تتلخص مشكلة إيجاد التكامل غير المحدد للدالة الكسرية في تكامل الكسور البسيطة. لذلك ننصحك بالتعرف أولاً على قسم نظرية تحلل الكسور إلى أبسطها.
مثال.
حل.
بما أن درجة بسط التكامل تساوي درجة المقام، فإننا نختار أولًا الجزء بأكمله عن طريق قسمة كثير الحدود على كثير الحدود بعمود: 
لهذا السبب، 
.
إن تحلل الكسر العقلاني المناسب الناتج إلى كسور أبسط له الشكل 
. لذلك، 
التكامل الناتج هو تكامل أبسط كسر من النوع الثالث. وبالنظر إلى الأمام قليلاً، نلاحظ أنه يمكنك أخذها عن طريق إدراجها تحت علامة التفاضل.
لأن 
، الذي - التي 
. لهذا 
لذلك، 
لننتقل الآن إلى وصف طرق تكامل الكسور البسيطة لكل نوع من الأنواع الأربعة.
تكامل الكسور البسيطة من النوع الأول
تعتبر طريقة التكامل المباشر مثالية لحل هذه المشكلة:
مثال.
حل.
دعونا نوجد التكامل غير المحدد باستخدام خصائص المشتقة العكسية وجدول المشتقات العكسية وقاعدة التكامل.
أعلى الصفحة
تكامل الكسور البسيطة من النوع الثاني
طريقة التكامل المباشر مناسبة أيضًا لحل هذه المشكلة: 
مثال.
حل.
أعلى الصفحة
تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث 
أولا نقدم التكامل غير المحدد 
كمجموع:
نأخذ التكامل الأول بإدراجه تحت العلامة التفاضلية: 
لهذا السبب، 
دعونا نحول مقام التكامل الناتج: 
لذلك، 
صيغة تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث تأخذ الشكل التالي: 
مثال.
أوجد التكامل غير المحدد 
.
حل.
نستخدم الصيغة الناتجة: 
لو لم تكن لدينا هذه الصيغة ماذا سنفعل: 
9. تكامل الكسور البسيطة من النوع الرابع
الخطوة الأولى هي وضعها تحت علامة التفاضل: 
الخطوة الثانية هي العثور على جزء لا يتجزأ من النموذج 
. تم العثور على التكاملات من هذا النوع باستخدام صيغ التكرار. (انظر التقسيم باستخدام صيغ التكرار). الصيغة المتكررة التالية مناسبة لحالتنا:
مثال.
أوجد التكامل غير المحدد
حل.
لهذا النوع من التكامل نستخدم طريقة الاستبدال. لنقدم متغيرًا جديدًا (راجع القسم الخاص بتكامل الدوال غير المنطقية): 
بعد الاستبدال لدينا: 
لقد توصلنا إلى إيجاد تكامل الكسر من النوع الرابع. في حالتنا لدينا معاملات م = 0، ع = 0، ف = 1، ن = 1و ن = 3. نحن نطبق الصيغة المتكررة: 
بعد الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة:
10. تكامل الدوال المثلثية.
تتلخص العديد من المشكلات في إيجاد تكاملات الدوال المتعالية التي تحتوي على دوال مثلثية. في هذه المقالة، سنجمع الأنواع الأكثر شيوعًا من التكاملات ونستخدم الأمثلة للنظر في طرق تكاملها.
لنبدأ بدمج الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.
من جدول المشتقات العكسية نلاحظ ذلك على الفور 
و 
.
تتيح لك طريقة إدراج العلامة التفاضلية حساب التكاملات غير المحددة لوظائف الظل وظل التمام: 
أعلى الصفحة
دعونا ننظر إلى الحالة الأولى، والثانية مشابهة تماما.
لنستخدم طريقة الاستبدال: 
لقد وصلنا إلى مشكلة دمج وظيفة غير عقلانية. ستساعدنا طريقة الاستبدال أيضًا هنا: 
كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي و ر = سينكس:
أعلى الصفحة
يمكنك معرفة المزيد حول مبادئ العثور عليها في تكامل القسم باستخدام الصيغ المتكررة. إذا قمت بدراسة اشتقاق هذه الصيغ، يمكنك بسهولة الحصول على تكاملات النموذج 
، أين مو ن- الأعداد الصحيحة.
أعلى الصفحة
أعلى الصفحة
يأتي أقصى قدر من الإبداع عندما يحتوي التكامل على دوال مثلثية ذات وسائط مختلفة.
هذا هو المكان الذي تأتي فيه الصيغ الأساسية لعلم المثلثات للإنقاذ. لذا اكتبها على قطعة منفصلة من الورق واحتفظ بها أمام عينيك.
مثال.
أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة 
.
حل.
صيغ التخفيض تعطي 
و 
.
لهذا 
المقام هو صيغة جيب المجموع، وبالتالي، 
وصلنا إلى مجموع التكاملات الثلاثة. 
أعلى الصفحة
يمكن في بعض الأحيان اختزال التكاملات التي تحتوي على دوال مثلثية إلى تعبيرات كسرية باستخدام الاستبدال المثلثي القياسي.
لنكتب صيغًا مثلثية تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل من خلال ظل وسيطة النصف: 
عند التكامل، سنحتاج أيضًا إلى التعبير التفاضلي dxمن خلال مماس نصف الزاوية.
لأن 
، الذي - التي 
اين هذا.
مثال.
أوجد التكامل غير المحدد 
.
حل.
دعونا نستخدم الاستبدال المثلثي القياسي: 
هكذا، 
.
يؤدي تحليل التكامل إلى كسور بسيطة إلى مجموع تكاملين: 
كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي: 
11. صيغ التكرار هي صيغ معبرة نالعضو الرابع في التسلسل من خلال الأعضاء السابقين. يتم استخدامها غالبًا عند البحث عن التكاملات.
نحن لا نهدف إلى إدراج جميع صيغ التكرار، ولكننا نريد إعطاء مبدأ اشتقاقها. يعتمد اشتقاق هذه الصيغ على تحويل التكامل وتطبيق طريقة التكامل بالأجزاء.
على سبيل المثال، التكامل غير المحدد 
يمكن أن تؤخذ باستخدام صيغة التكرار 
.
اشتقاق الصيغة:
باستخدام صيغ علم المثلثات يمكننا أن نكتب:
نجد التكامل الناتج باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء. كوظيفة ش(خ)لنأخذ com.cosx، لذلك، .
لهذا السبب، 
نعود إلى التكامل الأصلي: 
إنه، 
وهذا ما يجب إظهاره.
يتم اشتقاق صيغ التكرار التالية بالمثل:
مثال.
أوجد التكامل غير المحدد.
حل.
نستخدم الصيغة المتكررة من الفقرة الرابعة (في مثالنا ن = 3):
منذ من جدول المشتقات العكسية لدينا 
، الذي - التي 
كل ما سبق في الفقرات السابقة يسمح لنا بصياغة القواعد الأساسية لتكامل الكسور النسبية.
1. إذا كان الكسر العقلاني غير صحيح، فسيتم تمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر كسري مناسب (انظر الفقرة 2).
يؤدي هذا إلى تقليل تكامل الكسر المنطقي غير الحقيقي إلى تكامل كثير الحدود والكسر المنطقي الصحيح.
2. قم بتحليل مقام الكسر المناسب.
3. يتم تحليل الكسر المنطقي المناسب إلى مجموع الكسور البسيطة. وهذا يقلل من تكامل الكسر الصحيح إلى تكامل الكسور البسيطة.
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.
مثال 1. ابحث عن .
حل. يوجد أسفل التكامل كسر نسبي غير حقيقي. اختيار الجزء كله، نحصل عليه
لذلك،
مع ملاحظة ذلك، دعونا نوسع الكسر العقلاني المناسب
إلى الكسور البسيطة:
(انظر الصيغة (18)). لهذا
وهكذا، لدينا أخيرا
مثال 2. البحث
حل. يوجد أسفل التكامل كسر منطقي مناسب.
بتوسيعها إلى كسور بسيطة (انظر الصيغة (16)) نحصل عليها
تكامل دالة كسرية عقلانية.
طريقة معامل غير مؤكدة
نواصل العمل على تكامل الكسور. لقد نظرنا بالفعل إلى تكاملات بعض أنواع الكسور في الدرس، ويمكن اعتبار هذا الدرس، بمعنى ما، استمرارًا. لفهم المادة بنجاح، يلزم وجود مهارات التكامل الأساسية، لذلك إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة التكاملات، أي أنك مبتدئ، فأنت بحاجة إلى البدء بالمقالة تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول.
ومن الغريب أننا الآن لن ننخرط كثيرًا في إيجاد التكاملات، ولكن... في حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا الصدد بشكل عاجلأوصي بحضور الدرس، أي أنك بحاجة إلى أن تكون على دراية جيدة بطرق الاستبدال (طريقة "المدرسة" وطريقة الجمع (الطرح) لمعادلات النظام على حدة).
ما هي وظيفة عقلانية كسرية؟ بكلمات بسيطة، الدالة الكسرية هي الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود أو منتجات كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، فإن الكسور أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها في المقالة دمج بعض الكسور.
دمج دالة كسرية-عقلانية مناسبة
مثال فوري وخوارزمية نموذجية لحل تكامل دالة كسرية.
مثال 1
الخطوة 1.أول شيء نفعله دائمًا عند حل تكامل دالة كسرية هو توضيح السؤال التالي: هل الكسر صحيح؟يتم تنفيذ هذه الخطوة لفظيًا، والآن سأشرح الطريقة:
أولًا، ننظر إلى البسط ونكتشف ذلك درجة عليامتعدد الحدود: 
القوة الرئيسية للبسط هي اثنان.
الآن ننظر إلى المقام ونكتشف ذلك درجة علياالمقام - صفة مشتركة - حالة. الطريقة الواضحة هي فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، ولكن يمكنك القيام بذلك بشكل أسهل كلالعثور على أعلى درجة بين قوسين 
والضرب ذهنياً: - وبذلك تكون أعلى درجة للمقام تساوي ثلاثة. ومن الواضح أننا إذا فتحنا القوسين بالفعل، فلن نحصل على درجة أكبر من ثلاثة.
خاتمة: الدرجة الكبرى من البسط بشكل صارمأقل من أعلى قوة للمقام، مما يعني أن الكسر صحيح.
إذا كان البسط في هذا المثال يحتوي على كثير الحدود 3، 4، 5، إلخ. درجة، ثم سيكون الكسر خطأ.
الآن سننظر فقط في الدوال العقلانية الكسرية الصحيحة. سيتم مناقشة الحالة التي تكون فيها درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام في نهاية الدرس.
الخطوة 2.دعونا نحلل المقام. دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا: 
بشكل عام، هذا بالفعل نتاج عوامل، ولكن مع ذلك نسأل أنفسنا: هل من الممكن توسيع شيء آخر؟ سيكون موضوع التعذيب بلا شك هو الثلاثي المربع. حل المعادلة التربيعية: 
المميز أكبر من الصفر، مما يعني أن ثلاثية الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل:
القاعدة العامة: كل شيء في المقام يمكن تحليله
لنبدأ في صياغة الحل:
الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة (الابتدائية). الآن سوف يكون أكثر وضوحا.
دعونا نلقي نظرة على وظيفة التكامل لدينا: 
وكما تعلمون، بطريقة ما تنبثق فكرة بديهية مفادها أنه سيكون من الجيد تحويل الكسر الكبير إلى عدة أجزاء صغيرة. على سبيل المثال، مثل هذا: 
السؤال الذي يطرح نفسه، هل من الممكن القيام بذلك؟ دعونا نتنفس الصعداء، تنص نظرية التحليل الرياضي المقابلة على أن هذا ممكن. مثل هذا التحلل موجود وهو فريد من نوعه.
هناك صيد واحد فقط، والاحتمالات هي الوداعنحن لا نعرف، ومن هنا الاسم – طريقة المعاملات غير المحددة.
كما خمنت، فإن حركات الجسم اللاحقة تكون هكذا، لا تثرثر! سوف يهدف فقط إلى التعرف عليهم - لمعرفة ما يساويهم.
كن حذرا، سأشرح بالتفصيل مرة واحدة فقط!
لذلك، دعونا نبدأ الرقص من: 
على الجانب الأيسر نقوم بتقليل التعبير إلى قاسم مشترك:
الآن يمكننا التخلص بأمان من القواسم (لأنها متماثلة):
على الجانب الأيسر نفتح الأقواس، لكن لا نلمس المعاملات المجهولة الآن:
وفي الوقت نفسه، نكرر القاعدة المدرسية لضرب كثيرات الحدود. عندما كنت مدرسًا، تعلمت نطق هذه القاعدة بوجه مستقيم: من أجل ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، يتعين عليك ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من كثيرة الحدود الأخرى.
من وجهة نظر شرح واضح، من الأفضل وضع المعاملات بين قوسين (على الرغم من أنني شخصيا لا أفعل ذلك أبدا لتوفير الوقت):
نحن نؤلف نظام المعادلات الخطية.
أولاً نبحث عن الدرجات العليا:
ونكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الأولى للنظام:
تذكر النقطة التالية جيداً. ماذا سيحدث لو لم يكن هناك حرف s على الجانب الأيمن على الإطلاق؟ لنفترض، هل سيتم عرضه بدون أي مربع؟ في هذه الحالة، في معادلة النظام سيكون من الضروري وضع صفر على اليمين: . لماذا الصفر؟ ولكن لأنه على الجانب الأيمن يمكنك دائمًا تعيين نفس المربع بصفر: إذا لم يكن هناك متغيرات و/أو حد حر على الجانب الأيمن، فإننا نضع أصفارًا على الجانب الأيمن من المعادلات المقابلة للنظام.
نكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الثانية للنظام: 
وأخيرا، المياه المعدنية، نختار الأعضاء الأحرار.
إيه...كنت أمزح نوعًا ما. بغض النظر عن النكات - الرياضيات علم جاد. في مجموعة معهدنا، لم يضحك أحد عندما قالت الأستاذة المساعدة إنها ستقوم بنثر الحدود على طول خط الأعداد واختيار أكبرها. دعونا نكون جادين. مع ذلك... من يعيش ليرى نهاية هذا الدرس سيظل يبتسم بهدوء.
النظام جاهز:
نحن نحل النظام: 
(1) من المعادلة الأولى نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. في الواقع، كان من الممكن التعبير (أو حرف آخر) من معادلة أخرى، ولكن في هذه الحالة من المفيد التعبير عنها من المعادلة الأولى، حيث أن هناك أصغر الاحتمالات.
(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة.
(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة حداً تلو الآخر ونحصل على المساواة ويترتب على ذلك أن
(4) نعوض في المعادلة الثانية (أو الثالثة) حيث نجد ذلك
(5) عوض في المعادلة الأولى لتحصل على .
إذا واجهتك أي صعوبات في طرق حل النظام، قم بالتدرب عليها في الفصل. كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟
بعد حل النظام، من المفيد دائمًا التحقق من استبدال القيم الموجودة كلمعادلة النظام، ونتيجة لذلك يجب أن "يتقارب" كل شيء.
اوشكت على الوصول. تم العثور على المعاملات، و: 
يجب أن تبدو المهمة النهائية كما يلي:
كما ترون، كانت الصعوبة الرئيسية للمهمة هي تكوين (بشكل صحيح!) وحل (بشكل صحيح!) نظام من المعادلات الخطية. وفي المرحلة النهائية، كل شيء ليس صعبا للغاية: نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد والتكامل. مع ملاحظة أنه تحت كل تكامل من التكاملات الثلاثة لدينا دالة معقدة "حرة" وقد تحدثت عن مميزات تكاملها في الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد.
تحقق: ميّز الإجابة:
تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.
أثناء التحقق، كان علينا اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، وهذا ليس من قبيل الصدفة. إن طريقة المعاملات غير المحددة واختزال التعبير إلى قاسم مشترك هما إجراءان عكسيان.
مثال 2
أوجد التكامل غير المحدد. 
دعنا نعود إلى الكسر من المثال الأول: 
. من السهل ملاحظة أن جميع العوامل مختلفة في المقام. السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل إذا تم إعطاء الكسر التالي على سبيل المثال: 
؟ هنا لدينا درجات في المقام، أو رياضياً، مضاعفات. بالإضافة إلى ذلك، هناك ثلاثية حدود تربيعية لا يمكن تحليلها (من السهل التحقق من أن مميز المعادلة 
سالبة، لذلك لا يمكن تحليل ثلاثية الحدود). ما يجب القيام به؟ سيبدو التوسع في مجموع الكسور الأولية بهذا الشكل 
مع معاملات غير معروفة في الأعلى أو أي شيء آخر؟
مثال 3
تقديم وظيفة 
الخطوة 1.التحقق مما إذا كان لدينا كسر مناسب
البسط الرئيسي: 2
أعلى درجة للمقام: 8
مما يعني أن الكسر صحيح.
الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ من الواضح لا، كل شيء تم وضعه بالفعل. لا يمكن توسيع ثلاثي الحدود المربع إلى منتج للأسباب المذكورة أعلاه. كَبُّوت. عمل أقل.
الخطوه 3.دعونا نتخيل دالة كسرية عقلانية كمجموع الكسور الأولية.
في هذه الحالة، يكون التوسع على الشكل التالي:
دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:
عند تحليل دالة كسرية إلى مجموع الكسور الأولية، يمكن تمييز ثلاث نقاط أساسية:
1) إذا كان المقام يحتوي على عامل "وحيد" للقوة الأولى (في حالتنا)، فإننا نضع معاملًا غير محدد في الأعلى (في حالتنا). الأمثلة رقم 1، 2 تتألف فقط من هذه العوامل "الوحيدة".
2) إذا كان القاسم موجودا عديدالمضاعف، فأنت بحاجة إلى تحليله على النحو التالي: 
- أي المرور بجميع درجات "X" من الدرجة الأولى إلى الدرجة التاسعة بالتتابع. في مثالنا هناك عاملان متعددان: و، ألقِ نظرة أخرى على التوسيع الذي قدمته وتأكد من توسيعهما تمامًا وفقًا لهذه القاعدة.
3) إذا كان المقام يحتوي على كثير حدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية (في حالتنا)، فعند التحلل في البسط تحتاج إلى كتابة دالة خطية بمعاملات غير محددة (في حالتنا بمعاملات غير محددة و ).
في الواقع، هناك حالة رابعة أخرى، لكنني سألتزم الصمت عنها، لأنها نادرة للغاية في الممارسة العملية.
مثال 4
تقديم وظيفة 
كمجموع كسور أولية ذات معاملات غير معروفة.
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
اتبع الخوارزمية بدقة!
إذا فهمت المبادئ التي تحتاج من خلالها إلى توسيع الدالة الكسرية إلى مجموع، فيمكنك مضغ أي تكامل من النوع قيد النظر تقريبًا.
مثال 5
أوجد التكامل غير المحدد. 
الخطوة 1.من الواضح أن الكسر صحيح:
الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ يستطيع. هنا مجموع المكعبات 
. عامل المقام باستخدام صيغة الضرب المختصرة
الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور الأولية:
يرجى ملاحظة أن كثيرة الحدود لا يمكن تحليلها (تأكد من أن المميز سلبي)، لذلك نضع في الأعلى دالة خطية ذات معاملات غير معروفة، وليس حرفًا واحدًا فقط.
نأتي الكسر إلى قاسم مشترك:
دعونا نؤلف ونحل النظام:
(1) نعبر من المعادلة الأولى ونعوض بها في المعادلة الثانية للنظام (هذه هي الطريقة الأكثر عقلانية).
(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلة الثانية.
(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة من حد النظام بحده.
جميع الحسابات الإضافية تكون، من حيث المبدأ، شفهية، لأن النظام بسيط. 
(1) نكتب مجموع الكسور حسب المعاملات الموجودة.
(2) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد. ماذا حدث في التكامل الثاني؟ يمكنك التعرف على هذه الطريقة في الفقرة الأخيرة من الدرس. دمج بعض الكسور.
(3) مرة أخرى نستخدم خصائص الخطية. في التكامل الثالث نبدأ بعزل المربع الكامل (الفقرة قبل الأخيرة من الدرس دمج بعض الكسور).
(4) نأخذ التكامل الثاني، وفي الثالث نختار المربع الكامل.
(5) خذ التكامل الثالث. مستعد.
يتم النظر في أمثلة دمج الوظائف العقلانية (الكسور) مع الحلول التفصيلية.
محتوىأنظر أيضا: جذور المعادلة التربيعية
نقدم هنا حلولًا تفصيلية لثلاثة أمثلة لتكامل الكسور النسبية التالية:
,
,
.
مثال 1
حساب التكامل:
.
هنا، تحت علامة التكامل هناك وظيفة عقلانية، لأن التكامل هو جزء من كثيرات الحدود. مقام درجة متعددة الحدود ( 3 ) أقل من درجة البسط كثير الحدود ( 4 ). لذلك، أولا تحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله من الكسر.
1.
دعونا نختار الجزء الكامل من الكسر. قسمة س 4
بواسطة س 3 - 6 × 2 + 11 × - 6:
من هنا
.
2.
دعونا نحلل مقام الكسر. للقيام بذلك، تحتاج إلى حل المعادلة التكعيبية:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
دعونا نستبدل x = 1
:
.
1
. القسمة على س - 1
:
من هنا
.
حل معادلة تربيعية.
.
جذور المعادلة هي : .
ثم
.
3.
دعونا نقسم الكسر إلى أبسط صورة.
.
لذلك وجدنا:
.
دعونا نتكامل.
مثال 2
حساب التكامل:
.
هنا بسط الكسر هو متعدد الحدود من الدرجة صفر ( 1 = × 0). المقام هو كثير الحدود من الدرجة الثالثة. بسبب ال 0 < 3 ، فالكسر صحيح. دعونا نقسمها إلى كسور بسيطة.
1.
دعونا نحلل مقام الكسر. للقيام بذلك، تحتاج إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
لنفترض أن لها جذرًا واحدًا على الأقل. ثم هو مقسوم على الرقم 3
(عضو بدون x). أي أن الجذر بأكمله يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 3, -1, -3
.
دعونا نستبدل x = 1
:
.
وبذلك نكون قد وجدنا جذرًا واحدًا x = 1
. قسمة س 3 + 2 س - 3على س - 1
:
لذا،
.
حل المعادلة التربيعية:
س 2 + س + 3 = 0.
أوجد المميز: D = 1 2 - 4 3 = -11. منذ د< 0
، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية. وهكذا حصلنا على تحليل المقام:
.
2.
.
(س - 1)(س 2 + س + 3):
(2.1)
.
دعونا نستبدل x = 1
. ثم س - 1 = 0
,
.
دعونا نستبدل (2.1)
س = 0
:
1 = 3 أ - ج;
.
دعونا نساوي (2.1)
معاملات x 2
:
;
0 = أ + ب;
.
.
3.
دعونا نتكامل.
(2.2)
.
لحساب التكامل الثاني، نختار مشتقة المقام في البسط ونختصر المقام إلى مجموع المربعات.
;
;
.
احسب انا 2
.
.
منذ المعادلة x 2 + س + 3 = 0ليس له جذور حقيقية، ثم x 2 + س + 3 > 0. ولذلك، يمكن حذف علامة المعامل.
نقوم بالتوصيل الى (2.2)
:
.
مثال 3
حساب التكامل:
.
هنا تحت علامة التكامل يوجد جزء من كثيرات الحدود. ولذلك، فإن التكامل هو وظيفة عقلانية. درجة كثير الحدود في البسط تساوي 3 . درجة كثير الحدود لمقام الكسر تساوي 4 . بسبب ال 3 < 4 ، فالكسر صحيح. ولذلك، فإنه يمكن أن تتحلل إلى كسور بسيطة. ولكن للقيام بذلك تحتاج إلى تحليل المقام.
1.
دعونا نحلل مقام الكسر. للقيام بذلك، عليك حل معادلة الدرجة الرابعة:
.
لنفترض أن لها جذرًا واحدًا على الأقل. ثم هو مقسوم على الرقم 2
(عضو بدون x). أي أن الجذر بأكمله يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2
.
دعونا نستبدل x = -1
:
.
وبذلك نكون قد وجدنا جذرًا واحدًا x = -1
. القسمة على س - (-1) = س + 1:
لذا،
.
والآن علينا حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
إذا افترضنا أن هذه المعادلة لها جذر صحيح، فهي مقسومة على الرقم 2
(عضو بدون x). أي أن الجذر بأكمله يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, -1, -2
.
دعونا نستبدل x = -1
:
.
لذلك، وجدنا جذرًا آخر x = -1
. سيكون من الممكن، كما في الحالة السابقة، تقسيم كثير الحدود على ، لكننا سنجمع المصطلحات:
.
منذ المعادلة x 2 + 2 = 0
ليس له جذور حقيقية، ثم نحصل على تحليل المقام:
.
2.
دعونا نقسم الكسر إلى أبسط صورة. نحن نبحث عن التوسع في النموذج:
.
نتخلص من مقام الكسر ونضربه (س + 1) 2 (س 2 + 2):
(3.1)
.
دعونا نستبدل x = -1
. ثم س + 1 = 0
,
.
دعونا نفرق (3.1)
:
;
.
دعونا نستبدل x = -1
وتأخذ في الاعتبار أن x + 1 = 0
:
;
;
.
دعونا نستبدل (3.1)
س = 0
:
0 = 2 أ + 2 ب + د;
.
دعونا نساوي (3.1)
معاملات x 3
:
;
1 = ب + ج;
.
وبذلك نكون قد وجدنا التحلل إلى كسور بسيطة:
.
3.
دعونا نتكامل.
.
يسمى الكسر صحيح، إذا كانت أعلى درجة للبسط أقل من أعلى درجة للمقام. تكامل الكسر العقلاني المناسب له الشكل:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
تعتمد صيغة تكامل الكسور المنطقية على جذور كثيرة الحدود في المقام. إذا كان متعدد الحدود $ ax^2+bx+c $ يحتوي على:
- فقط الجذور المعقدة، فمن الضروري استخراج مربع كامل منها: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2\مساءا ^2)$$
- جذور حقيقية مختلفة $ x_1 $ و $ x_2 $، فأنت بحاجة إلى توسيع التكامل والعثور على المعاملات غير المحددة $ A $ و $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- جذر واحد متعدد $ x_1 $، ثم نقوم بتوسيع التكامل ونجد المعاملات غير المحددة $ A $ و $ B $ للصيغة التالية: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
إذا كان الكسر خطأأي أن أعلى درجة في البسط أكبر من أو تساوي أعلى درجة في المقام، فيجب أولاً اختزالها إلى صحيحشكل عن طريق قسمة كثير الحدود من البسط على كثير الحدود من المقام. في هذه الحالة، صيغة تكامل الكسر العقلاني لها الشكل:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
أمثلة على الحلول
| مثال 1 |
| أوجد تكامل الكسر النسبي: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| حل |
|
الكسر صحيح ومتعدد الحدود له جذور معقدة فقط. ولذلك نختار مربعا كاملا: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ نطوي مربعًا كاملاً ونضعه تحت علامة التفاضل $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ باستخدام جدول التكاملات نحصل على: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +ج$$ إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب! |
| إجابة |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +ج$$ |
| مثال 2 |
| إجراء تكامل الكسور المنطقية: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| حل |
|
دعونا نحل المعادلة التربيعية: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ نكتب الجذور: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ مع الأخذ في الاعتبار الجذور التي تم الحصول عليها، نقوم بتحويل التكامل: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ نقوم بإجراء توسيع الكسر العقلاني: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ نحن نساوي البسطين ونجد المعاملين $ A $ و $ B $: $$ أ(س+6)+ب(س-1)=س+2 $$ $$ الفأس + 6 أ + بx - ب = س + 2 $$ $$ \begin(cases) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ نعوض المعاملات الموجودة في التكامل ونحلها: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \l |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +ج$$ |
| إجابة |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +ج$$ |
