تكامل دالة كسرية عقلانية.
طريقة معامل غير مؤكدة

نواصل العمل على تكامل الكسور. لقد نظرنا بالفعل إلى تكاملات بعض أنواع الكسور في الدرس، ويمكن اعتبار هذا الدرس، بمعنى ما، استمرارًا. لفهم المادة بنجاح، يلزم وجود مهارات التكامل الأساسية، لذلك إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة التكاملات، أي أنك مبتدئ، فأنت بحاجة إلى البدء بالمقالة تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول.

ومن الغريب أننا الآن لن ننخرط كثيرًا في إيجاد التكاملات، ولكن... في حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا الصدد بشكل عاجلأوصي بحضور الدرس، أي أنك بحاجة إلى أن تكون على دراية جيدة بطرق الاستبدال (طريقة "المدرسة" وطريقة الجمع (الطرح) لمعادلات النظام على حدة).

ما هي وظيفة عقلانية كسرية؟ بكلمات بسيطة، الدالة الكسرية هي الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود أو منتجات كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، فإن الكسور أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها في المقالة دمج بعض الكسور.

دمج دالة كسرية-عقلانية مناسبة

مثال فوري وخوارزمية نموذجية لحل تكامل دالة كسرية.

مثال 1

الخطوة 1.أول شيء نفعله دائمًا عند حل تكامل دالة كسرية هو توضيح السؤال التالي: هل الكسر صحيح؟يتم تنفيذ هذه الخطوة لفظيًا، والآن سأشرح الطريقة:

أولًا، ننظر إلى البسط ونكتشف ذلك درجة عليامتعدد الحدود:

القوة الرئيسية للبسط هي اثنان.

الآن ننظر إلى المقام ونكتشف ذلك درجة علياالمقام - صفة مشتركة - حالة. الطريقة الواضحة هي فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، ولكن يمكنك القيام بذلك بشكل أسهل كلالعثور على أعلى درجة بين قوسين

والضرب ذهنياً: - وبذلك تكون أعلى درجة للمقام تساوي ثلاثة. ومن الواضح أننا إذا فتحنا القوسين بالفعل، فلن نحصل على درجة أكبر من ثلاثة.

خاتمة: الدرجة الكبرى من البسط بشكل صارمأقل من أعلى قوة للمقام، مما يعني أن الكسر صحيح.

إذا كان البسط في هذا المثال يحتوي على كثير الحدود 3، 4، 5، إلخ. درجة، ثم سيكون الكسر خطأ.

الآن سننظر فقط في الدوال العقلانية الكسرية الصحيحة. سيتم مناقشة الحالة التي تكون فيها درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام في نهاية الدرس.

الخطوة 2.دعونا نحلل المقام. دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:

بشكل عام، هذا بالفعل نتاج عوامل، ولكن مع ذلك نسأل أنفسنا: هل من الممكن توسيع شيء آخر؟ سيكون موضوع التعذيب بلا شك هو الثلاثي المربع. حل المعادلة التربيعية:

المميز أكبر من الصفر، مما يعني أن ثلاثية الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل:

القاعدة العامة: كل شيء في المقام يمكن تحليله

لنبدأ في صياغة الحل:

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة (الابتدائية). الآن سوف يكون أكثر وضوحا.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة التكامل لدينا:

وكما تعلمون، بطريقة ما تنبثق فكرة بديهية مفادها أنه سيكون من الجيد تحويل الكسر الكبير إلى عدة أجزاء صغيرة. على سبيل المثال، مثل هذا:

السؤال الذي يطرح نفسه، هل من الممكن القيام بذلك؟ دعونا نتنفس الصعداء، تنص نظرية التحليل الرياضي المقابلة على أن هذا ممكن. مثل هذا التحلل موجود وهو فريد من نوعه.

هناك صيد واحد فقط، والاحتمالات هي الوداعنحن لا نعرف، ومن هنا الاسم – طريقة المعاملات غير المحددة.

كما خمنت، فإن حركات الجسم اللاحقة تكون هكذا، لا تثرثر! سوف يهدف فقط إلى التعرف عليهم - لمعرفة ما يساويهم.

كن حذرا، سأشرح بالتفصيل مرة واحدة فقط!

لذلك، دعونا نبدأ الرقص من:

على الجانب الأيسر نقوم بتقليل التعبير إلى قاسم مشترك:

الآن يمكننا التخلص بأمان من القواسم (لأنها متماثلة):

على الجانب الأيسر نفتح الأقواس، لكن لا نلمس المعاملات المجهولة الآن:

وفي الوقت نفسه، نكرر القاعدة المدرسية لضرب كثيرات الحدود. عندما كنت مدرسًا، تعلمت نطق هذه القاعدة بوجه مستقيم: من أجل ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، يتعين عليك ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من كثيرة الحدود الأخرى.

من وجهة نظر شرح واضح، من الأفضل وضع المعاملات بين قوسين (على الرغم من أنني شخصيا لا أفعل ذلك أبدا لتوفير الوقت):

نحن نؤلف نظام المعادلات الخطية.
أولاً نبحث عن الدرجات العليا:

ونكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الأولى للنظام:

تذكر النقطة التالية جيداً. ماذا سيحدث لو لم يكن هناك حرف s على الجانب الأيمن على الإطلاق؟ لنفترض، هل سيتم عرضه بدون أي مربع؟ في هذه الحالة، في معادلة النظام سيكون من الضروري وضع صفر على اليمين: . لماذا الصفر؟ ولكن لأنه على الجانب الأيمن يمكنك دائمًا تعيين نفس المربع بصفر: إذا لم يكن هناك متغيرات و/أو حد حر على الجانب الأيمن، فإننا نضع أصفارًا على الجانب الأيمن من المعادلات المقابلة للنظام.

نكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الثانية للنظام:

وأخيرا، المياه المعدنية، نختار الأعضاء الأحرار.

إيه...كنت أمزح نوعًا ما. بغض النظر عن النكات - الرياضيات علم جاد. في مجموعة معهدنا، لم يضحك أحد عندما قالت الأستاذة المساعدة إنها ستقوم بنثر الحدود على طول خط الأعداد واختيار أكبرها. دعونا نكون جادين. مع ذلك... من يعيش ليرى نهاية هذا الدرس سيظل يبتسم بهدوء.

النظام جاهز:

نحن نحل النظام:

(1) من المعادلة الأولى نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. في الواقع، كان من الممكن التعبير (أو حرف آخر) من معادلة أخرى، ولكن في هذه الحالة من المفيد التعبير عنها من المعادلة الأولى، حيث أن هناك أصغر الاحتمالات.

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة حداً تلو الآخر ونحصل على المساواة ويترتب على ذلك أن

(4) نعوض في المعادلة الثانية (أو الثالثة) حيث نجد ذلك

(5) عوض في المعادلة الأولى لتحصل على .

إذا واجهتك أي صعوبات في طرق حل النظام، قم بالتدرب عليها في الفصل. كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟

بعد حل النظام، من المفيد دائمًا التحقق من استبدال القيم الموجودة كلمعادلة النظام، ونتيجة لذلك يجب أن "يتقارب" كل شيء.

اوشكت على الوصول. تم العثور على المعاملات، و:

يجب أن تبدو المهمة النهائية كما يلي:

كما ترون، كانت الصعوبة الرئيسية للمهمة هي تكوين (بشكل صحيح!) وحل (بشكل صحيح!) نظام من المعادلات الخطية. وفي المرحلة النهائية، كل شيء ليس صعبا للغاية: نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد والتكامل. مع ملاحظة أنه تحت كل تكامل من التكاملات الثلاثة لدينا دالة معقدة "حرة" وقد تحدثت عن مميزات تكاملها في الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد.

تحقق: ميّز الإجابة:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.
أثناء التحقق، كان علينا اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، وهذا ليس من قبيل الصدفة. إن طريقة المعاملات غير المحددة واختزال التعبير إلى قاسم مشترك هما إجراءان عكسيان.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد.

دعنا نعود إلى الكسر من المثال الأول: . من السهل ملاحظة أن جميع العوامل مختلفة في المقام. السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل إذا تم إعطاء الكسر التالي على سبيل المثال: ؟ هنا لدينا درجات في المقام، أو رياضياً، مضاعفات. بالإضافة إلى ذلك، هناك ثلاثية حدود تربيعية لا يمكن تحليلها (من السهل التحقق من أن مميز المعادلة سالبة، لذلك لا يمكن تحليل ثلاثية الحدود). ما يجب القيام به؟ سيبدو التوسع في مجموع الكسور الأولية بهذا الشكل مع معاملات غير معروفة في الأعلى أو أي شيء آخر؟

مثال 3

تقديم وظيفة

الخطوة 1.التحقق مما إذا كان لدينا كسر مناسب
البسط الرئيسي: 2
أعلى درجة للمقام: 8
مما يعني أن الكسر صحيح.

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ من الواضح لا، كل شيء تم وضعه بالفعل. لا يمكن توسيع ثلاثي الحدود المربع إلى منتج للأسباب المذكورة أعلاه. كَبُّوت. عمل أقل.

الخطوه 3.دعونا نتخيل دالة كسرية عقلانية كمجموع الكسور الأولية.
في هذه الحالة، يكون التوسع على الشكل التالي:

دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:
عند تحليل دالة كسرية إلى مجموع الكسور الأولية، يمكن تمييز ثلاث نقاط أساسية:

1) إذا كان المقام يحتوي على عامل "وحيد" للقوة الأولى (في حالتنا)، فإننا نضع معاملًا غير محدد في الأعلى (في حالتنا). الأمثلة رقم 1، 2 تتألف فقط من هذه العوامل "الوحيدة".

2) إذا كان القاسم موجودا عديدالمضاعف، فأنت بحاجة إلى تحليله على النحو التالي:
- أي المرور بجميع درجات "X" من الدرجة الأولى إلى الدرجة التاسعة بالتتابع. في مثالنا هناك عاملان متعددان: و، ألقِ نظرة أخرى على التوسيع الذي قدمته وتأكد من توسيعهما تمامًا وفقًا لهذه القاعدة.

3) إذا كان المقام يحتوي على كثير حدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية (في حالتنا)، فعند التحلل في البسط تحتاج إلى كتابة دالة خطية بمعاملات غير محددة (في حالتنا بمعاملات غير محددة و ).

في الواقع، هناك حالة رابعة أخرى، لكنني سألتزم الصمت عنها، لأنها نادرة للغاية في الممارسة العملية.

مثال 4

تقديم وظيفة كمجموع كسور أولية ذات معاملات غير معروفة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
اتبع الخوارزمية بدقة!

إذا فهمت المبادئ التي تحتاج من خلالها إلى توسيع الدالة الكسرية إلى مجموع، فيمكنك مضغ أي تكامل من النوع قيد النظر تقريبًا.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

الخطوة 1.من الواضح أن الكسر صحيح:

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ يستطيع. هنا مجموع المكعبات . عامل المقام باستخدام صيغة الضرب المختصرة

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور الأولية:

يرجى ملاحظة أن كثيرة الحدود لا يمكن تحليلها (تأكد من أن المميز سلبي)، لذلك نضع في الأعلى دالة خطية ذات معاملات غير معروفة، وليس حرفًا واحدًا فقط.

نأتي الكسر إلى قاسم مشترك:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

(1) نعبر من المعادلة الأولى ونعوض بها في المعادلة الثانية للنظام (هذه هي الطريقة الأكثر عقلانية).

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلة الثانية.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة من حد النظام بحده.

جميع الحسابات الإضافية تكون، من حيث المبدأ، شفهية، لأن النظام بسيط.

(1) نكتب مجموع الكسور حسب المعاملات الموجودة.

(2) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد. ماذا حدث في التكامل الثاني؟ يمكنك التعرف على هذه الطريقة في الفقرة الأخيرة من الدرس. دمج بعض الكسور.

(3) مرة أخرى نستخدم خصائص الخطية. في التكامل الثالث نبدأ بعزل المربع الكامل (الفقرة قبل الأخيرة من الدرس دمج بعض الكسور).

(4) نأخذ التكامل الثاني، وفي الثالث نختار المربع الكامل.

(5) خذ التكامل الثالث. مستعد.

يتم اشتقاق الصيغ لحساب تكاملات الكسور الأبسط والأساسية من أربعة أنواع. يتم حساب التكاملات الأكثر تعقيدًا، من الكسور من النوع الرابع، باستخدام صيغة الاختزال. يعتبر مثال على تكامل كسر من النوع الرابع.

محتوى

أنظر أيضا: جدول التكاملات غير المحددة
طرق حساب التكاملات غير المحددة

كما هو معروف، يمكن تحليل أي دالة عقلانية لبعض المتغير x إلى كثيرة الحدود وأبسط الكسور الأولية. هناك أربعة أنواع من الكسور البسيطة:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
هنا a، A، B، b، c أعداد حقيقية. المعادلة س 2 + ب س + ج = 0ليس له جذور حقيقية.

تكامل الكسور من النوعين الأولين

يتم دمج الكسرين الأولين باستخدام الصيغ التالية من جدول التكاملات:
,
، ن ≠ - 1 .

1. تكامل الكسور من النوع الأول

يتم اختزال جزء من النوع الأول إلى تكامل جدولي بالتعويض t = x - a:
.

2. تكامل الكسور من النوع الثاني

يتم تقليل كسر النوع الثاني إلى تكامل جدولي بنفس الاستبدال t = x - a:

.

3. تكامل الكسور من النوع الثالث

لننظر إلى تكامل الكسر من النوع الثالث:
.
وسوف نقوم بحسابها في خطوتين.

3.1. الخطوة 1. حدد مشتقة المقام في البسط

دعونا نعزل مشتقة المقام في بسط الكسر. دعونا نشير إلى: u = x 2 + ب س + ج. دعونا نفرق: u′ = 2 س + ب. ثم
;
.
لكن
.
لقد حذفنا علامة المعامل لأن .

ثم:
,
أين
.

3.2. الخطوة 2. احسب التكامل مع A = 0، B = 1

الآن نحسب التكامل المتبقي:
.

نأتي بمقام الكسر إلى مجموع المربعات:
,
أين .
نعتقد أن المعادلة x 2 + ب س + ج = 0ليس له جذور. لهذا .

دعونا نجعل الاستبدال
,
.
.

لذا،
.

وبذلك وجدنا تكامل الكسر من النوع الثالث:

,
أين .

4. تكامل الكسور من النوع الرابع

وأخيرًا، فكر في تكامل الكسر من النوع الرابع:
.
نحن نحسبها في ثلاث خطوات.

4.1) حدد مشتق المقام في البسط:
.

4.2) حساب التكامل
.

4.3) حساب التكاملات
,
باستخدام صيغة التخفيض:
.

4.1. الخطوة 1. عزل مشتقة المقام في البسط

دعونا نعزل مشتقة المقام في البسط، كما فعلنا في . دعونا نشير إلى u = x 2 + ب س + ج. دعونا نفرق: u′ = 2 س + ب. ثم
.

.
لكن
.

وأخيراً لدينا:
.

4.2. الخطوة 2. احسب التكامل مع n = 1

احسب التكامل
.
ويرد حسابه في .

4.3. الخطوة 3. اشتقاق صيغة التخفيض

الآن فكر في التكامل
.

نقوم بتبسيط ثلاثية الحدود التربيعية إلى مجموع المربعات:
.
هنا .
دعونا نجعل الاستبدال.
.
.

نقوم بتنفيذ التحولات والتكامل في الأجزاء.




.

اضرب ب 2(ن - 1):
.
دعنا نعود إلى x وi n.
,
;
;
.

لذا، بالنسبة لـ I n حصلنا على صيغة التخفيض:
.
بتطبيق هذه الصيغة باستمرار، نقوم بتبسيط التكامل I n إلى I 1 .

مثال

حساب التكامل

1. دعونا نعزل مشتقة المقام في البسط.
;
;


.
هنا
.

2. نحسب تكامل الكسر الأبسط.

.

3. نطبق صيغة التخفيض:

للتكامل.
في حالتنا ب = 1 ، ج = 1 , 4 ج - ب 2 = 3. نكتب هذه الصيغة لـ n = 2 ون = 3 :
;
.
من هنا

.

وأخيراً لدينا:

.
أوجد المعامل لـ .
.

أنظر أيضا:

تتلخص مشكلة إيجاد التكامل غير المحدد للدالة الكسرية في تكامل الكسور البسيطة. لذلك ننصحك بالتعرف أولاً على قسم نظرية تحلل الكسور إلى أبسطها.

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد.

حل.

بما أن درجة بسط التكامل تساوي درجة المقام، فإننا نختار أولًا الجزء بأكمله عن طريق قسمة كثير الحدود على كثير الحدود بعمود:

لهذا السبب، .

تحليل الكسر العقلاني المناسب الناتج إلى كسور أبسط له الشكل . لذلك،

التكامل الناتج هو تكامل أبسط كسر من النوع الثالث. وبالنظر إلى الأمام قليلاً، نلاحظ أنه يمكنك أخذها عن طريق إدراجها تحت علامة التفاضل.

لأن ، الذي - التي . لهذا

لذلك،

لننتقل الآن إلى وصف طرق تكامل الكسور البسيطة لكل نوع من الأنواع الأربعة.

تكامل الكسور البسيطة من النوع الأول

تعتبر طريقة التكامل المباشر مثالية لحل هذه المشكلة:

مثال.

أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة

حل.

دعونا نوجد التكامل غير المحدد باستخدام خصائص المشتقة العكسية وجدول المشتقات العكسية وقاعدة التكامل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثاني

طريقة التكامل المباشر مناسبة أيضًا لحل هذه المشكلة:

مثال.

حل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث

أولا نقدم التكامل غير المحدد كمجموع:

نأخذ التكامل الأول بإدراجه تحت العلامة التفاضلية:

لهذا السبب،

دعونا نحول مقام التكامل الناتج:

لذلك،

صيغة تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث تأخذ الشكل التالي:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

نستخدم الصيغة الناتجة:

لو لم تكن لدينا هذه الصيغة ماذا سنفعل:

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الرابع

الخطوة الأولى هي وضعها تحت علامة التفاضل:

الخطوة الثانية هي العثور على جزء لا يتجزأ من النموذج . تم العثور على التكاملات من هذا النوع باستخدام صيغ التكرار. (راجع القسم الخاص بالتكامل باستخدام صيغ التكرار.) الصيغة المتكررة التالية مناسبة لحالتنا:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد

حل.

لهذا النوع من التكامل نستخدم طريقة الاستبدال. لنقدم متغيرًا جديدًا (راجع القسم الخاص بتكامل الدوال غير المنطقية):

بعد الاستبدال لدينا:

لقد توصلنا إلى إيجاد تكامل الكسر من النوع الرابع. في حالتنا لدينا معاملات م = 0، ع = 0، ف = 1، ن = 1و ن = 3. نحن نطبق الصيغة المتكررة:

بعد الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة:

دمج الدوال المثلثية

1. تكاملات النموذج يتم حسابها عن طريق تحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموع باستخدام الصيغ: على سبيل المثال، 2.تكاملات النموذج ، أين مأو ن- عدد موجب فردي، يُحسب بإدراجه تحت العلامة التفاضلية. على سبيل المثال، 3. تكاملات النموذج ، أين مو ن-يتم حساب الأرقام الموجبة باستخدام صيغ لتقليل الدرجة: على سبيل المثال، 4. التكاملات حيث يتم حسابها عن طريق تغيير المتغير: أو على سبيل المثال 5. يتم تقليل تكاملات النموذج إلى تكاملات الكسور المنطقية باستخدام الاستبدال المثلثي الشامل (منذ ذلك الحين =[بعد قسمة البسط والمقام على ]= ; على سبيل المثال، تجدر الإشارة إلى أن استخدام الاستبدال الشامل غالبًا ما يؤدي إلى حسابات مرهقة.

§5. تكامل أبسط اللاعقلانية

دعونا نفكر في طرق دمج أبسط أنواع اللاعقلانية. 1. يتم دمج الدوال من هذا النوع بنفس طريقة دمج أبسط الكسور المنطقية من النوع الثالث: في المقام، يتم عزل مربع كامل من ثلاثي الحدود المربع ويتم إدخال متغير جديد. مثال. 2. (تحت علامة التكامل – الوظيفة العقلانية للحجج). يتم حساب التكاملات من هذا النوع باستخدام الاستبدال. على وجه الخصوص، في تكاملات النموذج الذي نشير إليه. إذا كان التكامل يحتوي على جذور بدرجات مختلفة: ، ثم قم بالإشارة إلى أين ن- المضاعف المشترك الأصغر للأرقام م، ك. مثال 1. مثال 2. -كسر كسري غير حقيقي، حدد الجزء بأكمله: – – – 3. تكاملات النموذج يتم حسابها باستخدام البدائل المثلثية:

44

45 التكامل المحدد

تكامل محدد- وظيفة مضافة رتيبة موحدة محددة على مجموعة من الأزواج، المكون الأول منها هو وظيفة أو وظيفية متكاملة، والثاني هو مجال في مجموعة تحديد هذه الوظيفة (وظيفية).

تعريف

دعها تحدد على . دعونا نقسمها إلى أجزاء بعدة نقاط عشوائية. ثم يقولون أن القطعة قد تم تقسيمها، وبعد ذلك اختر نقطة عشوائية , ,

التكامل المحدد لدالة على فترة هو نهاية المجاميع التكاملية حيث تميل رتبة القسم إلى الصفر، إذا كان موجودا بشكل مستقل عن القسم واختيار النقاط، أي

إذا كانت النهاية المحددة موجودة، يقال إن الدالة قابلة لتكامل ريمان.

التسميات

· - الحد الأدنى.

· - الحد الأعلى.

· - وظيفة التكامل.

· - طول الجزء الجزئي .

· - مجموع لا يتجزأ من الدالة على القسم المقابل.

· - الحد الأقصى لطول الجزء الجزئي.

ملكيات

إذا كانت الدالة قابلة للتكامل مع ريمان، فإنها تكون محصورة بها.

معنى هندسي

التكامل المحدد كمساحة الشكل

التكامل المحدد يساوي عدديًا مساحة الشكل المحدد بمحور الإحداثي والخطوط المستقيمة والرسم البياني للدالة.

نظرية نيوتن-لايبنيز

[يحرر]

(بالتحويل من "صيغة نيوتن-ليبنيز")

صيغة نيوتن-لايبنتزأو النظرية الرئيسية للتحليليعطي علاقة بين عمليتين: أخذ تكامل محدد وحساب المشتق العكسي.

دليل

دع وظيفة متكاملة تعطى على فترة. لنبدأ بملاحظة ذلك

أي أنه لا يهم الحرف (أو) الموجود تحت العلامة في التكامل المحدد فوق القطعة.

لنقم بتعيين قيمة عشوائية وتحديد وظيفة جديدة . يتم تعريفه لجميع قيم ، لأننا نعلم أنه إذا كان هناك تكامل لـ on ، فهناك أيضًا تكامل لـ on ، حيث. دعونا نتذكر أننا نعتبر بالتعريف

(1)

لاحظ أن

دعونا نبين أنها مستمرة على الفترة. في الواقع، اسمحوا ; ثم

وإذا، ثم

وبالتالي، فهي مستمرة بغض النظر عما إذا كانت بها انقطاعات أم لا؛ من المهم أن يكون متكاملاً على .

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا. مساحة الشكل المتغير هي . زيادتها تساوي مساحة الشكل ، والتي، بسبب حدودها، تميل بشكل واضح إلى الصفر، بغض النظر عما إذا كانت نقطة استمرارية أو انقطاع، على سبيل المثال نقطة.

لندع الآن أن الدالة لا تكون قابلة للتكامل فحسب، بل تكون مستمرة عند هذه النقطة. دعونا نثبت أن المشتقة عند هذه النقطة تساوي

(2)

في الواقع، بالنسبة للنقطة المشار إليها

(1) , (3)

نضع، وبما أنه ثابت بالنسبة إلى، TO . علاوة على ذلك، نظرًا للاستمرارية عند نقطة ما، يمكن لأي شخص تحديد ذلك لـ .

مما يثبت أن الجانب الأيسر من هذه المتباينة هو o(1) لـ .

والمرور إلى النهاية في (3) عند يدل على وجود مشتقة عند النقطة وصحة المساواة (2). عندما نتحدث هنا عن المشتقتين اليمنى واليسرى على التوالي.

وإذا كانت الدالة متصلة على، فبناء على ما ثبت أعلاه، الدالة المقابلة لها

(4)

لديه مشتق يساوي . وبالتالي فإن الدالة هي مشتق عكسي لـ .

يسمى هذا الاستنتاج أحيانًا بنظرية التكامل المتغير الحد الأعلى أو نظرية بارو.

لقد أثبتنا أن دالة عشوائية متصلة على فترة لها مشتق عكسي في هذه الفترة المحددة بالمساواة (4). وهذا يثبت وجود مشتقة عكسية لأي دالة متصلة على فترة.

دعونا الآن يكون هناك مشتق عكسي تعسفي لوظيفة على . ونحن نعلم أن أين هو بعض ثابت. وبافتراض هذه المساواة ومراعاة ذلك نحصل على .

هكذا، . لكن

تكامل غير لائق

[يحرر]

مادة من ويكيبيديا – الموسوعة الحرة

تكامل محددمُسَمًّى ليس بنفسك، إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية على الأقل:

· الحد أ أو ب (أو كلا الحدين) لا نهائي؛

· الدالة f(x) لها نقطة توقف واحدة أو أكثر داخل المقطع.

[عدل]التكاملات غير الصحيحة من النوع الأول

. ثم:

1. إذا ويسمى التكامل . في هذه الحالة ويسمى متقاربة.

، أو ببساطة متباينة.

دعونا تكون محددة ومستمرة على المجموعة من و . ثم:

1. إذا ، ثم يتم استخدام الترميز ويسمى التكامل تكامل ريمان غير الصحيح من النوع الأول. في هذه الحالة ويسمى متقاربة.

2. إذا لم يكن هناك نهائي ( أو ) يقال أن التكامل يتباعد ، أو ببساطة متباينة.

إذا كانت الدالة معرفة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله، فقد يكون هناك تكامل غير صحيح لهذه الدالة مع حدين لا نهائيين من التكامل، محددين بالصيغة:

، حيث c هو رقم تعسفي.

[يحرر] المعنى الهندسي للتكامل غير الصحيح من النوع الأول

يعبر التكامل غير الصحيح عن مساحة شبه منحرف منحني طويل بلا حدود.

[يحرر] أمثلة

[عدل]التكاملات غير الصحيحة من النوع الثاني

دعها يتم تعريفها على ، تعاني من انقطاع لا نهائي عند النقطة x=a و . ثم:

1. إذا ، ثم يتم استخدام الترميز ويسمى التكامل

دعا متباينة ل ، أو ببساطة متباينة.

دعه يتم تعريفه على ، يعاني من انقطاع لا نهائي عند x=b و . ثم:

1. إذا ، ثم يتم استخدام الترميز ويسمى التكامل تكامل ريمان غير الصحيح من النوع الثاني. في هذه الحالة، يسمى التكامل متقاربا.

2. إذا كان أو ، فإن التسمية تظل كما هي، و دعا متباينة ل ، أو ببساطة متباينة.

إذا كانت الدالة تعاني من انقطاع عند نقطة داخلية للقطعة، فإن التكامل غير الصحيح من النوع الثاني يتحدد بالصيغة:

[يحرر] المعنى الهندسي للتكاملات غير الصحيحة من النوع الثاني

يعبر التكامل غير الصحيح عن مساحة شبه منحرف منحني طويل القامة بشكل لا نهائي

[يحرر] مثال

[عدل] حالة معزولة

دع الدالة محددة على خط الأعداد بأكمله ولها انقطاع عند النقاط.

ومن ثم يمكننا إيجاد التكامل غير الصحيح

[عدل] معيار كوشي

1. دعه يتم تعريفه على مجموعة من و .

ثم يتقارب

2. اسمحوا تعريف على و .

ثم يتقارب

[عدل] التقارب المطلق

أساسي مُسَمًّى متقاربة تماما، لو يتقارب.
إذا كان التكامل متقاربًا تقاربًا مطلقًا، فإنه يتقارب.

[عدل] التقارب المشروط

التكامل يسمى متقاربة مشروطة، إذا تقاربت، لكنها تباعدت.

48 12. التكاملات غير الصحيحة.

عند النظر في التكاملات المحددة، افترضنا أن منطقة التكامل محدودة (وبشكل أكثر تحديدا، فهي قطعة [ أ ,ب ]); من أجل وجود تكامل محدد، يجب أن يكون التكامل محدودًا بـ [ أ ,ب ]. سوف نسمي التكاملات المحددة التي يتم استيفاء هذين الشرطين (حدود كل من مجال التكامل والتكامل) ملك; التكاملات التي تنتهك هذه المتطلبات (أي إما أن التكامل أو مجال التكامل غير محدود، أو كليهما) ليس بنفسك. في هذا القسم سوف ندرس التكاملات غير الصحيحة.

• 12.1. التكاملات غير الصحيحة على فترة غير محدودة (التكاملات غير الصحيحة من النوع الأول).
• 12.1.1. تعريف التكامل غير الصحيح خلال فترة لا نهائية. أمثلة.
• 12.1.2. صيغة نيوتن-لايبنتز للتكامل غير الصحيح.
• 12.1.3. معايير المقارنة للوظائف غير السلبية.
• 12.1.3.1. علامة المقارنة.
• 12.1.3.2. علامة المقارنة في شكلها المتطرف.
• 12.1.4. التقارب المطلق للتكاملات غير الصحيحة خلال فترة لا نهائية.
• 12.1.5. اختبارات تقارب هابيل ودريشليت.
• 12.2. التكاملات غير الصحيحة للدوال غير المحدودة (التكاملات غير الصحيحة من النوع الثاني).
• 12.2.1. تعريف التكامل غير الصحيح لدالة غير محدودة.
• 12.2.1.1. يقع التفرد في الطرف الأيسر من فترة التكامل.
• 12.2.1.2. تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.
• 12.2.1.3. التفرد في الطرف الأيمن من فترة التكامل.
• 12.2.1.4. التفرد عند النقطة الداخلية لفترة التكامل.
• 12.2.1.5. العديد من الميزات على فترة التكامل.
• 12.2.2. معايير المقارنة للوظائف غير السلبية.
• 12.2.2.1. علامة المقارنة.
• 12.2.2.2. علامة المقارنة في شكلها المتطرف.
• 12.2.3. التقارب المطلق والشرطي للتكاملات غير الصحيحة للدوال غير المتصلة.
• 12.2.4. اختبارات تقارب هابيل ودريشليت.

12.1. التكاملات غير الصحيحة على فترة غير محدودة

(التكاملات غير الصحيحة من النوع الأول).

12.1.1. تعريف التكامل غير الصحيح خلال فترة لا نهائية. دع الوظيفة F (س ) يتم تعريفه على شبه المحور وهو قابل للتكامل على أي فترة زمنية [ من، مما يعني في كل حالة من هذه الحالات وجود ومحدودية الحدود المقابلة. الآن تبدو حلول الأمثلة أبسط: .

12.1.3. معايير المقارنة للوظائف غير السلبية. سنفترض في هذا القسم أن جميع التكاملات غير سالبة في مجال التعريف بأكمله. حتى الآن، حددنا تقارب التكامل من خلال حسابه: إذا كان هناك حد محدود للمشتق العكسي مع الاتجاه المقابل ( أو )، فإن التكامل يتقارب، وإلا فإنه يتباعد. ومع ذلك، عند حل المشكلات العملية، من المهم أولاً إثبات حقيقة التقارب نفسه، وبعد ذلك فقط حساب التكامل (إلى جانب ذلك، لا يتم التعبير عن المشتق العكسي في كثير من الأحيان من حيث الوظائف الأولية). دعونا نقوم بصياغة وإثبات عدد من النظريات التي تسمح لنا بإثبات تقارب وتباعد التكاملات غير الصحيحة للدوال غير السالبة دون حسابها.
12.1.3.1. علامة المقارنة. دع الوظائف F (س ) و ز (س ) أساسي

تتلخص مشكلة إيجاد التكامل غير المحدد للدالة الكسرية في تكامل الكسور البسيطة. لذلك ننصحك بالتعرف أولاً على قسم نظرية تحلل الكسور إلى أبسطها.

مثال.

حل.

بما أن درجة بسط التكامل تساوي درجة المقام، فإننا نختار أولًا الجزء بأكمله عن طريق قسمة كثير الحدود على كثير الحدود بعمود:

لهذا السبب، .

تحليل الكسر العقلاني المناسب الناتج إلى كسور أبسط له الشكل . لذلك،

التكامل الناتج هو تكامل أبسط كسر من النوع الثالث. وبالنظر إلى الأمام قليلاً، نلاحظ أنه يمكنك أخذها عن طريق إدراجها تحت علامة التفاضل.

لأن ، الذي - التي . لهذا

لذلك،

لننتقل الآن إلى وصف طرق تكامل الكسور البسيطة لكل نوع من الأنواع الأربعة.

تكامل الكسور البسيطة من النوع الأول

تعتبر طريقة التكامل المباشر مثالية لحل هذه المشكلة:

مثال.

حل.

دعونا نوجد التكامل غير المحدد باستخدام خصائص المشتقة العكسية وجدول المشتقات العكسية وقاعدة التكامل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثاني

طريقة التكامل المباشر مناسبة أيضًا لحل هذه المشكلة:

مثال.

حل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث

أولا نقدم التكامل غير المحدد كمجموع:

نأخذ التكامل الأول بإدراجه تحت العلامة التفاضلية:

لهذا السبب،

دعونا نحول مقام التكامل الناتج:

لذلك،

صيغة تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث تأخذ الشكل التالي:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

نستخدم الصيغة الناتجة:

لو لم تكن لدينا هذه الصيغة ماذا سنفعل:

9. تكامل الكسور البسيطة من النوع الرابع

الخطوة الأولى هي وضعها تحت علامة التفاضل:

الخطوة الثانية هي العثور على جزء لا يتجزأ من النموذج . تم العثور على التكاملات من هذا النوع باستخدام صيغ التكرار. (انظر التقسيم باستخدام صيغ التكرار). الصيغة المتكررة التالية مناسبة لحالتنا:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد

حل.

لهذا النوع من التكامل نستخدم طريقة الاستبدال. لنقدم متغيرًا جديدًا (راجع القسم الخاص بتكامل الدوال غير المنطقية):

بعد الاستبدال لدينا:

لقد توصلنا إلى إيجاد تكامل الكسر من النوع الرابع. في حالتنا لدينا معاملات م = 0، ع = 0، ف = 1، ن = 1و ن = 3. نحن نطبق الصيغة المتكررة:

بعد الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة:

10. تكامل الدوال المثلثية.

تتلخص العديد من المشكلات في إيجاد تكاملات الدوال المتعالية التي تحتوي على دوال مثلثية. في هذه المقالة، سنجمع الأنواع الأكثر شيوعًا من التكاملات ونستخدم الأمثلة للنظر في طرق تكاملها.

لنبدأ بدمج الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

من جدول المشتقات العكسية نلاحظ ذلك على الفور و .

تتيح لك طريقة إدراج العلامة التفاضلية حساب التكاملات غير المحددة لوظائف الظل وظل التمام:

أعلى الصفحة

دعونا ننظر إلى الحالة الأولى، والثانية مشابهة تماما.

لنستخدم طريقة الاستبدال:

لقد وصلنا إلى مشكلة دمج وظيفة غير عقلانية. ستساعدنا طريقة الاستبدال أيضًا هنا:

كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي و ر = سينكس:

أعلى الصفحة

يمكنك معرفة المزيد حول مبادئ العثور عليها في تكامل القسم باستخدام الصيغ المتكررة. إذا قمت بدراسة اشتقاق هذه الصيغ، يمكنك بسهولة الحصول على تكاملات النموذج ، أين مو ن- الأعداد الصحيحة.

أعلى الصفحة

أعلى الصفحة

يأتي أقصى قدر من الإبداع عندما يحتوي التكامل على دوال مثلثية ذات وسائط مختلفة.

هذا هو المكان الذي تأتي فيه الصيغ الأساسية لعلم المثلثات للإنقاذ. لذا اكتبها على قطعة منفصلة من الورق واحتفظ بها أمام عينيك.

مثال.

أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة .

حل.

صيغ التخفيض تعطي و .

لهذا

المقام هو صيغة جيب المجموع، وبالتالي،

وصلنا إلى مجموع التكاملات الثلاثة.

أعلى الصفحة

يمكن في بعض الأحيان اختزال التكاملات التي تحتوي على دوال مثلثية إلى تعبيرات كسرية باستخدام الاستبدال المثلثي القياسي.

لنكتب صيغًا مثلثية تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل من خلال ظل وسيطة النصف:

عند التكامل، سنحتاج أيضًا إلى التعبير التفاضلي dxمن خلال مماس نصف الزاوية.

لأن ، الذي - التي

اين هذا.

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

دعونا نستخدم الاستبدال المثلثي القياسي:

هكذا، .

يؤدي تحليل التكامل إلى كسور بسيطة إلى مجموع تكاملين:

كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي:

11. صيغ التكرار هي صيغ معبرة نالعضو الرابع في التسلسل من خلال الأعضاء السابقين. يتم استخدامها غالبًا عند البحث عن التكاملات.

نحن لا نهدف إلى إدراج جميع صيغ التكرار، ولكننا نريد إعطاء مبدأ اشتقاقها. يعتمد اشتقاق هذه الصيغ على تحويل التكامل وتطبيق طريقة التكامل بالأجزاء.

على سبيل المثال، التكامل غير المحدد يمكن أن تؤخذ باستخدام صيغة التكرار .

اشتقاق الصيغة:

باستخدام صيغ علم المثلثات يمكننا أن نكتب:

نجد التكامل الناتج باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء. كوظيفة ش(خ)لنأخذ com.cosx، لذلك، .

لهذا السبب،

نعود إلى التكامل الأصلي:

إنه،

وهذا ما يجب إظهاره.

يتم اشتقاق صيغ التكرار التالية بالمثل:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد.

حل.

نستخدم الصيغة المتكررة من الفقرة الرابعة (في مثالنا ن = 3):

منذ من جدول المشتقات العكسية لدينا ، الذي - التي

كل ما سبق في الفقرات السابقة يسمح لنا بصياغة القواعد الأساسية لتكامل الكسور النسبية.

1. إذا كان الكسر العقلاني غير صحيح، فسيتم تمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر كسري مناسب (انظر الفقرة 2).

يؤدي هذا إلى تقليل تكامل الكسر المنطقي غير الحقيقي إلى تكامل كثير الحدود والكسر المنطقي الصحيح.

2. قم بتحليل مقام الكسر المناسب.

3. يتم تحليل الكسر المنطقي المناسب إلى مجموع الكسور البسيطة. وهذا يقلل من تكامل الكسر الصحيح إلى تكامل الكسور البسيطة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1. ابحث عن .

حل. يوجد أسفل التكامل كسر نسبي غير حقيقي. اختيار الجزء كله، نحصل عليه

لذلك،

مع ملاحظة ذلك، دعونا نوسع الكسر العقلاني المناسب

إلى الكسور البسيطة:

(انظر الصيغة (18)). لهذا

وهكذا، لدينا أخيرا

مثال 2. البحث

حل. يوجد أسفل التكامل كسر منطقي مناسب.

بتوسيعها إلى كسور بسيطة (انظر الصيغة (16)) نحصل عليها