Program za rješavanje linearnih, kvadratnih i frakcionih nejednačina ne samo da daje odgovor na problem, već daje i detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješenja za testiranje znanja iz matematike i/ili algebre.
Štoviše, ako je u procesu rješavanja jedne od nejednačina potrebno riješiti, na primjer, kvadratnu jednadžbu, tada se prikazuje i njeno detaljno rješenje (sadržano je u spojleru).
Ovaj program može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za testove, a roditeljima da prate kako njihova djeca rješavaju nejednakosti.
Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u opšteobrazovnim školama prilikom priprema za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.
Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.
Pravila za unos nejednakosti
Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.
Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke ovako: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Imenilac ne može biti negativan.
Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Možete koristiti zagrade kada unosite izraze. U ovom slučaju, kada se rješavaju nejednačine, izrazi se prvo pojednostavljuju.
Na primjer: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Odaberite željeni znak nejednakosti i unesite polinome u polja ispod.
Riješite sistem nejednačina Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.
Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...
Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Sistemi nejednakosti sa jednom nepoznatom. Numerički intervali
Sa pojmom sistema ste se upoznali u 7. razredu i naučili da rješavate sisteme linearnih jednačina sa dvije nepoznate. Zatim ćemo razmotriti sisteme linearnih nejednačina sa jednom nepoznatom. Skupovi rješenja sistema nejednačina mogu se pisati pomoću intervala (intervali, poluintervali, segmenti, zraci). Također ćete se upoznati sa zapisom brojčanih intervala.
Ako je u nejednačinama \(4x > 2000\) i \(5x \leq 4000\) nepoznati broj x isti, tada se ove nejednakosti razmatraju zajedno i kaže se da čine sistem nejednačina: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.
Vitičasta zagrada pokazuje da trebate pronaći vrijednosti x za koje se obje nejednakosti sistema pretvaraju u ispravne numeričke nejednakosti. Ovaj sistem je primjer sistema linearnih nejednačina sa jednom nepoznatom.
Rješenje sistema nejednačina sa jednom nepoznatom je vrijednost nepoznate pri kojoj se sve nejednakosti sistema pretvaraju u prave numeričke nejednakosti. Rješavanje sistema nejednakosti znači pronalaženje svih rješenja za ovaj sistem ili utvrđivanje da ih nema.
Nejednačine \(x \geq -2 \) i \(x \leq 3 \) mogu se zapisati kao dvostruka nejednakost: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Rješenja sistema nejednačina sa jednom nepoznatom su različiti numerički skupovi. Ovi setovi imaju imena. Dakle, na brojevnoj osi, skup brojeva x takvih da je \(-2 \leq x \leq 3 \) predstavljen segmentom sa krajevima u tačkama -2 i 3.
| -2 | 3 |
Ako je \(a segment i označen je sa [a; b]
Ako je \(a interval i označen je sa (a; b)
Skupovi brojeva \(x\) koji zadovoljavaju nejednakosti \(a \leq x su poluintervali i označeni su respektivno [a; b) i (a; b]
Zovu se segmenti, intervali, poluintervali i zraci numeričke intervale.
Dakle, numerički intervali se mogu specificirati u obliku nejednačina.
Rješenje nejednakosti u dvije nepoznanice je par brojeva (x; y) koji datu nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost. Rješavanje nejednačine znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja. Dakle, rješenja nejednakosti x > y će biti, na primjer, parovi brojeva (5; 3), (-1; -1), budući da \(5 \geq 3 \) i \(-1 \geq - 1\)
Rješavanje sistema nejednačina
Već ste naučili kako riješiti linearne nejednačine s jednom nepoznatom. Znate li šta su sistem nejednakosti i rješenje sistema? Stoga vam proces rješavanja sistema nejednakosti sa jednom nepoznatom neće stvarati poteškoće.
Pa ipak, da vas podsjetimo: da biste riješili sistem nejednačina, potrebno je riješiti svaku nejednakost posebno, a zatim pronaći sjecište ovih rješenja.
Na primjer, prvobitni sistem nejednakosti je sveden na oblik:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Da biste riješili ovaj sistem nejednačina, označite rješenje svake nejednačine na brojevnoj pravoj i pronađite njihov presjek:
| -2 | 3 |
Raskrsnica je segment [-2; 3] - ovo je rješenje originalnog sistema nejednakosti.
Tema časa: Rješavanje sistema linearnih nejednačina sa jednom promjenljivom
Datum: _______________
Klasa: 6a, 6b, 6c
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva i primarno učvršćivanje.
Didaktički cilj: stvoriti uslove za osvještavanje i razumijevanje bloka novih obrazovnih informacija.
Ciljevi: 1) Obrazovni: upoznati pojmove: rješenja sistema nejednačina, ekvivalentni sistemi nejednačina i njihova svojstva; naučiti kako primijeniti ove koncepte pri rješavanju jednostavnih sistema nejednačina sa jednom varijablom.
2) Razvojni: promicati razvoj elemenata kreativne, samostalne aktivnosti učenika; razvijati govor, sposobnost razmišljanja, analiziranja, generalizacije, jasno i koncizno izražavanje svojih misli.
3) obrazovne: negovanje međusobnog poštovanja i odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovnom radu.
Zadaci:
ponoviti teoriju na temu numeričkih nejednakosti i numeričkih intervala;
dati primjer problema koji se može riješiti sistemom nejednakosti;
razmotriti primjere rješavanja sistema nejednačina;
obavljati samostalan rad.
Oblici organizovanja obrazovnih aktivnosti:- frontalni – kolektivni – individualni.
Metode: objašnjavajuće - ilustrativno.
Plan lekcije:
1. Organizacioni momenat, motivacija, postavljanje ciljeva
2. Ažuriranje proučavanja teme
3. Učenje novog gradiva
4. Primarna konsolidacija i primjena novog materijala
5. Samostalan rad
7. Sumiranje lekcije. Refleksija.
Tokom nastave:
1. Organizacioni momenat
Nejednakost može biti dobra pomoć. Samo trebate znati kada mu se obratiti za pomoć. Formulisanje problema u mnogim primenama matematike često je formulisano jezikom nejednakosti. Na primjer, mnogi ekonomski problemi se svode na proučavanje sistema linearnih nejednakosti. Stoga je važno znati rješavati sisteme nejednakosti. Šta znači “riješiti sistem nejednakosti”? Ovo ćemo danas pogledati na času.
2. Ažuriranje znanja.
Usmeni rad sa klasom, tri učenika rade koristeći individualne kartice.
Da bismo sagledali teoriju teme „Nejednakosti i njihova svojstva“, izvršićemo testiranje, nakon čega slijedi provjera i razgovor o teoriji ove teme. Svaki testni zadatak zahtijeva odgovor "Da" - slika, "Ne" - slika ____
Rezultat testa bi trebao biti neka vrsta figure.
(odgovor: ).
Uspostavite korespondenciju između nejednakosti i numeričkog intervala
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
“Matematika vas uči da prevaziđete poteškoće i ispravite sopstvene greške.” Pronađite grešku u rješavanju nejednačine, objasnite zašto je greška napravljena, zapišite tačno rješenje u svoju bilježnicu.
2x<8-6
x>-1
3. Proučavanje novog gradiva.
Šta mislite da se zove rješenje za sistem nejednakosti?
(Rješenje sistema nejednakosti sa jednom promjenljivom je vrijednost varijable za koju je svaka od nejednačina u sistemu tačna)
Šta znači “Rješiti sistem nejednakosti”?
(Rješavanje sistema nejednačina znači pronaći sva njegova rješenja ili dokazati da rješenja nema)
Ono što treba uraditi da bi se odgovorilo na pitanje „je dat broj
rješenje sistema nejednakosti?
(Zamenite ovaj broj u obe nejednačine sistema, ako su nejednakosti tačne, tada je dati broj rešenje sistema nejednačina, ako su nejednakosti netačne, onda dati broj nije rešenje sistema nejednačina)
Formulirati algoritam za rješavanje sistema nejednačina
1. Riješite svaku nejednakost sistema.
2. Grafički prikažite rješenja svake nejednačine na koordinatnoj liniji.
3. Naći presjek rješenja nejednačina na koordinatnoj liniji.
4. Odgovor napišite kao brojčani interval.
Razmotrimo primjere:
odgovor: 
Odgovor: nema rješenja
4. Osiguravanje teme.
Rad sa udžbenikom br. 1016, br. 1018, br. 1022
5. Samostalan rad prema opcijama (kartice sa zadacima za učenike na stolovima)
Samostalan rad
Opcija 1
Riješite sistem nejednačina:
Tema časa je “Rješavanje nejednačina i njihovih sistema” (matematika 9. razred)
Vrsta lekcije:čas sistematizacije i generalizacije znanja i vještina
Tehnologija lekcije: tehnologija za razvoj kritičkog mišljenja, diferencirano učenje, IKT tehnologije
Svrha lekcije: ponoviti i sistematizovati znanja o svojstvima nejednakosti i metodama za njihovo rešavanje, stvoriti uslove za razvijanje veština primene ovih znanja pri rešavanju standardnih i kreativnih zadataka.
Zadaci.
edukativni:
doprinose razvoju sposobnosti učenika za uopštavanje stečenog znanja, analizu, sintezu, poređenja i donošenje potrebnih zaključaka
organizovati aktivnosti studenata na primeni stečenog znanja u praksi
promovirati razvoj vještina primjene stečenog znanja u nestandardnim uslovima
edukativni:
nastaviti formiranje logičkog mišljenja, pažnje i pamćenja;
unaprediti veštine analize, sistematizacije, generalizacije;
stvaranje uslova koji osiguravaju razvoj sposobnosti samokontrole kod učenika;
promoviraju sticanje potrebnih vještina za aktivnosti samostalnog učenja.
edukativni:
negovati disciplinu i staloženost, odgovornost, samostalnost, kritički odnos prema sebi i pažnju.
Planirani obrazovni rezultati.
Lični: odgovoran odnos prema učenju i komunikativna kompetencija u komunikaciji i saradnji sa vršnjacima u procesu vaspitno-obrazovnih aktivnosti.
kognitivni: sposobnost definisanja pojmova, kreiranja generalizacija, samostalnog odabira osnova i kriterijuma za klasifikaciju, izgradnje logičkog zaključivanja i zaključaka;
Regulatorno: sposobnost prepoznavanja potencijalnih poteškoća prilikom rješavanja obrazovnog i kognitivnog zadatka i pronalaženja sredstava za njihovo otklanjanje, evaluacije svojih postignuća
Komunikativna: sposobnost donošenja sudova koristeći matematičke termine i koncepte, formulisanje pitanja i odgovora tokom zadatka, razmjenu znanja između članova grupe za donošenje efikasnih zajedničkih odluka.
Osnovni pojmovi i pojmovi: linearna nejednakost, kvadratna nejednakost, sistem nejednakosti.
Oprema
Projektor, laptop za nastavnike, nekoliko netbooka za učenike;
Prezentacija;
Kartice sa osnovnim znanjima i vještinama na temu lekcije (Prilog 1);
Kartice sa samostalnim radom (Prilog 2).
Plan lekcije
| Tokom nastave |
|||
| Tehnološke faze. Target. | Aktivnosti nastavnika | Aktivnosti učenika | |
| Uvodna i motivaciona komponenta |
|||
| 1.Organizacioni Cilj: psihološka priprema za komunikaciju. | Zdravo. Drago mi je da vas sve vidim. Sjedni. Provjerite imate li sve spremno za lekciju. Ako je sve u redu, pogledaj me. | Kažu zdravo. Provjerite pribor. Spremam se za posao. | Lični. Formira se odgovoran odnos prema učenju. |
| 2. Ažuriranje znanja (2 min) Cilj: identificirati pojedinačne praznine u znanju o nekoj temi | Tema naše lekcije je “Rješavanje nejednačina s jednom promjenljivom i njihovim sistemima”. (slajd 1) Evo liste osnovnih znanja i vještina o ovoj temi. Procijenite svoje znanje i vještine. Postavite odgovarajuće ikone. (slajd 2) | Procijeniti vlastito znanje i vještine. (Aneks 1) | Regulatorno Samoprocjena vašeg znanja i vještina |
| 3.Motivacija (2 minute) Svrha: pružiti aktivnosti za određivanje ciljeva časa . | U OGE radu iz matematike nekoliko pitanja u prvom i drugom dijelu određuju sposobnost rješavanja nejednačina. Šta trebamo ponoviti na času da bismo uspješno završili ove zadatke? | Oni obrazlažu i imenuju pitanja za ponavljanje. | Kognitivni. Identifikujte i formulirajte kognitivni cilj. |
| Faza začeća (sadržajna komponenta) |
|||
| 4.Samopoštovanje i izbor putanje (1-2 min) | U zavisnosti od toga kako ste ocijenili svoje znanje i vještine o temi, odaberite oblik rada na času. Sa mnom možeš raditi sa cijelim razredom. Možete raditi individualno na netbookovima, koristeći moje konsultacije, ili u parovima, pomažući jedni drugima. | Određeno individualnim putem učenja. Ako je potrebno, promijenite mjesta. | Regulatorno identificirati potencijalne poteškoće pri rješavanju obrazovnog i kognitivnog zadatka i pronaći sredstva za njihovo otklanjanje |
| 5-7 Rad u paru ili pojedinačno (25 min) | Nastavnik savjetuje učenike da rade samostalno. | Učenici koji dobro poznaju temu rade samostalno ili u paru sa prezentacijom (slajdovi 4-10) Rešiti zadatke (slajdovi 6,9). | Kognitivni sposobnost definiranja pojmova, kreiranja generalizacija, izgradnje logičkog lanca Regulatorno sposobnost određivanja radnji u skladu sa obrazovno-spoznajnim zadatkom Komunikacija sposobnost organizovanja obrazovne saradnje i zajedničkih aktivnosti, rad sa izvorom informacija Lični odgovoran odnos prema učenju, spremnost i sposobnost za samorazvoj i samoobrazovanje |
| 5. Rješavanje linearnih nejednačina. (10 min) | Koja svojstva nejednačina koristimo da ih riješimo? Možete li razlikovati linearne i kvadratne nejednakosti i njihove sisteme? (slajd 5) Kako riješiti linearnu nejednakost? Slijedite rješenje. (slajd 6) Nastavnik prati rješenje na tabli. Provjerite ispravnost rješenja. | Imenujte svojstva nejednakosti nakon odgovora ili u slučaju poteškoća, nastavnik otvara slajd 4. Navedite karakteristične karakteristike nejednakosti. Korištenje svojstava nejednačina. Jedan učenik rješava nejednačinu broj 1 na tabli. Ostalo je u sveskama, po odluci odgovora. Nejednakosti br. 2 i 3 zadovoljavaju se nezavisno. Provjeravaju spreman odgovor. | Kognitivni Komunikacija |
| 6. Rješavanje kvadratnih nejednačina. (10 min) | Kako riješiti nejednakost? Kakva je ovo nejednakost? Koje metode se koriste za rješavanje kvadratnih nejednačina? Prisjetimo se metode parabole (slajd 7). Nastavnik se prisjeća faza rješavanja nejednačine. Intervalna metoda se koristi za rješavanje nejednačina drugog i višeg stepena. (slajd 8) Da biste riješili kvadratne nejednakosti, možete odabrati metodu koja vam odgovara. Riješite nejednačine. (slajd 9). Nastavnik prati tok rješavanja i prisjeća se metoda za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina. Nastavnik savjetuje učenike koji rade individualno. | Odgovor: Kvadratne nejednačine rješavamo metodom parabole ili metodom intervala. Učenici prate rješenje prezentacije. Na tabli učenici naizmjence rješavaju nejednačine br. 1 i 2. Provjeravaju odgovor. (da biste riješili nerv br. 2, morate zapamtiti metodu za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Nejednačina br. 3 se rješava samostalno i provjerava u odnosu na odgovor. | Kognitivni sposobnost definisanja koncepata, kreiranja generalizacija, izgradnje zaključivanja od opštih obrazaca do specifičnih rešenja Komunikacija sposobnost usmenog i pismenog izlaganja detaljnog plana vlastitih aktivnosti; |
| 7. Rješavanje sistema nejednačina (4-5 min) | Prisjetite se faza rješavanja sistema nejednačina. Riješite sistem (Slajd 10) | Navedite faze rješenja Učenik rješava na ploči i provjerava rješenje na slajdu. | |
| Reflektivno-evaluativna faza |
|||
| 8.Kontrola i provjera znanja (10 min) Cilj: utvrditi kvalitetu učenja gradiva. | Hajde da testiramo vaše znanje o ovoj temi. Riješite probleme sami. Nastavnik provjerava rezultat koristeći gotove odgovore. | Samostalan rad na opcijama (Prilog 2) Po završetku rada, učenik to prijavljuje nastavniku. Učenik svoju ocenu utvrđuje prema kriterijumu (slajd 11). Ako je posao uspješno završen, može započeti dodatni zadatak (slajd 11) | Kognitivni. Izgradite logičke lance rasuđivanja. |
| 9. Refleksija (2 min) Cilj: formira se adekvatno samopoštovanje svojih mogućnosti i sposobnosti, prednosti i ograničenja | Ima li poboljšanja rezultata? Ako i dalje imate pitanja, pogledajte udžbenik kod kuće (str. 120) | Procijeniti vlastito znanje i vještine na istom papiru (Prilog 1). Uporedite sa samopoštovanjem na početku lekcije i izvucite zaključke. | Regulatorno Samoprocjena vaših postignuća |
| 10. Domaći (2 min) Cilj: konsolidacija proučenog gradiva. | Odrediti domaći zadatak na osnovu rezultata samostalnog rada (slajd 13) | Definirajte i snimite pojedinačni zadatak | Kognitivni. Izgradite logičke lance rasuđivanja. Analizirajte i transformirajte informacije. |
Spisak korišćene literature: Algebra. Udžbenik za 9. razred. / Yu.N.Makrychev, N.G. Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Obrazovanje, 2014
1. Koncept nejednakosti sa jednom varijablom
2. Ekvivalentne nejednakosti. Teoreme o ekvivalenciji nejednačina
3. Rješavanje nejednačina s jednom varijablom
4. Grafičko rješenje nejednačina sa jednom varijablom
5. Nejednakosti koje sadrže varijablu pod predznakom modula
6. Glavni zaključci
Nejednakosti sa jednom varijablom
Ponude 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se nazivaju nejednakosti s jednom promjenljivom.
Općenito, ovaj koncept je definiran na sljedeći način:
Definicija. Neka su f(x) i g(x) dva izraza sa varijablom x i domenom X. Tada je nejednakost oblika f(x) > g(x) ili f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Varijabilna vrijednost x od mnogih X, u kojoj se nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost naziva se odluka. Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje mnogih rješenja za nju.
Dakle, rješavanjem nejednakosti 2 x + 7 > 10 -x, x? R je broj x= 5, pošto je 2 5 + 7 > 10 - 5 prava brojčana nejednakost. A skup njegovih rješenja je interval (1, ∞), koji se nalazi izvođenjem transformacije nejednakosti: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Ekvivalentne nejednakosti. Teoreme o ekvivalenciji nejednačina
Osnova za rješavanje nejednakosti sa jednom varijablom je koncept ekvivalencije.
Definicija. Za dvije nejednačine se kaže da su ekvivalentne ako su njihovi skupovi rješenja jednaki.
Na primjer, nejednakosti 2 x+ 7 > 10 i 2 x> 3 su ekvivalentni, jer su njihovi skupovi rješenja jednaki i predstavljaju interval (2/3, ∞).
Teoreme o ekvivalenciji nejednačina i posljedice iz njih slične su odgovarajućim teoremama o ekvivalenciji jednačina. Njihov dokaz koristi svojstva pravih numeričkih nejednačina.
Teorema 3. Neka nejednakost f(x) > g(x) definisano na setu X I h(x) je izraz definiran na istom skupu. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) su ekvivalentni na setu X.
Iz ove teoreme proizlaze posljedice koje se često koriste pri rješavanju nejednačina:
1) Ako na obje strane nejednakosti f(x) > g(x) dodati isti broj d, onda dobijamo nejednakost f(x) + d > g(x)+ d, ekvivalentno originalnom.
2) Ako se bilo koji pojam (numerički izraz ili izraz sa promjenljivom) prenese iz jednog dijela nejednakosti u drugi, mijenjajući predznak pojma u suprotan, onda dobijamo nejednakost ekvivalentnu datoj.
Teorema 4. Neka nejednakost f(x) > g(x) definisano na setu X I h(X X od mnogih X izraz h(x) uzima pozitivne vrijednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) su ekvivalentni na setu X.
f(x) > g(x) pomnožite sa istim pozitivnim brojem d, tada dobijamo nejednakost f(x) d > g(x) d, ekvivalentno ovome.
Teorema 5. Neka nejednakost f(x) > g(x) definisano na setu X I h(X) - izraz definiran na istom skupu i za sve X ima ih mnogo X izraz h(X) uzima negativne vrijednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) su ekvivalentni na setu X.
Iz ove teoreme slijedi posljedica: ako su obje strane nejednakosti f(x) > g(x) pomnožite sa istim negativnim brojem d i promijenimo znak nejednakosti u suprotan, dobićemo nejednakost f(x) d > g(x) d, ekvivalentno ovome.
Rješavanje nejednačina s jednom varijablom
Rešimo nejednačinu 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, a mi ćemo opravdati sve transformacije koje ćemo izvršiti u procesu rješavanja.
Rješavanje nejednakosti X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 je interval (-∞, 7).
Vježbe
1. Odredite koji od sljedećih unosa su nejednakosti s jednom promjenljivom:
a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. Da li je broj 3 rješenje nejednakosti 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Šta je sa brojem 4.25?
3. Da li su sljedeći parovi nejednačina ekvivalentni na skupu realnih brojeva:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 i 3 X-1>0;
c) 6-5 x>-4 i X<2?
4. Koje od sljedećih izjava su istinite:
a) -7 X < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Riješite nejednačinu 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 i opravdajte sve transformacije koje ćete izvršiti.
6. Dokažite to rješavanjem nejednakosti 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) je bilo koji realan broj.
7. Dokažite da ne postoji realan broj koji bi bio rješenje nejednakosti 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Jedna strana trougla je 5 cm, a druga 8 cm Kolika može biti dužina treće strane ako je obim trougla:
a) manje od 22 cm;
b) više od 17 cm?
GRAFIČKO RJEŠENJE NEJEDINAČINA SA JEDNOM Varijablom. Grafički riješiti nejednakost f (x) > g (x) potrebno je napraviti grafove funkcija
y = f (x) = g (x) i odaberite one intervale apscisne ose na kojima je graf funkcije y = f(x) nalazi se iznad grafika funkcije y = g(x).
Primjer 17.8. Riješite grafički nejednačinu x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
Rješenje. Napravimo grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu
y = x 2 - 4 i y = Zx (sl. 17.5). Slika pokazuje da su grafovi funkcija at= x 2- 4 se nalazi iznad grafika funkcije y = 3 X at X< -1 i x > 4, tj. skup rješenja izvorne nejednakosti je skup
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Odgovor: x O(- oo; -1) i ( 4; + oo).
Grafikon kvadratne funkcije at= ax 2 + bx + c je parabola s granama usmjerenim prema gore if a > 0, i dolje ako A< 0. U ovom slučaju moguća su tri slučaja: parabola siječe osu Oh(tj. jednačina ah 2+ bx+ c = 0 ima dva različita korijena); parabola dodiruje osu X(tj. jednačina sjekira 2 + bx+ c = 0 ima jedan korijen); parabola ne siječe osu Oh(tj. jednačina ah 2+ bx+ c = 0 nema korijena). Dakle, postoji šest mogućih položaja parabole, koja služi kao graf funkcije y = ah 2+b x + c(Sl. 17.6). Koristeći ove ilustracije, možete riješiti kvadratne nejednačine.
Primjer 17.9. Riješite nejednačinu: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
rješenje, a) Jednačina 2x 2 + 5x -3 = 0 ima dva korijena: x, = -3, x 2 = 0.5. Parabola koja služi kao graf funkcije at= 2x 2+ 5x -3, prikazano na sl. A. Nejednakost 2x 2+ 5x -3 > 0 je zadovoljeno za te vrijednosti X, za koje tačke parabole leže iznad ose Oh: to će biti u X< х х ili kada X> x g> one. at X< -3 ili u x > 0.5. To znači da je skup rješenja izvorne nejednakosti skup (- ¥; -3) i (0,5; + ¥).
b) Jednačina -Zh 2 + 2x- 6 = 0 nema pravih korijena. Parabola koja služi kao graf funkcije at= - 3x 2 - 2x - 6, prikazano na sl. 17.6 Nejednakost -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, za koje tačke parabole leže ispod ose Oh. Pošto cijela parabola leži ispod ose Oh, tada je skup rješenja izvorne nejednakosti skup R .
NEJEDNAKOSTI KOJE SADRŽE Varijablu POD ZNAKOM MODULA. Prilikom rješavanja ovih nejednakosti treba imati na umu da:
|f(x) | =
f(x), Ako f(x) ³ 0,
- f(x), Ako f(x) < 0,
U ovom slučaju, raspon dopuštenih vrijednosti nejednakosti treba podijeliti na intervale, na svakom od kojih izrazi pod znakom modula zadržavaju svoj predznak. Zatim, proširivanjem modula (uzimajući u obzir predznake izraza), potrebno je riješiti nejednakost na svakom intervalu i kombinirati rezultirajuća rješenja u skup rješenja izvorne nejednakosti.
Primjer 17.10. Riješite nejednačinu:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Rješenje. Tačke x = 1 i x = 2 dijele numeričku osu (ODZ nejednakosti (17.9) na tri intervala: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Riješimo ovu nejednakost za svaku od njih. Ako je x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; dakle |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. To znači da nejednakost (17.9) ima oblik: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Ako je 1 £ x £.2, tada je x - 1 ³ 0 i 2 – x ³ 0; dakle | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. To znači da sistem drži:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Rezultirajući sistem nejednačina nema rješenja. Dakle, na intervalu [ 1; 2] skup rješenja nejednakosti (17.9) je prazan.
Ako je x > 2, tada je x - 1 >0 i 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 ili
Kombinujući rješenja koja se nalaze na svim dijelovima ODZ nejednačine (17.9), dobijamo njeno rješenje - skup (-¥; 0) È (6; +oo).
Ponekad je korisno koristiti geometrijsku interpretaciju modula realnog broja, prema kojoj | a | označava udaljenost tačke a koordinatne prave od početka O, a | a - b | označava udaljenost između tačaka a i b na koordinatnoj liniji. Alternativno, možete koristiti metodu kvadriranja obje strane nejednakosti.
Teorema 17.5. Ako izrazi f(x) i g(x) za bilo koji x uzimaju samo nenegativne vrijednosti, onda nejednakosti f (x) > g (x) I f (x) ² > g (x) ² su ekvivalentni.
58. Glavni zaključci § 12
U ovom dijelu definirali smo sljedeće koncepti:
Numerički izraz;
Vrijednost numeričkog izraza;
Izraz koji nema značenje;
Izraz sa varijablama;
Područje definicije izraza;
Identično jednaki izrazi;
identitet;
Identična transformacija izraza;
Brojčana jednakost;
Numerička nejednakost;
Jednačina sa jednom promenljivom;
Korijen jednadžbe;
Šta znači riješiti jednačinu;
Ekvivalentne jednadžbe;
Nejednakost sa jednom varijablom;
Rješavanje nejednakosti;
Šta znači riješiti nejednakost;
Ekvivalentne nejednakosti.
Osim toga, ispitali smo teoreme o ekvivalenciji jednačina i nejednačina, koje su osnova za njihovo rješavanje.
Poznavanje definicija svih navedenih pojmova i teorema o ekvivalenciji jednačina i nejednačina neophodan je uslov za metodološki kompetentno proučavanje algebarskog gradiva sa učenicima osnovne škole.
