• Vjerovatnoća je stepen (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada su razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodio veći od suprotstavljenih razloga, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim. Prevlast pozitivnih razloga nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitom stepenu, zbog čega vjerovatnoća (i nevjerovatnost) može biti veća ili manja. Stoga se vjerovatnoća često procjenjuje na kvalitativnom nivou, posebno u slučajevima kada je manje ili više tačna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije “nivoa” vjerovatnoće.

  Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta čini posebnu disciplinu - teoriju vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici, koncept vjerovatnoće je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerovatnoće (ili njegova vrijednost) - mjera skupa događaja (podskupova skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti ​od

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Značenje

  (\displaystyle 1)

  Odgovara pouzdanom događaju. Nemogući događaj ima vjerovatnoću 0 (obrnuto općenito nije uvijek tačno). Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi

  (\displaystyle p)

  Tada je vjerovatnoća da se ne pojavi jednaka

  (\displaystyle 1-p)

  Konkretno, vjerovatnoća

  (\displaystyle 1/2)

  Označava jednaku vjerovatnoću nastanka i nenastupanja događaja.

  Klasična definicija vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednake vjerovatnoće ishoda. Vjerovatnoća je omjer broja ishoda koji su povoljni za dati događaj i ukupnog broja jednako mogućih ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja glave ili repa u nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da se javljaju samo ove dvije mogućnosti i da su jednako moguće. Ova klasična „definicija“ vjerovatnoće može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti – na primjer, ako se neki događaj može dogoditi s jednakom vjerovatnoćom u bilo kojoj tački (broj tačaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostor (ravan), onda je vjerovatnoća da će se to dogoditi u nekom dijelu ovog izvodljivog područja jednaka odnosu volumena (površine) ovog dijela prema zapremini (površini) područja svih mogućih tačaka.

  Empirijska “definicija” vjerovatnoće povezana je sa učestalošću događaja, na osnovu činjenice da kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost treba težiti objektivnom stepenu mogućnosti ovog događaja. U savremenom prikazu teorije vjerovatnoće, vjerovatnoća se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupova. Međutim, povezujuća karika između apstraktne mjere i vjerovatnoće, koja izražava stepen mogućnosti nastanka nekog događaja, jeste upravo učestalost njegovog posmatranja.

  Probabilistički opis određenih pojava postao je široko rasprostranjen u savremenoj nauci, posebno u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sistema, gde je čak iu slučaju klasičnog determinističkog opisa kretanja čestica, deterministički opis čitavog sistema čestica ne izgleda praktično moguće ili prikladno. U kvantnoj fizici, opisani procesi su sami po sebi vjerovatnostne prirode.

Ovo je omjer broja onih opažanja u kojima se dotični događaj dogodio i ukupnog broja opažanja. Ovo tumačenje je prihvatljivo u slučaju dovoljno velikog broja zapažanja ili eksperimenata. Na primjer, ako su otprilike polovina ljudi koje sretnete na ulici žene, onda možete reći da je vjerovatnoća da će osoba koju sretnete na ulici biti žena 1/2. Drugim riječima, procjena vjerovatnoće događaja može biti učestalost njegovog pojavljivanja u dugoj seriji nezavisnih ponavljanja slučajnog eksperimenta.

Vjerovatnoća u matematici

U modernom matematičkom pristupu, klasična (to jest, ne kvantna) vjerovatnoća je data Kolmogorovljevom aksiomatikom. Vjerovatnoća je mjera P, koji je definiran na skupu X, koji se naziva prostor vjerovatnoće. Ova mjera mora imati sljedeća svojstva:

Iz ovih uslova sledi da je mera verovatnoće P također posjeduje imovinu aditivnost: ako se postavlja A 1 i A 2 ne sijeku, onda . Da biste dokazali, morate staviti sve A 3 , A 4 , ... jednako praznom skupu i primijeniti svojstvo prebrojive aditivnosti.

Mjera vjerovatnoće možda nije definirana za sve podskupove skupa X. Dovoljno ga je definirati na sigma algebri, koja se sastoji od nekih podskupova skupa X. U ovom slučaju, slučajni događaji se definiraju kao mjerljivi podskupovi prostora X, odnosno kao elementi sigma algebre.

Osjećaj vjerovatnoće

Kada utvrdimo da razlozi zbog kojih se neka moguća činjenica stvarno dogodi prevladavaju suprotne razloge, smatramo tu činjenicu vjerovatno, inače - nevjerovatno. Ova prevlast pozitivnih baza nad negativnim, i obrnuto, može predstavljati neodređeni skup stupnjeva, kao rezultat vjerovatnoća(I nevjerovatnost) Dešava se više ili manje .

Složene pojedinačne činjenice ne dozvoljavaju tačno izračunavanje stepena njihove vjerovatnoće, ali je čak i ovdje važno uspostaviti neke velike podjele. Tako, na primjer, u pravnoj oblasti, kada se na osnovu iskaza utvrdi lična činjenica koja je predmet suđenja, ona uvijek ostaje, strogo govoreći, samo vjerovatna, a potrebno je znati kolika je ta vjerovatnoća; u rimskom pravu je ovdje usvojena četverostruka podjela: probatio plena(gde se verovatnoća praktično pretvara u pouzdanost), Dalje - probatio minus plena, onda - probatio semiplena major i na kraju probatio semiplena minor .

Pored pitanja vjerovatnoće slučaja, može se postaviti i pitanje, kako na polju prava tako i na polju morala (sa određenog etičkog gledišta), koliko je vjerovatno da određena činjenica predstavlja kršenje opšteg zakona. Ovo pitanje, koje služi kao glavni motiv u religioznoj jurisprudenciji Talmuda, dalo je i povoda za veoma složene sistematske konstrukcije i ogromnu literaturu, dogmatsku i polemičku, u rimokatoličkoj moralnoj teologiji (posebno s kraja 16. veka) ( vidi Probabilizam).

Koncept vjerovatnoće dozvoljava određeni numerički izraz kada se primjenjuje samo na one činjenice koje su dio određenih homogenih serija. Dakle (u najjednostavnijem primjeru), kada neko baci novčić sto puta zaredom, nalazimo ovdje jednu opštu ili veliku seriju (zbir svih padova novčića), koja se sastoji od dvije privatne ili manje, u ovom slučaju brojčano jednaka, serija (pada "glave" i pada "repove"); Vjerovatnoća da će ovaj put novčić ispasti grla, odnosno da će ovaj novi član opšte serije pripadati ovom od dva manja serija, jednaka je razlomku koji izražava brojčanu vezu između ove male serije i većeg, naime 1/2, to jest, ista vjerovatnoća pripada jednom ili drugom od dva određena niza. U manje jednostavnim primjerima, zaključak se ne može izvesti direktno iz podataka samog problema, već zahtijeva prethodnu indukciju. Dakle, na primjer, pitanje je: kolika je vjerovatnoća da će novorođenče doživjeti 80 godina? Ovdje mora postojati opći, ili veliki, niz određenog broja ljudi rođenih u sličnim uvjetima i koji umiru u različitim godinama (ovaj broj mora biti dovoljno velik da eliminira slučajna odstupanja, i dovoljno mali da održi homogenost niza, jer za osobu, rođenu, na primjer, u Sankt Peterburgu u imućnoj, kulturnoj porodici, cjelokupno milionsko stanovništvo grada, čiji značajan dio čine ljudi iz raznih grupa koji mogu prerano umrijeti - vojnici, novinari, radnici opasnih profesija - predstavlja grupu previše heterogenu za stvarno određivanje vjerovatnoće); neka se ovaj opšti niz sastoji od deset hiljada ljudskih života; uključuje manje serije koje predstavljaju broj ljudi koji su preživjeli do određene dobi; jedna od ovih manjih serija predstavlja broj ljudi koji žive do 80 godina. Ali nemoguće je odrediti broj ove manje serije (kao i svih drugih) a priori; ovo se radi čisto induktivno, putem statistike. Pretpostavimo da su statističke studije utvrdile da od 10.000 stanovnika Sankt Peterburga srednje klase, samo 45 doživi 80 godina; Dakle, ova manja serija je povezana sa većom jer je 45 prema 10.000, a vjerovatnoća da će dato lice pripada ovom manjem nizu, odnosno da će doživjeti 80 godina, izražava se kao razlomak od 0,0045. Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta čini posebnu disciplinu - teoriju vjerovatnoće.

vidi takođe

Bilješke

Književnost

• Alfred Renyi. Slova o vjerojatnosti / trans. sa mađarskog D. Saas i A. Crumley, ur. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Teorija vjerovatnoće. M., 2007. 42 str.
• Kupcov V.I. Determinizam i vjerovatnoća. M., 1976. 256 str.

Wikimedia Foundation. 2010.

Antonimi:

Pogledajte šta je “Vjerovatnoća” u drugim rječnicima:

Opštenaučna i filozofska. kategorija koja označava kvantitativni stepen mogućnosti pojave masovnih slučajnih događaja u fiksnim uslovima posmatranja, karakterišući stabilnost njihovih relativnih frekvencija. U logici, semanticki stepen...... Philosophical Encyclopedia

VJEROJATNOST, broj u rasponu od nula do jedan, koji predstavlja mogućnost da se dogodi dat događaj. Vjerovatnoća događaja definira se kao omjer broja šansi da se događaj može dogoditi i ukupnog broja mogućih ... ... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

Po svoj prilici.. Rečnik ruskih sinonima i sličnih izraza. ispod. ed. N. Abramova, M.: Ruski rječnici, 1999. vjerovatnoća mogućnost, vjerovatnoća, šansa, objektivna mogućnost, maza, prihvatljivost, rizik. Ant. nemogućnost..... Rečnik sinonima

vjerovatnoća- Mjera da će se neki događaj vjerovatno dogoditi. Napomena Matematička definicija vjerovatnoće je: “stvarni broj između 0 i 1 koji je povezan sa slučajnim događajem.” Broj može odražavati relativnu frekvenciju u nizu zapažanja ... ... Vodič za tehnički prevodilac

Vjerovatnoća- „matematička, numerička karakteristika stepena mogućnosti nastanka bilo kog događaja u određenim specifičnim uslovima koji se može ponoviti neograničen broj puta.” Na osnovu ovog klasika...... Ekonomsko-matematički rječnik

- (vjerovatnost) Mogućnost nastanka nekog događaja ili određenog rezultata. Može se predstaviti u obliku skale sa podjelama od 0 do 1. Ako je vjerovatnoća događaja nula, njegovo pojavljivanje je nemoguće. Sa vjerovatnoćom jednakom 1, početak... Rječnik poslovnih pojmova

Malo je vjerovatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome da li je moguće izračunati događaje koji su manje-više nasumični. Jednostavno rečeno, da li je moguće znati koja će se strana kocke pojaviti sljedeća? Ovo je pitanje postavila dva velika naučnika koji su postavili temelje za takvu nauku kao što je teorija vjerovatnoće, u kojoj se vjerovatnoća događaja prilično opširno proučava.

Porijeklo

Ako pokušate da definišete takav koncept kao teorija verovatnoće, dobićete sledeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu suštinu, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.

Želeo bih da počnem sa tvorcima teorije. Kao što je već spomenuto, bilo ih je dvoje, i oni su među prvima pokušali izračunati ishod ovog ili onog događaja koristeći formule i matematičke proračune. Općenito, počeci ove nauke pojavili su se u srednjem vijeku. Tada su razni mislioci i naučnici pokušavali da analiziraju igre kockanja, kao što su rulet, craps i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i procenat ispadanja određenog broja. Osnovu su postavili u sedamnaestom veku pomenuti naučnici.

U početku se njihovi radovi nisu mogli smatrati velikim dostignućima u ovoj oblasti, jer su sve što su radili bile samo empirijske činjenice, a eksperimenti su se izvodili vizualno, bez upotrebe formula. Vremenom je bilo moguće postići odlične rezultate, koji su se pojavili kao rezultat posmatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.

Ljudi istomišljenika

Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christiaan Huygens u procesu proučavanja teme koja se zove “teorija vjerovatnoće” (vjerovatnoća događaja je pokrivena upravo u ovoj nauci). Ova osoba je veoma interesantna. On je, kao i gore predstavljeni naučnici, pokušao da izvede obrazac slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da to nije učinio zajedno sa Pascalom i Fermatom, odnosno da se sva njegova djela nisu ukrštala s tim umovima. Huygens je zaključio

Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada otkrivača, odnosno dvadeset godina ranije. Među identifikovanim konceptima najpoznatiji su:

• koncept vjerovatnoće kao vrijednosti slučaja;
• matematičko očekivanje za diskretne slučajeve;
• teoreme množenja i sabiranja vjerovatnoća.

Također je nemoguće ne sjetiti se ko je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći vlastite testove, neovisno od bilo koga, uspio je predstaviti dokaz zakona velikih brojeva. Zauzvrat, naučnici Poisson i Laplace, koji su radili na početku devetnaestog vijeka, uspjeli su dokazati originalne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerovatnoće počela koristiti za analizu grešaka u zapažanjima. Ruski naučnici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov, nisu mogli zanemariti ovu nauku. Na osnovu rada velikih genija, uspostavili su ovaj predmet kao granu matematike. Ove figure su delovale već krajem devetnaestog veka, a zahvaljujući njihovom doprinosu, dokazane su sledeće pojave:

• zakon velikih brojeva;
• Markovljeva teorija lanca;
• centralna granična teorema.

Dakle, sa istorijom rađanja nauke i sa glavnim ljudima koji su na nju uticali, sve je manje-više jasno. Sada je došlo vrijeme da se razjasne sve činjenice.

Osnovni koncepti

Prije nego što se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi proučiti osnovne koncepte teorije vjerovatnoće. Događaj igra vodeću ulogu u tome. Ova tema je prilično obimna, ali bez nje neće biti moguće razumjeti sve ostalo.

Događaj u teoriji vjerovatnoće je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Postoji dosta koncepata ovog fenomena. Tako je naučnik Lotman, koji radi u ovoj oblasti, rekao da u ovom slučaju govorimo o onome što se „dogodilo, iako se možda nije dogodilo“.

Slučajni događaji (teorija vjerovatnoće im posvećuje posebnu pažnju) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaki fenomen koji ima priliku da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj scenario se možda neće dogoditi ako su ispunjeni mnogi uslovi. Takođe je vredno znati da su slučajni događaji ti koji obuhvataju čitav opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerovatnoće pokazuje da se svi uslovi mogu stalno ponavljati. Upravo se njihovo ponašanje zvalo “eksperiment” ili “test”.

Pouzdan događaj je pojava za koju postoji stopostotna vjerovatnoća da će se dogoditi u datom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.

Kombinacija para radnji (uslovno, slučaj A i slučaj B) je pojava koja se javlja istovremeno. Oni su označeni kao AB.

Zbir parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), onda će se dobiti C Formula za opisani fenomen: C = A + B.

Nekonzistentni događaji u teoriji vjerovatnoće impliciraju da se dva slučaja međusobno isključuju. Ni pod kojim okolnostima se ne mogu desiti istovremeno. Zajednički događaji u teoriji vjerovatnoće su njihov antipod. Ovdje se misli na to da ako se dogodilo A, onda to ni na koji način ne sprječava B.

Suprotni događaji (teorija vjerovatnoće ih razmatra veoma detaljno) lako je razumjeti. Najbolji način da ih shvatite je poređenje. Oni su skoro isti kao nekompatibilni događaji u teoriji vjerovatnoće. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena mora dogoditi u svakom slučaju.

Jednako mogući događaji su one radnje koje imaju jednaku šansu da se ponove. Da bude jasnije, možete zamisliti bacanje novčića: gubitak jedne od njegovih strana jednako je vjerovatno da će ispasti s druge.

Lakše je razmotriti povoljan događaj na primjeru. Recimo da postoji epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kockice s neparnim brojem, a druga je pojava broja pet na kockici. Tada se ispostavilo da A favorizuje B.

Nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće projiciraju se samo na dva ili više slučajeva i podrazumijevaju neovisnost bilo koje akcije od druge. Na primjer, A je gubitak glava prilikom bacanja novčića, a B je izvlačenje džaka iz špila. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće. U ovom trenutku je postalo jasnije.

Zavisni događaji u teoriji vjerovatnoće su također dozvoljeni samo za njihov skup. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog od drugog, odnosno pojava B može nastati samo ako se A već dogodio ili, obrnuto, nije, kada je to glavni uvjet za B.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerovatnoće objašnjava da se radi o fenomenu koji se dogodio samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, pojmovi „događaja“ i „teorije verovatnoće“ su takođe date i definicije osnovnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se direktno upoznate sa važnim formulama. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako složenom predmetu kao što je teorija vjerovatnoće. Verovatnoća događaja takođe igra veliku ulogu.

Bolje je početi s osnovnim i prije nego što počnete s njima, vrijedi razmisliti o tome šta su.

Kombinatorika je prvenstveno grana matematike koja se bavi proučavanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva, tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., što dovodi do pojave niza kombinacija. Osim teorije vjerovatnoće, ova grana je važna za statistiku, informatiku i kriptografiju.

Dakle, sada možemo prijeći na predstavljanje samih formula i njihove definicije.

Prvi od njih će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Jednačina se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po redoslijedu njihovog rasporeda.

Sada će se uzeti u obzir formula plasmana, ona izgleda ovako:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj izraz je primjenjiv ne samo na redoslijed postavljanja elementa, već i na njegov sastav.

Treća jednačina iz kombinatorike, a ujedno je i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se odnosi na odabire koji nisu u skladu s tim, ovo pravilo se odnosi na njih.

Bilo je lako razumjeti kombinatoričke formule, sada možete prijeći na klasičnu definiciju vjerovatnoća. Ovaj izraz izgleda ovako:

U ovoj formuli, m je broj uslova pogodnih za događaj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.

Postoji veliki broj izraza koji članak neće pokriti sve, ali će se dotaknuti oni najvažnijih, kao što je, na primjer, vjerovatnoća zbira događaja:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ova teorema je za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ovo je za dodavanje samo kompatibilnih.

Vjerovatnoća dešavanja događaja:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ova teorema je za nezavisne događaje;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovo je za zavisne.

Spisak događaja će biti upotpunjen formulom događaja. Teorija vjerovatnoće nam govori o Bayesovoj teoremi, koja izgleda ovako:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

U ovoj formuli, H 1, H 2, ..., H n je kompletna grupa hipoteza.

Primjeri

Ako pažljivo proučavate bilo koji dio matematike, on nije potpun bez vježbi i uzoraka rješenja. Isto tako i teorija vjerovatnoće: događaji i primjeri ovdje su sastavna komponenta koja potvrđuje naučne proračune.

Formula za broj permutacija

Recimo da postoji trideset karata u špilu karata, počevši od vrijednosti jedan. Sljedeće pitanje. Koliko postoji načina da se špil složi tako da karte vrijednosti jedan i dva ne budu jedna pored druge?

Zadatak je postavljen, a sada idemo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo formulu prikazanu gore, ispada P_30 = 30!.

Na osnovu ovog pravila saznajemo koliko postoji opcija za preklapanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta jedna do druge. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispostavilo se da prva karta može zauzeti dvadeset devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga od druge do tridesete, što čini ukupno dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostali mogu prihvatiti dvadeset i osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za preuređivanje dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Kao rezultat toga, ispada da ako uzmemo u obzir rješenje kada je prva karta iznad druge, biće 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti! = 29!

Koristeći istu metodu, morate izračunati broj suvišnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ⋅ 28! = 29!

Iz ovoga proizilazi da postoji 2 ⋅ 29 dodatnih opcija!, dok je potrebnih načina za sklapanje špila 30! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo da se broji.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sada trebate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet, a zatim na kraju sve pomnožiti sa 28. Odgovor je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Primjer rješenja. Formula za broj plasmana

U ovom zadatku morate saznati na koliko načina postoji da stavite petnaest tomova na jednu policu, ali pod uslovom da ima ukupno trideset tomova.

Rješenje ovog problema je malo jednostavnije od prethodnog. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj aranžmana od trideset svezaka od petnaest.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 000

Odgovor će, shodno tome, biti jednak 202.843.204.931.727.360.000.

Idemo sada na malo teži zadatak. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite trideset knjiga na dvije police, s obzirom da jedna polica može primiti samo petnaest tomova.

Prije nego počnem rješavati, želio bih pojasniti da se neki problemi mogu riješiti na više načina, a ovaj ima dvije metode, ali oba koriste istu formulu.

U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta možete napuniti policu sa petnaest knjiga na različite načine. Ispostavilo se A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugu policu ćemo izračunati po formuli permutacije, jer se u nju može smjestiti petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispostavilo se da će ukupan iznos biti A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, pored ovoga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest treba da se pomnoži sa umnoškom brojeva od jedan do petnaest, na kraju ćete dobiće proizvod svih brojeva od jedan do trideset, odnosno odgovor je 30!

Ali ovaj problem se može riješiti na drugi način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Sve su postavljene na ovu ravan, ali pošto uslov nalaže da postoje dve police, mi smo jednu dugačku sakrili na pola, tako da dobijemo po dve po petnaest. Iz ovoga ispada da može postojati P_30 = 30 opcija za aranžman!.

Primjer rješenja. Formula za kombinovani broj

Sada ćemo razmotriti verziju trećeg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite petnaest knjiga, s tim da morate izabrati između trideset potpuno identičnih.

Za rješavanje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uslova postaje jasno da redosled identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga, u početku morate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

To je sve. Koristeći ovu formulu, uspjeli smo riješiti ovaj problem u najkraćem mogućem roku;

Primjer rješenja. Klasična definicija vjerovatnoće

Koristeći gornju formulu, možete pronaći odgovor na jednostavan problem. Ali to će pomoći da se jasno vidi i prati napredak akcija.

Problem glasi da se u urni nalazi deset apsolutno identičnih loptica. Od toga, četiri su žute, a šest plave. Jedna lopta se uzima iz urne. Morate saznati vjerovatnoću da dobijete plavu boju.

Da bismo riješili problem, potrebno je dobiti plavu kuglu označiti kao događaj A. Ovaj eksperiment može imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i podjednako mogući. Istovremeno, od deset, šest je povoljno za događaj A. Rješavamo pomoću formule:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Primjenjujući ovu formulu, saznali smo da je vjerovatnoća da dobijemo plavu kuglu 0,6.

Primjer rješenja. Vjerovatnoća zbira događaja

Sada će biti predstavljena opcija koja se rješava korištenjem formule vjerovatnoće sume događaja. Dakle, dat je uslov da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, uzeli su jednu od njih iz prve i druge kutije. Morate saznati kolika je šansa da loptice koje dobijete budu sivo-bijele.

Za rješavanje ovog problema potrebno je identificirati događaje.

• Dakle, A - uzeo je sivu loptu iz prve kutije: P(A) = 1/6.
• A’ - uzeo bijelu loptu također iz prve kutije: P(A") = 5/6.
• B - iz druge kutije je uklonjena siva lopta: P(B) = 2/3.
• B’ - uzeo sivu loptu iz druge kutije: P(B") = 1/3.

Prema uslovima zadatka, potrebno je da se desi jedna od pojava: AB’ ili A’B. Koristeći formulu, dobijamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sada se koristi formula za množenje vjerovatnoće. Zatim, da biste saznali odgovor, morate primijeniti jednadžbu njihovog zbrajanja:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ovako možete riješiti slične probleme koristeći formulu.

Zaključak

U članku su predstavljene informacije na temu "Teorija vjerovatnoće", u kojoj vjerovatnoća događaja igra vitalnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali, na osnovu prikazanog teksta, teoretski se možete upoznati s ovim dijelom matematike. Nauka o kojoj je riječ može biti korisna ne samo u profesionalnim pitanjima, već iu svakodnevnom životu. Uz njegovu pomoć možete izračunati bilo koju mogućnost bilo kojeg događaja.

Tekst se dotakao i značajnih datuma u istoriji formiranja teorije vjerovatnoće kao nauke, te imena ljudi čiji je rad u nju uložen. Tako je ljudska radoznalost dovela do činjenice da su ljudi naučili izračunati čak i slučajne događaje. Nekada ih je to jednostavno zanimalo, a danas već svi znaju za to. I niko neće reći šta nas čeka u budućnosti, koja će još briljantna otkrića vezana za teoriju koja se razmatra biti napravljena. Ali jedno je sigurno - istraživanje ne stoji mirno!

Teorija vjerovatnoće je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava: slučajne događaje, slučajne varijable, njihova svojstva i operacije nad njima.

Dugo vremena teorija vjerovatnoće nije imala jasnu definiciju. Formulisan je tek 1929. Pojava teorije vjerovatnoće kao nauke datira iz srednjeg vijeka i prvih pokušaja matematičke analize kockanja (pahuljica, kockica, rulet). Francuski matematičari iz 17. vijeka Blaise Pascal i Pierre Fermat, proučavajući predviđanje dobitaka u kockanju, otkrili su prve probabilističke obrasce koji nastaju prilikom bacanja kocke.

Teorija vjerovatnoće je nastala kao nauka iz vjerovanja da određeni obrasci leže u osnovi masovnih slučajnih događaja. Teorija vjerovatnoće proučava ove obrasce.

Teorija vjerovatnoće bavi se proučavanjem događaja čiji se nastanak ne zna sa sigurnošću. Omogućava vam da procenite stepen verovatnoće nastanka nekih događaja u poređenju sa drugim.

Na primjer: nemoguće je nedvosmisleno odrediti rezultat "glava" ili "repa" kao rezultat bacanja novčića, ali se pri ponovljenom bacanju pojavljuje približno isti broj "glava" i "repova", što znači da vjerovatnoća da će “glave” ili “repovi” pasti”, jednaka je 50%.

Test u ovom slučaju se naziva implementacija određenog skupa uslova, odnosno u ovom slučaju bacanje novčića. Izazov se može odigrati neograničen broj puta. U ovom slučaju, skup uslova uključuje slučajne faktore.

Rezultat testa je događaj. Događaj se dešava:

1. Pouzdan (uvijek se javlja kao rezultat testiranja).
2. Nemoguće (nikad se ne dešava).
3. Nasumično (može ili ne mora da se pojavi kao rezultat testa).

Na primjer, prilikom bacanja novčića, nemoguć događaj - novčić će pasti na ivicu, slučajni događaj - pojava "glava" ili "repova". Specifični rezultat testa se zove elementarni događaj. Kao rezultat testa, javljaju se samo elementarni događaji. Skup svih mogućih, različitih, specifičnih ishoda testa se zove prostor elementarnih događaja.

Osnovni koncepti teorije

Vjerovatnoća- stepen mogućnosti nastanka događaja. Kada su razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodio veći od suprotstavljenih razloga, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim.

Slučajna vrijednost- to je količina koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Na primjer: broj po vatrogasnoj stanici dnevno, broj pogodaka sa 10 hitaca itd.

Slučajne varijable se mogu podijeliti u dvije kategorije.

1. Diskretna slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti određene vrijednosti sa određenom vjerovatnoćom, formirajući prebrojiv skup (skup čiji se elementi mogu numerisati). Ovaj skup može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, broj hitaca prije prvog pogotka u metu je diskretna slučajna varijabla, jer ova količina može poprimiti beskonačan, iako prebrojiv broj vrijednosti.
2. Kontinuirana slučajna varijabla je veličina koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

Prostor vjerovatnoće- koncept koji je uveo A.N. Kolmogorov 30-ih godina 20. vijeka da formalizuje pojam vjerovatnoće, što je dovelo do naglog razvoja teorije vjerovatnoće kao stroge matematičke discipline.

Prostor vjerovatnoće je trostruka (ponekad zatvorena u ugaone zagrade: , gdje

Ovo je proizvoljan skup, čiji se elementi nazivaju elementarni događaji, ishodi ili tačke;
- sigma algebra podskupova koji se nazivaju (slučajni) događaji;
- mjera vjerovatnoće ili vjerovatnoća, tj. sigma-aditivna konačna mjera takva da .

De Moivre-Laplaceova teorema- jedna od graničnih teorema teorije vjerovatnoće, koju je ustanovio Laplace 1812. Navodi da je broj uspjeha pri ponavljanju istog slučajnog eksperimenta iznova i iznova s ​​dva moguća ishoda približno normalno raspoređen. Omogućava vam da pronađete približnu vrijednost vjerovatnoće.

Ako je za svaki od nezavisnih pokušaja vjerovatnoća pojave nekog slučajnog događaja jednaka () i predstavlja broj pokušaja u kojima se on stvarno dogodi, tada je vjerovatnoća da je nejednakost istinita bliska (za velike vrijednosti) vrijednost Laplaceovog integrala.

Funkcija distribucije u teoriji vjerojatnosti- funkcija koja karakterizira distribuciju slučajne varijable ili slučajnog vektora; vjerovatnoća da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju ili jednaku x, gdje je x proizvoljan realan broj. Ako su poznati uslovi ispunjeni, to u potpunosti određuje slučajnu varijablu.

Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable (ovo je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable, razmatrana u teoriji vjerovatnoće). U literaturi na engleskom jeziku označava se sa , u ruskom - . U statistici se često koristi notacija.

Neka su dati prostor vjerovatnoće i slučajna varijabla definirana na njemu. To je, po definiciji, mjerljiva funkcija. Zatim, ako postoji Lebesgueov integral od nad prostorom, onda se to naziva matematičko očekivanje ili srednja vrijednost i označava se .

Varijanca slučajne varijable- mjera širenja date slučajne varijable, odnosno njenog odstupanja od matematičkog očekivanja. Označava se u ruskoj i stranoj literaturi. U statistici se često koristi notacija ili. Kvadratni korijen varijanse naziva se standardna devijacija, standardna devijacija ili standardni raspon.

Neka je slučajna varijabla definirana na nekom prostoru vjerovatnoće. Onda

gdje simbol označava matematičko očekivanje.

U teoriji vjerovatnoće nazivaju se dva slučajna događaja nezavisni, ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Slično, pozivaju se dvije slučajne varijable zavisan, ako vrijednost jednog od njih utječe na vjerovatnoću vrijednosti drugog.

Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva je Bernoullijeva teorema, koja kaže da ako je vjerovatnoća događaja ista u svim pokušajima, onda kako se broj pokušaja povećava, učestalost događaja teži vjerovatnoći događaja i prestaje biti nasumičan.

Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće kaže da je aritmetička sredina konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine te distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, pravi se razlika između slabog zakona velikih brojeva, kada se konvergencija dešava po verovatnoći, i jakog zakona velikih brojeva, kada je konvergencija skoro sigurna.

Opšte značenje zakona velikih brojeva je da zajedničko djelovanje velikog broja identičnih i neovisnih slučajnih faktora dovodi do rezultata koji, u krajnjoj liniji, ne ovisi o slučaju.

Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Jasan primjer je prognoza izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.

Centralne granične teoreme- klasa teorema u teoriji vjerovatnoće koja kaže da zbir dovoljno velikog broja slabo zavisnih slučajnih varijabli koje imaju približno iste skale (nijedan od pojmova ne dominira niti daje odlučujući doprinos zbiru) ima distribuciju blisku normalnoj.

Budući da se mnoge slučajne varijable u aplikacijama formiraju pod utjecajem nekoliko slabo zavisnih slučajnih faktora, njihova se raspodjela smatra normalnom. U ovom slučaju mora biti ispunjen uslov da nijedan od faktora nije dominantan. Centralne granične teoreme u ovim slučajevima opravdavaju upotrebu normalne distribucije.

Hteli mi to ili ne, naš život je pun raznih nezgoda, kako prijatnih tako i ne baš prijatnih. Stoga, svakome od nas ne bi škodilo da znamo kako pronaći vjerovatnoću određenog događaja. Ovo će vam pomoći da donesete ispravne odluke u svim okolnostima koje uključuju neizvjesnost. Na primjer, takvo znanje će biti vrlo korisno pri odabiru opcija ulaganja, procjeni mogućnosti dobitka dionice ili lutrije, utvrđivanju realnosti ostvarenja osobnih ciljeva itd., itd.

Formula teorije vjerojatnosti

U principu, proučavanje ove teme ne oduzima previše vremena. Da biste dobili odgovor na pitanje: "Kako pronaći vjerovatnoću pojave?", morate razumjeti ključne koncepte i zapamtiti osnovne principe na kojima se izračunavanje zasniva. Dakle, prema statistikama, događaji koji se proučavaju su označeni sa A1, A2,..., An. Svaki od njih ima i povoljne ishode (m) i ukupan broj elementarnih ishoda. Na primjer, zanima nas kako pronaći vjerovatnoću da će na gornjoj strani kocke biti paran broj tačaka. Tada je A rolo od m - izbacivanje 2, 4 ili 6 bodova (tri povoljne opcije), a n je svih šest mogućih opcija.

Sama formula za izračun je sljedeća:

Sa jednim ishodom sve je izuzetno lako. Ali kako pronaći vjerovatnoću ako se događaji dešavaju jedan za drugim? Razmotrimo ovaj primjer: jedna karta se prikazuje iz špila karata (36 komada), zatim se sakriva natrag u špil, a nakon miješanja, sljedeća se izvlači. Kako pronaći vjerovatnoću da je barem u jednom slučaju izvučena pikova dama? Postoji sljedeće pravilo: ako se razmatra složeni događaj, koji se može podijeliti na nekoliko nekompatibilnih jednostavnih događaja, tada prvo možete izračunati rezultat za svaki od njih, a zatim ih zbrajati. U našem slučaju to će izgledati ovako: 1/36 + 1/36 = 1/18. Ali šta se dešava kada se nekoliko dešava istovremeno? Zatim množimo rezultate! Na primjer, vjerovatnoća da će se kada se dva novčića istovremeno baciti, pojaviti dvije glave bit će jednaka: ½ * ½ = 0,25.

Uzmimo sada još složeniji primjer. Pretpostavimo da smo ušli u lutriju knjiga u kojoj je deset od trideset listića dobitno. Morate odrediti:

1. Verovatnoća da će obojica biti pobednici.
2. Bar jedan od njih će donijeti nagradu.
3. Obojica će biti gubitnici.

Dakle, razmotrimo prvi slučaj. Može se podijeliti na dva događaja: prva karta će biti sretna, a druga će također biti sretna. Uzmimo u obzir da su događaji zavisni, jer se nakon svakog izvlačenja ukupan broj opcija smanjuje. Dobijamo:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

U drugom slučaju, morat ćete odrediti vjerovatnoću gubitka tiketa i uzeti u obzir da može biti ili prvi ili drugi: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Konačno, treći slučaj, kada nećete moći da dobijete ni jednu knjigu sa lutrije: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.