednoduché zlomky.

1. Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 3 (člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 3, -1, -3 .
Nahradíme x = 1 :
.

Takže sme našli jeden koreň x = 1 . Deliť x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

takže,
.

Riešenie kvadratickej rovnice:
X 2 + x + 3 = 0.
Nájdite diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Keďže D< 0 , potom rovnica nemá skutočné korene. Takto sme získali faktorizáciu menovateľa:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Nahradíme x = 1 . Potom x- 1 = 0 ,
.

Poďme sa nahradiť (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Prirovnajme sa (2.1) koeficienty pre x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Poďme sa integrovať.
(2.2) .
Na výpočet druhého integrálu vyberieme v čitateli deriváciu menovateľa a menovateľa zredukujeme na súčet druhých mocnín.

;
;
.

Vypočítajte I 2 .


.
Keďže rovnica x 2 + x + 3 = 0 nemá skutočné korene, potom x 2 + x + 3 > 0. Znak modulu preto možno vynechať.

Dodávame do (2.2) :
.

Príklad 3

Vypočítajte integrál:
.

Tu pod znamienkom integrálu je zlomok polynómov. Preto je integrand racionálna funkcia. Stupeň polynómu v čitateli sa rovná 3 . Stupeň polynómu menovateľa zlomku sa rovná 4 . Pretože 3 < 4 , potom je zlomok správny. Preto sa dá rozložiť na jednoduché zlomky. Ale aby ste to urobili, musíte rozdeliť menovateľ na faktor.

1. Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 2 (člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahradíme x = -1 :
.

Takže sme našli jeden koreň x = -1 . Deliť x - (-1) = x + 1:


takže,
.

Teraz musíme vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má celočíselný koreň, potom je deliteľom čísla 2 (člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahradíme x = -1 :
.

Takže sme našli ďalší koreň x = -1 . Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm číslom , ale zoskupíme členy:
.

Keďže rovnica x 2 + 2 = 0 nemá žiadne skutočné korene, potom dostaneme faktorizáciu menovateľa:
.

2. Rozložme zlomok na najjednoduchšiu formu. Hľadáme rozšírenie vo forme:
.
Zbavíme sa menovateľa zlomku, vynásobíme (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Nahradíme x = -1 . Potom x + 1 = 0 ,
.

Poďme rozlišovať (3.1) :

;

.
Nahradíme x = -1 a vziať do úvahy, že x + 1 = 0 :
;
; .

Poďme sa nahradiť (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Prirovnajme sa (3.1) koeficienty pre x 3 :
;
1 = B + C;
.

Zistili sme teda rozklad na jednoduché zlomky:
.

3. Poďme sa integrovať.


.

Pozri tiež:

Zlomok sa nazýva správne, ak najvyšší stupeň čitateľa je menší ako najvyšší stupeň menovateľa. Integrál vlastného racionálneho zlomku má tvar:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Vzorec na integrovanie racionálnych zlomkov závisí od koreňov polynómu v menovateli. Ak má polynóm $ ax^2+bx+c $:

1. Iba komplexné odmocniny, potom je potrebné z neho vytiahnuť celý štvorec: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Rôzne skutočné korene $ x_1 $ a $ x_2 $, potom musíte rozšíriť integrál a nájsť neurčité koeficienty $ A $ a $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Jeden násobný odmocninec $ x_1 $, potom integrál rozšírime a nájdeme neurčité koeficienty $ A $ a $ B $ pre nasledujúci vzorec: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ak je zlomok nesprávne, to znamená, že najvyšší stupeň v čitateli je väčší alebo rovný najvyššiemu stupňu menovateľa, potom sa musí najprv znížiť na správne tvar delením mnohočlenu z čitateľa mnohočlenom z menovateľa. V tomto prípade má vzorec na integráciu racionálnej frakcie tvar:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Príklady riešení

Príklad 1

Nájdite integrál racionálneho zlomku: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Riešenie

Zlomok je vlastný a polynóm má iba zložité korene. Preto vyberieme úplný štvorec: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Zložíme celý štvorec a umiestnime ho pod znamienko rozdielu $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Pomocou tabuľky integrálov dostaneme: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete si môcť pozrieť priebeh výpočtu a získať informácie. Pomôže vám to získať známku od učiteľa včas!

Odpoveď

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Príklad 2

Vykonajte integráciu racionálnych zlomkov: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Riešenie

Vyriešme kvadratickú rovnicu: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Zapisujeme korene: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Ak vezmeme do úvahy získané korene, transformujeme integrál: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Vykonávame expanziu racionálneho zlomku: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Dáme rovnítko medzi čitateľov a nájdeme koeficienty $ A $ a $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \začiatok(prípady) A ​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \koniec (prípady) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Nájdené koeficienty dosadíme do integrálu a vyriešime: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Odpoveď

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$