Mnogi ljudi su čuli za aritmetičku progresiju, ali nemaju svi dobru ideju o tome šta je to. U ovom članku ćemo dati odgovarajuću definiciju, a također ćemo razmotriti pitanje kako pronaći razliku aritmetičke progresije i dati niz primjera.

Matematička definicija

Dakle, ako govorimo o aritmetičkoj ili algebarskoj progresiji (ovi koncepti definiraju istu stvar), onda to znači da postoji određeni niz brojeva koji zadovoljava sljedeći zakon: svaka dva susjedna broja u nizu se razlikuju za istu vrijednost. Matematički to piše ovako:

Ovdje n označava broj elementa a n u nizu, a broj d je razlika progresije (njegov naziv slijedi iz predstavljene formule).

Šta znači znati razliku d? O tome koliko su susjedni brojevi "daleko" jedan od drugog. Međutim, poznavanje d je neophodan, ali ne i dovoljan uslov za određivanje (obnavljanje) cjelokupne progresije. Potrebno je znati još jedan broj, koji može biti apsolutno bilo koji element niza koji se razmatra, na primjer, 4, a10, ali u pravilu koriste prvi broj, odnosno 1.

Formule za određivanje elemenata progresije

Općenito, gore navedene informacije su već dovoljne za prelazak na rješavanje konkretnih problema. Ipak, prije nego što se da aritmetička progresija, a bit će potrebno pronaći njenu razliku, predstavit ćemo nekoliko korisnih formula, čime ćemo olakšati kasniji proces rješavanja problema.

Lako je pokazati da se bilo koji element niza s brojem n može pronaći na sljedeći način:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Zaista, svako može provjeriti ovu formulu jednostavnim pretraživanjem: ako zamijenite n = 1, dobićete prvi element, ako zamijenite n = 2, onda izraz daje zbir prvog broja i razlike, i tako dalje.

Uslovi mnogih zadataka sastavljeni su na način da je, za dat poznati par brojeva, čiji su brojevi takođe dati u nizu, potrebno rekonstruisati čitav niz brojeva (naći razliku i prvi element). Sada ćemo ovaj problem riješiti u opštem obliku.

Dakle, neka su data dva elementa sa brojevima n i m. Koristeći gornju formulu, možete kreirati sistem od dvije jednadžbe:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

Za pronalaženje nepoznatih veličina koristićemo dobro poznatu jednostavnu tehniku rješavanja takvog sistema: oduzmite lijevu i desnu stranu u paru, jednakost će ostati važeća. Imamo:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Dakle, isključili smo jednu nepoznatu (a 1). Sada možemo napisati konačni izraz za određivanje d:

d = (a n - a m) / (n - m), gdje je n > m

Dobili smo vrlo jednostavnu formulu: da bismo izračunali razliku d u skladu sa uslovima zadatka, potrebno je samo uzeti omjer razlika između samih elemenata i njihovih serijskih brojeva. Treba obratiti pažnju na jednu važnu tačku: razlike se uzimaju između „starih“ i „mlađih“ članova, odnosno n > m („stariji“ znači da stoji dalje od početka niza, njegova apsolutna vrijednost može biti ili veći ili manje „mlađi“ element).

Izraz za progresiju razlike d treba zamijeniti u bilo koju od jednadžbi na početku rješavanja problema da bi se dobila vrijednost prvog člana.

U naše doba razvoja računarske tehnologije, mnogi školarci pokušavaju da na internetu pronađu rješenja za svoje zadatke, pa se često postavljaju pitanja ovog tipa: pronaći razliku aritmetičke progresije na internetu. Za takav zahtjev pretraživač će vratiti određeni broj web stranica, odlaskom na koje ćete morati unijeti podatke poznate iz uvjeta (to mogu biti ili dva člana progresije ili zbir određenog broja njih ) i odmah primite odgovor. Međutim, ovakav pristup rješavanju problema je neproduktivan u smislu studentovog razvoja i razumijevanja suštine zadatka koji mu je dodijeljen.

Rješenje bez korištenja formula

Rešimo prvi problem bez upotrebe nijedne od datih formula. Neka su dati elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Nađi razliku aritmetičke progresije.

Poznati elementi stoje blizu jedan drugom u nizu. Koliko puta se razlika d mora dodati najmanjoj da bi se dobila najveća? Tri puta (prvi put dodavanjem d dobijamo 7. element, drugi put - osmi, i na kraju, treći put - deveti). Koji broj treba dodati tri puta tri puta da dobijemo 18? Ovo je broj pet. stvarno:

Dakle, nepoznata razlika d = 5.

Naravno, rješenje je moglo biti provedeno odgovarajućom formulom, ali to nije učinjeno namjerno. Detaljno objašnjenje rješenja problema trebalo bi postati jasan i jasan primjer šta je aritmetička progresija.

Zadatak sličan prethodnom

Sada ćemo riješiti sličan problem, ali promijenimo ulazne podatke. Dakle, trebali biste pronaći ako je a3 = 2, a9 = 19.

Naravno, opet možete pribjeći metodi "head-on" rješenja. Ali budući da su dati elementi serije relativno udaljeni jedan od drugog, ova metoda neće biti sasvim zgodna. Ali korištenje rezultirajuće formule brzo će nas dovesti do odgovora:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Ovdje smo zaokružili konačan broj. U kojoj mjeri je ovo zaokruživanje dovelo do greške može se procijeniti provjerom rezultata:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ovaj rezultat se razlikuje za samo 0,1% od vrijednosti date u uvjetu. Stoga se zaokruživanje korišteno na najbliže stotinke može smatrati uspješnim izborom.

Problemi koji uključuju primjenu formule za termin

Razmotrimo klasičan primjer problema za određivanje nepoznatog d: pronađite razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 12, a5 = 40.

Kada su data dva broja nepoznatog algebarskog niza, a jedan od njih je element a 1, onda ne morate dugo razmišljati, već odmah treba primijeniti formulu za a n član. U ovom slučaju imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Tačan broj smo dobili prilikom dijeljenja, tako da nema smisla provjeravati tačnost izračunatog rezultata, kao što je to urađeno u prethodnom pasusu.

Riješimo još jedan sličan problem: trebamo pronaći razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 16, a8 = 37.

Koristimo pristup sličan prethodnom i dobijamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Šta još trebate znati o aritmetičkoj progresiji?

Pored problema pronalaženja nepoznate razlike ili pojedinačnih elemenata, često je potrebno riješiti i probleme zbira prvih članova niza. Razmatranje ovih problema je izvan okvira članka, međutim, radi potpunosti informacija, predstavljamo opštu formulu za zbir n brojeva u nizu:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

proširivanje i produbljivanje razumijevanja učenika o problemima rješavanim aritmetičkom progresijom; organiziranje aktivnosti pretraživanja učenika pri izvođenju formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije;
razvijanje sposobnosti za samostalno sticanje novih znanja i korištenje već stečenih znanja za postizanje zadatog zadatka;
razvijanje želje i potrebe za uopštavanjem dobijenih činjenica, razvijanje samostalnosti.

Zadaci:

sumirati i sistematizovati postojeća znanja na temu „Aritmetička progresija“;
izvesti formule za izračunavanje sume prvih n članova aritmetičke progresije;
naučiti kako primijeniti dobijene formule pri rješavanju različitih zadataka;
skrenuti pažnju učenika na postupak nalaženja vrijednosti brojevnog izraza.

Oprema:

kartice sa zadacima za rad u grupama i parovima;
evaluacijski papir;
prezentacija"Aritmetička progresija."

I. Ažuriranje osnovnih znanja.

1. Samostalni rad u parovima.

1. opcija:

Definirajte aritmetičku progresiju. Zapišite formulu ponavljanja koja definira aritmetičku progresiju. Navedite primjer aritmetičke progresije i navedite njegovu razliku.

2. opcija:

Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
U ovom trenutku, dva učenika na poleđini ploče pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad svog partnera tako što ga provjeravaju na tabli. (Liste sa odgovorima se predaju.)

2. Trenutak igre.

Vježba 1.

Učitelju. Mislio sam na neku aritmetičku progresiju. Postavite mi samo dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. član ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pitanja studenata.

Koji je šesti termin progresije i koja je razlika?
Koji je osmi termin progresije i koja je razlika?

Ako više nema pitanja, nastavnik ih može stimulisati - „zabrana“ na d (razliku), odnosno nije dozvoljeno pitati čemu je razlika jednaka. Možete postavljati pitanja: čemu je jednak 6. član progresije, a čemu 8. član progresije?

Zadatak 2.

Na tabli je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji leđima okrenut tabli. Učenici prozivaju broj, a nastavnik odmah proziva sam broj. Objasnite kako to mogu učiniti?

Nastavnik pamti formulu za n. član a n = 3n – 2 i, zamjenom navedenih vrijednosti n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n.

II. Postavljanje zadatka za učenje.

Predlažem da rešim drevni problem koji datira iz 2. milenijuma pre nove ere, koji je pronađen u egipatskim papirusima.

zadatak:“Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma na 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda je 1/8 mjere.”

Kako je ovaj problem povezan s aritmetičkom progresijom teme? (Svaka sljedeća osoba dobija 1/8 mjere više, što znači da je razlika d=1/8, 10 osoba, što znači n=10.)
Šta mislite da znači broj 10 mjera? (Zbroj svih uslova progresije.)
Šta još trebate znati da biste lako i jednostavno podijelili ječam prema uvjetima problema? (Prvi period napredovanja.)

Cilj lekcije– dobijanje zavisnosti zbira članova progresije od njihovog broja, prvog člana i razlike i provera da li je problem u antičko doba bio ispravno rešen.

Prije nego što zaključimo formulu, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.

I to su riješili na sljedeći način:

1) 10 mjera: 10 = 1 mjera – prosječan udio;
2) 1 takt ∙ = 2 takta – udvostručen prosjek dijeliti.
Udvostručeno prosjek udio je zbir udjela 5. i 6. lica.
3) 2 takta – 1/8 takta = 1 7/8 takta – duplo više od petog lica.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – dio petine; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.

Dobijamo slijed:

III. Rješavanje problema.

1. Rad u grupama

Grupa I: Pronađite zbir 20 uzastopnih prirodnih brojeva: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Uglavnom

II grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o malom Gausu).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

zaključak:

III grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 21.

Rješenje: 1+21=2+20=3+19=4+18…

zaključak:

IV grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 101.

zaključak:

Ova metoda rješavanja razmatranih problema naziva se “Gaussova metoda”.

2. Svaka grupa predstavlja rješenje problema na tabli.

3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nađimo ovaj zbir koristeći slično rezonovanje:

4. Jesmo li riješili problem?(Da.)

IV. Primarno razumijevanje i primjena dobijenih formula pri rješavanju zadataka.

1. Provjera rješenja starog problema pomoću formule.

2. Primjena formule u rješavanju različitih problema.

3. Vježbe za razvijanje sposobnosti primjene formula pri rješavanju zadataka.

A) Ne. 613

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Pronađite: S 1500

Rješenje: , a 1 = 1 i 1500 = 1500,

B) Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Pronađite: n
Rješenje:

V. Samostalan rad uz međusobnu provjeru.

Denis je počeo da radi kao kurir. Prvog mjeseca njegova plata iznosila je 200 rubalja, u svakom sljedećem mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je ukupno zaradio za godinu dana?

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
a 1 = 200, d=30, n=12
Pronađite: S 12
Rješenje:

Odgovor: Denis je za godinu dobio 4380 rubalja.

VI. Instrukcije za domaći rad.

Odjeljak 4.3 – naučite izvođenje formule.
№№ 585, 623 .
Napravite problem koji se može riješiti korištenjem formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije.

VII. Sumiranje lekcije.

1. Rezultatski list

2. Nastavite rečenice

Danas na času sam naučio...
Naučene formule...
Vjerujem da …

3. Možete li pronaći zbir brojeva od 1 do 500? Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovog problema?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Udžbenik za opšteobrazovne ustanove. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Prosvetljenje“, 2009.

Online kalkulator.
Rješavanje aritmetičke progresije.
Dato: a n , d, n
Pronađite: a 1

Ovaj matematički program pronalazi \(a_1\) aritmetičke progresije na osnovu korisničkih brojeva \(a_n, d\) i \(n\).
Brojevi \(a_n\) i \(d\) mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci. Štaviše, broj razlomka se može unijeti u obliku decimalnog razlomka (\(2,5\)) i u obliku običnog razlomka (\(-5\frac(2)(7)\)).

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj onlajn kalkulator može biti od koristi srednjoškolcima u srednjim školama prilikom priprema za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva

Brojevi \(a_n\) i \(d\) mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci.
Broj \(n\) može biti samo pozitivan cijeli broj.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomak u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke poput 2,5 ili poput 2,5

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Unos:
Rezultat: \(-\frac(2)(3)\)

Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Unos:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Unesite brojeve a n , d, n Pronađite 1

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Redoslijed brojeva

U svakodnevnoj praksi, numerisanje različitih objekata često se koristi za označavanje redosleda kojim su raspoređeni. Na primjer, kuće u svakoj ulici su numerisane. U biblioteci se čitalačke pretplate numerišu, a zatim raspoređuju prema dodijeljenim brojevima u posebne kartoteke.

U štedionici, koristeći broj ličnog računa deponenta, možete lako pronaći ovaj račun i vidjeti koji je depozit na njemu. Neka račun br. 1 sadrži depozit od a1 rubalja, račun br. 2 sadrži depozit od a2 rublje, itd. numerički niz
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
gdje je N broj svih računa. Ovdje je svaki prirodni broj n od 1 do N povezan sa brojem a n.

Studirao je i matematiku beskonačni nizovi brojeva:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Broj a 1 se zove prvi član niza, broj a 2 - drugi član niza, broj a 3 - treći član niza itd.
Poziva se broj a n n-ti (n-ti) član niza, a prirodni broj n je njegov broj.

Na primjer, u nizu kvadrata prirodnih brojeva 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... i 1 = 1 je prvi član niza; i n = n 2 je n-ti član niza; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-ti (n plus prvi) član niza. Često se niz može specificirati formulom njegovog n-tog člana. Na primjer, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definira niz \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetička progresija

Dužina godine je otprilike 365 dana. Tačnija vrijednost je \(365\frac(1)(4)\) dana, tako da se svake četiri godine akumulira greška od jednog dana.

Da bi se objasnila ova greška, svakoj četvrtoj godini dodaje se dan, a produžena godina se naziva prijestupnom.

Na primjer, u trećem milenijumu prijestupne godine su godine 2004, 2008, 2012, 2016, ....

U ovom nizu, svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, dodanom istom broju 4. Takvi nizovi se nazivaju aritmetičke progresije.

Definicija.
Zove se niz brojeva a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetička progresija, ako je za sve prirodne n jednakost
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
gdje je d neki broj.

Iz ove formule slijedi da je a n+1 - a n = d. Broj d se naziva razlika aritmetička progresija.

Po definiciji aritmetičke progresije imamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
gdje
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), gdje je \(n>1 \)

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini njegova dva susjedna člana. Ovo objašnjava naziv "aritmetička" progresija.

Imajte na umu da ako su dati a 1 i d, onda se preostali članovi aritmetičke progresije mogu izračunati korištenjem rekurentne formule a n+1 = a n + d. Na ovaj način nije teško izračunati prvih nekoliko članova progresije, međutim, na primjer, 100 će već zahtijevati mnogo proračuna. Obično se za to koristi formula n-tog pojma. Po definiciji aritmetičke progresije
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
itd.
Uopšte,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
pošto se n-ti član aritmetičke progresije dobija od prvog člana zbrajanjem (n-1) puta broja d.
Ova formula se zove formula za n-ti član aritmetičke progresije.

Zbir prvih n članova aritmetičke progresije

Pronađite zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Zapišimo ovaj iznos na dva načina:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Dodajmo ove jednakosti pojam po član:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ova suma ima 100 pojmova
Dakle, 2S = 101 * 100, dakle S = 101 * 50 = 5050.

Razmotrimo sada proizvoljnu aritmetičku progresiju
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Neka je S n zbir prvih n članova ove progresije:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Onda zbir prvih n članova aritmetičke progresije jednak je
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Pošto \(a_n=a_1+(n-1)d\), onda zamjenom a n u ovoj formuli dobijamo drugu formulu za pronalaženje zbir prvih n članova aritmetičke progresije:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka

Neki ljudi s oprezom tretiraju riječ „progresija“, kao vrlo složen termin iz grana više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksimetra (gdje još postoje). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, analizirajući nekoliko elementarnih koncepata.

Matematički niz brojeva

Numerički niz se obično naziva nizom brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

a 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

a 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas bilo koji proizvoljan skup brojeva i brojeva. Pažnju ćemo usmjeriti na numerički niz u kojem je vrijednost n-og člana povezana s njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a je vrijednost člana numeričkog niza;

n je njegov serijski broj;

f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom se obično naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sledećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član razmatranog niza biti veći od prethodnog i takva će se aritmetička progresija povećavati.

Na donjem grafikonu lako je vidjeti zašto se brojčani niz naziva „rastući“.

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Navedena vrijednost člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti uzastopnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pethiljaditog ili osammilionitog člana. Tradicionalni proračuni će oduzeti dosta vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati korištenjem određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbir prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnoženom brojem željenog člana, umanjenom za jedan.

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračunavanja vrijednosti datog pojma

Rešimo sledeći problem nalaženja vrednosti n-og člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 pojmova

Rješenje: da bismo odredili vrijednost datog pojma, koristimo formulu:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz iskaza problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza je jednak 258,6.

Prednosti ove metode proračuna su očigledne - cijelo rješenje ne traje više od 2 reda.

Zbir datog broja pojmova

Vrlo često je u datom aritmetičkom nizu potrebno odrediti zbir vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nije potrebno izračunati vrijednosti svakog pojma i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je mali broj pojmova čiji zbir treba pronaći. U drugim slučajevima, prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbir članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbiru prvog i n-tog člana, pomnoženog sa brojem člana n i podijeljenog sa dva. Ako se u formuli vrijednost n-tog člana zamijeni izrazom iz prethodnog stava članka, dobijamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

Zadatak zahtijeva određivanje zbira članova niza od 56 do 101.

Rješenje. Koristimo formulu za određivanje količine progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo, određujemo zbir vrijednosti 101 člana progresije zamjenom datih uslova našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Očigledno, da bismo saznali zbir članova progresije od 56. do 101., potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbir aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka, vratimo se na primjer aritmetičkog niza datog u prvom pasusu - taksimetar (taxi auto mjerač). Razmotrimo ovaj primjer.

Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki naredni kilometar se plaća po stopi od 22 rublja/km. Udaljenost putovanja 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalje izračunavanje nije ništa drugo do raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Broj člana - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbir.

Prvi član u ovom zadatku će biti jednak a 1 = 50 rubalja.

Razlika progresije d = 22 r.

broj koji nas zanima je vrijednost (27+1)-og člana aritmetičke progresije - očitavanje brojila na kraju 27. kilometra je 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Proračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dug period zasnivaju se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji, dužina orbite geometrijski zavisi od udaljenosti nebeskog tijela do zvijezde. Osim toga, različiti brojevni redovi se uspješno koriste u statistici i drugim primijenjenim oblastima matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijsku progresiju karakteriziraju veće stope promjene u odnosu na aritmetičku progresiju. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, da bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tokom epidemije, često kaže da se proces razvija geometrijskom progresijom.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sledećeg člana geometrijske progresije;

q je imenilac geometrijske progresije (konstantni broj).

Ako je graf aritmetičke progresije prava linija, onda geometrijska progresija daje malo drugačiju sliku:

Kao iu slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na stepen n smanjen za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju sa prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Zbir datog broja termina se također izračunava pomoću posebne formule. Zbir prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljenog nazivnikom smanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni gore opisanom formulom, vrijednost zbroja prvih n članova brojevnog niza koji se razmatra imat će oblik:

Primjer. Geometrijska progresija počinje sa prvim članom jednakim 1. Imenilac je postavljen na 3. Nađimo zbir prvih osam članova.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uslovi progresije)

U kojoj se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog po novom pojmu koji se još naziva razlika koraka ili progresije.

Stoga, specificiranjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji njegov element koristeći formulu

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka terminu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Koristeći ovu izjavu, vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, svojstvom aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće

Ovo je lako provjeriti ako napišete pojmove desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule

Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije; ona je neophodna u proračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam biti korisna sljedeća formula sume

4) Od praktičnog interesa je pronalaženje zbira n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Tu se završava teorijski materijal i prelazimo na rješavanje uobičajenih problema u praksi.

Primjer 1. Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Rješenje:

Prema stanju koje imamo

Odredimo korak napredovanja

Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer 2. Aritmetička progresija data je trećim i sedmim članom. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.

Rješenje:

Zapišimo date elemente progresije koristeći formule

Od druge jednačine oduzimamo prvu, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije

Izračunavamo zbir prvih deset članova progresije

Bez složenih proračuna, pronašli smo sve potrebne količine.

Primjer 3. Aritmetička progresija data je imeniocem i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50 i zbir prvih 100.

Rješenje:

Zapišimo formulu za stoti element progresije